（湖南專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 圖形的認(rèn)識 4.3 等腰三角形與直角三角形（試卷部分）課件.ppt

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1、4.3等腰三角形與直角三角形,中考數(shù)學(xué)(湖南專用),A組20142018年湖南中考題組,五年中考,考點一等腰三角形,1.(2016湖南懷化,8,4分)等腰三角形的兩邊長分別為4cm和8cm,則它的周長為()A.16cmB.17cmC.20cmD.16cm或20cm,答案C已知等腰三角形的兩邊長分別為4cm和8cm,當(dāng)腰長是4cm時,三角形的三邊長分別為4cm,4cm,8cm,這違背了三角形任意兩邊之和大于第三邊的原理;當(dāng)腰長是8cm時,三角形的三邊長分別為8cm,8cm,4cm,符合三角形的三邊關(guān)系,此時三角形的周長是20cm.故選C.,2.(2016湖南湘西,14,4分)一個等腰三角形一邊長

2、為4cm,另一邊長為5cm,那么這個等腰三角形的周長是()A.13cmB.14cmC.13cm或14cmD.以上都不對,答案C當(dāng)4cm為等腰三角形的腰長時,三角形的三邊長分別是4cm,4cm,5cm,符合三角形的三邊關(guān)系,此時,等腰三角形的周長為13cm;當(dāng)5cm為等腰三角形的腰長時,三角形的三邊長分別是5cm,5cm,4cm,符合三角形的三邊關(guān)系,此時,等腰三角形的周長為14cm,故選C.,思路分析分4cm為等腰三角形的腰長和5cm為等腰三角形的腰長,先判斷是否符合三角形的三邊關(guān)系,再求周長.,易錯警示此題是等腰三角形的性質(zhì)題,主要考查了等腰三角形的性質(zhì).易在兩個方面出錯:忽視三角形的三邊關(guān)

3、系;沒有進(jìn)行分類討論.,3.(2015湖南湘西,16,3分)如圖,等腰三角形ABC中,AB=AC,BD平分ABC,A=36,則1的度數(shù)為()A.36B.60C.72D.108,答案CAB=AC,A=36,ABC=ACB=(180-A)=72.BD平分ABC,ABD=ABC=36,1是ABD的外角,1=A+ABD=236=72,故選C.,4.(2018湖南湘潭,12,3分)如圖,在等邊三角形ABC中,點D是邊BC的中點,則BAD=.,答案30,解析ABC是等邊三角形,BAC=60,AB=AC.又點D是邊BC的中點,BAD=BAC=30.,思路分析根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和等邊三角形三個內(nèi)角相

4、等的性質(zhì)求解.,5.(2018湖南邵陽,17,3分)如圖所示,在等腰ABC中,AB=AC,A=36,將ABC中的A沿DE向下翻折,使點A落在點C處.若AE=,則BC的長是.,答案,解析AB=AC,A=36,B=ACB==72,將ABC中的A沿DE向下翻折,使點A落在點C處,AE=CE,A=ECA=36,CEB=72,BC=CE=AE=.,思路分析由折疊的性質(zhì)可知AE=CE,再證明BCE是等腰三角形即可得到BC=CE,問題得解.,解題關(guān)鍵本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理,證明BCE是等腰三角形是解題的關(guān)鍵.,6.(2016湖南長沙,17,3分)如圖,ABC中,AC

5、=8,BC=5,AB的垂直平分線DE交AB于點D,交邊AC于點E,則BCE的周長為.,答案13,解析DE垂直平分AB,AE=BE,BCE的周長為BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13.,評析本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理,即線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.,7.(2017湖南株洲,22,8分)如圖所示,正方形ABCD的頂點A在等腰直角三角形DEF的斜邊EF上,EF與BC相交于點G,連接CF.求證:DAEDCF.,證明四邊形ABCD是正方形,EDF是等腰直角三角形,ADC=EDF=90,AD=CD,DE=DF,ADE+ADF=ADF+CDF,ADE=C

6、DF,在ADE和CDF中,ADECDF.,1.(2018湖南衡陽,16,3分)將一副三角板如圖放置,使點A落在DE上,若BCDE,則AFC的度數(shù)為.,考點二直角三角形,答案75,解析BCDE,FBC=EAB=45,AFC是AEF的外角,AFC=FAE+E=45+30=75.,2.(2018湖南湘潭,15,3分)九章算術(shù)是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一,在“勻股”章中記載了一道“折竹抵地”問題:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,問折者高幾何?”翻譯成數(shù)學(xué)問題是:如圖所示,ABC中,ACB=90,AC+AB=10,BC=3,求AC的長,如果設(shè)AC=x,則可列方程為.,答案x2+32=(10-x)2

7、,解析AC=x,AC+AB=10,AB=10-x.在RtABC中,ACB=90,AC2+BC2=AB2,即x2+32=(10-x)2.故可列方程為x2+32=(10-x)2.,3.(2017湖南益陽,10,3分)如圖,ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,CD是AB邊上的中線,則CD=.,答案6.5,解析在ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,AC2+BC2=52+122=132=AB2,ABC為直角三角形,且ACB=90,CD是AB邊上的中線,CD=AB=13=6.5.,4.(2015湖南株洲,15,3分)如圖是“趙爽弦圖”,ABH、BCG、CDF和DAE是四個全等的直角三角形,

8、四邊形ABCD和EFGH都是正方形,如果AB=10,EF=2,那么AH等于.,答案6,解析設(shè)AH=x,則AE=x+2,BH=AE=x+2.在RtABH中,AB2=AH2+BH2,即102=x2+(x+2)2,解得x1=6,x2=-8(舍),故AH=6.,5.(2014湖南邵陽,17,3分)如圖,在RtABC中,C=90,D為AB的中點,DEAC于點E.A=30,AB=8,則DE的長度是.,答案2,解析D為AB的中點,AB=8,AD=4,DEAC于點E,A=30,DE=AD=2.,B組20142018年全國中考題組,考點一等腰三角形,1.(2015陜西,6,3分)如圖,在ABC中,A=36,AB

9、=AC,BD是ABC的角平分線.若在邊AB上截取BE=BC,連接DE,則圖中等腰三角形共有()A.2個B.3個C.4個D.5個,答案D依題意,可知題圖中的ABC,AED,BDC,BDE,ADB為等腰三角形,則共有5個等腰三角形.故選D.,2.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一個底角為50,則它的頂角的度數(shù)為.,答案80,解析等腰三角形的兩底角相等,180-502=80,頂角為80.,3.(2014內(nèi)蒙古呼和浩特,13,3分)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36,則該等腰三角形的底角的度數(shù)為.,解析如圖,在ABC中,設(shè)AB=AC,BDAC于D.若三角形是銳角三角形,則A=90-3

10、6=54,此時,底角=(180-54)2=63;若三角形是鈍角三角形,則BAC=36+90=126,此時,底角=(180-126)2=27.綜上,該等腰三角形底角的度數(shù)是63或27.,答案63或27,評析本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理,屬容易題.,4.(2017北京,19,5分)如圖,在ABC中,AB=AC,A=36,BD平分ABC交AC于點D.求證:AD=BC.,證明AB=AC,A=36,ABC=C=72.BD平分ABC,ABD=36,ABD=A,AD=BD.BDC=A+ABD=72,BDC=C,BD=BC,AD=BC.,5.(2015北京,20,5分)如圖,在ABC中,AB=A

11、C,AD是BC邊上的中線,BEAC于點E.求證:CBE=BAD.,證明AB=AC,AD是BC邊上的中線,ADBC,BAD=CAD.BEAC,BEC=ADC=90.CBE=90-C,CAD=90-C.CBE=CAD.CBE=BAD.,考點二直角三角形,1.(2017遼寧大連,8,3分)如圖,在ABC中,ACB=90,CDAB,垂足為D,點E是AB的中點,CD=DE=a,則AB的長為()A.2aB.2aC.3aD.a,答案BCDAB,CD=DE=a,CE=a,在ABC中,ACB=90,點E是AB的中點,AB=2CE=2a,故選B.,2.(2016湖北荊州,8,3分)如圖,在RtABC中,C=90,

12、CAB的平分線交BC于D,DE是AB的垂直平分線,垂足為E.若BC=3,則DE的長為()A.1B.2C.3D.4,答案ADE垂直平分AB,DA=DB,B=DAB.AD平分CAB,CAD=DAB.C=90,3CAD=90,CAD=30.AD平分CAB,DEAB,CDAC,CD=DE=BD.BC=3,CD=DE=1.,3.(2015北京,6,3分)如圖,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中點M與點C被湖隔開,若測得AM的長為1.2km,則M,C兩點間的距離為()A.0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2km,答案DACBC,M是AB的中點,MC=AB=AM=1.2km.故選D.,4.(2

13、018福建,13,4分)如圖,RtABC中,ACB=90,AB=6,D是AB的中點,則CD=.,答案3,解析依題意可知CD是直角三角形ABC斜邊上的中線,由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得CD=AB=3.,5.(2017山西,15,3分)一副三角板按如圖方式擺放,得到ABD和BCD,其中ADB=BCD=90,A=60,CBD=45.E為AB的中點,過點E作EFCD于點F.若AD=4cm,則EF的長為cm.,解析如圖,連接DE,過點E作EMBD于點M,設(shè)EF交BD于點N,AD=4cm,A=60,AB=8cm,DB=4cm,點E為AB的中點,EMBD,DE=AB=4cm,EM=AD=2

14、cm,由等腰直角三角形的性質(zhì)可知ENM=FND=45,在RtENM中,EN=EM=2cm,MN=EM=2cm,DN=DM-MN=DB-MN=(2-2)cm,在RtDFN中,FN=DN=(-)cm,EF=EN+FN=2+-=(+)cm.,答案(+),一題多解過點A作AGCD的延長線于點G,CDB=CBD=45,ADB=90,ADG=45,AG==2cm,ABD=30,BD=AD=4cm,CBD=45,BC==2cm,AGCG,EFCG,CBCG,AGEFBC,E是AB的中點,點F為CG的中點,EF=(AG+BC)=(2+2)=(+)cm.,解后反思將原圖形補(bǔ)充成梯形,利用梯形中位線的性質(zhì):梯形的

15、中位線=(上底+下底)求解,熟記一些結(jié)論有利于快速解題.,C組教師專用題組,考點一等腰三角形,1.(2018河北,8,3分)已知:如圖,點P在線段AB外,且PA=PB.求證:點P在線段AB的垂直平分線上.在證明該結(jié)論時,需添加輔助線,則作法不正確的是()A.作APB的平分線PC交AB于點CB.過點P作PCAB于點C且AC=BCC.取AB中點C,連接PCD.過點P作PCAB,垂足為C,答案B無論作APB的平分線PC交AB于點C,還是取AB中點C,連接PC或過點P作PCAB,垂足為C,都可以通過等腰三角形三線合一得出結(jié)論,選項A,C,D的作法正確.故選B.,2.(2017湖北武漢,10,3分)如圖

16、,在RtABC中,C=90,以ABC的一邊為邊畫等腰三角形,使得它的第三個頂點在ABC的其他邊上,則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)最多為()A.4B.5C.6D.7,答案D如圖1,以B為圓心,BC長為半徑畫弧,交AB于點D,則BCD就是等腰三角形;如圖2,以A為圓心,AC長為半徑畫弧,交AB于點E,則ACE就是等腰三角形;如圖3,以C為圓心,BC長為半徑畫弧,交AB于M,交AC于點F,則BCM、BCF是等腰三角形;,如圖4,作AC的垂直平分線交AB于點H,則ACH就是等腰三角形;如圖5,作AB的垂直平分線交AC于點G,則AGB就是等腰三角形;如圖6,作BC的垂直平分線交AB于I,則BCI就是

17、等腰三角形.故選D.,3.(2016湖南邵陽,8,3分)如圖所示,點D是ABC的邊AC上一點(不含端點),AD=BD,則下列結(jié)論正確的是()A.ACBCB.AC=BCC.AABCD.A=ABC,答案AAD=BD,A=ABD,ABC=ABD+DBC,ABCA,ACBC.,4.(2016湖南邵陽,13,3分)將等邊CBA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到CBA,使得B,C,A三點在同一直線上,如圖所示,則的大小是.,答案120,解析CBA是等邊三角形,CBA旋轉(zhuǎn)到CBA,ACB=ACB=60,ACB=60.由題意可知,BCB是旋轉(zhuǎn)角,=BCB=120.,5.(2017湖北武漢,21,8分)如圖,ABC內(nèi)接于O,

18、AB=AC,CO的延長線交AB于點D.(1)求證:AO平分BAC;(2)若BC=6,sinBAC=,求AC和CD的長.,解析(1)證明:連接BO.AB=AC,OB=OC,A、O在線段BC的中垂線上,AOBC.又AB=AC,AO平分BAC.(2)如圖,延長AO交BC于點H,過點D作DKAO,交AO于點K.由(1)知AOBC,OB=OC,BC=6,BH=CH=BC=3,COH=BOC,BAC=BOC,COH=BAC.在RtCOH中,OHC=90,sinCOH=sinBAC==.,CH=3,sinCOH==,CO=AO=5,OH===4,AH=AO+OH=5+4=9,tanCOH=tanDOK=.在

19、RtACH中,AHC=90,AH=9,CH=3,tanCAH===,AC===3,由(1)知CAH=BAH,tanBAH=tanCAH=.設(shè)DK=3a(a0),在RtADK中,tanDAK=,在RtDOK中,tanDOK=,OK=4a,DO=5a,AK=9a,AO=OK+AK=13a=5,a=,DO=5a=,CD=OC+DO=5+=.,一題多解(1)證明:連接OB.AO=AO,BO=CO,AB=AC,AOBAOC,BAO=CAO.即AO平分BAC.(2)過點C作CEAB,交AB于點E,sinBAC==,可設(shè)AC=5m(m0),則EC=3m,AE=4m,BE=m.在RtCBE中,BE2+EC2=

20、BC2,即m2+(3m)2=36,解得m=(舍負(fù)),AC=3.延長AO交BC于點H,則AHBC,且BH=CH=3,過點O作OFAH,交AB于點F,,BOC=2BAC,BOC=2HOC,BAC=HOC,sinHOC=sinBAC=,又HC=3,OC=5,OH=4,AH=OA+OH=9,tanBAH===,OF=OA=.OFBC,=,即=,解得DC=.,6.(2017四川成都,27,10分)問題背景:如圖1,等腰ABC中,AB=AC,BAC=120,作ADBC于點D,則D為BC的中點,BAD=BAC=60,于是==;圖1遷移應(yīng)用:如圖2,ABC和ADE都是等腰三角形,BAC=DAE=120,D,E

21、,C三點在同一條直線上,連接BD.,圖2,求證:ADBAEC;請直接寫出線段AD,BD,CD之間的等量關(guān)系式;拓展延伸:如圖3,在菱形ABCD中,ABC=120,在ABC內(nèi)作射線BM,作點C關(guān)于BM的對稱點E,連接AE并延長交BM于點F,連接CE,CF.圖3證明:CEF是等邊三角形;若AE=5,CE=2,求BF的長.,解析遷移應(yīng)用證明:ABC和ADE都是等腰三角形,AD=AE,AB=AC,又DAE=BAC=120,DAE-BAE=BAC-BAE,即DAB=EAC.ADBAEC(SAS).DC=AD+BD.詳解:由問題背景可知,在ADE中,有DE=AD,由可知,BD=EC,DC=DE+EC=AD

22、+BD.拓展延伸證明:如圖所示,連接BE.,C,E關(guān)于BM對稱,BE=BC,FE=FC,EBF=CBF,EFB=CFB,四邊形ABCD是菱形,且ABC=120,AB=BC=BE.過B作BGAE,則AG=GE,ABG=GBE,GBF=GBE+EBF=ABC=120=60.CFB=EFB=30,即EFC=60.CEF為等邊三角形.AE=5,GE=GA=,EF=CE=2,GF=GE+EF=,,在RtGBF中,GFB=30,BF===3.,思路分析遷移應(yīng)用:根據(jù)SAS證全等.由問題背景可知,DE=AD,由可得,EC=BD,DC=DE+EC=AD+BD.拓展延伸:要證明CEF為等邊三角形,根據(jù)對稱性可知

23、,FE=FC,EFB=CFB,那么我們只需證明EFB=30即可.在的基礎(chǔ)上,易得GE=AE=,EF=2,則GF=GE+EF=.在RtGBF中,BF==3.,7.(2017內(nèi)蒙古呼和浩特,18,6分)如圖,等腰三角形ABC中,BD,CE分別是兩腰上的中線.(1)求證:BD=CE;(2)設(shè)BD與CE相交于點O,點M,N分別為線段BO和CO的中點.當(dāng)ABC的重心到頂點A的距離與底邊長相等時,判斷四邊形DEMN的形狀,無需說明理由.,解析(1)證明:AB,AC是等腰ABC的兩腰,AB=AC,BD,CE是中線,AD=AC,AE=AB,AD=AE,又A=A,ABDACE,BD=CE.(2)四邊形DEMN為

24、正方形.提示:由MN、DE分別是OBC、ABC的中位線可得四邊形DEMN是平行四邊形,由(1)知BD=CE,故可證OE=OD,從而四邊形DEMN是矩形,再由ABC的重心到頂點A的距離與底邊長相等可知四邊形DEMN為正方形.,8.(2015福建龍巖,24,13分)如圖,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,點D以每秒1個單位長度的速度由點A向點B勻速運(yùn)動,到達(dá)B點即停止運(yùn)動.M,N分別是AD,CD的中點,連接MN.設(shè)點D運(yùn)動的時間為t.(1)判斷MN與AC的位置關(guān)系;(2)求點D由點A向點B勻速運(yùn)動的過程中,線段MN所掃過區(qū)域的面積;(3)若DMN是等腰三角形,求t的值.,解析(1)

25、在ADC中,M是AD的中點,N是DC的中點,MNAC.(3分)(2)如圖,分別取ABC三邊中點E,F,G,并連接EG,FG.根據(jù)題意可知線段MN掃過區(qū)域的面積就是AFGE的面積.AC=6,BC=8,AE=3,GC=4,ACB=90,SAFGE=AEGC=12,線段MN掃過區(qū)域的面積為12.(7分)(3)解法一:依題意可知,MD=AD,DN=DC,MN=AC=3.i)當(dāng)MD=MN=3時,DMN為等腰三角形,此時AD=AC=6,t=6.(9分)ii)當(dāng)MD=DN時,AD=DC,,過D作DHAC交AC于H,則AH=AC=3,cosA==,AD=t=5.(11分)iii)當(dāng)DN=MN=3時,AC=DC

26、.連接MC,則CMAD.cosA==,即=,AM=,AD=t=2AM=.綜上所述,當(dāng)t=5或6或時,DMN為等腰三角形.(13分),解法二:依題意可知,MD=AD,DN=DC,MN=AC=3.i)當(dāng)MD=MN=3時,DMN為等腰三角形,此時AD=AC=6,t=6.(9分)ii)當(dāng)MD=DN時,AD=DC,DAC=ACD,ACB=90,BCD+ACD=90,B+BAC=90,B=BCD,BD=CD=AD,在RtABC中,AB==10,t=AD=AB=5.(11分)iii)當(dāng)DN=MN=3時,AC=DC,連接MC,則CMAB.,SACB=BCAC=ABMC,CM=.在RtAMC中,AM==.t=A

27、D=2AM=.綜上所述,當(dāng)t=5或6或時,DMN為等腰三角形.(13分),9.(2015重慶,25,12分)如圖1,在ABC中,ACB=90,BAC=60.點E是BAC的平分線上一點.過點E作AE的垂線,過點A作AB的垂線,兩垂線交于點D,連接DB,點F是BD的中點.DHAC,垂足為H,連接EF,HF.(1)如圖1,若點H是AC的中點,AC=2,求AB,BD的長;(2)如圖1,求證:HF=EF;(3)如圖2,連接CF,CE.猜想:CEF是否是等邊三角形?若是,請證明;若不是,請說明理由.圖1,圖2,解析(1)點H是AC的中點,AC=2,AH=AC=.(1分)ACB=90,BAC=60,ABC=

28、30,AB=2AC=4.(2分)DAAB,DHAC,DAB=DHA=90.DAH=30,AD=2.(3分)在RtADB中,DAB=90,BD2=AD2+AB2.BD==2.(4分)(2)證明:連接AF,如圖.,F是BD的中點,DAB=90,AF=DF,FDA=FAD.(5分)DEAE,DEA=90.DHA=90,DAH=30,DH=AD.AE平分BAC,CAE=BAC=30.DAE=60,ADE=30.,AE=AD,AE=DH.(6分)FDA=FAD,HDA=EAD=60,FDA-HDA=FAD-EAD.FDH=FAE.(7分)FDHFAE(SAS).FH=FE.(8分)(3)CEF是等邊三角

29、形.(9分)理由如下:取AB的中點G,連接FG,CG.如圖.,F是BD的中點,FGDA,FG=DA.FGA=180-DAG=90,又AE=AD,AE=FG.在RtABC中,ACB=90,點G為AB的中點,CG=AG.又CAB=60,GAC為等邊三角形.(10分)AC=CG,ACG=AGC=60.FGC=30,FGC=EAC.FGCEAC(SAS).(11分)CF=CE,ACE=GCF.ECF=ECG+GCF=ECG+ACE=ACG=60,CEF是等邊三角形.(12分),10.(2014黑龍江哈爾濱,28,10分)如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點E,且ACBD,ADB=CAD+

30、ABD,BAD=3CBD.(1)求證:ABC為等腰三角形;(2)M是線段BD上一點,BMAB=34,點F在BA的延長線上,連接FM,BFM的平分線FN交BD于點N,交AD于點G,點H為BF中點,連接MH,當(dāng)GN=GD時,探究線段CD、FM、MH之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.,解析,(1)證明:如圖1,作BAP=DAE,AP交BD于P,,圖1,設(shè)CBD=,CAD=,ADB=CAD+ABD,APE=BAP+ABD,APE=ADB,AP=AD,(1分)ACBD,PAE=DAE=,(2分),PAD=2,BAD=3,BAD=3CBD,3=3,=,(3分)ACBD,ACB=90-=90-,ABC=180

31、-BAC-ACB=90-,ACB=ABC,(4分)AB=AC,ABC為等腰三角形.(5分)(2)2MH=FM+CD.(6分)證明:如圖2,由(1)知,AP=AD,AB=AC,BAP=CAD=,,ABPACD,ABE=ACD,(7分)ACBD,GDN=90-,GN=GD,GND=GDN=90-,AGF=NGD=2,AFG=BAD-AGF=3-2=,FN平分BFM,NFM=,FMN=90,(8分)H為BF中點,BF=2MH,在FB上截取FR=FM,連接RM,圖2FRM=FMR=90-,,ABC=90-,FRM=ABC,RMBC,CBD=RMB,CAD=CBD=,RMB=CAD.(9分)又RBM=A

32、CD,RMBDAC,===,FB-FM=BR=CD.2MH=FM+CD.(10分),評析本題是一道綜合題,主要考查了等腰三角形的判定,三角形全等的判定及三角形相似的判定等知識,所探究的線段之間的數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜,綜合性較強(qiáng),屬難題.,考點二直角三角形,1.(2017內(nèi)蒙古包頭,12,3分)如圖,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足為D,AF平分CAB,交CD于點E,交CB于點F.若AC=3,AB=5,則CE的長為()A.B.C.D.,答案A過F作FGAB于點G,AF平分CAB,ACB=90,FC=FG.易證ACFAGF,AC=AG.5+6=90,B+6=90,5=B.3=1+5,4=2+

33、B,1=2,3=4,CE=CF.AC=3,AB=5,BC=4.在RtBFG中,設(shè)CF=x(x0),則FG=x,BF=4-x.BG=AB-AG=5-3=2.由BF2=FG2+BG2,得(4-x)2=x2+22,解得x=,CE=CF=.選A.,2.(2014湖南張家界,7,3分)如圖,在RtABC中,ACB=60,DE是斜邊AC的中垂線,分別交AB、AC于D、E兩點,若BD=2,則AC的長是()A.4B.4C.8D.8,答案BACB=60,B=90,A=30,DE是AC的中垂線,AD=CD,ECD=A=30.BCD=ECD=30,又B=DEC=90,CD=CD,CEDCBD,ED=BD=2,CE=

34、2,AC=2CE=4,故選B.,3.(2018河南,15,3分)如圖,MAN=90,點C在邊AM上,AC=4,點B為邊AN上一動點,連接BC,ABC與ABC關(guān)于BC所在直線對稱.點D,E分別為AC,BC的中點,連接DE并延長交AB所在直線于點F,連接AE.當(dāng)AEF為直角三角形時,AB的長為.,答案4或4,思路分析由題意知,點B為邊AN上的動點,A點的對稱點A可以在直線DE的下方或上方.分類討論,當(dāng)點A在DE的下方時,AEF不可能為直角三角形,當(dāng)點A在直線DE上方時,AEF或AFE為90時分別計算AB的長,顯然EAF<90,可以排除.,方法總結(jié)解對稱(折疊)型問題,當(dāng)對稱軸過定點時,一般要找出對

35、稱中的定長線段,以定點為圓心,定長為半徑作輔助圓來確定對稱點的軌跡是較為有效的方法.再根據(jù)題目中所要求的條件,結(jié)合全等、相似或勾股定理等計算得出結(jié)果.,4.(2018天津,17,3分)如圖,在邊長為4的等邊ABC中,D,E分別為AB,BC的中點,EFAC于點F,G為EF的中點,連接DG,則DG的長為.,答案,疑難突破本題主要依據(jù)等邊三角形的性質(zhì),勾股定理以及三角形中位線的性質(zhì)定理求線段DG的長,DG與圖中的線段無直接的關(guān)系,所以應(yīng)根據(jù)條件連接DE,構(gòu)造直角三角形,運(yùn)用勾股定理求出DG的長.,思路分析連接DE,根據(jù)題意可得DEAC,又EFAC,可得到FEC的度數(shù),判斷出DEG是直角三角形,再根據(jù)

36、勾股定理即可求解DG的長.,5.(2015山東聊城,15,3分)如圖,在ABC中,C=90,A=30,BD是ABC的平分線.若AB=6,則點D到AB的距離是.,答案,解析C=90,A=30,AB=6,ABC=60,BC=3,BD平分ABC,CBD=ABC=30,點D到AB的距離等于DC,在RtBDC中,DC=tanDBCBC=3=,點D到AB的距離等于.,6.(2017河南,15,3分)如圖,在RtABC中,A=90,AB=AC,BC=+1,點M,N分別是邊BC,AB上的動點,沿MN所在的直線折疊B,使點B的對應(yīng)點B落在邊AC上.若MBC為直角三角形,則BM的長為.,解析在RtABC中,A=9

37、0,AB=AC,B=C=45.(1)當(dāng)MBC=90時,BMC=C=45.設(shè)BM=x,則BM=BC=x,在RtMBC中,由勾股定理得MC=x,x+x=+1,解得x=1,BM=1.(2)如圖,當(dāng)BMC=90時,點B與點A重合,此時BM=BM=BC=.綜上所述,BM的長為1或.,答案或1,7.(2015遼寧遼陽,15,3分)如圖,在ABC中,BDAC于D,點E為AB的中點,AD=6,DE=5,則線段BD的長等于.,答案8,解析BDAC于D,點E為AB的中點,DE=5,AB=2DE=25=10,在RtABD中,BD===8.,8.(2018浙江杭州,21,10分)如圖,在ABC中,ACB=90,以點B

38、為圓心,BC長為半徑畫弧,交線段AB于點D;以點A為圓心,AD長為半徑畫弧,交線段AC于點E,連接CD.(1)若A=28,求ACD的度數(shù);(2)設(shè)BC=a,AC=b.線段AD的長是方程x2+2ax-b2=0的一個根嗎?說明理由;若AD=EC,求的值.,解析(1)ACB=90,A=28,B=62,由題意知BD=BC,BCD=BDC=59,ACD=90-BCD=31.(2)線段AD的長是方程x2+2ax-b2=0的一個根.理由如下:由勾股定理得AB==,AD=-a,解方程x2+2ax-b2=0,得x==-a,線段AD的長是方程x2+2ax-b2=0的一個根.AD=AE,AD=EC,AE=EC=,由

39、勾股定理得a2+b2=,整理得=.,思路分析(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出B,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BCD,根據(jù)ACD為BCD的余角計算即可;(2)根據(jù)勾股定理求出AB,進(jìn)而得到AD,利用求根公式解方程,比較即可;根據(jù)勾股定理及等量關(guān)系列出等式,化簡、整理即可.,方法總結(jié)本題考查的是勾股定理、一元二次方程的解法,掌握一元二次方程的求根公式、熟練應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.,9.(2015廣西柳州,21,6分)如圖,在ABC中,D為AC邊的中點,且DBBC,BC=4,CD=5.(1)求DB的長;(2)在ABC中,求BC邊上高的長.,解析(1)DBBC,BC=4,CD=5,BD==3.(2)過點

40、A作AECB,交CB的延長線于點E,DBBC,AEBC,AEDB,D為AC邊的中點,BD=AE,AE=6,即BC邊上高的長為6.,思路分析(1)直接利用勾股定理得出BD的長;(2)作BC邊上的高線AE,利用三角形中位線定理得BD=AE,即可得到結(jié)論.,A組20162018年模擬基礎(chǔ)題組考點一等腰三角形,三年模擬,1.(2018湖南邵陽模擬,8)下列命題正確的有()以40角為內(nèi)角的兩個等腰三角形必相似;若等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半,則這個等腰三角形的底角為75;一組對邊平行,另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形;一個等腰直角三角形的三邊長分別是a、b、c(ab=c),那么a2b2c2=21

41、1;若ABC的三邊長a、b、c滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,則此三角形為等腰直角三角形.A.1個B.2個C.3個D.4個,答案A以40角為內(nèi)角兩個等腰三角形有2種情況,一是頂角為40的等腰三角形,二是底角為40的等腰三角形,那么這兩個三角形不相似,所以此命題不正確;高在三角形內(nèi)部時,頂角為30度,底角為75度;高在三角形外部時,頂角的補(bǔ)角為30度,底角為15度,所以有2種情況,所以此命題不正確;一組對邊平行,另一組對邊相等的四邊形也可以是梯形,所以此命題不正確;一個等腰直角三角形的三邊長分別是a、b、c(ab=c),a為等腰直角三角形的斜邊,a2=2b2=2c2,a2b

42、2c2=211,此命題正確;a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0,a-5=0,b-12=0,c-13=0,即a=5,b=12,c=13.52+122=132,512,ABC是直角三角形,而不是等腰直角三角形.此命題不正確.因此命題正確的有1個.故選A.,評析此題主要考查三角形內(nèi)角和定理,平行四邊形的判定,相似三角形的判定,等腰三角形的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),配方法的應(yīng)用等知識點,屬于難題.,2.(2017湖南株洲三模,6)等腰三角形頂角是84,則一腰上的高與底邊所成的角的度數(shù)是()A.42B.60C.36D.46,答案A如圖,A

43、BC中,AB=AC,BD是邊AC上的高.A=84,且AB=AC,ABC=C=(180-84)2=48.在RtBDC中,BDC=90,C=48,DBC=90-48=42.故選A.,3.(2017湖南湘潭四模,10)如圖,過邊長為3的等邊ABC的邊AB上一點P,作PEAC于E,Q為BC延長線上一點,當(dāng)PA=CQ時,連接PQ交邊AC于點D,則DE的長為()A.1B.C.2D.不能確定,答案B如圖,過P作PFBC交AC于點F,PFBC,ABC是等邊三角形,PFD=QCD,APF=B=60,AFP=ACB=60,A=60,APF是等邊三角形,AP=PF=AF.PEAC,AE=EF,AP=PF,AP=CQ

44、,PF=CQ,,在PFD和QCD中,PFDQCD,FD=CD,AE=EF,EF+FD=AE+CD,AE+CD=DE=AC,AC=3,DE=.故選B.,4.(2016湖南婁底新化一模,16)已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程x2-4x+3=0的根,則該三角形的周長是.,答案7,解析x2-4x+3=0,解得x1=3,x2=1.當(dāng)三角形的腰為3,底為1時,三角形的周長為3+3+1=7;當(dāng)三角形的腰為1,底為3時不符合三角形三邊的關(guān)系,舍去.故該三角形的周長為7.,考點二直角三角形,1.(2018湖南益陽模擬,8)直角三角形兩銳角的平分線相交得到的鈍角度數(shù)為()A.150B.135C.120

45、D.120或135,答案B直角三角形中,兩銳角的度數(shù)和為90,則兩銳角的各一半的度數(shù)和為45,根據(jù)三角形內(nèi)角和為180,可得鈍角度數(shù)為135,故選B.,2.(2018湖南長沙周南中學(xué)模擬,8)如圖,MON=90,矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上,當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動時,A隨之在邊OM上運(yùn)動,矩形ABCD的形狀保持不變,其中AB=2,BC=1,則運(yùn)動過程中,點D到點O的最大距離為()A.+1B.C.D.,答案A如圖,取AB的中點E,連接OE、DE、OD,ODOE+DE,當(dāng)O、E、D三點共線時,點D到點O的距離最大,此時,矩形ABCD中,AB=2,BC=1,OE=AE=AB=1,DE==

46、=,OD的最大值為+1.故選A.,解題關(guān)鍵取AB的中點E,連接OE、DE、OD,根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊可知當(dāng)O、E、D三點共線時,點D到點O的距離最大,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OE的長,再根據(jù)勾股定理求出DE的長,兩者相加即可得解.,評析本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì),三角形的三邊關(guān)系,矩形的性質(zhì),勾股定理,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出O、E、D三點共線時,點D到點O的距離最大是解題的關(guān)鍵.,3.(2017遼寧沈陽一模,9)如圖,折疊直角三角形ABC紙片,使兩銳角頂點A、C重合,設(shè)折痕為DE.若AB=4,BC=3,則BD的長是()A.B.1C

47、.D.,答案A由題意知AD=DC,設(shè)DB=x,則AD=4-x,故DC=4-x,DBC=90,DB2+BC2=DC2,即x2+32=(4-x)2,解得x=,BD=.故選A.,4.(2018湖南株洲模擬,16)如圖,在ABC中,C=90,BAC=60,D為BC上一點,過點D作DEAB,垂足為E,連接AD,若CD=DE=1,則AB的長為.,答案2,解析在ABC中,C=90,DEAB,CD=DE=1,BAC=60,CAD=BAD=BAC=30,在ADE中,AED=90,EAD=30,AD=2DE=2,在ADC中,C=90,AC==,在ABC中,C=90,B=90-BAC=30,AB=2AC=2.,5.

48、(2018湖南永州模擬,15)如圖,已知ABC中,AB=AC,C=30,ABAD,AD=4,則BC=.,答案12,解析AB=AC,C=30,B=30,又ABAD,ADB=60,DAC=30,AD=DC=4,在RtABD中,B=30,AD=4,BD=8,BC=BD+DC=8+4=12.,一、選擇題(每小題3分,共3分),B組20162018年模擬提升題組(時間:15分鐘分值:25分),1.(2017湖南長沙周南中學(xué)聯(lián)考,10)為增加綠化面積,某小區(qū)將原來正方形地磚更換為如圖所示的正八邊形植草磚,更換后,圖中陰影部分為植草區(qū)域,設(shè)正八邊形與其內(nèi)部小正方形的邊長都為a,則陰影部分的面積為()A.2a

49、2B.3a2C.4a2D.5a2,答案A如圖,由題可知,AB=a,且CAB=CBA=45,AC=BC=a,SABC=aa=,又正八邊形中間是邊長為a的正方形,陰影部分的面積為a2+4a2=2a2,故選A.,二、填空題(每小題4分,共4分),2.(2017湖南邵陽五模,15)如圖,在平行四邊形ABCD中,E是AD邊上的中點.若ABE=EBC,AB=2,則平行四邊形ABCD的周長是.,答案12,解析ADBC,AEB=EBC,ABE=EBC,ABE=AEB,AB=AE,E是AD邊上的中點,AD=2AB,AB=2,AD=4,平行四邊形ABCD的周長=2(4+2)=12.,3.(2018湖南新化模擬,2

50、5)已知:如圖所示,ABC是邊長為6cm的等邊三角形,動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā),分別在AB、BC邊上勻速移動,它們的速度分別為vp=2cm/s,vQ=1cm/s,當(dāng)點P到達(dá)點B時,P、Q兩點停止運(yùn)動,設(shè)點P的運(yùn)動時間為ts.(1)當(dāng)t何值時,PBQ為等邊三角形?(2)當(dāng)t何值時,PBQ為直角三角形?,三、解答題(共18分),解析由題意可知AP=2tcm,BQ=tcm,則BP=AB-AP=(6-2t)cm,其中0

51、,BPQ=30,在RtPBQ中,BP=2BQ,即6-2t=2t,解得t=1.5,經(jīng)檢驗,符合題意.當(dāng)PQBP時,同理可得BQ=2BP,即t=2(6-2t),解得t=2.4,經(jīng)檢驗,符合題意.綜上可知當(dāng)t為1.5s或2.4s時,PBQ為直角三角形.,解題關(guān)鍵本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及判定和直角三角形的性質(zhì),利用t表示出BP和BQ,化“動”為“靜”是解題的關(guān)鍵.,4.(2018湖南新晃模擬,26)ABC的邊BC在直線l上,點D、E是直線l上的兩點,且BA=BD,CA=CE.(1)如圖1,若AB=AC,BAC=90,求DAE的度數(shù);(2)如圖2,若BAC=90,求DAE的度數(shù);(3)如圖3,設(shè)B

52、AC=,DAE=,請寫出,之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.,解析(1)BA=BD,CA=CE,ADB=DAB,AEC=CAE,AB=AC,BAC=90,ABC=ACB=45,ACB=AEC+CAE=2AEC,ABC=ADB+DAB=2ADB,AEC=ADB=45=22.5,DAE=180-AEC-ADB=135.(2)BAC=90,ACB+ABC=90,AB=BD,BAD=BDA,CA=CE,AEC=CAE,ACD=2CAE,ADB=ACD+DAC,BAD+DAC=90,2CAE+DAC+DAC=90,CAE+DAC=45,DAE=45.,BAD=BDA=,AC=CE,AEC=CAE=,BAC+D

53、AE=+=BAD+CAE==,+=90.,(3)BAC=,ABC+ACB=180-,AB=BD,,解題關(guān)鍵本題考查了等腰三角形的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,熟練掌握三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.,思路分析(1)由等腰三角形的性質(zhì)得到ADB=DAB,AEC=CAE,易知ABC=ACB=45,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求得AEC=ADB=22.5,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到結(jié)論;(2)由直角三角形的性質(zhì)得到ACB+ABC=90,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BAD=BDA,AEC=CAE,于是得到ACD=2CAE,求得ADB=ACD+DAC,由于BAD+DAC=90,于是得到2CAE+DAC

54、+DAC=90,進(jìn)而求出CAE+DAC=45;(3)根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到ABC+ACB=180-,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BAD=BDA=,AEC=CAE=,由于BAC+DAE=+=BAD+CAE==,于是得到結(jié)果.,5.(2018湖南湘西保靖模擬,23)已知,在ABC中,AB=AC.過A點的直線a從與邊AC重合的位置開始繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)角,直線a交BC邊于點P(點P不與點B、點C重合),BMN的邊MN始終在直線a上(點M在點N的上方),且BM=BN,連接CN.(1)當(dāng)BAC=MBN=90時,如圖a,當(dāng)=45時,ANC的度數(shù)為;如圖b,當(dāng)45時,中的結(jié)論是否發(fā)生變化?說明理由;(2)如

55、圖c,當(dāng)BAC=MBN90時,請直接寫出ANC與BAC之間的數(shù)量關(guān)系,不必證明.,解析(1)BAC=90,=45,APBC,BP=CP(等腰三角形三線合一),AP=BP(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半),又MBN=90,BM=BN,AP=PN(等腰三角形三線合一),AP=PN=BP=PC,且ANBC,四邊形ABNC是正方形,ANC=45;連接CN,當(dāng)45時,中的結(jié)論不發(fā)生變化.理由如下:BAC=MBN=90,AB=AC,BM=BN,ABC=ACB=BNP=45,,又BPN=APC,BNPACP,=,又APB=CPN,ABPCNP,ANC=ABC=45.(2)ANC=90-BAC.理由如下

56、:BAC=MBN90,AB=AC,BM=BN,ABC=ACB=BNP=(180-BAC),又BPN=APC,BNPACP,=,又APB=CPN,ABPCNP,ANC=ABC,在ABC中,ABC=(180-BAC)=90-BAC.,ANC=90-BAC.,評析本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形三線合一的性質(zhì).(1)與(2)中,先根據(jù)兩角對應(yīng)相等,兩三角形相似求出兩邊對應(yīng)成比例,再根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例,夾角相等得到另兩個相似三角形是解題的關(guān)鍵.,6.(2017湖南衡陽三模,26)如圖甲,在ABC中,ACB=90,AC=4cm,BC=3cm.如果點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速

57、運(yùn)動,同時點Q由點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運(yùn)動,它們的速度均為1cm/s.連接PQ,設(shè)運(yùn)動時間為t(s)(0

58、,連接PP,設(shè)PP交QC于E,,當(dāng)四邊形PQPC為菱形時,PE垂直平分QC,即PEAC,QE=EC,易證APEABC,=,AE===-t+4,QE=AE-AQ=-t+4-t=-t+4,又QE=QC=(4-t)=-t+2,-t+4=-t+2,解得t=,0<<4,當(dāng)四邊形PQPC為菱形時,t的值是.(3)由(1)易知,PE=-t+3,,與(2)同理得,QE=AE-AQ=-t+4,PQ===,在AQP中,當(dāng)AQ=AP,即t=5-t時,解得t1=;當(dāng)PQ=AQ,即=t時,解得t2=,t3=5;當(dāng)PQ=AP,即=5-t時,解得t4=0,t5=;0