六年級下冊數學試題-小升初數學思維拓展第21講容斥原理

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1、 一，?知識地圖 容斥原理內容 小升初數學思維拓展第?21?講??容斥原理 二者關系 分類 三者關系 內容???韋恩圖 公式 求總數，三項都參加，三項都不參加的 基本計算題型 求一項參加，兩項參加的 --?方程法 求多項未知 --?方程法 求只參加一項，只參加二項的 --?間接計算 正方形 與圖形結合 圓形 整除 與其他知識相結合 與數論知識結合 最簡真分數 平方數，立方數 奇偶數 算術法 方程法 最值問題 三次都會最

2、大最小 會兩次最大最小 與排列組合結合 電燈開關 應用題型 報數轉身 其他題型 圖形法 表格法 二，基礎知識 趣題導引： 有一次，學而思小升初培訓部進行數學和英語模擬測試，全體學員的考試成績統(tǒng)計出來 后，周老師在班上向同學報告所有學員的考試情況。 周老師說：“這次考試成績比上一次有了很大的提高，說明同學們在這一段時間內非常 認真地學習了學而思的課程，有我們老師的功勞，但更重要的是你們的努力，希望下一次考 試可以更上一層樓。我們全體六年級學員有?1106?人，其中數學成績

3、?90?分以上的有?542?人， 英語成績?90?分以上的有?479?人，數學和英語成績都考?90?分以上的有?256?人，數學和英語成 績都在?90?分以下的有?350?人，希望這部分同學可以奮起直追，加倍努力，爭取在下一次考 試中也都可以拿到?90?分以上的好成績?！? “ 周老師的話剛說完，其中一個同學小明就舉手說：“老師，您的統(tǒng)計數據有問題，至少 有一個人數是不對的?！敝芾蠋熀軓娜莸幕卮鹫f：?沒錯，小明同學說得很對，確實有一個數 據我故意說錯的，就看大家能不能反應出來，你們知道是為什么嗎？”于是大家都熱烈討論 了起來，同學們，你們知道小明是如何很快又肯定的說有

4、一個數據老師說錯了嗎？要想知道 答案，先學好下面的內容了！ （一）容斥原理介紹 本章節(jié)的主要內容是解決?涉及包含與排除?關系的計算題與應用題，運用到的一個基本 原理稱為容斥原理，下面我們將容斥原理的內容介紹給大家，由于容斥原理中涉及的各部分 之間的關系非常的微妙，希望同學可以仔細學習，細心體會。 1、兩者容斥原理圖形與公式 首先討論兩者之間的包含與排除關系，我們先來看一個例子， 一個班級上有同學數學及格，有同學語文及格，有同學兩門功 課都及格，還有同學兩門功課都不及格，那么它們的人數關系 可以用右圖表示： 從圖中我們可以看出它們之間

5、的關系，即： （數學及格人數+語文及格人數-都及格人數）+都不及格人數=全班人數 大家知道為什么要減都及格人數嗎？ 這是因為數學及格人數和語文及格人數里面都包含了兩門都及格 的人數，這樣兩門都及格人數就重復計算兩次，所以要減去一次。 總結為一般規(guī)律，我們可以用公式來表示： S=（A+B-A∩B）+D=A∪B?+D （字母含義：A∩B-既屬于?A、又屬于?B?的元素； A∪B-屬于?A，B?中任何一個的元素； D?-既不屬于?A、又不屬于?B?的元素。） 這就是二者容斥原理的一般表達形式，圖形表達（我們稱之為韋恩圖）如圖所示。 2、三者容斥原理圖形與公式

6、 三者的容斥原理韋恩圖如圖所示，我們可以總結出三者容斥原理 的一般公式形式為： S=（A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C）+D=A∪B∪C+D （字母含義： S-全部元素 A∩B-既屬于?A、又屬于?B?的元素； B∩C-既屬于?B、又屬于?C?的元素； C∩A-既屬于?C、又屬于?A?的元素； A∩B∩C-既屬于?A、又屬于?B、又屬于?C?的元素； D?-既不屬于?A、又不屬于?B、也不屬于?C?的元素； A∪B∪C-屬于?A，B，C?的全部元素。） 討論：A∩B，B∩C，C∩A?同時包含于兩個集合里面，各多加一次，所以應該各減

7、去一 次，那么為什么還要再加上?A∩B∩C?呢？ 原來這是因為?A，B，C，A∩B，B∩C，C∩A?六個集合里面都包含了?A∩B∩C，所以?A∩B ∩C?被加了三次，又減了三次，這樣就相當于沒加沒減，所以應該再加上一次?A∩B∩C。 上面兩個韋恩圖與兩個公式就是容斥原理的全部內容，希望同學們可以結合圖形與公式 進行記憶。 （二）容斥原理考察題型的一般形式 1、基本計算題型： （1）求全部元素?S，直接套用公式。 （2）求屬于三集合元素項：A∪B∪C?=?A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+?A∩B∩C （3）求不屬于三集合元素項?D，可以利用

8、兩種公式變形： D=S－（A＋B－A∩B）（兩者） D=S－（A＋B＋C－A∩B－B∩C－C∩A＋A∩B∩C）（三者） （4）求一集合元素或二集合元素中的一項（如?A，A∩B?等），利用公式變形比較麻煩， 我們采用方程法：設所求部分為?x，利用公式原型列出方程，解出未知數。 （5）多項未知，則必須用方程法，設其中一項為?x，表示出其他各項，利用公式原型列 出方程，解出未知數。 （6）求其他間接項，?一般先求出相關部分項，?再進行組合與排除。一般可能有以下幾 種情況： 1，只屬于某集合元素。如：只屬于?A?元素=A－A∩B－C∩A＋A∩B∩C； 2，只屬于一集合全部元素=A＋

9、B＋C－A∩B×2－B∩C×2－C∩A×2+A∩B∩C×3； 3，只屬于某二集合元素：如只屬于?A，B?元素=A∩B-A∩B∩C； 4，只屬于二集合全部元素=A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C×3； 5，至少屬于二集合全部元素=A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C×2?等。 同學們可以自己結合韋恩圖進行總結。 2、與其他知識點相結合題型 （1）與圖形相結合求總面積：逐一求出公式中對應各部分面積，套用公式或列出方程。 （2）與數論中倍數知識相結合：詳見例題?5。 （3）與分數知識相結合，可轉化為（2）中題型，詳見例題?6。 （4）與數論中平方，立方數知識相結合，利

10、用估算法，詳見拓展訓練?2。 （5）與最值問題相結合：公式中某項的最大最小問題，采用方程分析法和極端假設法， 詳見例題?8，9。 3、應用題型 （1）關于電燈開關題型：電燈被拉奇數次改變開關狀態(tài)，被拉偶數次不改變開關狀態(tài)。 弄清楚所要求項的具體含義及所對應韋恩圖部分，先求出公式中相關項，利用間接法求出， 請結合題型?1（6）中公式進行。詳見例題?7。 （2）關于報數轉身題型：轉身奇數次改變方向，轉身偶數次不改變方向。?與電燈開關 題型思路一致。 4、其他題型 當題目中不涉及重復部分的計算或者已知條件不是容斥原理中相關項時，可能不需要利

11、用容斥原理公式進行計算，但必須畫出韋恩圖或者自己設計表格進行分析，必須讓各部分關 系直觀清晰，詳見拓展訓練?9。如一種常用的的表格形式為： 一班 二班 三班 總數 男生 一班男生 二班男生 三班男生 男生總數 女生 一班女生 二班女生 三班女生 女生總數 總數 一班總數 二班總數 三班總數 所有總數 趣題解析： 學完容斥原理的知識后，同學們是不是可以解釋開篇趣題中小明的問題了呢？原來小明 在周老師報完四個人數后很快的心算了一下，發(fā)現(xiàn)不符

12、合容斥原理的數量關系，所以才說數 據有問題。根據容斥原理的公式，全體學員人數應該是（542+479-256）+350=1115，而周老 師又說全體學員人數為?1106?人，所以前后矛盾，其中肯定至少有一個數據是不對的，同學 們，你們學會了嗎？如果覺得很有意思，就繼續(xù)往下做題吧！ 三、經典透析 【例?1】（☆☆☆）志誠中學?5?年級有?200?名學生踴躍申報學而思各學科培訓班，已知申報 奧數班的學生有?140?人，申報英語班的學生有?120?人，申報科技班的學生有?60?人，參加奧 數和英語班的學生有?60?人，申報奧數和科技班的學生有?40?人，申

13、報英語班和科技班的學生 有?30?人，那么有多少人三個班都報了？ 審題要點： 此題為涉及三者關系的容斥原理典型題型，大家先復習一下三者關系容斥原理的“韋恩 圖”與計算公式，根據條件對應逐一填入，然后直接運用公式將未知求出。 詳解過程： 解：畫出韋恩圖，將相應人數填入，只有三個班都報的同學未知，設 為?x?人，根據容斥原理公式列出方程：140+120+60－60－40－30+x=200， 解出?x=10，所以共有?10?人三個班都報了。 專家點評： 此題中由于是三個班都報的同學未知，所以也可以不列方程，將公式變形用算術方法直 接算出，20

14、0－（140+120+60－60－40－30）=10（人）。差別不大，同學們注意體會其中關 系。 【例?2】（☆☆☆）火星小學四年級有?45?人參加了慰問堅守在青年宮、防洪紀念塔、九站三 個地段抗洪的解放軍叔叔的活動，去過青年宮慰問的有?19?人，去過防洪紀念塔的有?18?人， 去過九站的有?16?人；去過青年宮、防洪紀念塔兩處的有?7?人，去過青年宮、九站兩處的有 6?人，去過防洪紀念塔、九站兩處的有?5?人；有?3?人三處都去過；其余的在校準備慰問品， 請問準備慰問品的有多少人？ 審題要點： 此題也為涉及三者關系的容斥原理典型題型，題目中未知數為沒有

15、參加任何一項慰問活 動的同學，可以列方程算出，也可以直接對公式變形用算術法算出。 詳解過程： 解：方程法：畫出韋恩圖，將相應人數填入，設在校準備慰問品的人數 為?x，根據公式直接列出方程為（19+18+16-7-6-5+3）+x=45，解出?x=7， 所以準備慰問品的人數為?7?人。 算術法：直接將公式變形，可求得準備慰問品人數為 45-（19+18+16-7-6-5+3）=7（人）。 專家點評： 對于求三者都參加或者三者都不參加的部分，用方程法與算術法差別不大，但是對于求 只參加一項或參加兩項的部分，?建議最好用方程，因為在公式變形中很容易出現(xiàn)符號的變

16、形錯誤，請看例題?3。 （ 【例?3】?☆☆☆☆）某校五年級有?120?名學生，訂《故事大王》的有?85?人，訂《兒童漫畫》 的有?90?人，訂《優(yōu)秀作文選》的有?70?人，同時訂《故事大王》和《優(yōu)秀作文選》的有?62 人，同時訂《兒童漫畫》和《優(yōu)秀作文選》的有?46?人，同時訂這三種雜志的有?21?人，此外， 還有?5?名學生沒有訂任何雜志，問：恰好只訂了《故事大王》和《兒童漫畫》的有多少人？ 審題要點： 此題與前兩題類型相同，也為涉及三者關系的容斥原理典型題型，題目中未知數為只訂 《故事大王》和《兒童漫畫》的人數，所以建議使用方程法解出。注意題目中要

17、求的是只訂 《故事大王》和《兒童漫畫》的人數，而不是訂了《故事大王》和《兒童漫畫》的人數，所 以應該先求出訂了《故事大王》和《兒童漫畫》的人數，然后再減去三項都訂的人數即可。 詳解過程： 解：設同時訂《故事大王》和《兒童漫畫》的有?x?人，根據 公式原型列出方程為： 120-85-90-70+62+46+x-21=5，解得?x=43 所以，只訂《故事大王》和《兒童漫畫》的人數為?43-21=22?人。 專家點評： 1，此題中未知的是參加兩項的人數，所以不易用將公式變形用算術方法求出，而應該列 出方程，這樣數據關系更清晰。 2，注意題

18、目要求的是只訂《故事大王》和《兒童漫畫》的人數，這不是容斥原理公式中 涉及的部分，所以不能直接求出，而應該根據韋恩圖中的關系間接求出。 【例?4】（☆☆☆☆）五年級三班有?46?名學生參加三項課外活動，其中?24?人參加了繪畫小 組，20?人參加了合唱小組，參加朗誦小組的人數是既參加繪畫小組又參加朗誦小組人數的 3.5?倍，又是三項活動都參加人數的7?倍，既參加朗誦小組又參加合唱小組的人數相當于三 項都參加人數的?2?倍，既參加繪畫小組又參加合唱小組的有?10?人，求參加朗誦小組的人數。 審題要點： 此題與前三題類型相同，也為涉及三者關系的容斥原理典型題型

19、，題目中不止一項未知 數，但是各項未知數之間具有倍數關系，所以應該用方程法解答。 詳解過程： 解：觀察發(fā)現(xiàn)三項都參加的人數最少，所以設其為?x，那么參加朗誦小組的 人數為?7x，既參加繪畫小組又參加朗誦小組人數為?2x，既參加朗誦小組又 參加合唱小組的人數也為?2x，畫出韋恩圖，根據公式列出方程： 46=?24+20+7x-2x-2x-10+x?解出?x=3 所以參加朗誦小組的人數為?7x=21?人。 專家點評： 1，此題不能直接利用公式變形算術方法算出，必須列出方程。 2，列方程解應用題時?x?的選擇并不一定是題目所求，而應該是所有未知量中較小值， 這樣

20、其他未知量就比較好表示出，否則方程中出現(xiàn)分數或除法，不利于方程的解答。 【例?5】（☆☆☆☆）在?1?到?2004?的所有自然數中，既不是?2?的倍數，也不是?3、5?的倍數 的數有多少個？ 審題要點： 此題為容斥原理與數論知識相結合的一類典型題型，首先要糾正一種非常錯誤的方法： 即用全部數分別減去?2，3?和?5?的倍數個數即得到答案。錯誤原因是?2，3，5?的倍數之中有 很多重復的部分，所以應該利用容斥原理的基本原理，畫出韋恩圖，根據公式計算。 詳解過程： 解：1，畫出韋恩圖，首先計算各集合部分的個數： 2?的倍數個數：2004÷2

21、=1002， 3?的倍數個數：2004÷3=668， 5?的倍數個數：2004÷5=400…4， 2，再計算各重復部分的個數： 同時是?2?和?3?的倍數，即是?6?的倍數個數：2004÷6=334 同時是?2?和?5?的倍數，即是?10?的倍數個數：2004÷10=200…4 同時是?3?和?5?的倍數，即是?15?的倍數個數：2004÷15=133…9 同時是?2，3，5?的倍數，即是?30?的倍數個數：2004÷30=66…24 3，根據公式變形可得不是?2、3、5?的倍數個數為：2004-（1002+668+400-334-200-133+66） =535。

22、 專家點評： 1，由于有些數可能同時是?2，3，5?的倍數，所以應該考慮聯(lián)系到容斥原理的運用，因 為容斥原理的主要功能就是解決有關重復內容的原理。 2，同時是幾個數的倍數，那么就是這幾個數的最小公倍數的倍數。 【例?6】（☆☆☆☆）分母是?385?的最簡真分數有多少個？ 審題要點： 由于分母?385=5×7×11，要求分數為最簡真分數，所以分子不能是?5、7、11?的倍數。 此題即轉化為求?1～385?中不是?5、7、11?的倍數的個數，和上一題完全類似，采取一樣的解 題思路與步驟。 詳解過程： 解：1，畫出韋恩圖，首先計算各部分的個

23、數： 5?的倍數個數：385÷5=77 7?的倍數個數：385÷7=55 11?的倍數個數：385÷11=35 同時是?5?和?7?的倍數即是?35?的倍數個數：385÷35=11 同時是?5?和?11?的倍數即是?55?的倍數個數：385÷55=7 同時是?7?和?11?的倍數即是?77?的倍數個數：385÷77=5 同時是?5，7，11?的倍數即是?385?的倍數個數：385÷385=1 2，根據公式變形，可得不是?5、7、11?的倍數個數為：385-（77+55+35-11-7-5+1）=240。 所以分母是?385?的最簡真分數有?240?個。 專家點評：

24、 此題也為容斥原理與數論知識相結合的一類典型題型，?首先需要了解的知識點是?最簡 真分數的特點，?即分子與分母必須為互質關系，?也即是分子不能是分母質因數的倍數，?得 出解題思路。 另外，本題還可以用中國剩余定理和乘法原理來解決。 需要尋找?1385?中不被?5、7、11?中任何一個數整除的個數。 被?5?除的余數有?1～4，共?4?種； 被?7?除的余數有?1～6，共?6?種； 被?11?除的余數有?1～10，共?10?種； 根據中國剩余定理，對于任何一種余數組合，1～385?中必存在唯一的數滿足。所以， 根據乘法原理，1-385?中不被?5、7、11?中任何一個數

25、整除的個數為?4×6×10=240。 【例?7】（☆☆☆☆☆）有?2000?盞亮著的電燈，各有一個拉線開關控制著，現(xiàn)按其順序編號 為?1，2，3，…，2000，然后將編號為?2?的倍數的燈線拉一下，再將編號為?3?的倍數的燈線 拉一下，最后將編號為?5?的倍數的燈線拉一下，三次拉完后，亮著的燈有多少盞？ 審題要點： 此題與前兩題一樣，涉及數論中倍數關系的容斥原理應用題型，解題思路完全一樣，但 是要注意最后要求的部分不一樣?，必須利用間接計算法?進行簡單的分解與 組合。 詳解過程： 解：1、首先分析最后要求的部分含義是什么。 電燈原來亮著，要求

26、三次拉完之后還是亮著，則燈被拉的次數必須 為偶數，即可能是一次都沒被拉，也可能是只被拉兩次的。所以最 后的答案應該是兩部分之和。 2、進行各部分的計算： 2?的倍數個數：2000÷2=1000； 3?的倍數個數：2000÷3=666…2； 5?的倍數個數：2000÷5=400； 6?的倍數個數：2000÷6=333…2； 10?的倍數個數：2000÷10=200； 15?的倍數個數：2000÷15=133…5； 30?的倍數個數：2000÷30=66…20。 3、根據公式變形，可得沒被拉一次的電燈盞數（不是?2、3、5?的倍數）為： 2000-（1000+666+400

27、-333-200-133+66）=534。 只被拉兩次的電燈盞數（只是其中兩者的倍數）為：333+200+133-66×3=468。 所以最后亮著的燈的盞數為：534+468=1002。 專家點評： 1、此題首先要弄清楚是哪些燈最后還是亮著的，主要包括兩部分的燈：一次都沒拉和 只拉了兩次的。 2、只拉了兩次的燈數中不包括三次都拉了的燈數，所以計算時應該減去被拉三次燈數 的三倍（因為多計算三次），請參考題型?1（6）中的間接計算方法。 【例?8】（☆☆☆☆☆）圖書室有?100?本書，借閱圖書者需要在圖書上簽名。已知這?100?本 書中有甲、乙、丙簽名的分

28、別有?33、44?和?55?本，其中同時有甲、乙簽名的圖書?29?本，同 時有甲、丙簽名的圖書為25?本，同時有乙、丙簽名的圖書為?36?本。問這批圖書中最少有多 少本沒有被甲、乙、丙中的任何一人借閱過？ 審題要點： 此題屬于容斥原理與最值問題相結合題型，公式中只有兩項未知：沒被任何人借閱過的 和同時被三人借閱過的數目，一項的最值取決于另一項的取值，采用方程法分析。 詳解過程： 解：題目中未知項有兩項，沒被任何人借閱過的和同時被三人借閱過的，分別設為?x， y，根據公式列出不定方程為： 100=（33+44+55-29-25-36+?y）+x，化簡為：

29、x?+?y=58 要使?x?值取最少，那么?y?值應該盡量大，由韋恩圖可看出?y?包含于三集合?29，25，36 中，所以?y?的最大值應該是?25，此時?x=33，即最少有?33?本沒有被甲乙丙中的任何一人借閱 過。 專家點評： 1，由于只有兩項未知數，所以可以用方程法進行分析，如果未知數多于兩個，則不宜 用方程法，下一題即是此種情況。 2，應該用包含的原理得出其中項的最大值或最小值。若?A?包含?B，那么?B?的最大值為?A， A?的最小值為?B，如：某班數學成績滿分人數為15，那么數學語文成績均滿分的人數最大為 15，反之若數學語文成績均滿分的人數為?5，那么語

30、文成績滿分的人數最少為?5?人。 【例?9】（☆☆☆☆）甲、乙、丙同時給?100?盆花澆水。已知甲澆了?78?盆，乙澆了?68?盆， 丙澆了?58?盆，那么?3?人都澆過的花最少有多少盆？ 審題要點： 此題與上題類似，屬于?容斥原理與最值問題相結合題型，?但是題目已知條件太少，?公 式中未知項有?5?項，所以不好直接用方程法分析出最后答案。采用極端假設法進行分析。 詳解過程： 解：因為題目所求為?3?人都澆過的花最少為幾盤，那么意思就是我們應該讓?3?人澆過的 花盡量分散，即每人盡量不要澆其他人澆過的花，?采用極端假設法即假設每人都首先選擇 澆

31、其他人沒澆過的花。 首先考慮甲和乙，甲澆了?78?盆，沒澆?100-78=22?盆，那么 乙應該先澆甲沒澆的?22?盆，剩下的只能選擇甲已經澆過的 68-22=46?盆，這樣兩人都澆過的有?46?盆，只有一人澆過的 有?100-46=54?盆。 再考慮丙，丙應該先選擇澆只有一個人澆過的?54?盆，剩下的只能選 擇?兩?人?都?澆?過?的 58-54=4 盆?，?這?樣?三?人?都?澆?過?的?為 4 盆?， 其他盆均為至多兩人澆過的。所以，3?人都澆過的花最少有?4?盆。 專家點評： 1，題目中所給條件太少，很難用二元方程的常規(guī)方法分析，所以選擇用極端假設

32、法。 2，運用極端假設法時，必須隨時滿足題目要求的最值條件，這里應該要強調掌握從反 面角度考慮問題的思路。不能怎么樣，那么我們就應該怎么樣；要怎么樣，那么我們就不能 怎么樣。 3，滿足最值條件的假設結論即是我們要求的最值結論。 4，此題也有另外的多元方程分析法。多元方程知識點基礎比較好的同學可以參考使用： 另解：如果從整體考慮，三個人一共澆了?78+68+58=204（盆）花，如果設被澆次數為?1、 2、3?次的花盆數分別為?a、b、c，那么可以得到以下兩條等式： a?b+c=100 a+2b+3c=204 ②-①×2，得到：?c 4+a?。 因為?a

33、 0?，所以?c 4?， 所以被?3?個人都澆過的花至少有?4?盆。 ① ② 四、拓展訓練 1、邊長為?6、5、2?的三個正方形，如圖所示，求它們的蓋住部分的面積。 2、在?1?到?1000?的自然數中，既不是平方數也不是立方數的數有多少個？ 3、求在?1～100?的自然數中不是?5?的倍數也不是?6?的倍數的數有多少個？ 4、某校有?28?名學生參加市運動會，參加跑步類項目的有?15?人，參加跳類項目的有?13?人， 參加投擲類項目的

34、有?14?人，既參加跑又參加跳項目的有?4?人，既參加跑又參加投擲項目的 有?6?人，既參加跳又參加投擲項目的有5?人，三種項目都參加的有?2?人，試說明：這個報名 表有誤。 5、以?1001?為分母的最簡真分數共有多少個？ 6、學而思六年級競賽班有50?人，共有三個科技興趣小組：天文、無線電和計算機，參加天 文組的有?38?人，參加無線電組的有?35?人，參加計算機組的有?31?人，既參加天文組又參加 無線電組的有?29?人，既參加天文組又參加計算機組的有?28?人，既參加無線電又參加計算機 組的有?26?人，三個小組都參

35、加的有?24?人，試求三個小組都沒有參加的人數。 7、不超過?201?的自然數中，至少有兩個數字相同的奇數有多少個？ 8、某科室有?12?人，其中?6?人會英語，5?人會俄語，5?人會日語，有?3?人既會英語又會俄語， 有?2?人既會俄語又會日語，有?2?人既會英語又會日語，有?1?人英、日、俄這三種語言全會， 只會一種外語的人比一種外語也不會的人多多少人？ 9、（1）48?人中無弟弟的有?38?人，有弟弟無妹妹的有?8?人，無弟弟有妹妹的人數是有弟弟 有妹妹人數的?2?倍，試問：這?48?人當中是獨生子女的有

36、幾個？ （2）學而思舉行各年級學生畫展，其中?18?幅不是六年級的，20?幅不是五年級的，現(xiàn)在知 道五、六年級共展出?22?幅畫，問：其他年級共展出多少幅畫？ 8、?如圖，5?條同樣長的線段拼成了一個五角形。如果每條線段上恰有?1994?個 9、?點被染成紅色，那么在這個五角形上紅色點最少有多少個？ 初級點撥： 1、直接利用三者容斥原理的公式進行計算，首先應該分別算出各相應部分面積。 2、直接利用二者容斥原理的公式進行計算，首先應該分別算出各相應部分個數。 3、此題為兩者關系的容斥原理與數論

37、倍數相結合?題型，求出各部分個數，利用公式計算。 4、可以根據其他數據計算學生總人數，看是否等于已知條件，利用容斥原理公式。 5、此題為容斥原理與數論知識的結合考察，先分解質因數?1001=7×11×13，所以分子不能 是?7，11，13?的倍數。 6、容斥原理基本題型，直接利用公式，可列出方程，也可進行公式變形。 7、此題較為復雜，是容斥原理與排列組合知識的綜合題型。首先按數位分兩大類：兩位數 與三位數。兩位數中：只有5?個（11、33、55、77、99）符合條件。三位數的個數必須利用 容斥原理公式計算。 8、此題為基本

38、計算題，一種外語也不會的人可以直接利用公式變形算出，只會一種外語的 人數應該要用間接法求出。 9、（1）此題可以設計表格進行分析。  有妹妹??無妹妹??總和 有弟弟 無弟弟 總和 （2）此題屬于容斥原理里面的特殊題型，含有否定的已知部分，應該轉化為肯定的部分數 據，畫出韋恩圖，然后列出方程進行解答。 10、此題屬于容斥原理與最值問題相結合?題型，由于未知條件僅為紅色點總數和重復點總 數，應該用方程法分析。 深度提示： 1、三正方形面積分別為?5×5=25，6

39、×6=36，2×2=4，兩兩重復部分面積分別為?3×3=9，1 ×2=2，1×2=2，三正方形均重復的部分面積為?1×1=1，然后直接套用公式。 2、⑴、1-1000?中，312＜1000＜322，所以平方數個數為?31。 ⑵、103=1000，所以立方數個數為?10。 ⑶、即是平方數也是立方數則?應該是六次方數，?36＜1000＜46， 所以個數為?3。 然后直接套用公式。 3、5?的倍數個數：100÷5=20；6?的倍數個數：100÷6=16…4； 30?的倍數個數：100÷30=3…10。 要求不是?5，6?的倍數，可利用公式變形。

40、 4、直接計算總人數為?15+13+14-4-6-5+2=29?人。 5、計算各部分個數：7?的倍數有?143?個，11?的倍數有?91?個，13?的倍數有?77?個，7×11?的 倍數有?13?個，13×7?的倍數有?11?個，11×13?的倍數有?7?個，只有?1001?是?7、11、13?的倍 數，套用公式。 6、方程法：（38+35+31-29-28-26+24）+x=50 7、三位數中的個數計算： 至少兩個數字相同的反面是三個數字都不相同，奇數的反面是偶數，所以設計韋恩圖為： 可看出外圍部分即為所求至少有兩個數字相同的奇數。

41、 根據乘法原理：三個數字都不相同的數字個數為?9×8=72，偶數有 50?個，三個數字都不相同的偶數為?5×8=40?個，套用公式。 8，根據題型?1（6）中公式介紹可知只會一種外語的人數為： 6+5+5-（3+2+2）×2+1×3=5。 9，（1）根據條件將數據填入表格：  有妹妹??無妹妹??總和 有弟弟 x 8 無弟弟 2x 38 總和 48 ⑵?根據韋恩圖，18?幅不是六年級的，即?A+C=18，20?幅不是五 年級的，即?B+C=20，又五六年級共?22?幅圖，即?A+B=22。聯(lián)立三方程， 解

42、出未知數。 10、設總點數為?x，重復點數為?y，根據公式有?x=1994×5-y，化簡為?x=9970-y， 要求?x?為最少，對?y?進行分析。 全解過程： 1、根據三者容斥原理公式，覆蓋總面積為?25+36+4-9-2-2+1=53。 2、根據公式得不是平方數也不是立方數的個數是： 1000－（31+10-3）=962。 3、公式變形為：100-（20+16-3）=67?即不是?5，6?倍數的數有?67?個。 4、因為已知條件為?28?人

43、，所以相互矛盾，報表有誤。 5、根據公式計算：最簡真分數個數為?1001-（143+77+91-7-13-11+1）=720。 或者：（7-1）×（11-1）×（13-1）=720。 6、初級點撥：容斥原理基本題型，可列出方程，也可進行公式變形。 深度提示：方程法：（38+35+31-29-28-26+24）+x=50 全解：解方程得?x=5，也可利用公式變形：50-（38+35+31-29-28-26+24）=5?人 7、初級點撥：此題較為復雜，是容斥原理與排列組合知識的綜合題型。 首先按數位分兩大類：兩位數與三位數。兩位數中，只

44、有?5?個（11、33、 55、77、99）符合要求。 深度提示：三位數中的個數計算： 至少兩個數字相同的反面是三個數字都不相同，奇數的反面是偶數， 所以設計韋恩圖為： 可看出外圍部分即為所求至少有兩個數字相同的奇數。 根據乘法原理：三個數字都不相同的數字個數為?9×8=72，偶數有?50?個，三個數字都 不相同的偶數為?5×8=40?個。 全解：根據公式，可知三位數中至少有兩個數字相同的奇數為?100-（72+50-40）=18。 所以不超過?201?的自然數中，至少有兩個數字相同的奇數有?18+5=23?個。 8、初級點撥：此題為基本計算題，一種外語也不

45、會的人可以直接利用公式變形算出，只會 一種外語的人數應該要用間接法求出： 深度提示：根據題型?1（6）中公式介紹可知只會一種外語的人數為：6+5+5-（3+2+2）× 2+1×3=5 全解：根據公式變形可知一種外語也不會的人數為?12-（6+5+5-3-2-2+1）=2 所以只會一種外語的人比一種外語也不會的人多?5-2=3（人）。 另解：用分塊計數法如下圖可知，只會一種外語的有2+2+1=5?人，一種也不會的有?2?人。所 求答案是?5-2=3?人。 英語 2 俄語 2  1?1?1 1 2 日語

46、2 有妹妹 無妹妹 總和 有弟弟 無弟弟 9、（1）初級點撥：此題可以設計表格進行分析。 總和 深度提示：根據條件將數據填入表格：  有妹妹??無妹妹??總和 有弟弟 x 8 無弟弟 2x 38 總和 48 全解：根據數據關系將表格補充完整： 有妹妹 無妹妹 總和 ⑴、A=48-38=10?⑵、x=A-8=2 ⑶、y=38-2x=34 有弟弟 x=2 8 A=10 y?為無弟弟無妹妹即是獨生子女，所以獨生子女 有?3

47、4?個。 無弟弟???2x=4????y=34????38 總和???????6??????42?????48 ⑵初級點撥：此題屬于容斥原理里面的特殊題型，含有否定的已知部 分，應該轉化為肯定的部分數據，畫出韋恩圖，然后列出方程進行解答。 深度提示：根據韋恩圖，18?幅不是六年級的，即?A+C=18， 20?幅不是五年級的，即?B+C=20，又五六年級共?22?幅圖， 即?A+B=22，解出未知數。 全解：三式全部相加可得：A+B+C=（18+20+22）÷2=30，所以其他年級的畫數為?30-22=8。 10、初級點撥：?此題屬于容斥原理與最值問題?相結合題型，由于未知條件僅為紅色點總數 和重復點總數，應該用方程法分析。 深度提示：設總點數為?x，重復點數為?y，根據公式有?x=1994×5-y，化簡為?x=9970-y， 要求?x?為最少，對?y?進行分析。 全解過程：要使?x?最少，y?應該盡量大，五角星中線段與線段之間一共十個點，所以重復 點數最多為?10?個，所以?x?最少為?9970-10=9960，即紅色點最少有?9960?個。