電磁場(chǎng)與電磁波-第6章.ppt

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1、第6章 時(shí)變電磁場(chǎng),主要內(nèi)容: 波動(dòng)方程、電磁場(chǎng)的位函數(shù)、 電磁能量守恒定律、 惟一性定理、時(shí)諧電磁場(chǎng),什么是時(shí)變電磁場(chǎng)： 源量（電荷、電流或時(shí)變場(chǎng)量）和場(chǎng)量（電場(chǎng)、磁場(chǎng)）隨時(shí)間變化的電磁場(chǎng)。,在時(shí)變電磁場(chǎng)中，電場(chǎng)與磁場(chǎng)都是時(shí)間和空間的函數(shù)；變化的磁場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)，變化的電場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)，電場(chǎng)與磁場(chǎng)相互依存，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場(chǎng)。由于時(shí)變的電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互轉(zhuǎn)換，也可以說(shuō)時(shí)變電磁場(chǎng)就是電磁波。,靜電場(chǎng)和恒定電流的磁場(chǎng)各自獨(dú)立存在，可以分開(kāi)討論。,英國(guó)科學(xué)家麥克斯韋提出位移電流假說(shuō)，將靜態(tài)場(chǎng)、恒定場(chǎng)、時(shí)變場(chǎng)的電磁基本特性用統(tǒng)一的電磁場(chǎng)基本方程組概括。電磁場(chǎng)基本方程組是研究宏觀電磁現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)。,時(shí)變電磁場(chǎng)

2、的特點(diǎn)： 1）電場(chǎng)和磁場(chǎng)互為對(duì)方的渦旋（旋度）源。 2）電場(chǎng)和磁場(chǎng)共存，不可分割。 3）電力線和磁力線相互環(huán)繞。,一、波動(dòng)方程,1、時(shí)變場(chǎng)麥克斯韋方程組,積分形式,微分形式,全電流定律,電磁感應(yīng)定律,磁通連續(xù)性原理,高斯定律,在電荷及電流均不存在的無(wú)源區(qū)中，時(shí)變電磁場(chǎng)是有旋無(wú)散的。,電場(chǎng)線與磁場(chǎng)線相互交鏈，自行閉合，從而在空間形成電磁波。,時(shí)變電場(chǎng)的方向與時(shí)變磁場(chǎng)的方向處處相互垂直。,可見(jiàn)，時(shí)變電場(chǎng)是有旋有散的，時(shí)變磁場(chǎng)是有旋無(wú)散的。但是，時(shí)變電磁場(chǎng)中的電場(chǎng)與磁場(chǎng)是不可分割的，因此，時(shí)變電磁場(chǎng)是有旋有散場(chǎng)。,2、波動(dòng)方程,由麥克斯韋方程組可以建立電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程，它揭示了時(shí)變電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，

3、即電磁場(chǎng)的波動(dòng)性。,均勻無(wú)耗媒質(zhì)的無(wú)源區(qū)域,麥?zhǔn)戏匠虨?得,電場(chǎng)E 的波動(dòng)方程,同理,磁場(chǎng)H 的波動(dòng)方程,得,無(wú)源區(qū)波動(dòng)方程在直角坐標(biāo)系中可分解為三個(gè)標(biāo)量方程, 波動(dòng)方程的解是空間一個(gè)沿特定方向傳播的電磁波。 電磁波的傳播問(wèn)題歸結(jié)為在給定邊界條件和初始條件下求解波動(dòng)方程。,為拉普拉斯算符，在直角坐標(biāo)系中,既然Maxwell方程已經(jīng)囊括所有宏觀電磁現(xiàn)象，為什么還要波動(dòng)方程：答案是求解的需要。Maxwell方程里電場(chǎng)和磁場(chǎng)耦合在一起，而波動(dòng)方程里電場(chǎng)和磁場(chǎng)是獨(dú)立出現(xiàn)的，它們有各自的波動(dòng)方程。后者有時(shí)便于求解，但方程的階數(shù)是二階，比Maxwell方程高一階。所以也有不用波動(dòng)方程，直接用Maxwell

4、方程求解。,從上方程可以看出：時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)場(chǎng)量和磁場(chǎng)場(chǎng)量在空間中是以波動(dòng)形式變化的，因此稱(chēng)時(shí)變電磁場(chǎng)為電磁波。,建立波動(dòng)方程的意義：通過(guò)解波動(dòng)方程，可以求出空間中電場(chǎng)場(chǎng)量和磁場(chǎng)場(chǎng)量的分布情況。但需要注意的是：只有少數(shù)特殊情況可以通過(guò)直接求解波動(dòng)方程求解。,二、電磁場(chǎng)的位函數(shù),由麥?zhǔn)系谒姆匠?可令,由麥?zhǔn)系诙匠?,于是,式中A（T.m)稱(chēng)為動(dòng)態(tài)矢量位，簡(jiǎn)稱(chēng)矢量位。,(V)稱(chēng)為動(dòng)態(tài)標(biāo)量位，簡(jiǎn)稱(chēng)標(biāo)量位。,靜態(tài)場(chǎng)中為問(wèn)題簡(jiǎn)化引入了標(biāo)量位和矢量位。 時(shí)變場(chǎng)中也可引入相應(yīng)的輔助位，使問(wèn)題的分析簡(jiǎn)單化。,由麥?zhǔn)系谝环匠?,將,,,,,,將矢量恒等式,,即,已知矢量位A 和標(biāo)量位 可求相應(yīng)的磁場(chǎng)和電場(chǎng)。

5、 矢量位和標(biāo)量位由源決定。其滿足的方程討論如下。,由麥?zhǔn)系谌匠?,以上二方程稱(chēng)為達(dá)朗貝爾方程。 此方程表明矢量位 的源是 ，而標(biāo)量位 的源是 。時(shí)變場(chǎng)中 和 是相互聯(lián)系的。,同理,得,即,由亥姆霍茲定理：一矢量由其散度和旋度確定。 前面定義A 的旋度等于磁感應(yīng)強(qiáng)度B。為確定矢量位A 還需規(guī)定其散度。令 （洛侖茲條件)。,所以,矢量位波動(dòng)方程,標(biāo)量位波動(dòng)方程,由上可見(jiàn)，按照羅倫茲條件規(guī)定 A 的散度后，原來(lái)兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)的方程變?yōu)閮蓚€(gè)獨(dú)立方程。矢量位 A 僅與電流 J 有關(guān)，標(biāo)量位 僅與電荷 有關(guān)。,因此，已知電流及電荷分布，即可求出矢量位 A和標(biāo)量位 。求出 A 及 以后，即可求出電場(chǎng)與

6、磁場(chǎng)。,這樣，麥克斯韋方程的求解歸結(jié)為位函數(shù)方程的求解，而且求解過(guò)程顯然得到了簡(jiǎn)化。,2、簡(jiǎn)化了動(dòng)態(tài)位與場(chǎng)源之間的關(guān)系，使得A單獨(dú)由J 決定，單獨(dú)由決定，給解題帶來(lái)了方便；,洛侖茲條件（Luo lunci Condition)的重要意義,1、確定了 的值，與 共同唯一確定A；,位函數(shù)方程為一個(gè)矢量方程和一個(gè)標(biāo)量方程,在三維空間中僅需求解 4 個(gè)坐標(biāo)分量。在直角坐標(biāo)系中，實(shí)際上等于求解 1 個(gè)標(biāo)量方程。,原來(lái)電磁場(chǎng)方程為兩個(gè)結(jié)構(gòu)復(fù)雜的矢量方程，在三維空間中需要求解 6 個(gè)坐標(biāo)分量。（有源區(qū)域）,在無(wú)源區(qū)域， r與 均為零，上述場(chǎng)量和位函數(shù)的波動(dòng)方程變?yōu)辇R次波動(dòng)方程：,若靜態(tài)場(chǎng)， ，上述

7、波動(dòng)方程退化為相應(yīng)的泊松方程和拉普拉斯方程。,三、電磁能量守恒定律,電磁能量符合自然界物質(zhì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能量守恒和轉(zhuǎn)化定律坡印廷定理；,靜態(tài)場(chǎng)的能量密度公式及損耗功率密度公式完全可以推廣到時(shí)變電磁場(chǎng)。,電場(chǎng)能量密度,磁場(chǎng)能量密度,損耗功率密度,對(duì)于各向同性的線性媒質(zhì),因此，時(shí)變電磁場(chǎng)的能量密度為,可見(jiàn)，時(shí)變場(chǎng)的能量密度是空間及時(shí)間的函數(shù)，而且時(shí)變電磁場(chǎng)的能量還會(huì)流動(dòng)。,為了衡量這種能量流動(dòng)的方向及強(qiáng)度，引入能量流動(dòng)密度矢量(坡印廷矢量)，其方向表示能量流動(dòng)方向，其大小表示單位時(shí)間內(nèi)垂直穿過(guò)單位面積的能量?；蛘哒f(shuō)，垂直穿過(guò)單位面積的功率，所以坡印廷矢量又稱(chēng)為功率流動(dòng)密度矢量。坡印廷矢量以 S 表示，

8、 單位為W/m2。,1、坡印廷定理,設(shè)無(wú)外源 (J = 0, = 0) 的區(qū)域 V 中，媒質(zhì)是線性且各向同性的，則此區(qū)域中麥克斯韋方程為,由麥?zhǔn)系谝?、第二方?得,其中,于是得,取體積分，并應(yīng)用散度定理得,在時(shí)變場(chǎng)中總電磁能量密度為,單位體積損耗的的焦耳熱為,于是得,,坡印廷定理,單位時(shí)間穿過(guò)閉合面S進(jìn)入體積V 的電磁場(chǎng)能量,,體積V 內(nèi)單位時(shí)間電場(chǎng)能量和磁場(chǎng)能量的增加,,單位時(shí)間體積V 內(nèi)變?yōu)榻苟鸁岬碾姶拍芰?,任何滿足麥克斯韋方程的時(shí)變電磁場(chǎng)均必須服從該能量定理。,2、坡印廷矢量,矢量（ ）代表垂直穿過(guò)單位面積的功率，因此，就是前述的能流密度矢量 S ， 即,此式表明，S 與 E 及 H

9、 垂直。又知 ，因此，S，E 及 H 三者在空間是相互垂直的，且由 E 至 H 與 S 構(gòu)成右旋關(guān)系，如圖示。,表示單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)與電磁波傳播方向相垂直單位面積上的電磁能量，亦稱(chēng)為功率流密度，S 的方向代表波傳播的方向，也是電磁能量流動(dòng)的方向。,W/m2,,,(1） 為時(shí)間 的函數(shù)，表示瞬時(shí)功率流密度；,（2）公式中，E、H 應(yīng)為場(chǎng)量的實(shí)數(shù)表達(dá)式；,（3） 的大?。?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于能量傳輸方向 的單位面積的能量；,（4） 的方向：電磁能量傳播方向。,說(shuō)明：,坡印廷矢量,坡印廷矢量的瞬時(shí)值大小為,可見(jiàn)，能流密度矢量的瞬時(shí)值等于電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)值的乘積。,只有當(dāng)兩者同時(shí)達(dá)到最大值時(shí)

10、，能流密度才達(dá)到最大。若某一時(shí)刻電場(chǎng)強(qiáng)度或磁場(chǎng)強(qiáng)度為零，則在該時(shí)刻能流密度矢量為零。,四、惟一性定理,在閉合面 S 包圍的區(qū)域 V 中，當(dāng)t = 0時(shí)刻的電場(chǎng)強(qiáng)度 E 及磁場(chǎng)強(qiáng)度 H 的初始值給定時(shí)，又在 t 0 的時(shí)間內(nèi)，只要邊界 S 上的電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量 Et 或磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量 Ht 給定后，那么在 t 0 的任一時(shí)刻，體積 V 中任一點(diǎn)的電磁場(chǎng)由麥克斯韋方程惟一地確定。,利用麥克斯韋方程導(dǎo)出的能量定理，用反證法即可證明這個(gè)定理。,E(r, 0) & H(r, 0 ),E( r, t), H(r, t ),五、時(shí)諧電磁場(chǎng),與電路和信號(hào)分析類(lèi)似，為了便于分析，我們可以把一般隨時(shí)間變化的時(shí)

11、變電磁場(chǎng)，用傅立葉變換分解為許多不同時(shí)間頻率的正弦電磁場(chǎng)（也稱(chēng)時(shí)諧電磁場(chǎng)）的疊加。,正弦電磁場(chǎng)一種特殊的時(shí)變電磁場(chǎng)，其場(chǎng)強(qiáng)的方向與時(shí)間無(wú)關(guān)，但其大小隨時(shí)間的變化規(guī)律為正弦函數(shù)，即,式中 Em(r) 僅為空間函數(shù)，它是正弦時(shí)間函數(shù)的振幅。 為角頻率。e(r) 為正弦函數(shù)的初始相位。,由傅里葉變換得知，任一周期性或非周期性的時(shí)間函數(shù)在一定條件下均可分解為很多正弦函數(shù)之和。因此，我們著重討論正弦電磁場(chǎng)是具有實(shí)際意義的。,正弦電磁場(chǎng)是由隨時(shí)間按正弦變化的時(shí)變電荷與電流產(chǎn)生的。雖然場(chǎng)的變化落后于源，但是場(chǎng)與源隨時(shí)間的變化規(guī)律是相同的，所以正弦電磁場(chǎng)的場(chǎng)和源具有相同的頻率。,1、時(shí)諧電磁場(chǎng)中場(chǎng)量的瞬時(shí)表示

12、式： 以余弦函數(shù)為基準(zhǔn)（工程界慣例。少數(shù)也有用正弦函數(shù)的），以電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為例：,注意場(chǎng)量與時(shí)間變量t的關(guān)系非常簡(jiǎn)單和確定，這是引入復(fù)矢量的前提。,2、時(shí)諧電磁場(chǎng)中場(chǎng)量的復(fù)數(shù)表示式 上式可以也用復(fù)數(shù)的實(shí)部表示為,式中,稱(chēng)為時(shí)諧電場(chǎng)的復(fù)振幅,故,式中,稱(chēng)為時(shí)諧電場(chǎng)的復(fù)矢量,同樣時(shí)諧電磁場(chǎng)的其它場(chǎng)量也可以有類(lèi)似的表示式，如,這些表示式建立了時(shí)諧電磁場(chǎng)場(chǎng)量的瞬時(shí)表示式與復(fù)數(shù)表示式之間的聯(lián)系,3、麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式,時(shí)諧場(chǎng)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),由麥?zhǔn)系谝环匠?,,,,,、 可與Re交換次序，得,復(fù)數(shù)相等與其實(shí)部及虛部分別相等是等效的，故可以去掉上式兩邊的 Re，得到,接著可以消去 去掉場(chǎng)量的下標(biāo),上

13、面的方程里已經(jīng)沒(méi)有時(shí)間變量了，因此方程得到了簡(jiǎn)化。,形式上講，只有把微分算子 用 代替，就可以把時(shí)諧電磁場(chǎng)場(chǎng)量之間的線性關(guān)系，轉(zhuǎn)換為等效的復(fù)矢量關(guān)系。,同理可得,以及,上述方程稱(chēng)為麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式，式中各量均為有效值。,復(fù)數(shù)形式的Maxwell方程,微分形式,積分形式,例1.已知某真空區(qū)域中的時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)瞬時(shí)值為,試求其磁場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)數(shù)形式。,解 根據(jù)時(shí)變電場(chǎng)瞬時(shí)值，求得其有效值的復(fù)數(shù)形式為,由于電場(chǎng)僅有 y 分量，且與變量 y 無(wú)關(guān)，即 。那么,又知,,4、復(fù)數(shù)形式的波動(dòng)方程亥姆霍茲方程,波動(dòng)方程,設(shè)為時(shí)諧場(chǎng),,,得,同理,亥姆霍茲方程,式中, 用復(fù)數(shù)形式研究時(shí)諧場(chǎng)稱(chēng)為頻域問(wèn)題

14、。, 復(fù)數(shù)公式與瞬時(shí)值公式有明顯的區(qū)別，復(fù)數(shù)表示不再加點(diǎn)。,1.復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表達(dá)式，不代表真實(shí)的場(chǎng)，沒(méi)有明確 物理意義,采用復(fù)數(shù)形式可以使大多數(shù)正弦電磁場(chǎng)問(wèn)題得 以簡(jiǎn)化；,2.實(shí)數(shù)形式代表真實(shí)場(chǎng)，具有明確物理意義；,3.在某些應(yīng)用條件下，如能量密度、能流密度等含有場(chǎng)量的 平方關(guān)系的物理量（稱(chēng)為二次式 ），只能用場(chǎng) 量的瞬時(shí)形式表示。,,說(shuō)明:,5、復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率,（1）,令 為導(dǎo)電媒質(zhì)的等效復(fù)介電常數(shù)或復(fù)電容率，則上式可寫(xiě)成,用途：把導(dǎo)電媒質(zhì)也視為一種等效的電介質(zhì)，從而可以統(tǒng)一采用電介質(zhì)的分析方法。,另外，即使介質(zhì)不導(dǎo)電，也會(huì)有能量損耗，且與頻率有關(guān)。這時(shí)同樣可以用復(fù)介電常數(shù)表示

15、這種介質(zhì)損耗，即 虛部表示有能量損耗，從能量損耗的角度，表征電介質(zhì)中的電極化損耗 。,考慮上述兩種能量損耗：歐姆損耗 和電極化損耗 ， 總的復(fù)介電常數(shù)是,（2）同樣在磁介質(zhì)有損耗的情況下，也可以采用復(fù)數(shù)磁導(dǎo)率：,工程上，通常用損耗角正切來(lái)表征電介質(zhì)的損耗特性,（3）損耗角,導(dǎo)電媒質(zhì)：,弱導(dǎo)電媒質(zhì)（良絕緣體）,良導(dǎo)體,磁介質(zhì)損耗角正切,6、時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù),因此矢量位復(fù)數(shù)形式的波動(dòng)方程是,因?yàn)?故,,,,,,,,,,無(wú)源,羅倫茲條件的復(fù)數(shù)形式,正弦電磁場(chǎng)與位函數(shù)的關(guān)系,,,7、平均能量密度和平均能流密度矢量,由前一章定義的坡印廷矢量,坡印廷矢量的瞬時(shí)值,對(duì)正弦電磁場(chǎng)，需討

16、論該量在一個(gè)周期內(nèi)的平均值平均坡印廷矢量（平均能流密度矢量）,正弦變化矢量,式中 為相應(yīng)的復(fù)矢量,故,由上式可計(jì)算出在一個(gè)時(shí)間周期內(nèi)的平均值,于是可以定義復(fù)數(shù)坡印亭矢量,因此有,平均坡印廷矢量,與時(shí)間無(wú)關(guān)。,正弦量的有效值為瞬時(shí)值平方的周期平均值，所以正弦電磁場(chǎng)的能量密度的周期平均值為,即,式中 E(r) 及 H(r) 均為有效值。,或者以場(chǎng)強(qiáng)的最大值表示為,或者表示為,上式又可寫(xiě)為,上式表明，正弦電磁場(chǎng)能量密度的周期平均值等于電場(chǎng)能量密度與磁場(chǎng)能量密度的最大值之和的一半。,同樣，損耗功率密度也可用復(fù)矢量表示。其最大值為,平均值為,可見(jiàn)，損耗功率密度的平均值也是最大值之半。,經(jīng)推導(dǎo)可得復(fù)數(shù)坡印亭定理,如果考慮傳導(dǎo)電流的焦耳熱損耗，有,極化電流的介電損耗，有,磁損耗，有 上式可寫(xiě)成,物理意義：上式右邊是體積內(nèi)的有功功率和無(wú)功功率，所以上式左邊的面積分是穿過(guò)閉合面的復(fù)功率，其實(shí)部是有功功率，即功率的平均值。,,,,,,