北師大八年級上《第1章勾股定理》單元測試(三)含答案解析

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1、《第1章 勾股定理》 　 一、選擇題 1．下列說法不能得到直角三角形的（　　） A．三個角度之比為1：2：3的三角形 B．三個邊長之比為3：4：5的三角形 C．三個邊長之比為8：16：17的三角形 D．三個角度之比為1：1：2的三角形 2．一個直角三角形，兩直角邊長分別為3和4，下列說法正確的是（　?。? A．斜邊長為5 B．三角形的周長為25 C．斜邊長為25 D．三角形的面積為20 3．下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長的是（　?。? A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15 4．已知一直角三角形的木版，三邊的平方和為1800c

2、m2，則斜邊長為（　　） A．80cm B．30cm C．90cm D．120cm 5．將直角三角形的三條邊長同時擴大同一倍數(shù)，得到的三角形是（　?。? A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 6．如圖所示，一圓柱高8cm，底面半徑為2cm，一只螞蟻從點A爬到點B處吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（　?。? A．20cm B．10cm C．14cm D．無法確定 7．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，則Rt△ABC的面積是（　?。? A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2 　 二、填空題 8．

3、等腰三角形的面積為48cm2，底邊上的高為6cm，腰長為　　cm． 9．如圖，64、400分別為所在正方形的面積，則圖中字母所代表的正方形面積是　?。? 10．如圖，直角三角形中未知邊的長度x=　?。? 11．三角形的三邊長分別是15，36，39，這個三角形是　　三角形． 12．已知甲乙兩個人從一個地點出，甲往東走了4km，乙往南走了3km，這時甲、乙倆人相距　?。? 13．如圖，帶陰影的正方形面積是　?。? 14．如圖，每個小正方形的邊長為1，則△ABC的面積等于　?。? 　 三、解答題 15．暑假中，小明到某海島探寶，如圖，他到達海島登陸點后先往東走8km，又往北走

4、2km，遇到障礙后又往西走3km，再折向北走6km處往東一拐，僅1km就找到寶藏，問登陸點到埋寶藏點的直線距離是多少？ 16．如圖，一根長度為50cm的木棒的兩端系著一根長度為70cm的繩子，現(xiàn)準備在繩子上找一點，然后將繩子拉直，使拉直后的繩子與木棒構(gòu)成一個直角三角形，這個點將繩子分成的兩段各有多長？ 17．如圖，長方體的長BE=20cm，寬AB=10cm，高AD=15cm，點M在CH上，且CM=5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點M，需要爬行的最短距離是多少？ 　 附加題 18．如圖：折疊長方形ABCD（四個角都是直角，對邊相等）的一邊AD，點D落在BC邊

5、的F處，已知AB=8cm，BC=10cm，則EC=　?。? 　 《第1章 勾股定理》 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．下列說法不能得到直角三角形的（　?。? A．三個角度之比為1：2：3的三角形 B．三個邊長之比為3：4：5的三角形 C．三個邊長之比為8：16：17的三角形 D．三個角度之比為1：1：2的三角形 【考點】勾股定理的逆定理；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】A、根據(jù)角的比值求出各角的度數(shù)，便可判斷出三角形的形狀； B、根據(jù)比值并結(jié)合勾股定理的逆定理即可判斷出三角形的形狀； C、根據(jù)比值并結(jié)合勾股定理的逆定理即可判斷出三角形的形狀； D、根據(jù)角的

6、比值求出各角的度數(shù)，便可判斷出三角形的形狀． 【解答】解：A、最大角=180°×=90°，故為直角三角形； B、32+42=52，故為直角三角形； C、82+162≠172，故不為直角三角形； D、最大角=180°×=90°，故為直角三角形． 故選：C． 【點評】此題考查了解直角三角形的相關(guān)知識，根據(jù)勾股定理的逆定理、三角形的內(nèi)角和定理結(jié)合解方程是解題的關(guān)鍵． 　 2．一個直角三角形，兩直角邊長分別為3和4，下列說法正確的是（　?。? A．斜邊長為5 B．三角形的周長為25 C．斜邊長為25 D．三角形的面積為20 【考點】勾股定理． 【分析】利用勾股定理求出后直接選取答

7、案． 【解答】解：兩直角邊長分別為3和4， ∴斜邊==5； 故選A． 【點評】此題較簡單關(guān)鍵是熟知勾股定理：在直角三角形中兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方． 　 3．下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長的是（　　） A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15 【考點】勾股定理的逆定理． 【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．如果沒有這種關(guān)系，這個就不是直角三角形． 【解答】解：A、1.52+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，故正確； B、72+242=252，符合勾股定理的

8、逆定理，故錯誤； C、62+82=102，符合勾股定理的逆定理，故錯誤； D、92+122=152，符合勾股定理的逆定理，故錯誤． 故選A． 【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進而作出判斷． 　 4．已知一直角三角形的木版，三邊的平方和為1800cm2，則斜邊長為（　?。? A．80cm B．30cm C．90cm D．120cm 【考點】勾股定理． 【分析】設(shè)此直角三角形的斜邊是c，根據(jù)勾股定理及已知不難求得斜邊的長． 【解答】解：設(shè)此直角三角形的斜邊是

9、c， 根據(jù)勾股定理知，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方． 所以三邊的平方和即2c2=1800，c=±30（負值舍去），取c=30． 故選B． 【點評】熟練運用勾股定理進行計算，從而求出斜邊的長． 　 5．將直角三角形的三條邊長同時擴大同一倍數(shù)，得到的三角形是（　?。? A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【考點】相似三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)三組對應邊的比相等的三角形相似，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以求解． 【解答】解：將直角三角形的三條邊長同時擴大同一倍數(shù)，得到的三角形與原三角形相似，因而得到的三角形是直角三角形． 故選C． 【點評】本題主要

10、考查相似三角形的判定以及性質(zhì)． 　 6．如圖所示，一圓柱高8cm，底面半徑為2cm，一只螞蟻從點A爬到點B處吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（　?。? A．20cm B．10cm C．14cm D．無法確定 【考點】平面展開-最短路徑問題． 【分析】先將圖形展開，根據(jù)兩點之間，線段最短，利用根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論． 【解答】解：如圖所示：沿AC將圓柱的側(cè)面展開， ∵底面半徑為2cm， ∴BC==2π≈6cm， 在Rt△ABC中， ∵AC=8cm，BC=6cm， ∴AB===10cm． 故選：B． 【點評】本題考查的是平面展開﹣最短路徑問題，熟知兩點之間，線段

11、最短是解答此類問題的關(guān)鍵． 　 7．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，則Rt△ABC的面積是（　　） A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2 【考點】勾股定理；完全平方公式． 【分析】要求Rt△ABC的面積，只需求出兩條直角邊的乘積．根據(jù)勾股定理，得a2+b2=c2=100．根據(jù)勾股定理就可以求出ab的值，進而得到三角形的面積． 【解答】解：∵a+b=14 ∴（a+b）2=196 ∴2ab=196﹣（a2+b2）=96 ∴ab=24． 故選A． 【點評】這里不要去分別求a，b的值，熟練運用完全平方公式的變形和勾股定

12、理． 　 二、填空題 8．等腰三角形的面積為48cm2，底邊上的高為6cm，腰長為　10　cm． 【考點】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)面積先求出底邊長，再利用勾股定理即可求出． 【解答】解：∵等腰三角形的面積為48cm2，底邊上的高為6cm， ∴底邊長=16cm， 根據(jù)勾股定理，腰長==10cm． 【點評】此題主要考查：等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)和勾股定理的應用． 　 9．如圖，64、400分別為所在正方形的面積，則圖中字母所代表的正方形面積是　336?。? 【考點】勾股定理． 【分析】要求圖中字母所代表的正方形面積，根據(jù)面積=邊長×邊長=邊長的平

13、方，設(shè)A的邊長為a，直角三角形斜邊的長為c，另乙直角邊為b，則c2=400，b2=64，已知斜邊和以直角邊的平方，由勾股定理可求出A的邊長的平方，即求出了圖中字母所代表的正方形的面積． 【解答】解：設(shè)A的邊長為a，直角三角形斜邊的長為c，另乙直角邊為b，則c2=400，b2=64， 如圖所示，在該直角三角形中， 由勾股定理得：a2=c2﹣b2=400﹣64=336， 所以，圖中字母所代表的正方形面積是a2=336． 【點評】本題主要考查勾股定理的應用和正方形的面積公式，關(guān)鍵在于熟練運用勾股定理求出正方形的邊長的平方． 　 10．如圖，直角三角形中未知邊的長度x=　13　．

14、【考點】勾股定理． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)勾股定理直接解答即可． 【解答】解：根據(jù)勾股定理可得： 52+122=x2， 解得：x=13或﹣13（舍去）． 故答案為：13． 【點評】本題考查了勾股定理的知識，難度不大，注意細心運算即可． 　 11．三角形的三邊長分別是15，36，39，這個三角形是　直角　三角形． 【考點】勾股定理的逆定理． 【分析】根據(jù)勾股定理逆定理，三角形兩短邊的平方和等于長邊的平方，即可得出其為直角三角形． 【解答】解：∵152+362=392，∴可得三角形為直角三角形． 【點評】熟練掌握勾股定理逆定理的應用． 　 12．已知甲乙兩個人

15、從一個地點出，甲往東走了4km，乙往南走了3km，這時甲、乙倆人相距　5km?。? 【考點】勾股定理的應用． 【分析】因為甲向東走，乙向南走，其剛好構(gòu)成一個直角．兩人走的距離分別是兩直角邊，則根據(jù)勾股定理可求得斜邊即兩人的距離． 【解答】解：如圖， ∵∠AOB=90°，OA=4km，OB=3km， ∴AB==5km， 故答案為5km． 【點評】此題主要考查學生對勾股定理的理解及實際生活中的運用． 　 13．如圖，帶陰影的正方形面積是　100?。? 【考點】勾股定理． 【分析】設(shè)帶陰影的正方形面的邊長為a，在該直角三角形中，由勾股定理可求出a2，正方形的面積=邊長×邊長

16、=a2，將求出的a2代入即可求出該正方形的面積． 【解答】解：設(shè)帶陰影的正方形面的邊長為a，如上圖所示： 在直角三角形中，由勾股定理可得： a2=62+82=100， 該正方形的面積為a2=100． 【點評】本題考查了勾股定理和求正方形的面積公式，在直角三角形，由勾股定理可求出正方形邊長的平方，即求出了正方形的面積． 　 14．（2009春?綿陽期末）如圖，每個小正方形的邊長為1，則△ABC的面積等于　7?。? 【考點】三角形的面積． 【分析】根據(jù)圖形，則三角形的面積等于矩形的面積減去3個直角三角形的面積． 【解答】解：△ABC的面積=4×5﹣（2×5+4×3+2×2）=

17、20﹣13=7． 【點評】此類題要善于把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積． 　 三、解答題 15．（2011秋?都江堰市校級期末）暑假中，小明到某海島探寶，如圖，他到達海島登陸點后先往東走8km，又往北走2km，遇到障礙后又往西走3km，再折向北走6km處往東一拐，僅1km就找到寶藏，問登陸點到埋寶藏點的直線距離是多少？ 【考點】勾股定理的應用． 【分析】通過行走的方向和距離得出對應的線段的長度，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求解． 【解答】解：過點B作BD⊥AC于點D， 根據(jù)題意可知，AD=8﹣3+1=6千米，BD=2+6=8千米， 在Rt△ADB中，由勾股定理得AB=

18、=10千米， 答：登陸點到寶藏處的距離為10千米． 【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理的應用，解題的根據(jù)是結(jié)合圖形，讀懂題意，根據(jù)題意找到需要的數(shù)量關(guān)系，運用勾股定理求線段的長度． 　 16．如圖，一根長度為50cm的木棒的兩端系著一根長度為70cm的繩子，現(xiàn)準備在繩子上找一點，然后將繩子拉直，使拉直后的繩子與木棒構(gòu)成一個直角三角形，這個點將繩子分成的兩段各有多長？ 【考點】勾股定理的應用． 【分析】設(shè)使拉直后的繩子與木棒構(gòu)成一個直角三角形的位置為點C，則AC+BC=70cm，設(shè)AC=x，則BC=（70﹣x）cm，利用勾股定理建立方程，解方程即可求出x的值． 【解答

19、】解：已知如圖：設(shè)AC=x，則BC=（70﹣x）cm， 由勾股定理得：502=x2+（70﹣x）2， 解得：x=40或30， 若AC為斜邊， 則502+（70﹣x）2=x2， 解得：x=， 若BC為斜邊， 則502+x2=（70﹣x）2， 解得：x=， 所以這個點將繩子分成的兩段各有30cm或40cm或cm或cm． 【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，正確的記憶勾股定理確定好斜邊與直角邊是解決問題的關(guān)鍵． 　 17．如圖，長方體的長BE=20cm，寬AB=10cm，高AD=15cm，點M在CH上，且CM=5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點M，需要爬

20、行的最短距離是多少？ 【考點】平面展開-最短路徑問題． 【分析】首先將長方體沿CH、HE、BE剪開，向右翻折，使面ABCD和面BEHC在同一個平面內(nèi)，連接AM；或?qū)㈤L方體沿CH、C′D、C′H剪開，向上翻折，使面ABCD和面DCHC′在同一個平面內(nèi)，連接AM，或?qū)㈤L方體沿AB、AF、EF剪開，向下翻折，使面CBEH和下面在同一個平面內(nèi)，連接AM，然后分別在Rt△ADM與Rt△ABM與Rt△ACM，利用勾股定理求得AM的長，比較大小即可求得需要爬行的最短路程． 【解答】解：將長方體沿CH、HE、BE剪開，向右翻折，使面ABCD和面BEHC在同一個平面內(nèi)，連接AM，如圖1， 由題意可得

21、：MD=MC+CD=5+10=15cm，AD=15cm， 在Rt△ADM中，根據(jù)勾股定理得：AM=15cm； 將長方體沿CH、C′D、C′H剪開，向上翻折，使面ABCD和面DCHC′在同一個平面內(nèi)，連接AM， 如圖2， 由題意得：BM=BC+MC=5+15=20（cm），AB=10cm， 在Rt△ABM中，根據(jù)勾股定理得：AM=10cm， 連接AM，如圖3， 由題意得：AC=AB+CB=10+15=25（cm），MC=5cm， 在Rt△ACM中，根據(jù)勾股定理得：AM=5 cm， ∵15＜10＜5， 則需要爬行的最短距離是15 cm． 【點評】此題考查了最短路徑問題，利

22、用了轉(zhuǎn)化的思想，解題的關(guān)鍵是將立體圖形展為平面圖形，利用勾股定理的知識求解． 　 附加題 18．如圖：折疊長方形ABCD（四個角都是直角，對邊相等）的一邊AD，點D落在BC邊的F處，已知AB=8cm，BC=10cm，則EC=　3cm　． 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【專題】數(shù)形結(jié)合． 【分析】利用勾股定理可得BF的長，也就求得了FC的長，進而利用勾股定理可得EC的長． 【解答】解：由折疊可知：AF=AD=BC=10，DE=EF． ∵AB=8， ∴BF==6， ∴FC=4，EF=ED=8﹣EC， 在Rt△EFC中， EC2+FC2=EF2，即EC2+42=（8﹣EC）2， 解得EC=3． 故答案為：3cm． 【點評】考查有關(guān)折疊問題的應用；利用兩次勾股定理得到所需線段長是解決本題的關(guān)鍵．