（浙江專用）2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第六章 空間與圖形 6.3 圖形的相似（試卷部分）課件.ppt

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1、第六章 空間與圖形 6.3圖形的相似,中考數(shù)學(xué) (浙江專用),1.(2017杭州,3,3分)如圖,在ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,DEBC.若BD=2AD,則() A.=B.= C.=D.=,考點(diǎn)一 相似的有關(guān)概念及性質(zhì),A組 2014-2018年浙江中考題組,五年中考,答案B利用平行線分線段成比例可得==,此題選B.,2.(2016杭州,2,3分)如圖,已知直線abc,直線m分別交直線a,b,c于點(diǎn)A,B,C;直線n分別交直線a,b,c于點(diǎn)D,E,F.若=,則=() A.B.C.D.1,答案Babc,=,又=,=,故選B.,關(guān)鍵提示本題考查平行線分線段成比例,關(guān)鍵是找準(zhǔn)對應(yīng)線段.,

2、3.(2015嘉興、舟山,5,3分)如圖,直線l1l2l3,直線AC分別交l1,l2,l3于點(diǎn)A,B,C;直線DF分別交l1,l2,l3于點(diǎn)D,E,F.AC與DF相交于點(diǎn)G,且AG=2,GB=1,BC=5,則的值為() A.B.2C.D.,答案D==,故選D.,4.(2014寧波,8,4分)如圖,梯形ABCD中,ADBC,B=ACD=90,AB=2,DC=3,則ABC與DCA的面積比為() A.23B.25C.49D.,答案CADBC,ACB=DAC. 又B=ACD=90,CBAACD, ==.又AB=2,DC=3, ==.故選C.,評析本題主要考查了三角形相似的判定及性質(zhì).,5.(2015金

3、華,14,4分)如圖,直線l1,l2,,l6是一組等距離的平行線,過直線l1上的點(diǎn)A作兩條射線,分別與直線l3,l6相交于點(diǎn)B,E,C,F.若BC=2,則EF的長是.,答案5,解析直線l1,l2,,l6是一組等距離的平行線, =,即=. 又l3l6,ABCAEF. ==. BC=2,=EF=5.,6.(2015杭州,22,12分)如圖,在ABC中(BCAC),ACB=90,點(diǎn)D在AB邊上,DEAC于點(diǎn)E. (1)若=,AE=2,求EC的長; (2)設(shè)點(diǎn)F在線段EC上,點(diǎn)G在射線CB上,以F,C,G為頂點(diǎn)的三角形與EDC有一個(gè)銳角相等,FG交CD于點(diǎn)P.問:線段CP可能是CFG的高還是中線?或兩

4、者都有可能?請說明理由.,解析(1)因?yàn)锳CB=90,DEAC, 所以DEBC, 所以=. 因?yàn)?,AE=2,所以=, 解得EC=6. (2)如圖,若CFG1=ECD, 則線段CP1為RtCFG1的FG1邊上的中線. 證明:因?yàn)镃FG1=ECD, 所以CFG1=FCP1, 又因?yàn)镃FG1+CG1F=90,FCP1+P1CG1=90, 所以CG1F=P1CG1. 所以CP1=G1P1. 又因?yàn)镃FG1=FCP1, 所以CP1=FP1,,所以CP1=FP1=G1P1, 所以線段CP1為RtCFG1的FG1邊上的中線. 若CFG2=EDC, 則線段CP2為RtCFG2的FG2邊上的高. 證明:因?yàn)镈

5、EAC, 所以DEC=90, 所以EDC+ECD=90, 因?yàn)镃FG2=EDC,,所以ECD+CFG2=ECD+EDC=90, 所以CP2FG2, 即CP2為RtCFG2的FG2邊上的高. 當(dāng)CD為ACB的平分線時(shí),CP既是CFG的FG邊上的高又是中線 .,評析本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)、直角三角形兩銳角的關(guān)系、等腰三角形的判定、分類討論思想的應(yīng)用,有一定的難度.分類討論時(shí)比較容易遺漏某種情況.,1.(2017杭州,15,4分)如圖,在RtABC中,BAC=90,AB=15,AC=20,點(diǎn)D在邊AC上,AD=5,DEBC于點(diǎn)E,連接AE,則ABE的面積等于.,考點(diǎn)二 相似圖形的判定

6、,答案78,解析DEBC, BAC=DEC,又C=C, ABCEDC,=, 在RtBAC中,AC=20,AB=15, BC==25, 又AD=5,CD=15,EC==12,BE=13, SABE=SABC=1520=78.,思路分析ABC的面積是很容易求出來的,只要知道BE與BC的比值即可解決問題,又BC容易求得,故將問題轉(zhuǎn)化為求BE的長度,由ABCEDC可得=,從而求出EC,由此即可 得出BE.,2.(2016嘉興,15,5分)如圖,已知ABC和DEC的面積相等,點(diǎn)E在BC邊上,DEAB交AC于點(diǎn)F,AB=12,EF=9,則DF的長是.,答案7,解析作AGBC于點(diǎn)G,DHBC于點(diǎn)H, DEA

7、B,ABCFEC,==, 即=,又SABC=SDEC, 即BCAG=ECDH, =,=,ABDE,B=DEH, AGBC,DHBC,AGB=DHE=90, ABGDEH, ==,=,即DE=16, FD=DE-FE=16-9=7.,思路分析作兩三角形的高,利用面積相等及平行的條件列式求出DE長,進(jìn)而可得DF的長.,3.(2018杭州,19,8分)如圖,在ABC中,AB=AC,AD為BC邊上的中線,DEAB于點(diǎn)E. (1)求證:BDECAD; (2)若AB=13,BC=10,求線段DE的長.,解析(1)證明:AB=AC,B=C, 又AD為BC邊上的中線,ADBC, DEAB, DEB=ADC=9

8、0, BDECAD. (2)易知BD=BC=5, 在RtADB中,AD===12, 由(1)易得=,=, DE=.,思路分析(1)由等腰三角形的性質(zhì),得B=C,ADBC,因?yàn)镈EAB,所以DEB=ADC,根據(jù)相似三角形的判定定理,即可解決問題. (2)利用勾股定理求出AD,再利用(1)的結(jié)論列式求解.,解題關(guān)鍵本題考查相似三角形的判定定理和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識并靈活應(yīng)用.,4.(2017杭州,19,8分)如圖,在銳角三角形ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AC,AB上,AGBC于點(diǎn)G,AFDE于點(diǎn)F,EAF=GAC. (1)求證:ADEABC; (2)若AD=3,

9、AB=5,求的值.,解析(1)證明:因?yàn)锳FDE,AGBC, 所以AFE=90,AGC=90, 所以AEF=90-EAF,C=90-GAC, 又因?yàn)镋AF=GAC, 所以AEF=C, 又因?yàn)镈AE=BAC, 所以ADEABC. (2)因?yàn)锳DEABC, 所以ADE=B, 又因?yàn)锳FD=AGB=90, 所以AFDAGB, 所以=, 又因?yàn)锳D=3,AB=5, 所以=.,5.(2015麗水,23,10分)如圖,在矩形ABCD中,E為CD的中點(diǎn),F為BE上的一點(diǎn),連接CF并延長交AB于點(diǎn)M,MNCM交射線AD于點(diǎn)N. (1)當(dāng)F為BE中點(diǎn)時(shí),求證:AM=CE; (2)若==2,求的值; (3)若==

10、n,當(dāng)n為何值時(shí),MNBE?,解析(1)證明:F為BE中點(diǎn),BF=EF. ABCD,MBF=CEF,BMF=ECF. BMFECF(AAS).MB=CE. AB=CD,CE=DE,MB=AM.AM=CE. (2)設(shè)MB=a,ABCD,BMFECF. =2,=2.CE=2a. AB=CD=2CE=4a,AM=AB-MB=3a. =2,BC=AD=2a. MNMC,A=ABC=90,AMNBCM. =,即=.AN=a,ND=2a-a=a. =aa=3. (3)解法一:==n,設(shè)MB=a,與(2)同理可得CE=na,AM=(2n-1)a,BC=2a, 由AMNBCM,得AN=(2n-1)a,DN=,

11、,DHAM,=,DH=(2n-5)a,HE=(5-n)a. 當(dāng)MNBE時(shí),四邊形MBEH是平行四邊形, (5-n)a=a,n=4. 當(dāng)n=4時(shí),MNBE. 解法二:==n,設(shè)MB=a,與(2)同理可得CE=na,BC=2a, 當(dāng)MNBE時(shí),CMBE,可證MBCBCE,=. =,n=4. 當(dāng)n=4時(shí),MNBE.,思路分析(1)所證結(jié)論是相等關(guān)系,考慮證三角形全等. (2)設(shè)MB=a,利用相似三角形將AN,ND用含a的式子表示出來,進(jìn)而得比值. (3)類比(2)求解.,評析本題是探究型問題,考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì).,6.(2014麗水、衢州,23,10分)

12、提出問題: (1)如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,H分別在BC,AB上,若AEDH于點(diǎn)O,求證:AE=DH; 類比探究: (2)如圖2,在正方形ABCD中,點(diǎn)H,E,G,F分別在AB,BC,CD,DA上,若EFHG于點(diǎn)O,探究線段EF與HG的數(shù)量關(guān)系,并說明理由; 綜合運(yùn)用: (3)在第(2)問條件下,HFGE,如圖3所示,已知BE=EC=2,EO=2FO,求圖中陰影部分的面積.,解析(1)證明:四邊形ABCD是正方形, AB=DA,ABE=DAH=90. HAO+OAD=90. AEDH, ADO+OAD=90. HAO=ADO. ABEDAH(ASA), AE=DH. (2)EF=GH.

13、 理由如下:將FE平移到AM處,則AMEF,AM=EF. 將GH平移到DN處,則DNGH,DN=GH.,EFGH,AMDN, 根據(jù)(1)的結(jié)論得AM=DN,所以EF=GH. (3)四邊形ABCD是正方形, ABCD, AHO=CGO, FHEG, FHO=EGO, AHF=CGE, 又HAF=GCE=90, AHFCGE,又FHEG, ===, EC=2,AF=1, 過F作FPBC于點(diǎn)P,,BP=AF=1,PF=BC=4, PE=BE-BP=1, 則有EF==, FHEG, =, =, 根據(jù)(2)知EF=GH, FO=HO. SFOH=FO2==,,SEOG=EO2==, 陰影部分面積為SFO

14、H+SEOG=.,評析本題考查了三角形的綜合知識.用到全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等,綜合性較強(qiáng),難度較大.,1.(2018杭州,10,3分)如圖,在ABC中,點(diǎn)D在AB邊上,DEBC,與邊AC交于點(diǎn)E,連接BE.記ADE,BCE的面積分別為S1,S2() A.若2ADAB,則3S12S2B.若2ADAB,則3S12S2D.若2AD

15、,2S2=SABC,2S23S1. 當(dāng)2AD3S1; 當(dāng)2ADAB時(shí),AECE,S1變大,S2變小,不能確定2S2與3S1的大小關(guān)系,故選D.,2.(2016湖州,10,3分)如圖1,在等腰三角形ABC中,AB=AC=4,BC=7.如圖2,在底邊BC上取一點(diǎn)D,連接AD,使得DAC=ACD.如圖3,將ACD沿著AD折疊,使得點(diǎn)C落在點(diǎn)E處,連接BE,得到四邊形ABED.則BE的長是() A.4B.C.3D.2,答案B如圖,設(shè)AE與BC交于點(diǎn)O,C=. AB=AC,ABC=C=,由已知條件及折疊的性質(zhì)得1=2=3=C=,AE=AC=AB=4, CDACAB,AC2=CDCB,CD=,BD=. A

16、DO=ADB,2=ABD, ADOBDA,AD2=DODB,又AD=CD,DO=. CO=DO+CD=,BO=BC-CO=. BAE=180-4,由AE=AB得ABE=AEB,AEB=2,EAC=2, AEB=EAC,ACBE,ACOEBO, =,BE==,故選B.,3.(2015衢州,9,3分)如圖,已知“人字梯”的5個(gè)踩檔把梯子等分成6份,從上往下的第二個(gè)踩檔與第三個(gè)踩檔的正中間處有一條60 cm長的綁繩EF,tan =,則“人字梯”的頂端離地面的高 度AD是() A.144 cmB.180 cmC.240 cmD.360 cm,關(guān)鍵提示本題考查了等腰三角形的性質(zhì),軸對稱的性質(zhì),相似三角形

17、的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵是多次運(yùn)用相似求出相關(guān)線段的長.,答案B如圖: 根據(jù)題意可知:AFOACD,OF=EF=30 cm, =,=,CD=72 cm. tan =,=, AD=72=180(cm).故選B.,思路分析在RtADC中已知tan =,根據(jù)正切函數(shù)的定義,要求AD,只需求出DC,這可由相 似三角形獲得.,4.(2018寧波,25,12分)若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積,我們把這個(gè)三角形叫做比例三角形. (1)已知ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,請直接寫出所有滿足條件的AC的長; (2)如圖1,在四邊形ABCD中,ADBC,對角線BD平分ABC,BAC=ADC.

18、求證:ABC是比例三角形; (3)如圖2,在(2)的條件下,當(dāng)ADC=90時(shí),求的值.,解析(1)或或. (2)證明:ADBC, ACB=CAD, 又BAC=ADC, ABCDCA, =,即CA2=BCAD. ADBC, ADB=CBD, BD平分ABC, ABD=CBD, ADB=ABD, AB=AD,,CA2=BCAB, ABC是比例三角形. (3)如圖,過點(diǎn)A作AHBD于點(diǎn)H. AB=AD, BH=BD. ADBC,ADC=90, BCD=90, BHA=BCD=90. 又ABH=DBC,,ABHDBC, =, ABBC=DBBH, ABBC=BD2. 又ABBC=AC2, BD2=AC

19、2, =.,5.(2018湖州,23,10分)已知在RtABC中,BAC=90,ABAC,D,E分別為AC,BC邊上的點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),且==m,連接AE,過點(diǎn)D作DMAE,垂足為點(diǎn)M,延長DM交AB于點(diǎn)F. (1)如圖1,過點(diǎn)E作EHAB于點(diǎn)H,連接DH. 求證:四邊形DHEC是平行四邊形; 若m=,求證:AE=DF; (2)如圖2,若m=,求的值.,解析(1)證明:EHAB,BAC=90, EHCA, BHEBAC, =, =, =, =, HE=DC, 四邊形DHEC是平行四邊形. =,BAC=90,AC=AB, =,HE=DC,=, 又BHE=90,BH=HE.,HE=DC,BH=CD

20、,AH=AD. DMAE,EHAB, EHA=AMF=90, HAE+HEA=HAE+AFM=90, HEA=AFD, EHA=FAD=90, HEAAFD, AE=DF. (2)過點(diǎn)E作EGAB于G, CAAB, EGCA,,EGA=AMF=90, GEA+EAG=EAG+AFM, AFM=AEG, FAD=EGA=90, FADEGA, ===.,EGBCAB,=, ==, =, EG=CD. 設(shè)EG=CD=3x,AC=3y, 由題意得BE=5x,BC=5y, BG=4x, AB=4y,,小穎解得此題的答案為48 mm.小穎善于反思,她又提出了如下的問題: (1)如果原題中所要加工的零件是

21、一個(gè)矩形,且此矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成,如圖1,此時(shí),這個(gè)矩形零件的兩鄰邊長又分別為多少mm?請你計(jì)算;,6.(2014紹興,20,8分)課本中有一道作業(yè)題:,圖1 圖2,(2)如果原題中所要加工的零件只是一個(gè)矩形,如圖2,這樣,此矩形零件的兩條鄰邊長就不能確定,但這個(gè)矩形面積有最大值,求達(dá)到這個(gè)最大值時(shí)矩形零件的兩鄰邊長.,解析(1)設(shè)PQ=x mm, APNABC, =, =,解得x=,PN=2x=. 這個(gè)矩形零件的兩鄰邊長分別為 mm, mm. (2)設(shè)PQ=x mm, APNABC, =, =, 解得PN=120-x, S矩形=x=-x2+120 x=-(x-40)2+2

22、 400, 當(dāng)x=40,即PQ=40 mm,PN=60 mm時(shí),矩形面積最大.,1.(2017四川成都,8,3分)如圖,四邊形ABCD和ABCD是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形,若OAOA=23,則四邊形ABCD與四邊形ABCD的面積比為() A.49B.25 C.23D.,B組 2014-2018年全國中考題組,考點(diǎn)一 相似的有關(guān)概念及性質(zhì),答案A由位似圖形的性質(zhì)知==,所以==.故選A.,2.(2015山東聊城,7,3分)下列命題中的真命題是() A.兩邊和一角分別相等的兩個(gè)三角形全等 B.相似三角形的面積比等于相似比 C.正方形不是中心對稱圖形 D.圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ),答案DA項(xiàng),在兩邊

23、和一角中,當(dāng)角為兩邊中一邊的對角時(shí),這兩個(gè)三角形不一定全等,故本選項(xiàng)錯誤;B項(xiàng),相似三角形面積比等于相似比的平方,故本選項(xiàng)錯誤;C項(xiàng),正方形是中心對稱圖形,故本選項(xiàng)錯誤;D項(xiàng),圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ),故本選項(xiàng)正確.故選D.,3.(2015甘肅蘭州,17,4分)如果===k(b+d+f0),且a+c+e=3(b+d+f),那么k=.,答案3,解析由題意可得=k,則a+c+e=k(b+d+f)=3(b+d+f),故k=3.,4.(2014湖北武漢,24,8分)如圖,RtABC中,ACB=90,AC=6 cm,BC=8 cm,動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),在BA邊上以每秒5 cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動,同時(shí)動點(diǎn)Q從

24、點(diǎn)C出發(fā),在CB邊上以每秒4 cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動,運(yùn)動時(shí)間為t秒(0

25、4t cm,CD=(8-4t)cm. AQCP,ACB=90,tanCAQ=tanDCP. =.=,t=.,(3)證明:如圖,過點(diǎn)P作PDAC于D,連接DQ、BD,BD交PQ于M,則PD=APcosAPD=APcosABC=(10-5t)=(8-4t)cm. 而BQ=(8-4t)cm,PD=BQ,又PDBQ,四邊形PDQB是平行四邊形.點(diǎn)M是PQ和BD的中點(diǎn). 過點(diǎn)M作EFAC交BC,BA于E,F兩點(diǎn). 則==1,即E為BC的中點(diǎn).同理,F為BA的中點(diǎn). PQ的中點(diǎn)M在ABC的中位線EF上.,1.(2015四川綿陽,12,3分)如圖,D是等邊ABC邊AB上的一點(diǎn),且ADDB=12,現(xiàn)將ABC折

26、疊,使點(diǎn)C與D重合,折痕為EF,點(diǎn)E、F分別在AC和BC上,則CECF=() A.B.C.D.,考點(diǎn)二 相似圖形的判定,答案B設(shè)等邊ABC的邊長為3, 則AD=1,BD=2,由折疊的性質(zhì)可知C=EDF=60, EDA+FDB=120, 在AED中,A=60, AED+ADE=120, AED=BDF, 又A=B,AEDBDF, ==, 又CE=DE,CF=DF, =,=, 可得2CE=3CF-CECF,CF=3CE-CECF, 2CE-3CF=CF-3CE,=.故選B.,2.(2014貴州貴陽,7,3分)如圖,在方格紙中,ABC和EPD的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,要使ABCEPD,則點(diǎn) P所在的格點(diǎn)為(

27、) A.P1B.P2C.P3D.P4,答案C設(shè)方格紙中各小正方形的邊長為1.由題圖可知,E=A=90,要使ABCEPD,則==2,所以EP=2AB=6,點(diǎn)P所在的格點(diǎn)為P3,故選C.,評析本題考查相似三角形的判定,設(shè)計(jì)巧妙,屬容易題.,3.(2015山東臨沂,18,3分)如圖,在ABC中,BD,CE分別是邊AC,AB上的中線,BD與CE相交于點(diǎn)O,則=.,答案2,解析連接DE,BD,CE是AC,AB邊上的中線,DE為ABC的中位線,DE=BC,DEBC, OBCODE,==2.,(2014北京,10,4分)在某一時(shí)刻,測得一根高為1.8 m的竹竿的影長為3 m,同時(shí)測得一根旗桿的影長為25 m

28、,那么這根旗桿的高度為m.,考點(diǎn)三 相似圖形的應(yīng)用,答案15,解析設(shè)旗桿的高度為x m,則=,解得x=15.即旗桿的高度為15 m.,1.(2015甘肅蘭州,5,4分)如圖,線段CD兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C(1,2)、D(2,0),以原點(diǎn)為位似中心,將線段CD放大得到線段AB,若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),則點(diǎn)A的坐標(biāo)為() A.(2,5)B.(2.5,5) C.(3,5)D.(3,6),C組 教師專用題組,考點(diǎn)一 相似的有關(guān)概念及性質(zhì),答案B設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y),由位似圖形的性質(zhì)知,==,得x=2.5,y=5, 則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2.5,5).故選B.,2.(2014湖北武漢,6,3分)如圖,線

29、段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(6,6)、B(8,2),以原點(diǎn)O為位似中心,在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的后得到線段CD,則端點(diǎn)C的坐標(biāo)為() A.(3,3)B.(4,3) C.(3,1)D.(4,1),答案A線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(6,6)、B(8,2),以原點(diǎn)O為位似中心,在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的后得到線段CD,端點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,3).故選A.,評析本題主要考查位似圖形的性質(zhì),屬容易題.,3.(2014遼寧沈陽,8,3分)如圖,在ABC中,點(diǎn)D在邊AB上,BD=2AD,DEBC交AC于點(diǎn)E,若線段DE=5,則線段BC的長為() A.7.5B.10C.15D.20,答案

30、C由題意可得ADEABC,相似比為,所以BC=3DE=15,故選C.,評析本題考查相似三角形的判定與性質(zhì),屬容易題.,4.(2015遼寧沈陽,14,4分)如圖,ABC與DEF位似,位似中心為點(diǎn)O,且ABC的面積等于DEF面積的,則ABDE=.,答案23,解析ABC與DEF位似, ABCDEF,=. SABC=SDEF,=.=, =(舍負(fù)),即ABDE=23.,5.(2015天津,16,3分)如圖,在ABC中,DEBC,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E.若AD=3,DB=2,BC=6,則DE的長為.,答案,解析DEBC, =, =, =,DE=.,評析本題考查平行線分線段成比例定理.由DEBC可得=,

31、從而可計(jì)算出DE的長.,1.(2014河北,13,3分)在研究相似問題時(shí),甲、乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下: 對于兩人的觀點(diǎn),下列說法正確的是() A.兩人都對 B.兩人都不對 C.甲對,乙不對D.甲不對,乙對,考點(diǎn)二 相似圖形的判定,答案A由題意知新三角形與原三角形的對應(yīng)角相等,所以兩個(gè)三角形相似,甲的觀點(diǎn)正確;新矩形與原矩形的對應(yīng)角相等,但對應(yīng)邊的比并不相等,所以新矩形與原矩形不相似,乙的觀點(diǎn)也正確,故選A.,2.(2016陜西,17,5分)如圖,已知ABC,BAC=90.請用尺規(guī)過點(diǎn)A作一條直線,使其將ABC分成兩個(gè)相似的三角形.(保留作圖痕跡,不寫作法),解析如圖,直線AD即為所作.(5分),1

32、.(2015江蘇連云港,25,10分)如圖,在ABC中,ABC=90,BC=3,D為AC延長線上一點(diǎn),AC=3CD.過點(diǎn)D作DHAB,交BC的延長線于點(diǎn)H. (1)求BDcosHBD的值; (2)若CBD=A,求AB的長.,考點(diǎn)三 相似圖形的應(yīng)用,解析(1)DHAB,BHD=ABC=90, 又ACB=DCH, ABCDHC,=. AC=3CD,BC=3,CH=1. BH=BC+CH=4. 在RtBHD中,cosHBD=, BDcosHBD=BH=4.(4分) (2)解法一:A=CBD,ABC=BHD, ABCBHD.(6分) =. ABCDHC,==, AB=3DH. =,DH=2,AB=6.

33、(10分),解法二:CBD=A,BDC=ADB, CDBBDA.=,BD2=CDAD, BD2=CD4CD=4CD2.BD=2CD.(6分) CDBBDA,=,=, AB=6.(10分),2.(2015江蘇南京,20,8分)如圖,ABC中,CD是邊AB上的高,且=. (1)求證:ACDCBD; (2)求ACB的大小.,解析(1)證明:CD是邊AB上的高, ADC=CDB=90. 又=,ACDCBD.(4分) (2)ACDCBD, A=BCD. 在ACD中,ADC=90, A+ACD=90, BCD+ACD=90, 即ACB=90.(8分),(2016杭州濱江二模,8)有兩個(gè)相似三角形,它們的周

34、長分別是36和12,周長較大的三角形的最大邊長為15,周長較小的三角形的最小邊長為3,則周長較大的三角形的面積是() A.52B.54C.56D.58,考點(diǎn)一 相似的有關(guān)概念及性質(zhì),三年模擬,A組 20162018年模擬基礎(chǔ)題組,答案B兩相似三角形的周長分別是36和12,相似 比為31.周長較大的三角形的最大邊長為15,周長較小的三角形的最小邊長為3,周長較大的三角形的最小邊長為9,周長較小的三角形的最大邊長為5,周長較大的三角形的第三條邊長為12,92+122=152,兩個(gè)三角形均為直角三角形,周長較大的三角形的面積=912= 54,故選B.,1.(2016寧波北侖一模,16)在ABC中,D

35、,E分別在邊AB、AC上,AB=8 cm,AC=6 cm,AD=3 cm,要使ADE與ABC相似,則線段AE的長為cm.,考點(diǎn)二 相似圖形的判定,答案4或,解析分兩種情況討論: 當(dāng)ADEABC時(shí),如圖,有=. AB=8 cm,AC=6 cm,AD=3 cm,AE= cm. 當(dāng)ADEACB時(shí),如圖,有=. AB=8 cm,AC=6 cm,AD=3 cm,AE=4 cm. 綜上,AE=4 cm或 cm.,2.(2018杭州名校二模,19)如圖,在ABC中,AD是BAC的平分線,點(diǎn)E在邊AC上,且AD2=AEAB,連接DE. (1)求證:ABDADE; (2)若CD=3,CE=,求AC的長.,解析(

36、1)證明:AD平分BAC, BAD=CAD. 又AD2=AEAB, =, ABDADE. (2)ABDADE, ADB=AED. EDC=180-(ADB+ADE)=180-(AED+ADE)=DAC, 且C=C, CEDCDA, =, CD2=ECCA, AC===4.,1.(2018濱江二模,10)如圖,ABCDBE,延長AD交CE于點(diǎn)P.若DEB=45,AC=2,DE= ,BE=1.5,則tanDPC=(),A.B.2C.D.,考點(diǎn)三 相似圖形的應(yīng)用,答案BABCDBE,=, ACB=DEB=45. 又AC=2,DE=,BE=1.5,BC=3. 過點(diǎn)A作AHBC于點(diǎn)H.,ACH=45,

37、AH=CH=ACsinACH=2=2, BH=BC-CH=3-2=1.,ABCDBE, ABC=DBE,=,ABD=CBE. ABDCBE, BAD=BCE. 又AOB=COP, DPC=ABC, tanDPC=tanABC===2.故選B.,方法與策略1.要想到把DPC放在直角三角形中解決,所以構(gòu)造直角三角形并將DPC轉(zhuǎn)化到RtABH中.,2.由已知的相似推導(dǎo)出另一對三角形相似,從而把所求的角轉(zhuǎn)化到已知的直角三角形中,問題就解決了.,2.(2018麗水二模)如圖,已知銳角ABC,AD、CE分別是BC、AB邊上的高. (1)求證:ABDCBE; (2)若ABC和BDE的面積分別是20和5,DE

38、=2,求點(diǎn)B到直線AC的距離.,解析(1)證明:ADBC于點(diǎn)D,CEAB于點(diǎn)E, CEB=ADB=90, B=B, ABDCBE. (2)由(1)知ABDCBE,=. B=B, BEDBCA, =. ABC和BDE的面積分別為20和5,DE=2, AC=4, 點(diǎn)B到直線AC的距離為=5.,1.(2017杭州西湖一模,8)如圖,BD是ABC的角平分線,點(diǎn)E,F分別在BC,AB上,且DEAB,DEF=A,EF與BD交于點(diǎn)M,以下結(jié)論:BDE是等腰三角形;四邊形AFED是菱形;BE=AF;若AFBF=34,則DEM的面積BAD的面積=949,其中正確的是() A.B. C. D.,B組201620

39、18年模擬提升題組 (時(shí)間:55分鐘分值:80分),一、選擇題（每小題3分，共12分）,答案BDEAB,BD平分ABC, ABD=BDE=DBE, BDE是等腰三角形,正確. 四邊形AFED是平行四邊形,不一定是菱形,錯誤. BE=ED=AF,正確. ABDEDM,===,正確.故選B.,2.(2017溫州七校聯(lián)考,9)如圖,ABC中,D、E兩點(diǎn)分別在BC、AD上,且AD平分BAC,若ABE=C,ADED=31,則BDE與ADC的面積比為() A.1645B.29C.19D.13,答案BADED=31, AEAD=23, ABE=C,BAE=CAD, ABEACD, SABESACD=49,

40、SACD=SABE, AEED=21, SABESBED=21, SABE=2SBED, SACD=SABE=SBED, SBDE與SADC的比為29.,3.(2016寧波慈溪一模,9)如圖,在ABC中,DEBC,且=,則S四邊形DBCESABC=() A.14B.19C.34D.89,答案DD、E分別是ABC的AB、AC邊上的點(diǎn),DEBC,ADEABC. AEEC=12,AEAC=13, SADESABC=19,=.故選D.,4.(2016杭州蕭山一模,1)下列判斷不正確的是() A.所有等腰直角三角形都相似 B.所有直角三角形都相似 C.所有正六邊形都相似 D.所有等邊三角形都相似,答案B

41、兩個(gè)直角三角形的銳角不一定對應(yīng)相等,所以兩個(gè)直角三角形不一定相似,故選項(xiàng)B不正確,故選B.,5.(2018舟山二模,8分)如圖,在ABC中,AB=AC,點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、BC、AC上,DEF=B. (1)求證:BDECEF; (2)若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),=,EF=6,求CF.,二、解答題（共68分）,解析(1)證明:AB=AC, B=C. BDE=180-B-DEB, CEF=180-DEF-DEB, DEF=B, BDE=CEF, BDECEF. (2)BDECEF, =, 點(diǎn)E是BC的中點(diǎn), BE=CE, =, DEF=B=C, DEFECF,,==, EF=6,CF=4.,6.(2

42、018奉化一模,8)如圖,在ABC中,點(diǎn)D為BC上一點(diǎn),AB=AD=BD,過點(diǎn)D作DEAB交AC于點(diǎn)F,且CAE=60,連接AE交BC于點(diǎn)G. (1)求證:AEDCAD; (2)若AB=2,求DECD的值.,解析(1)證明:AB=AD=BD, ABD是等邊三角形,BAD=ABD=ADB=60, ADC=BAD+ABD=120, DEAB, FDC=ABC=GDE=60,BAE=AED, BAD=CAE=60, BAE=BAD-EAD=EAF-EAD=DAF, ADE=ADB+BDE=60+60=120=ADC,又DAF=AED, AEDCAD. (2)由(1)得,AEDCAD, 則=,即AD2

43、=EDCD, AB=AD=2, DECD=AB2=(2)2=12.,7.(2018金華二模)如圖,在RtABC中,BAC=90,D,E兩點(diǎn)分別在BC,AD上,AD平分BAC,ABE=C. (1)求證:ABEACD; (2)若點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),BC=5,求BDE的面積.,解析(1)證明:AD平分BAC, BAE=DAC, ABE=C, ABEACD. (2)由(1)得ABEACD, ==,即AC=2AB, BAC=90, AB=,AC=2. ABC中,設(shè)BC邊上的高為h, 則ABAC=BCh,解得h=2, 點(diǎn)E是AD的中點(diǎn), 在BDE中,BD邊上的高為h=1. 如圖,過點(diǎn)D作DFAC于點(diǎn)F,設(shè)A

44、F=x, BAC=90,AD平分BAC,,DAC=45,DF=AF=x, CF=2-x,,易得DFAB,=,即=,解得x=, ==,=,BD=BC=, SBDE=BDh=1=.,8.(2017杭州上城一模,23)從三角形一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對邊相交,頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形,如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形,另一個(gè)與原三角形相似,我們就把這條線段叫做這個(gè)三角形的優(yōu)美線. (1)在ABC中,AD為角平分線,B=50,C=30,求證:AD為ABC的優(yōu)美線; (2)在ABC中,B=46,AD是ABC的優(yōu)美線,且ABD是以AB為腰的等腰三角形,求BAC的度數(shù); (3

45、)在ABC中,AB=4,AC=2,AD是ABC的優(yōu)美線,且ABD是等腰三角形,求優(yōu)美線AD的長.,解析(1)證明:如圖, B=50,C=30, BAC=180-B-C=100, AD平分BAC, BAD=DAC=50, B=BAD=50,DB=DA, ABD是等腰三角形, C=C,DAC=B=50,,CADCBA, 線段AD是ABC的優(yōu)美線. (2)由題意知CADCBA, 且等腰ABD中,AB=AD或AB=BD. 若AB=AD,則B=ADB=CAD,則ACBC,不符合題意, AB=BD,又B=46, BAD=BDA=67, CAD=B=46, BAC=67+46=113. (3)由題意知CAD

46、CBA. 當(dāng)AD=BD時(shí),CADCBA, ==,設(shè)BD=AD=x,CD=y, ==,,解得x=,y=, AD=. 當(dāng)AB=BD=4時(shí),設(shè)AD=x,CD=y, 由==,可得==, 解得y=-2+2,x=4-4, AD=4-4. 當(dāng)AB=AD時(shí),顯然不可能. 綜上所述,AD=或4-4.,9.(2017杭州拱墅二模,22)如圖,G,H分別為ABCD的邊AB,AD的延長線上的點(diǎn),GH分別交BC,CD于E,F,連接AC,交HG于點(diǎn)P. (1)求證:HDFEBG; (2)如果ACAP=43, 若DF=4,FC=5,求BG的長; 若HG=nEF(n為正整數(shù)),試求n的值.,解析(1)證明:如圖,在ABCD中

47、, ADCB,CDAB, 1=2,3=4 HDFEBG. (2)CFAG, FCPGAP, =,,又=,CF=5, ==, AG=15, BG=15-AB=15-CD=15-(4+5)=6. ADCB,CDAB, ECPHAP,FCPGAP, ==,==, PH=3PE,PG=3PF, HG=PH+PG=3PE+3PF=3EF, n=3.,10.(2017杭州西湖一模,23)已知D是等邊ABC的邊AB上的一點(diǎn),現(xiàn)將ABC折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合,折痕為EF,點(diǎn)E,F分別在AC和BC上. (1)如圖1,如果點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn),求CE與CF的比; (2)如圖2, 求證:ADEBFD; 如果ADDB

48、=12,求CE與CF的比; (3)如果ADDB=1n,求CE與CF的比. 圖1圖2(備用圖),解析(1)連接CD.D為AB中點(diǎn),ABC為等邊三角形,CDAB,EFCD,EFAB, CEFCAB, CEF為等邊三角形, CE=CF,CECF=11. (2)證明:EFC與EFD關(guān)于直線EF對稱, EDF=ECF=60,EC=ED,FC=FD, BDF+FDE=BDE=A+DEA, 又FDE=A=60, BDF=DEA,又B=A, ADEBFD. 設(shè)AD=x,CE=DE=a,CF=DF=b, ADBD=12,DB=2x, AB=3x=AC=BC,AE=3x-a,BF=3x-b, ADEBFD,=

49、=,,==, 由=可得2ax=b(3x-a), 由=可得(3x-a)(3x-b)=2x2,即3x(3x-a)-b(3x-a)=2x2, 3x(3x-a)-2ax=2x2, 可得a=x=1.4x, ===, CECF=45. (3)設(shè)AD=x,CE=DE=a,CF=DF=b, ADBD=1n,DB=nx, AB=(n+1)x=AC=BC, AE=(n+1)x-a,BF=(n+1)x-b, ADEBFD,==,,==, 由=可得nax=b(n+1)x-a, 由=可得(n+1)x-a(n+1)x-b=nx2, 即(n+1)x(n+1)x-a-b(n+1)x-a=nx2, (n+1)x(n+1)x-a

50、-nax=nx2,可得a=x, ===, CECF=(n+2)(2n+1).,11.(2016杭州濱江二模,22)已知D為ABC邊BC上的動點(diǎn)(點(diǎn)D不與B、C重合),過D作DEAC,DFAB分別交AB,AC于點(diǎn)E,F. (1)證明:BDEDCF; (2)若DE=DF,且FC=AF,求的值; (3)若ABC的面積為10,點(diǎn)G為AF上的動點(diǎn),設(shè)FC=xAC,求DEG的面積y的最大值.,解析(1)證明:DEAC,DFAB, BDEBCA,DCFBCA, BDEDCF. (2)解法一:DEAC,DFAB, 四邊形AEDF為平行四邊形. 又DE=DF, AEDF為菱形, AF=DF=DE. BEDDFC, =, ==. 解法二:因?yàn)镕C=AF,可設(shè)FC=2a,則AF=3a,同解法一可得四邊形AEDF為菱形,則DF=DE=AF =3a, BEDDFC,,=, 可得BE=a, BEAF=a3a=32,即=. (3)BACDFC, 又SABC=10,=x, SDFC=10 x2,同理,由=1-x可得SBDE=10(1-x)2, y=SAEDF=(SABC-SDFC-SBDE)=-10 x2+10 x(0