(全國通用版)2019高考數(shù)學二輪復習 124分項練4 平面向量與數(shù)學文化 文

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1、 1.(2018·貴陽模擬?如圖,在 ABC?中,BE?是邊?AC?的中線,O?是?BE?邊的中點,若AB=a,AC =b,則AO等于(??? ) 12+4?分項練?4 平面向量與數(shù)學文化 → → → A.??a+??b?????????????????????? B.??a+??b C.??a+??b?????????????????????? D.??a+??b → 1→ ∴AE=??AC, → 1??→ → ∴AO=??(AB+AE), → 1→? 1→ ∴AO=??AB+??AC,

2、 ∵AB=a,AC=b, → 1 1 ∴AO=??a+??b. A.?4???3 8??? C.5???5 7??? D.13???10 所以?a?在?a+b?方向上的投影為a·(a+b)?? a2+a·b 1 1 1 1 2 2 2 4 1 1 1 1 4 2 4 4 答案 B 解析 ∵在△ABC?中,BE?是?AC?邊上的中線, 2 ∵O?是?BE?邊的中點, 2 2 4 → → 2 4 2.已知向量?a=(2,4),|b|=2,|a-2b|=8,則?a?在?a+b?方向上的投影

3、為( 3?2 5 B. 10 答案 D 解析 由?a=(2,4),|b|=2,|a-2b|=8, 可知|a|=?22+42=2?5, (a-2b)2=a2+4b2-4a·b=64, 則?a·b=-7, |a+b|?= a2+b2+2a·b  ) 1 10 = 20-7?13?10 =?????. 20+4+2×(-7)

4、6???? 4???? 3????? 3 所以?a·b=1,所以?cos??θ?=??,所以?θ?= . 4.(2018·上饒模擬)設?D,E?為正三角形?ABC?中?BC?邊上的兩個三等分點,且?BC=2,則AD·AE 9??? 9???? 9???? 3 3.若兩個非零向量?a,b?滿足|a|=1,|b|=2,|2a+b|=2?3,則?a?與?b?的夾角為( ) π π π 2π A. B. C. D. 答案 C 解析 設?a,b?的夾角為?θ?,θ?∈[0,π?], 則由|a|=1,|b|=2,|2a+b|=2?3, 得(2a+b)2=12,

5、 即(2a)2+4a·b+b2=4+4a·b+4=12, 1 π 2 3 → → 等于( ) 4 8 26 26 A. B. C. D. 答案 C 解析 如圖, |AB|=|AC|=2,〈AB,AC〉=60°, → →????→ 1→?????→ 1→??????2→ 1→?????1→ 2→? ∴AD·AE=?AB+??BC÷·?AC+??CB÷=???AB+??AC÷·???AB+??AC÷ 2??→ 5→? → 2??→ =??|AB|2+??AB·AC+??|AC|2 =??×4+?

6、?×2×2×??+??×4= . → → → → ∵D,E?是邊?BC?的兩個三等分點, è 3???è 3?? è3 3???è3 3?? 9 9 9 2 5 1 2 26 9 9 2 9 9 5.(2018·煙臺模擬)如果|a|=2,|b|=3,a·b=4,則|a-2b|的值是( ) A.24 B.2?6 C.-24 D.-2?6 答案 B 解析 由|a|=2,|b|=3,a·b=4, 得|a-2b|=?(a-2b)2=?a2+4b2-4a·b 2 由等差數(shù)列前?n?項和公式可得?8a1+

7、2 ①HD·BF=0;②OA·OD=-?? ; ③OB+OH=-???2OE;④|AH-FH|=???2-???2. =?4+36-4×4=2?6. 6.(2018·昆明模擬)程大位《算法統(tǒng)宗》里有詩云“九百九十六斤棉,贈分八子做盤纏.次 第每人多十七,要將第八數(shù)來言.務要分明依次弟,孝和休惹外人傳.”意為:996?斤棉花, 分別贈送給?8?個子女做旅費,從第一個開始,以后每人依次多?17?斤,直到第八個孩子為止.分 配時一定要等級分明,使孝順子女的美德外傳,則第八個孩子分得斤數(shù)為( ) A.65 B.176 C.183 D.184 答案 D 解

8、析 根據(jù)題意可得每個孩子所得棉花的斤數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)列{an},其中?d=17,n=8, S8=996. 8×7 ×17=996, 解得?a1=65. 由等差數(shù)列通項公式得?a8=65+(8-1)×17=184. 7.八卦是中國文化的基本哲學概念,如圖?1?是八卦模型圖,其平面圖形記為圖?2?中的正八邊 形?ABCDEFGH,其中?OA=1,則給出下列結(jié)論: → → → → 2 2 → → → → → 其中正確結(jié)論的個數(shù)為( ) ∴HD·BF=0,故①正確; OA·OD=1×1

9、×cos??? =-?? ,故②正確; OB+OH=???2OA=-???2→,故③正確; OE |AH-FH|=|AF|=|OF-OA|, A.4 B.3 C.2 D.1 答案 B 解析 正八邊形?ABCDEFGH中,HD⊥BF, → → → → 3π 2 4 2 → → → → → → → → 3 則|AF|2=1+1-2×1×1×cos??? =2+???2, ∴|AF|=???2+???2,故④錯誤. → 3π 4 → 綜上,正確的結(jié)論為①②③,故選?B.

10、 8.(2018·蕪湖模擬)我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中有一道題目,其意是:“今有器中米, 不知其數(shù),前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升.問:米幾何?如圖是 源于其思想的一個程序框圖,若輸出的?S=2(單位:升),則輸入?k?的值為( ) 第一次:n=1<4?成立,n=2,S=k-??=??; 第二次:n=2<4?成立,n=3,S=??-??=??; 第三次:n=3<4?成立,n=4,S=??- =??; 第四次:n=4<4?不成立,輸出?S=??=2,解

11、得?k=8. 意一點,則PA·PB+PA·PC的最小值為(??? ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 C 解析 閱讀程序框圖,初始化數(shù)值?n=1,S=k, 循環(huán)結(jié)果執(zhí)行如下: k k 2 2 k k?k 2 6 3 k k k 3 12 4 k 4 9.(2018·聊城模擬在 ABC?中,BC?邊上的中線?AD?的長為?2,點?P?是△ABC?所在平面上的任 → → → → A.1 B.2 C.-2 D.-1 答案 C 解析 建立如圖所示的平面直角坐標系,使得點?D?在原點處,點?A?在?y?軸上,則?A

12、(0,2). 4 則PA=(-x,2-y),PO=(-x,-y), → → → →?? →??(??? ) →?? → 故PA·PB+PA·PC=PA·???PB+PC???=2PA·PO=2(x2+y2-2y) 所以PA·PB+PA·PC的最小值為-2. 設點?P?的坐標為(x,y), → → → → =2[x2+(y-1)2]-2≥-2,當且僅當?x=0,y=1?時等號成立. → → → → 10.(2018·石家莊模擬)三國時期吳國的數(shù)學家創(chuàng)造了一

13、副“勾股圓方圖”,用數(shù)形結(jié)合的 方法給出了勾股定理的詳細證明,如圖所示“勾股圓方圖”中由四個全等的直角三角形(直角 邊長之比為?1∶?3)圍成的一個大正方形,中間部分是一個小正方形,如果在大正方形內(nèi)隨 機取一點,則此點取自中間的小正方形部分的概率是( ) A.????3 B.????3 2 4 2 3 C.1- D.1- 3 4 4k2 2 答案 C 解析 由題意可知,設直角三角形的直角邊長分別為?k,?3k(k>0), 則大正方形的邊長為?2k,小正方

14、形的邊長為(?3-1)k, 所以大正方形的面積為?4k2,小正方形的面積為(?3-1)2k2, (?3-1)2k2 3 故所求概率為 =1- . 11.(2018·南平質(zhì)檢)我國古代著名的數(shù)學著作有《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》、 《五曹算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《孫丘建算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《綴術(shù)》、《緝古算 機》等?10?部算書,被稱為“算經(jīng)十書”.某校數(shù)學興趣小組甲、乙、丙、丁四名同學對古代 著名的數(shù)學著作產(chǎn)生濃厚的興趣.一天,他們根據(jù)最近對這十部書的閱讀本數(shù)情況說了這些 話,甲:“乙比丁少”;乙:“甲比丙多”;丙:“

15、我比丁多”;?。骸氨纫叶唷?,有趣 5 的是,他們說的這些話中,只有一個人說的是真實的,而這個人正是他們四個人中讀書本數(shù) 最少的一個(他們四個人對這十部書閱讀本數(shù)各不相同).甲、乙、丙、丁按各人讀書本數(shù)由 少到多的排列是( ) A.乙甲丙丁 C.丙甲丁乙 答案 D 解析 由題意可列表格如下: 甲說 乙說 丙說 丁說 B.甲丁乙丙 D.甲丙乙丁 甲?????乙?????丙??????丁 丁>乙 甲>丙 丙>丁

16、 丙>乙 |??|??|??|????????????? |??| 12.(2018·河北省衡水中學模擬)已知???OA???=???→ =2,點?C?在線段?AB?上,且???→ 的 OB?????????????????????????? OC 對于選項?A,甲,丁說的都對,不符合只有一個人對;對于選項B,丙,丁說的都對,也不符 合只有一個人對;對于選項?C,乙說的對,但乙不是最少的,不符合;對于選項?D,甲說的對, 也正好是最少的,符合,選?D. → |→?? →| 最小值為?1,則?OA-tOB?(t∈R)的最小值為(

17、 ) |??|??|??| 解析 ∵???→ =???OB???=2, OA |→| |OC| |→| ∴此時OB與OC的夾角為?60°, ∴OA,OB的夾角為?120°. |?=OA→?+t?→OB?-2tOA→·OB→ |→?? → 又???OA-tOB A.?2 B.?3 C.2 D.?5 答案 B → ∴點?O?在線段?AB?的垂直平分線上. ∵點?C?在線段?AB?上,且?OC?的最小值為?1, ∴當?C?是?AB?的中點時?→ 最小,此時?OC?=1, → → → → 2 2 2 2

18、 =4+4t2-2t·2·2·cos?120° =4t2+4t+4 6 ??? 1? =4?t+?÷2+3≥3, 當且僅當?t=-??時等號成立. |→ →| 13.(2018·石家莊模擬)已知向量?a?與?b?的夾角是 ,|a|=1,|b|=??,則向量?a-2b?與?a 答案? π 解析 a·b=|a||b|cos? =??, a·(a-2b)=a2-2a·b=??, è 2? 1 2 ???→?? → ∴|OA-tOB|2?的最小值為?3, ∴?OA-tOB?的最小值為?3. π 1

19、 3 2 的夾角為________. 3 π 1 3 4 1 2 |a-2b|=?(a-2b)2 1-4×??+4×??=1. =?a2-4a·b+4b2= 1????1 4????4 設向量?a-2b?與?a?的夾角為?θ?,cos??θ?=???????? =??, 所以?θ?= . a·(a-2b) 1 |a||a-2b| 2 又因為?θ?∈[0,π?], π 3 14.(2018·寧德質(zhì)檢)我國南北朝時期的數(shù)學家張丘建是世界數(shù)學史上解決不定方程的第一 人,他在《張丘建算經(jīng)》中給

20、出一個解不定方程的百雞問題,問題如下:雞翁一,值錢五, 雞母一,值錢三,雞雛三,值錢一.百錢買百雞,問雞翁母雛各幾何?用代數(shù)方法表述為: 設雞翁、雞母、雞雛的數(shù)量分別為 x,?y,?z,則雞翁、雞母、雞雛的數(shù)量即為方程組 ì?5x+3y+??=100, í z 3  的解.其解題過程可用程序框圖表示,如圖所示,則程序框圖中正 ??x+y+z=100 整數(shù)?m?的值為________. 7

21、 ì?5x+3y+??=100, 解析 由í 得?y=25-??x,故?x?必為?4?的倍數(shù), 15.若非零向量?a,b?滿足|b|=???2|a|,若(a+2b)⊥(3a-tb),a?與?b?的夾角等于 ,則實 答案 4 z 3 ??x+y+z=100, 7 4 當?x=4t?時,y=25-7t, 由?y=25-7t>0?得,t?的最大值為?3, 故判斷框應填入的是?t<4?, 即?m=4. π 4 數(shù)?t?的值為________. 答案 9 5 解析 由?a?與?b?的

22、夾角等于 可得 π??? a·b??? a·b 4?? |a||b|??? 2|?a|2 所以|a|2≠0,則有?3+6-t-4t=0,解得?t=??. 16.(2018·咸陽模擬)已知圓的半徑為?1,A,B,C,D?為該圓上四個點,且AB+AC=AD,則 π 4 cos = = ,故?a·b=|a|2. 由(a+2b)⊥(3a-tb)可得 3a2-ta·b+6a·b-2tb2=0, 即?3|a|2+(6-t)|a|2-4t|a|2=0, 又?a?為非零向量, 9 5 → → → △ABC?面積的最大值為________.

23、 8 解析 如圖所示,由AB+AC=AD知,四邊形?ABDC?為平行四邊形, 答案 1 → → → 2??? =??AD2, △ABC?的面積?S=??AB·AC≤??· △ABC??的面積取得最大值?×4=1. 又?A,B,C,D?四點共圓, ∴四邊形?ABDC?為矩形,即?BC?為圓的直徑, 1 1 AB2+AC2 1 2 2 4 ∴當?AD?是圓的直徑時,△ABC?的面積最大. ∴當?AB=AC?時, 1 4 我愛我的家 110 9

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