（河南專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 圖形的認(rèn)識(shí) 4.4 多邊形與平行四邊形（試卷部分）課件.ppt

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1、第四章 圖形的認(rèn)識(shí) 4.4多邊形與平行四邊形,中考數(shù)學(xué) (河南專用),A組 2014-2018年河南中考題組,五年中考,1.(2018河南,9,3分)如圖,已知AOBC的頂點(diǎn)O(0,0),A(-1,2),點(diǎn)B在x軸正半軸上.按以下步驟作圖:以點(diǎn)O為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑作弧,分別交邊OA,OB于點(diǎn)D,E;分別以點(diǎn)D,E為圓心,大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在AOB內(nèi)交于點(diǎn)F;作射線OF,交邊AC于點(diǎn)G.則點(diǎn)G的坐標(biāo)為 () A.(-1,2)B.(,2)C.(3-,2)D.(-2,2),答案A如圖,設(shè)AC與y軸交于點(diǎn)H. 在AOBC中,ACOB,AHy軸, A(-1,2),AO==, 由作圖知OF平

2、分AOB,AOF=BOF=AGO, AG=AO=,HG=AG-AH=-1, 點(diǎn)G的坐標(biāo)為(-1,2).故選A.,思路分析根據(jù)作圖方法可知OF平分AOB,在AOBC中判定AOG為等腰三角形,用勾股定理可求相關(guān)邊長(zhǎng)度,進(jìn)而求得點(diǎn)G的坐標(biāo).,方法總結(jié)本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、基本作圖、勾股定理,主要載體為一種數(shù)學(xué)模型,如下圖,若存在3個(gè)條件:ABCD,CB平分ACD,AC=AB.取任意兩個(gè)作條件,一定能得出第三個(gè).,2.(2015河南,7,3分)如圖,在ABCD中,用直尺和圓規(guī)作BAD的平分線AG交BC于點(diǎn)E.若BF=6,AB=5,則AE的長(zhǎng)為() A.4B.6C.8D.10,答案C設(shè)AE與BF交

3、于點(diǎn)O.由題可知AF=AB,BAE=FAE,AEBF,OB=BF=3,在Rt AOB中,AO==4. 四邊形ABCD是平行四邊形,ADBC,FAE=BEA, BAE=BEA,AB=BE,AE=2AO=8.故選C.,思路分析在ABCD中作BAD的平分線,得到等腰三角形ABF和等腰三角形BAE,由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求得AE的長(zhǎng).,3.(2014河南,7,3分)如圖,ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,ABAC.若AB=4,AC=6,則BD的長(zhǎng)是() A.8B.9C.10D.11,答案C在ABCD中,AO=CO,BO=DO, AC=6,AO=3, ABAC,在RtABO中,BO===5,

4、 BD=2BO=10,故選C.,4.(2016河南,10,3分)如圖,在ABCD中,BEAB交對(duì)角線AC于點(diǎn)E,若1=20,則2的度數(shù)為.,答案110(或110),解析在ABCD中,ABCD,所以BAC=1=20.又因?yàn)锽EAB,所以ABE=90,故2= BAC+ABE=20+90=110.,考點(diǎn)一多邊形,B組 2014-2018年全國(guó)中考題組,1.(2018北京,5,2分)若正多邊形的一個(gè)外角是60,則該正多邊形的內(nèi)角和為() A.360B.540C.720D.900,答案C由多邊形外角和為360,可知這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為36060=6,由多邊形內(nèi)角和公式可知內(nèi)角和為180(6-2)=720

5、.故選C.,2.(2016北京,4,3分)內(nèi)角和為540的多邊形是(),答案C設(shè)邊數(shù)為n,由多邊形內(nèi)角和公式得(n-2)180=540,解得n=5,所以該多邊形為五邊形,故選C.,3.(2015安徽,8,4分)在四邊形ABCD中,A=B=C,點(diǎn)E在邊AB上,AED=60,則一定有() A.ADE=20B.ADE=30 C.ADE=ADCD.ADE=ADC,答案D由三角形內(nèi)角和等于180,AED=60,可得ADE=120-A,由四邊形內(nèi)角和為360, A=B=C,得ADC=360-3A,所以ADE=ADC,故選D.,評(píng)析本題考查了三角形和四邊形的內(nèi)角和定理,難點(diǎn)在于借助A來判斷ADE和ADC之間

6、的數(shù)量關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.,4.(2018河北,19,6分)如圖1,作BPC平分線的反向延長(zhǎng)線PA,現(xiàn)要分別以APB,APC,BPC為內(nèi)角作正多邊形,且邊長(zhǎng)均為1,將作出的三個(gè)正多邊形填充不同花紋后成為一個(gè)圖案. 例如:若以BPC為內(nèi)角,可作出一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形,此時(shí)BPC=90,而=45是360(多 邊形外角和)的,這樣就恰好可作出兩個(gè)邊長(zhǎng)均為1的正八邊形,填充花紋后得到一個(gè)符合要 求的圖案,如圖2所示. 圖2中的圖案外輪廓周長(zhǎng)是; 在所有符合要求的圖案中選一個(gè)外輪廓周長(zhǎng)最大的定為會(huì)標(biāo),則會(huì)標(biāo)的外輪廓周長(zhǎng)是. 圖1,圖2,答案14;21,解析題圖2中的圖案由兩個(gè)邊長(zhǎng)均為1的

7、正八邊形和1個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成,且三個(gè)正多邊形三邊相連,題圖2中的圖案外輪廓周長(zhǎng)是6+6+2=14.由于三個(gè)正多邊形的邊長(zhǎng)均為1,顯然以APB,APC為內(nèi)角的兩個(gè)正多邊形的邊數(shù)越多(即以BPC為內(nèi)角的正多邊形的邊數(shù)越少),會(huì)標(biāo)的外輪廓周長(zhǎng)越大.當(dāng)以BPC為內(nèi)角的正多邊形為等邊三角形時(shí),會(huì)標(biāo)的外輪廓周長(zhǎng)最大.此時(shí)APB=150,以APB,APC為內(nèi)角的兩個(gè)正多邊形均為正十二邊形,會(huì)標(biāo)的外輪廓周長(zhǎng)為10+10+1=21.,5.(2017福建,15,4分)兩個(gè)完全相同的正五邊形都有一邊在直線l上,且有一個(gè)公共頂點(diǎn)O,其擺放方式如圖所示,則AOB等于度.,答案108,解析如圖,正五邊形中每一個(gè)內(nèi)角

8、都是108, OCD=ODC=180-108=72. COD=36. AOB=360-108-108-36=108.,6.(2017陜西,14,3分)如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,BAD=BCD=90,連接AC,若AC=6,則四邊形ABCD的面積為.,答案18,解析過點(diǎn)A作AEAC交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,易知EAD=CAB.BAD=BCD=90,ADC+ABC=180.又ADE+ADC=180,EDA=CBA,又AD=AB,AED ACB,AE=AC=6,四邊形ABCD的面積等于ACE的面積,故S四邊形ABCD=ACAE=66=18.,一題多解本題也可以用旋轉(zhuǎn)的方法作圖.以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心

9、,把ACB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至 AED的位置,則AEDACB,EDA=B,AE=AC,根據(jù)DAB=DCB=90,得到ADC+ B=180,即EDA+ADC=180,故E,D,C三點(diǎn)在同一條直線上,故ACE是等腰直角三角形,接下來同上.,7.(2016河北,22,9分)已知n邊形的內(nèi)角和=(n-2)180. (1)甲同學(xué)說,能取360;而乙同學(xué)說,也能取630.甲、乙的說法對(duì)嗎?若對(duì),求出邊數(shù)n;若不對(duì),說明理由; (2)若n邊形變?yōu)?n+x)邊形,發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360,用列方程的方法確定x.,解析(1)甲對(duì),乙不對(duì).(2分) =360,(n-2)180=360. 解得n=4.(3分) =630,

10、(n-2)180=630,解得n=. n為整數(shù),不能取630.(5分) (2)依題意,得(n-2)180+360=(n+x-2)180.(7分) 解得x=2.(9分),評(píng)析本題是一道典型的把方程思想與多邊形的內(nèi)角和結(jié)合在一起的題目,解題的關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式,以及隱含的一個(gè)重要條件多邊形的邊數(shù)是不小于3的正整數(shù),另外,還要知道一個(gè)常識(shí)性的結(jié)論:多邊形邊數(shù)每增加1,它的內(nèi)角和增加180.,1.(2018內(nèi)蒙古呼和浩特,8,3分)順次連接平面上A、B、C、D四點(diǎn)得到一個(gè)四邊形,從ABCD;BC=AD;A=C;B=D四個(gè)條件中任取其中兩個(gè),可以得出“四邊形ABCD是平行四邊形”這一結(jié)論的

11、情況共有() A.5種B.4種C.3種D.1種,考點(diǎn)二平行四邊形,答案C能夠得出“四邊形ABCD是平行四邊形”這一結(jié)論的情況有、、,共三種.故選C.,2.(2016河北,13,2分)如圖,將ABCD沿對(duì)角線AC折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)B處.若1=2=44,則B為() A.66B.104C.114D.124,答案C設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)P,由折疊知CAB=CAB,由ABCD,得1=BAB, CAB=CAB=1=22.在ABC中,CAB=22,2=44,B=180-22-44=114.,評(píng)析折疊問題是中考中的常見題目,在解決這類問題時(shí),要抓住折疊前后圖形的變化特征,從某種意義上說,折疊問題其實(shí)就是軸對(duì)稱問

12、題.,3.(2015浙江寧波,7,4分)如圖,ABCD中,E,F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn),如果添加一個(gè)條件,使ABECDF,則添加的條件不能為() A.BE=DFB.BF=DEC.AE=CFD.1=2,答案C四邊形ABCD是平行四邊形,ABCD,AB=CD, ABE=CDF. 若添加BE=DF,則根據(jù)SAS可判定ABECDF; 若添加BF=DE,易得BE=DF,則根據(jù)SAS可判定ABECDF; 若添加AE=CF,則為SSA,不可判定ABECDF; 若添加1=2,則根據(jù)ASA可判定ABECDF. 故選C.,4.(2017四川成都,14,4分)如圖,在平行四邊形ABCD中,按以下步驟作圖:以A為圓心,

13、任意長(zhǎng)為半徑作弧,分別交AB,AD于點(diǎn)M,N;分別以M,N為圓心,以大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交 于點(diǎn)P;作射線AP,交邊CD于點(diǎn)Q,若DQ=2QC,BC=3,則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為.,答案15,解析由作圖知AQ平分DAB,在ABCD中,ABCD,所以DAQ=BAQ=DQA,所以DQ=DA=BC=3.因?yàn)镈Q=2QC,所以DC=4.5.所以平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為2(4.5+3)=15.,5.(2017湖北武漢,13,3分)如圖,在ABCD中,D=100,DAB的平分線AE交DC于點(diǎn)E,連接BE.若AE=AB,則EBC的度數(shù)為.,答案30,解析四邊形ABCD是平行四邊形, BCAD

14、,ABDC,ABC=D, DAB+D=180,D=100, DAB=80,ABC=100. 又DAB的平分線交DC于點(diǎn)E, EAD=EAB=40. AE=AB, ABE=(180-40)=70, EBC=ABC-ABE=100-70=30.,6.(2016內(nèi)蒙古呼和浩特,15,3分)已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A在第三象限,對(duì)角線AC的中點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),一邊AB與x軸平行且AB=2,若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,b),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為.,答案(-a-2,-b)或(-a+2,-b),解析因?yàn)锳Bx軸,A(a,b),且AB=2,所以B的坐標(biāo)為(a+2,b)或(a-2,b),因?yàn)锳BCD是中心對(duì)稱圖形,其對(duì)稱中心

15、與原點(diǎn)重合,所以點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-a-2,-b)或(-a+2,-b).,7.(2018湖北黃岡,20,8分)如圖,在ABCD中,分別以邊BC,CD作等腰BCF,CDE,使BC=BF,CD=DE,CBF=CDE,連接AF,AE. (1)求證:ABFEDA; (2)延長(zhǎng)AB與CF相交于點(diǎn)G.若AFAE,求證:BFBC.,證明(1)四邊形ABCD是平行四邊形,AB=CD=DE,BF=BC=AD,ABC=ADC, 又CBF=CDE,ABF=ADE, 在ABF與EDA中,AB=ED,ABF=EDA,BF=DA, ABFEDA. (2)由(1)知EAD=AFB, GBF=AFB+

16、BAF=EAD+BAF, 易知ADBC,DAG=CBG,AFAE,EAF=90, FBC=FBG+CBG=EAD+FAB+DAG=EAF=90, BFBC.,8.(2016湖南長(zhǎng)沙,22,8分)如圖,AC是ABCD的對(duì)角線,BAC=DAC. (1)求證:AB=BC; (2)若AB=2,AC=2,求ABCD的面積.,解析(1)證明:四邊形ABCD為平行四邊形,ADBC,DAC=BCA,又BAC= DAC,BAC=BCA,AB=BC. (2)連接BD交AC于O,AB=BC,且四邊形ABCD為平行四邊形, 四邊形ABCD為菱形,ACBD,BO2+OA2=AB2, 即BO2+=22,BO=1,BD=2

17、BO=2, SABCD=BDAC=22=2.,9.(2015遼寧沈陽,24,12分)如圖,在ABCD中,AB=6,BC=4,B=60,點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn),點(diǎn)F是邊CD上一點(diǎn),將ABCD沿EF折疊,得到四邊形EFGH,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為H,點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G. (1)當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)C重合時(shí). 填空:點(diǎn)E到CD的距離是; 求證:BCEGCF; 求CEF的面積; (2)當(dāng)點(diǎn)H落在射線BC上,且CH=1時(shí),直線EH與直線CD交于點(diǎn)M,請(qǐng)直接寫出MEF的面積.,解析(1)2. 證明:四邊形ABCD是平行四邊形, AD=BC,D=B,A=BCD, 由折疊可知,AD=CG,D=G,A=ECG, BC=GC,B=G,

18、BCD=ECG, BCE=GCF,BCEGCF. 過點(diǎn)E作EPBC于P, B=60,EPB=90,,BEP=30,BE=2BP. 可設(shè)BP=m,則BE=2m, EP=BEsin 60=2m=m. 由折疊可知,AE=CE. AB=6,AE=CE=6-2m, BC=4,PC=4-m. 在RtECP中, 由勾股定理得(4-m)2+(m)2=(6-2m)2, m=,EC=6-2m=6-2=. BCEGCF,CF=EC=, SCEF=2=. (2)或4.,考點(diǎn)一多邊形,C組 教師專用題組,1.(2018內(nèi)蒙古呼和浩特,3,3分)已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1 080,則這個(gè)多邊形是() A.九邊形B.八邊形

19、 C.七邊形D.六邊形,答案B設(shè)該多邊形的邊數(shù)為n,則由題意可得180(n-2)=1 080,解得n=8.故選B.,2.(2018云南,9,4分)一個(gè)五邊形的內(nèi)角和為() A.540B.450 C.360D.180,答案A由多邊形內(nèi)角和公式,得五邊形的內(nèi)角和為(5-2)180=540.,3.(2017云南,10,4分)若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為900,則這個(gè)多邊形是() A.五邊形B.六邊形 C.七邊形D.八邊形,答案C設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n,由多邊形內(nèi)角和定理得(n-2)180=900,解得n=7,即這個(gè)多邊形為七邊形.故選C.,4.(2017遼寧沈陽,10,2分)正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O,

20、正六邊形的周長(zhǎng)是12,則O的半徑是() A.B.2 C.2D.2,答案B由正六邊形的周長(zhǎng)是12,可得BC=2,連接OB、OC,則BOC==60,所以BOC 為等邊三角形,所以O(shè)B=BC=2,即O的半徑為2,故選B.,5.(2016江蘇南京,5,2分)已知正六邊形的邊長(zhǎng)為2,則它的內(nèi)切圓的半徑為() A.1B. C.2D.2,答案B正六邊形一條邊的兩個(gè)端點(diǎn)與其內(nèi)切圓圓心的連線及這條邊構(gòu)成一個(gè)等邊三角形,正六邊形的內(nèi)切圓半徑即為這個(gè)等邊三角形的高,所以內(nèi)切圓半徑=2sin 60=,故選B.,6.(2016四川南充,10,3分)如圖,正五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)為2,連接對(duì)角線AD,BE,CE,線段AD

21、分別與BE和CE相交于點(diǎn)M,N.給出下列結(jié)論: AME=108;AN2=AMAD;MN=3-;SEBC=2-1.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是() A.1B.2C.3D.4,答案C如圖,五邊形ABCDE是正五邊形,AB=EA=DE,EAB=DEA=108,EABDEA,AEB=EDA,AME=MED+EDA,AME=MED+AEB=DEA=108,故正確; 易得1=2=4=5=36,3=36,6=AEN=72,AE=AN,1=1,AED=AME=108,AEMADE,=,AE2=AMAD,AN2=AMAD,故正確; 設(shè)AM=x,則AD=AM+MD=x+2,由得22=x(x+2),解得x1=-1,x2=-

22、-1(不合題意,舍去),AD= -1+2=+1,MN=AN-AM=3-,故正確; 作EHBC于點(diǎn)H,則BH=BC=1,EB=AD=+1,EH==,SEBC=BCEH =2=,故錯(cuò)誤.故選C.,評(píng)析本題考查了正五邊形的性質(zhì)、相似多邊形的判定及性質(zhì)、勾股定理等知識(shí).,7.(2014河北,15,3分)如圖,邊長(zhǎng)為a的正六邊形內(nèi)有兩個(gè)三角形(數(shù)據(jù)如圖),則=() A.3B.4C.5D.6,答案C解法一:正六邊形是由6個(gè)邊長(zhǎng)為a的正三角形組成的,S正六邊形=aa6=a2.S 空白=aa2=a2.所以S陰影=a2-a2=a2.S陰影S空白=5,故選C. 解法二:正六邊形是由6個(gè)邊長(zhǎng)為a的正三角形組成的,而

23、題圖中兩個(gè)三角形可拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正三角形,所以==5.故選C.,8.(2017上海,18,4分)我們規(guī)定:一個(gè)正n邊形(n為整數(shù),n4)的最短對(duì)角線與最長(zhǎng)對(duì)角線長(zhǎng)度的比值叫做這個(gè)正n邊形的“特征值”,記為n,那么6=.,答案,解析如圖,在正六邊形ABCDEF中,AD為最長(zhǎng)對(duì)角線,AE為最短對(duì)角線,可求得EAD=30,AED=90,=cos 30=,6=.,思路分析確定最長(zhǎng)及最短對(duì)角線,構(gòu)造直角三角形,利用銳角三角函數(shù)求,即6.,一題多解如圖,設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1,可求得AE=,AD=2,=,即6=.,9.(2015天津,17,3分)如圖,在正六邊形ABCDEF中,連接對(duì)角線AC

24、,BD,CE,DF,EA,FB,可以得到一個(gè)六角星.記這些對(duì)角線的交點(diǎn)分別為H,I,J,K,L,M,則圖中等邊三角形共有個(gè).,答案8,解析題圖中的等邊三角形可分為兩大類:第一類:分別以B,A,F,E,D,C為頂點(diǎn)的小等邊三角形,有BHM,AML,FLK,EKJ,DJI,CIH,共6個(gè); 第二類:分別以B,F,D和A,C,E為頂點(diǎn)的大等邊三角形,有BFD和ACE,共2個(gè). 故題圖中等邊三角形共有6+2=8(個(gè)).,10.(2015浙江杭州,16,4分)如圖,在四邊形紙片ABCD中,AB=BC,AD=CD,A=C=90,B=150.將紙片先沿直線BD對(duì)折,再將對(duì)折后的圖形沿從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的直線裁剪

25、,剪開后的圖形打開鋪平.若鋪平后的圖形中有一個(gè)是面積為2的平行四邊形,則CD=.,答案2+4或2+,解析四邊形紙片ABCD中,A=C=90,B=150,D=30.根據(jù)題意對(duì)折、裁剪、鋪平后有兩種情況得到平行四邊形:如圖1,剪痕BM、BN,過點(diǎn)N作NHBM于點(diǎn)H,易證四邊形BMDN為菱形,且MBN=D=30.設(shè)BN=DN=x,則NH=x.根據(jù)題意,得xx=2x=2(負(fù)值舍 去),BN=DN=2,NH=1.易證四邊形BHNC是矩形,BC=NH=1.在RtBCN中,CN=.CD= 2+. 圖1 如圖2,剪痕AE、CE,過點(diǎn)B作BHCE于點(diǎn)H,易證四邊形BAEC是菱形,且BC

26、H=30.設(shè)BC=CE,=x,則BH=x.根據(jù)題意,得xx=2x=2(負(fù)值舍去),BC=CE=2,BH=1.在RtBCH中,CH= ,EH=2-.易證BCDEHB,=,即=.CD==4+ 2. 綜上所述,CD=2+或4+2.,圖2,評(píng)析本題主要考查剪紙問題,多邊形內(nèi)角和定理,軸對(duì)稱的性質(zhì),菱形、矩形的判定和性質(zhì),含30度角的直角三角形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),分類思想和方程思想的應(yīng)用.,11.(2018江西,15,6分)如圖,在四邊形ABCD中,ABCD,AB=2CD,E為AB的中點(diǎn).請(qǐng)僅用分別按下列要求畫圖(保留畫圖痕跡). (1)在圖1中,畫出ABD的BD邊上的中線; (2)在圖2中

27、,若BA=BD,畫出ABD的AD邊上的高.,解析畫法如圖. (1)AF即為所求. (2)BF即為所求.,思路分析(1)(見答案第一個(gè)圖)連接EC,通過判斷四邊形BEDC是平行四邊形得出EC和BD的交點(diǎn)F為線段BD的中點(diǎn),進(jìn)而畫出所求; (2)(見答案第二個(gè)圖)連接EC,ED,連接點(diǎn)A與EC和BD的交點(diǎn),利用三角形重心的性質(zhì)及等腰三角形三線合一的知識(shí)畫出ABD的AD邊上的高.,解題關(guān)鍵本題考查復(fù)雜作圖,解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和三角形的重心及等腰三角形三線合一等知識(shí)解決問題.,12.(2017江西,16,6分)如圖,已知正七邊形ABCDEFG,請(qǐng),分別按下列要求畫 圖. (1)在圖1

28、中,畫出一個(gè)以AB為邊的平行四邊形; (2)在圖2中,畫出一個(gè)以AF為邊的菱形.,解析(1)如圖.(畫法有多種,正確畫出一種即可,以下幾種畫法僅供參考),(3分),(2)如圖.(畫法有兩種,正確畫出其中一種即可),(6分),13.(2015浙江溫州,20,8分)各頂點(diǎn)都在方格紙格點(diǎn)(橫豎格子線的交錯(cuò)點(diǎn))上的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形.如何計(jì)算它的面積?奧地利數(shù)學(xué)家皮克(G.Pick,18591942)證明了格點(diǎn)多邊形的面積公式:S=a+b-1,其中a表示多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù),b表示多邊形邊界上的格點(diǎn)數(shù),S表示多邊形的 面積.如圖1,a=4,b=6,S=4+6-1=6. (1)請(qǐng)?jiān)趫D2中畫一個(gè)格點(diǎn)正方形

29、,使它的內(nèi)部只含有4個(gè)格點(diǎn),并寫出它的面積; (2)請(qǐng)?jiān)趫D3中畫一個(gè)格點(diǎn)三角形,使它的面積為,且每條邊上除頂點(diǎn)外無其他格點(diǎn). 圖1,圖2 圖3,解析(1)畫法不唯一,如圖或圖. (2)畫法不唯一,如圖,圖等.,14.(2014安徽,23,14分)如圖1,正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為a,P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn),過P作PMAB交AF于M,作PNCD交DE于N. (1)MPN=; 求證:PM+PN=3a; (2)如圖2,點(diǎn)O是AD的中點(diǎn),連接OM、ON.求證:OM=ON; (3)如圖3,點(diǎn)O是AD的中點(diǎn),OG平分MON,判斷四邊形OMGN是不是特殊四邊形,并說明理由.

30、 圖1,圖2 圖3,解析(1)60.(2分) 證明:如圖1,連接BE交MP于H點(diǎn). 在正六邊形ABCDEF中,PNCD,又BECDAF,所以BE PNAF.又PMAB,所以四邊形AMHB、四邊形HENP為平行四邊形,BPH為等邊三角形. 所以PM+PN=MH+HP+PN=AB+BH+HE=AB+BE=3a.(5分) 圖1 (2)證明:如圖2,連接BE,由(1)知AM=EN. 又AO=EO,MAO=NEO=60, 所以MAONEO.所以O(shè)M=ON.(9分),圖2 (3)四邊形OMGN是菱形.理由如下: 如圖3,連接OE、OF,由(2)知MOA=

31、NOE. 因?yàn)锳OE=120, 所以MON=AOE-MOA+NOE=120.(11分) 由于OG平分MON,所以MOG=60,又FOA=60, 所以MOA=GOF. 又AO=FO,MAO=GFO=60, 所以MAOGFO.所以MO=GO.,又MOG=60,所以MGO為等邊三角形. 同理可證NGO為等邊三角形,所以四邊形OMGN為菱形.(14分) 圖3,評(píng)析本題是一道綜合題,解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)刈鞒鲚o助線,根據(jù)三角形全等找出相等的線段,屬難題.,1.(2015黑龍江哈爾濱,7,3分)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上,連接EF,分別交AD,CD

32、于點(diǎn)G,H,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是() A.=B.= C.=D.=,考點(diǎn)二平行四邊形,答案C四邊形ABCD是平行四邊形,ADBC, EAGEBF, =,A中結(jié)論正確, ABCD,GEAGHD, =,B中結(jié)論正確, ABCD,=, 又BC=AD,=,D中結(jié)論正確.故選C.,2.(2014山東濟(jì)南,10,3分)如圖,在ABCD中,延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E,使BE=AB,連接DE交BC于點(diǎn)F,則下列結(jié)論的是() A.E=CDFB.EF=DF C.AD=2BFD.BE=2CF,答案DCDBE,E=CDF,又BE=AB=CD,BFE=CFD,BEFCDF,EF=DF.BE=AB,ADBF,AD=2BF,故A、B、C選

33、項(xiàng)均正確,只有D選項(xiàng)不一定正確.故選D.,3.(2018陜西,14,3分)如圖,點(diǎn)O是ABCD的對(duì)稱中心,ADAB,E、F是AB邊上的點(diǎn),且EF=AB; G、H是BC邊上的點(diǎn),且GH=BC.若S1,S2分別表示EOF和GOH的面積,則S1與S2之間的等 量關(guān)系是.,答案2S1=3S2,解析如圖,連接AC,BD,交點(diǎn)為O,四邊形ABCD為平行四邊形,AO=OC,SABO=SOBC,EF=AB, S1=SABO,GH=BC,S2=SOBC,所以2S1=3S2.,4.(2017內(nèi)蒙古呼和浩特,15,3分)如圖,在ABCD中,B=30,AB=AC,O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn),過點(diǎn)O作AC的垂線分別交邊AD,

34、BC于點(diǎn)E,F;點(diǎn)M是邊AB的一個(gè)三等分點(diǎn).則AOE與BMF的面積比為.,答案34,解析如圖,過點(diǎn)M作MPBC于點(diǎn)P,過點(diǎn)A作AQBC于點(diǎn)Q, 在平行四邊形ABCD中,O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn), AOECOF. B=30,AB=AC, ACB=B=30. ACEF, 在RtOFC中,設(shè)OF=x,則OC=x,FC=2x. SAOE=SOFC=OFOC=x2. AB=AC=2OC=2x, 在RtABQ中,BQ=3x,,BC=6x. BF=4x. 點(diǎn)M是邊AB的一個(gè)三等分點(diǎn), MB=x. 在RtBMP中,MP=MB=x, SBMF=BFMP=x2. SAOESBMF=34.,5.(2016寧夏,13,3

35、分)在平行四邊形ABCD中,BAD的平分線AE交BC于點(diǎn)E,且BE=3,若平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是16,則EC等于.,答案2,解析在ABCD中,ADBC,DAE=AEB.AE平分BAD,BAE=DAE,BAE=AEB.AB=BE=3.BC=(16-2AB)=5.EC=BC-BE=2.,6.(2015山東臨沂,17,3分)如圖,在ABCD中,連接BD,ADBD,AB=4,sin A=,則ABCD的面 積是.,答案3,解析四邊形ABCD為平行四邊形,且ADBD,RtABDRtCDB.在RtABD中,AB=4,sin A==,BD=3,AD===,SRtABD=ADBD=,于是SABCD=2 SR

36、tABD=2=3.,7.(2014福建福州,14,4分)如圖,在ABCD中,DE平分ADC,AD=6,BE=2,則ABCD的周長(zhǎng)是.,答案20,解析四邊形ABCD是平行四邊形,AD=6,BE=2, BC=AD=6,EC=4. 又DE平分ADC,ADE=EDC. ADBC,ADE=DEC, DEC=EDC.CD=EC=4. ABCD的周長(zhǎng)是2(6+4)=20.,評(píng)析本題考查平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定,屬中等難度題.,8.(2018福建,18,8分)如圖,ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,EF過點(diǎn)O且與AD,BC分別相交于點(diǎn)E,F.求證:OE=OF.,證明四邊形ABCD是平行四邊形,

37、OD=OB,ADBC, ODE=OBF. 又DOE=BOF, DOEBOF, OE=OF.,解后反思本題考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí).,9.(2018重慶,24,10分)如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn),點(diǎn)E是BC上一點(diǎn),且AB=AE,連接EO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F.過點(diǎn)B作AE的垂線,垂足為H,交AC于點(diǎn)G. (1)若AH=3,HE=1,求ABE的面積; (2)若ACB=45,求證:DF=CG.,解析(1)AH=3,HE=1,AB=AE, AB=AE=AH+HE=4. BGAE, AHB=90. AB2=AH2+BH2. BH===.

38、SABE=AEBH=4=2.(4分) (2)證明:四邊形ABCD為平行四邊形, ADBC,AD=BC,FAO=ECO. 點(diǎn)O為AC的中點(diǎn),AO=CO. 在AOF和COE中, FAO=ECO,AO=CO,AOF=COE, AOFCOE, AF=CE.,DF=BE.(6分) 如圖,過點(diǎn)A作AMBC交BC于點(diǎn)M,交BG于點(diǎn)Q,過點(diǎn)G作GNBC交BC于點(diǎn)N. AMB=AME=GNC=GNB=90. AHB=AMB. AQH=BQM,QAH=GBN. AB=AE,AMBE, BAM=QAH,BM=ME. BAM=QAH=GBN.,ACB=45,AMBE,CAM=ACB=45. BAG=45+BAM,BG

39、A=45+GBN, BAG=BGA. AB=GB. AB=AE,AE=BG. 在AME和BNG中, AME=BNG,EAM=GBN,AE=BG, AMEBNG. ME=NG. BE=2ME=2NG. 在RtGNC中,GCN=45,CG=NG. CG=2NG,即BE=2NG=CG. DF=BE=CG.(10分),思路分析(1)根據(jù)勾股定理求出BH的長(zhǎng),進(jìn)而利用三角形的面積公式求得ABE的面積;(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形可得BE=DF.過點(diǎn)A作AMBC,過點(diǎn)G作GNBC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BAM=QAH,BM=ME=BE,通過求證BAM=GBN,可得BAG= BGA,進(jìn)而可得AB=

40、AE=BG,利用AMEBNG,得出NG=ME=BE,最后利用CG=NG得出 DF=BE=CG.,方法指導(dǎo)對(duì)于以特殊四邊形為背景的全等三角形的判定,一般都是通過特殊四邊形的性質(zhì)找出證全等所需要的邊或角的相等關(guān)系,從而進(jìn)行證明.,10.(2016陜西,19,7分)如圖,在ABCD中,連接BD,在BD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,在DB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F,使BF=DE,連接AF、CE.求證:AFCE.,證明如圖,四邊形ABCD是平行四邊形, ADBC,AD=BC. 1=2.(2分) 又BF=DE, BF+BD=DE+BD.DF=BE.(4分) ADFCBE.(5分) AFD=CEB. AFCE.(7分),11

41、.(2016山東青島,21,8分)已知:如圖,在ABCD中,E,F分別是邊AD,BC上的點(diǎn),且AE=CF,直線EF分別交BA的延長(zhǎng)線、DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,H,交BD于點(diǎn)O. (1)求證:ABECDF; (2)連接DG,若DG=BG,則四邊形BEDF是什么特殊四邊形?請(qǐng)說明理由.,解析(1)證明:四邊形ABCD是平行四邊形, AB=CD,BAD=DCB. 又AE=CF, ABECDF.(4分) (2)菱形. 四邊形ABCD是平行四邊形, ADBC,AD=BC, AE=CF, AD-AE=BC-CF,即ED=BF, 四邊形BEDF是平行四邊形, OB=OD. 又DG=BG,OGBD. BEDF是菱

42、形.(8分),12.(2016江蘇南京,24,7分)如圖,在ABCD中,E是AD上一點(diǎn),延長(zhǎng)CE到點(diǎn)F,使FBC=DCE. (1)求證:D=F; (2)用直尺和圓規(guī)在AD上作出一點(diǎn)P,使BPCCDP(保留作圖的痕跡,不寫作法).,解析(1)證明:四邊形ABCD是平行四邊形, ADBC. CED=BCF. CED+DCE+D=180,BCF+FBC+F=180, D=180-CED-DCE,F=180-BCF-FBC. 又DCE=FBC,D=F.(4分) (2),圖中P就是所求作的點(diǎn).(7分),13.(2016北京,19,5分)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,AE平分BAD,交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

43、E.求證:DA=DE.,證明四邊形ABCD為平行四邊形, ABCD,BAE=E. AE平分BAD,BAE=DAE. E=DAE,DA=DE.,14.(2016吉林,19,7分)圖,圖都是88的正方形網(wǎng)格,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,在每個(gè)正方形網(wǎng)格中標(biāo)注了6個(gè)格點(diǎn),這6個(gè)格點(diǎn)簡(jiǎn)稱為標(biāo)注點(diǎn). (1)請(qǐng)?jiān)趫D,圖中,以4個(gè)標(biāo)注點(diǎn)為頂點(diǎn),各畫一個(gè)平行四邊形(兩個(gè)平行四邊形不全等); (2)圖中所畫的平行四邊形的面積為.,解析(1)本題答案不唯一,以下答案供參考. (3分),(5分) 友情提示:圖中所畫的平行四邊形與圖中所畫的平行四邊形全等,圖不給分. (2)6.(7分),15

44、.(2015河北,22,10分)嘉淇同學(xué)要證明命題“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”是正確的,她先用尺規(guī)作出了如圖的四邊形ABCD,并寫出了如下不完整的已知和求證.,已知:如圖,在四邊形ABCD中, BC=AD, AB=. 求證:四邊形ABCD是四邊形. (1)在方框中填空,以補(bǔ)全已知和求證; (2)按嘉淇的想法寫出證明;,,(3)用文字?jǐn)⑹鏊C命題的逆命題為.,證明:,解析(1)CD.(1分) 平行.(2分) (2)證明:連接BD.(3分) 在ABD和CDB中, AB=CD,AD=CB,BD=DB, ABDCDB.(5分) 1=2,3=4, ABCD,ADCB.(7分) 四邊形ABCD

45、是平行四邊形.(8分) (3)平行四邊形的對(duì)邊相等.(10分),16.(2015上海,23,12分)已知:如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上,且OE=OB,連接DE. (1)求證:DEBE; (2)如果OECD,求證:BDCE=CDDE.,證明(1)OE=OB,OBE=OEB. 平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O, OB=OD. OE=OD.ODE=OED. 在BDE中,OBE+OEB+OED+ODE=180, BED=90,即DEBE. (2)OECD,CDE+DEO=90. 又CEO+DEO=90, CDE=CEO. OBE=OEB,OBE=CDE. BE

46、D=DEC,DBECDE. =. BDCE=CDDE.,17.(2015黑龍江哈爾濱,24,8分)如圖1,ABCD中,點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn),EF過點(diǎn)O,與AD,BC分別相交于點(diǎn)E,F,GH過點(diǎn)O,與AB,CD分別相交于點(diǎn)G,H,連接EG,FG,FH,EH. (1)求證:四邊形EGFH是平行四邊形; (2)如圖2,若EFAB,GHBC,在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)直接寫出圖2中與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形(四邊形AGHD除外).,解析(1)證明:四邊形ABCD為平行四邊形, ADBC,EAO=FCO.(1分) OA=OC,AOE=COF, OAEOCF,OE=OF,(2分) 同理

47、,OG=OH.(3分) 四邊形EGFH是平行四邊形.(4分) (2)GBCH,ABFE,EFCD,EGFH(答對(duì)一個(gè)給1分).(8分),考點(diǎn)一多邊形 1.(2018鎮(zhèn)平一模,5)如圖,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O,半徑為4,則這個(gè)正六邊形的邊心距OM的長(zhǎng)為() A.2B.2 C.D.4,三年模擬,A組 20162018年模擬基礎(chǔ)題組,答案B如圖所示,連接OB,OC, 多邊形ABCDEF是正六邊形,BOC=60. OB=OC,BOC是等邊三角形,OBM=60. OM=OBsinOBM=4=2.故選B.,2.(2016開封一模,12)若正多邊形的一個(gè)外角是72,則這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)是.,答

48、案540,解析這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為36072=5,則這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為(5-2)180=540.,3.(2017河北邯鄲一模,22)已知n邊形的對(duì)角線共有條(n是不小于3的整數(shù)). (1)五邊形的對(duì)角線共有條; (2)若n邊形的對(duì)角線共有35條,求邊數(shù)n; (3)若n邊形的邊數(shù)增加1,對(duì)角線總數(shù)增加9,求邊數(shù)n.,解析(1)5. (2)由題意,得=35, 整理,得n2-3n-70=0, 解得n1=10,n2=-7(舍去). 邊數(shù)n為10. (3)由題意,得+9=, 整理,得2n=20, 解得n=10. 邊數(shù)n為10.,1.(2018西華一模,9)如圖,ABC中,ABC=BAC,D是AB的中

49、點(diǎn),ECAB,DEBC,AC與DE交于點(diǎn)O.下列結(jié)論中,不一定成立的是() A.AC=DEB.AB=AC C.AD=ECD.OA=OE,考點(diǎn)二平行四邊形,答案B ECAB,DEBC, 四邊形BDEC是平行四邊形, BD=CE,B=E. 又ABC=BAC, CEO=DAO. 又D是AB的中點(diǎn), AD=BD,AD=CE, AODEOC, AD=CE,OA=OE. BC=DE,BC=AC, AC=DE. 而AB=AC無法證得.故選B.,2.(2017鄭州一模,6)如圖,已知ABC中,ACB=90,BC=3,AC=4,小紅按如下步驟作圖:分別以A,C為圓心,大于AC的長(zhǎng)為半徑在AC兩側(cè)作弧,交于兩點(diǎn)M

50、,N;連接MN,分別交AB,AC于 點(diǎn)D,O;過C作CEAB交MN于點(diǎn)E,連接AE,CD.則四邊形ADCE的周長(zhǎng)為() A.10B.20C.12D.24,答案A在RtABC中,ACB=90,AB==5,由作圖知MN垂直平分AC,則ED CB,DC=AB=,又CEAB,易得四邊形ADCE為平行四邊形,所以四邊形ADCE的周長(zhǎng)為4= 10,故選A.,3.(2016洛陽一模,11)如圖,在ABCD中,點(diǎn)E在BC邊上,且AEBC于點(diǎn)E,DE平分CDA,若BEEC=12,則BCD的度數(shù)為.,答案120,解析在ABCD中,ADBC,ADE=CED. DE平分CDA,ADE=CDE. CED=CDE,CE=

51、CD,設(shè)BE=x,則EC=CD=AB=2x,在RtABE中,cos B==,B=60, C=180-B=120.,1.(2018駐馬店一模,5)如圖,在平行四邊形ABCD中,用直尺和圓規(guī)作BAD的平分線AG交BC于點(diǎn)F,若BE=6,AB=5,則AF的長(zhǎng)為() A.4B.6C.8D.10,B組20162018年模擬提升題組 (時(shí)間:20分鐘分值:24分),一、選擇題（共3分）,答案C如圖,設(shè)AF與BE交于點(diǎn)H. AF平分BAD,ADBC, BAF=DAF=AFB, AB=BF. AE=AB,AH=AH, ABHAEH, AHB=AHE=90,ABH=AEH=FBH,BH=HE=3, RtABH中

52、,AH==4, AF=2AH=8.故選C.,思路分析本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì),先判定ABHAEH,得出AHB=AHE=90,ABH=AEH=FBH,BH=HE=3,再根據(jù)勾股定理可得AH的長(zhǎng),進(jìn)而得出AF的長(zhǎng).,2.(2018沈丘一模,12)如圖,在ABCD中,點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn),AC垂直于BC,且AB=10 cm,AD=8 cm,則OB=cm.,二、填空題(每小題3分,共12分),答案,解析四邊形ABCD是平行四邊形, BC=AD=8 cm,OB=OD,OA=OC. ACBC, AC===6(cm). OC=AC=3 cm. OB===(cm).,思路

53、分析本題考查平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理,在ABCD中,根據(jù)勾股定理求出AC,得出OC,再由勾股定理求出OB.,3.(2017焦作一模,12)如圖,在ABCD中,DB=DC,C=58,AEBD于E,則DAE=度.,答案32,解析DB=DC,DBC=C=58. 在ABCD中,ADBC,ADE=DBC=58, AEBD, DAE=90-ADE=32.,4.(2017鄭州二模,13)如圖,在平行四邊形ABCD中,連接AC,按以下步驟作圖,分別以點(diǎn)A,C為圓心,以大于AC的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧分別相交于點(diǎn)M,N,作直線MN交CD于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F.若 AB=5,BC=3,則ADE的周長(zhǎng)為.,答案8,解析

54、由作圖知MN垂直平分AC,所以AE=CE. 在ABCD中,AD=BC=3,CD=AB=5, 所以CADE=AD+AE+DE=AD+CE+DE=AD+CD=8.,思路分析根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得CD=AB,AD=BC,由MN垂直平分AC得AE=CE,從而求得ADE的周長(zhǎng).,5.(2016許昌一模,10)如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AC與BD相交于點(diǎn)O,E為OD的中點(diǎn),連接AE交DC于點(diǎn)F,若DF=2,則FC=.,答案4,解析在ABCD中,ABDC,ABEFDE, =,E是OD的中點(diǎn),BO=DO,BE=3DE,==.AB=3DF=6,FC=DC-DF= AB-DF=4.,思路分析根據(jù)平行四邊形

55、的性質(zhì)判定ABEFDE,利用相似的性質(zhì)求得AB的長(zhǎng),再求FC的長(zhǎng).,6.(2016新鄉(xiāng)二模,17)如圖,AC是ABCD的一條對(duì)角線,過AC的中點(diǎn)O的直線分別交AD,BC于點(diǎn)E,F. (1)求證:AE=CF; (2)連接AF,CE. 當(dāng)EF和AC滿足條件:時(shí),四邊形AFCE是菱形; 若AB=1,BC=2,B=60,則當(dāng)四邊形AFCE為矩形時(shí),EF的長(zhǎng)是.,二、解答題(共9分),解析(1)證明:在ABCD中,ADBC,EAO=FCO,AEO=CFO. 又AO=CO,AOECOF.AE=CF.(5分) (2)EFAC.(7分) .(9分),思路分析(1)根據(jù)AAS判定AOECOF,得出AE=CF;(2)由菱形的判定定理知,當(dāng)EFAC時(shí),四邊形AFCE為菱形.若AFBC,則四邊形AFCE是矩形,此時(shí)EF=AC,求得AC的長(zhǎng)即可.,解題關(guān)鍵掌握平行四邊形以及特殊的平行四邊形的性質(zhì)及判定是本題的關(guān)鍵.,