【考點訓練】第19章 四邊形 19.4 課題學習 重心：三角形的重心-1

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1、 【考點訓練】三角形的重心-2 　 一、選擇題（共5小題） 1．（1997?臺灣）在直角△ABC中，∠C=90°，CB=6，CA=8，G為重心，到斜邊AB的距離為（　　） 　 A． B． C． D． 2 　 2．（2013?閘北區(qū)一模）在△ABC中，中線AD、BE相交于點O，且S△BOD=5，則△ABC的面積是（　?。? 　 A． 30 B． 20 C． 15 D． 5 　 3．（2006?上海）在△ABC中，AD是BC邊上的中線，G是重心．如果AG=6，那么線段DG的長為（　?。? 　 A． 2 B． 3 C． 6

2、 D． 12 　 4．（2013?奉賢區(qū)一模）等腰直角三角形的腰長為，該三角形的重心到斜邊的距離為（　?。? 　 A． B． C． D． 　 5．（2008?臺灣）如圖，G是△ABC的重心，直線L過A點與BC平行．若直線CG分別與AB，L交于D，E兩點，直線BG與AC交于F點，則△AED的面積：四邊形ADGF的面積=（　　） 　 A． 1：2 B． 2：1 C． 2：3 D． 3：2 　 二、填空題（共3小題）（除非特別說明，請?zhí)顪蚀_值） 6．（2002?上海）在△ABC中，如果AB=AC=5cm，BC=8cm，那么這個三角形的重心

3、G到BC的距離是　_________　cm． 　 7．（2012?上海）我們把兩個三角形的中心之間的距離叫做重心距，在同一個平面內有兩個邊長相等的等邊三角形，如果當它們的一邊重合時，重心距為2，那么當它們的一對角成對頂角時，重心距為　_________?。? 　 8．（2004?上海）在△ABC中，點G是重心，若BC邊上的高為6，則點G到BC的距離為　_________?。? 　 三、解答題（共2小題）（選答題，不自動判卷） 9．（2013?綿陽）我們知道，三角形的三條中線一定會交于一點，這一點就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性質，如關于線段比．面積比就有一些“漂亮”結論，利用這

4、些性質可以解決三角形中的若干問題．請你利用重心的概念完成如下問題： （1）若O是△ABC的重心（如圖1），連結AO并延長交BC于D，證明：； （2）若AD是△ABC的一條中線（如圖2），O是AD上一點，且滿足，試判斷O是△ABC的重心嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由； （3）若O是△ABC的重心，過O的一條直線分別與AB、AC相交于G、H（均不與△ABC的頂點重合）（如圖3），S四邊形BCHG，S△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積，試探究的最大值． 　 10．（2000?上海）如圖，在半徑為6，圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上，有一個動點P，PH⊥OA，垂

5、足為H，△OPH的重心為G． （1）當點P在AB上運動時，線段GO、GP、GH中，有無長度保持不變的線段？如果有，請指出這樣的線段，并求出相應的長度； （2）設PH=x，GP=y，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域； （3）如果△PGH是等腰三角形，試求出線段PH的長． 　 【考點訓練】三角形的重心-2 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共5小題） 1．（1997?臺灣）在直角△ABC中，∠C=90°，CB=6，CA=8，G為重心，到斜邊AB的距離為（　　） 　 A． B． C． D． 2 考點： 三角形的重心．1528144

6、 專題： 壓軸題． 分析： 如圖，CD是Rt△ABC的斜邊上的中線，那么三角形的重心G在線段CD上，然后利用勾股定理和重心的性質即可求出△ABC的重心到斜邊AB的距離． 解答： 解：設CD是Rt△ABC的斜邊上的中線，三角形的重心G在線段CD上，過點G作GE⊥AB于點E，過點C作CE⊥AB于點F， ∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6， ∴AB==10， 如圖，CD是Rt△ABC的斜邊上的中線， ∴三角形的重心G在線段CD上， ∴DG=CD， ∵GE∥CF， ∴EG=FC， ∵FC×AB=AC×BC， ∴FC=， ∴GE=×=， 即△ABC的重

7、心到斜邊AB的距離為：． 故選：A． 點評： 此題分別考查了勾股定理、直角三角形斜邊上的中線的性質及三角形的重心的性質，有一定的綜合性，解題時要求學生熟練掌握這些知識才能很好解決這類問題． 　 2．（2013?閘北區(qū)一模）在△ABC中，中線AD、BE相交于點O，且S△BOD=5，則△ABC的面積是（　?。? 　 A． 30 B． 20 C． 15 D． 5 考點： 三角形的重心．1528144 分析： 根據三角形的重心到頂點的長度等于到對邊中點的長度的2倍可得OD=2AO，再根據等高的三角形的面積等于底邊的比求出△AOB的面積，然后等底等高的三角形的面

8、積相等求解即可． 解答： 解：如圖，∵中線AD、BE相交于點O， ∴O是△ABC的重心， ∴OD=AO， ∵S△BOD=5， ∴S△AOB=2S△BOD=2×5=10， ∴S△ABD=10+5=15， ∵AD是中線， ∴△ABC的面積=2S△ABD=2×15=30． 故選A． 點評： 本題考查了三角形的重心，三角形的重心到頂點的長度等于到對邊中點的長度的2倍，等高的三角形的面積等于底邊的比以及等底等高的三角形的面積相等是解題的關鍵． 　 3．（2006?上海）在△ABC中，AD是BC邊上的中線，G是重心．如果AG=6，那么線段DG的長為（　?。? 　 A．

9、 2 B． 3 C． 6 D． 12 考點： 三角形的重心．1528144 專題： 壓軸題． 分析： 根據重心的性質三角形的重心到一頂點的距離等于到對邊中點距離的2倍，直接求得結果． 解答： 解：∵三角形的重心到頂點的距離是其到對邊中點的距離的2倍， ∴DG=AG=3． 故選B． 點評： 掌握三角形的重心的性質：三角形的重心到頂點的距離是其道對邊中點的距離的2倍．運用三角形的中位線定理即可證明此結論． 　 4．（2013?奉賢區(qū)一模）等腰直角三角形的腰長為，該三角形的重心到斜邊的距離為（　?。? 　 A． B． C． D．

10、 考點： 等腰直角三角形；三角形的重心．1528144 分析： 作等腰直角三角形底邊上的高并根據勾股定理求解，再根據三角形重心三等分中線的性質即可求出． 解答： 解：如圖，根據三線合一的性質，底邊上的中線CD=sin45°=1， ∵三角形的重心到三角形頂點的距離等于中點距離的2倍， ∴重心到AB的距離=1×=． 故選D． 點評： 本題主要考查等腰三角形三線合一的性質和三角形重心的性質，熟練掌握定理是解題的關鍵． 　 5．（2008?臺灣）如圖，G是△ABC的重心，直線L過A點與BC平行．若直線CG分別與AB，L交于D，E兩點，直線BG與AC交于F點，則△AED的

11、面積：四邊形ADGF的面積=（　　） 　 A． 1：2 B． 2：1 C． 2：3 D． 3：2 考點： 三角形的重心．1528144 分析： 根據重心的概念得出D，F分別是三角形的中點．若設△ABC的面積是2，則△BCD的面積和△BCF的面積都是1．又因為BG：GF=CG：GD，可求得△CGF的面積．則四邊形ADGF的面積也可求出．根據ASA可以證明△ADE≌△BDC，則△ADE的面積是1．則△AED的面積：四邊形ADGF的面積可求． 解答： 解：設三角形ABC的面積是2 ∴三角形BCD的面積和三角形BCF的面積都是1 ∵BG：GF=CG：GD=2

12、 ∴三角形CGF的面積是 ∴四邊形ADGF的面積是2﹣1﹣= ∵△ADE≌△BDC（ASA） ∴△ADE的面積是1 ∴△AED的面積：四邊形ADGF的面積=1：=3：2． 故選D． 點評： 此題考查了重心的概念和性質：三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍． 　 二、填空題（共3小題）（除非特別說明，請?zhí)顪蚀_值） 6．（2002?上海）在△ABC中，如果AB=AC=5cm，BC=8cm，那么這個三角形的重心G到BC的距離是　1　cm． 考點： 勾股定理；三角形的重心；等腰三角形的性質．1528144 分析： 根據等腰三角

13、形的三線合一，知三角形的重心在BC邊的高上．根據勾股定理求得該高，再根據三角形的重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍，求得G到BC的距離． 解答： 解：∵AB=AC=5cm ∴△ABC是等腰三角形 ∴三角形的重心G在BC邊的高 根據勾股定理設該高為a， ∴a2+42=52 則a=3cm， 根據三角形的重心性質 ∴G到BC的距離是1cm． 點評： 考查了等腰三角形的三線合一的性質以及三角形的重心的概念和性質． 　 7．（2012?上海）我們把兩個三角形的中心之間的距離叫做重心距，在同一個平面內有兩個邊長相等的等邊三角形，如果當它們的一邊重合時，重心距為2，那么當它

14、們的一對角成對頂角時，重心距為　4　． 考點： 三角形的重心；等邊三角形的性質．1528144 專題： 壓軸題；新定義． 分析： 先設等邊三角形的中線長為a，再根據三角形重心的性質求出a的值，進而可得出結論． 解答： 解：設等邊三角形的中線長為a， 則其重心到對邊的距離為：a， ∵它們的一邊重合時（圖1），重心距為2， ∴a=2，解得a=3， ∴當它們的一對角成對頂角時（圖2）重心距=a=×3=4． 故答案為：4． 點評： 本題考查的是三角形重心的性質及等邊三角形的性質，即三角形的重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1． 　 8．（2004

15、?上海）在△ABC中，點G是重心，若BC邊上的高為6，則點G到BC的距離為　2?。? 考點： 三角形的重心．1528144 分析： 根據重心的性質，可知AG=2GN，即則=，可求則=，則點G到BC的距離是GM． 解答： 解：連接AG并延長交BC與N，過G作GM⊥BC于M， 根據點G是重心，則AG=2GN， 則=， 因而GM=2， 則點G到BC的距離為2． 點評： 正確理解重心的性質，轉化為三角形相似問題是解決本題的關鍵． 　 三、解答題（共2小題）（選答題，不自動判卷） 9．（2013?綿陽）我們知道，三角形的三條中線一定會交于一點，這一點就叫做三角形的重心

16、．重心有很多美妙的性質，如關于線段比．面積比就有一些“漂亮”結論，利用這些性質可以解決三角形中的若干問題．請你利用重心的概念完成如下問題： （1）若O是△ABC的重心（如圖1），連結AO并延長交BC于D，證明：； （2）若AD是△ABC的一條中線（如圖2），O是AD上一點，且滿足，試判斷O是△ABC的重心嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由； （3）若O是△ABC的重心，過O的一條直線分別與AB、AC相交于G、H（均不與△ABC的頂點重合）（如圖3），S四邊形BCHG，S△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積，試探究的最大值． 考點： 相似形綜合題；三角形的重心．

17、1528144 專題： 壓軸題． 分析： （1）如答圖1，作出中位線DE，證明△AOC∽△DOE，可以證明結論； （2）如答圖2，作△ABC的中線CE，與AD交于點Q，則點Q為△ABC的重心．由（1）可知，=，而已知，故點O與點Q重合，即點O為△ABC的重心； （3）如答圖3，利用圖形的面積關系，以及相似線段間的比例關系，求出的表達式，這是一個二次函數，利用二次函數的性質求出其最大值． 解答： （1）證明：如答圖1所示，連接CO并延長，交AB于點E． ∵點O是△ABC的重心，∴CE是中線，點E是AB的中點． ∴DE是中位線， ∴DE∥AC，且DE=AC． ∵DE∥A

18、C， ∴△AOC∽△DOE， ∴=2， ∵AD=AO+OD， ∴． （2）答：點O是△ABC的重心． 證明：如答圖2，作△ABC的中線CE，與AD交于點Q，則點Q為△ABC的重心． 由（1）可知，=， 而， ∴點Q與點O重合（是同一個點）， ∴點O是△ABC的重心． （3）解：如答圖3所示，連接DG． 設S△GOD=S，由（1）知，即OA=2OD， ∴S△AOG=2S，S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S． 為簡便起見，不妨設AG=1，BG=x，則S△BGD=3xS． ∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=（3x+3）S， ∴S

19、△ABC=2S△ABD=（6x+6）S． 設OH=k?OG，由S△AGO=2S，得S△AOH=2kS， ∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=（2k+2）S． ∴S四邊形BCHG=S△ABC﹣S△AGH=（6x+6）S﹣（2k+2）S=（6x﹣2k+4）S． ∴== ① 如答圖3，過點O作OF∥BC交AC于點F，過點G作GE∥BC交AC于點E，則OF∥GE． ∵OF∥BC， ∴， ∴OF=CD=BC； ∵GE∥BC， ∴， ∴GE=； ∴=， ∴． ∵OF∥GE， ∴， ∴=， ∴k=，代入①式得： ===﹣x2+x+1=﹣（x﹣）2+， ∴當x=時，有

20、最大值，最大值為． 點評： 本題是幾何綜合題，以三角形的重心為背景，考查了重心的概念、性質以及應用，考查了相似三角形、中位線、圖形面積、二次函數最值等知識點．試題的難點在于第（3）問，如何求出的關系式是解題的關鍵；另外，第（3）問尚有多種不同的解法，同學們可以深入探究． 　 10．（2000?上海）如圖，在半徑為6，圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上，有一個動點P，PH⊥OA，垂足為H，△OPH的重心為G． （1）當點P在AB上運動時，線段GO、GP、GH中，有無長度保持不變的線段？如果有，請指出這樣的線段，并求出相應的長度； （2）設PH=x，GP=y，求y關于x的函數解析式，

21、并寫出函數的定義域； （3）如果△PGH是等腰三角形，試求出線段PH的長． 考點： 直角三角形的性質；三角形的重心；等腰三角形的性質．1528144 專題： 壓軸題． 分析： （1）由題意可知：重心是三角形中線交點，它把中線分為1：2的比例，如果中線長度不變，題中的三線段長度也不變．在直角三角形OHP中PO是直角三角形OPH的斜邊，也是半徑是保持不變的所以線段GH保持不變；則根據直角三角形中斜邊的中線是斜邊的一半可以求得OP中線的長度，進而求得GH的長度； （2）延長PG交OA于C，則y=×PC；分別再直角三角形OPh和直角三角形PHC中運用兩次勾股定理即可以求出y關于

22、x的函數解析式； （3）分別討論GH=PG，GH=PH，PH=PG這三種情況，根據（2）中的解析式可以分別求得x的值． 解答： 解：（1）當然是GH不變． 延長HG交OP于點E， ∵G是△OPH的重心， ∴GH=EH， ∵PO是半徑，它是直角三角形OPH的斜邊，它的中線等于它的一半； ∴EH=OP ∴GH=（OP）=（×6）=2； （2）延長PG交OA于C，則y=×PC． 我們令OC=a=CH， 在Rt△PHC中，PC==， 則y=×； 在Rt△PHO中，有OP2=x2+（2a）2=62=36， 則a2=9﹣， 將其代入y=×得y=×=（0＜x＜6）； （3）如果PG=GH，則y=GH=2， 解方程：x=0， 那GP不等于GH，則不合意義； 如果，PH=GH=2則可以解得：x=2； 如果，PH=PG，則x=y代入可以求得：x=， 綜合上述線段PH的長是或2． 點評： 本題考查了重心的概念以及直角三角形與等腰三角形的性質．綜合性比較強，有一定的難度． 　 關注中學生習題網官方微信公眾號，免費學習資源、學習方法、學習資訊第一時間掌握。 微信公眾賬號：xitibaike 掃描二維碼關注： 中學生習題網