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1、第二章 部分習(xí)題分析與解答,2-2 假使地球自轉(zhuǎn)速度加快到能使赤道上的物體處于失重狀態(tài),一晝夜的時(shí)間有多長(zhǎng)?,解答:,按題意有:,分析:,由于物體地球自轉(zhuǎn)時(shí),有向心加速度存在.當(dāng)提供此加速度的力即為重力時(shí),物體處于失重狀態(tài),由向心加速度和角速度的關(guān)系就可得一晝夜所需的時(shí)間.,則地球自轉(zhuǎn)一天所需的時(shí)間為:,2-4 圖示一斜面,傾角為,底邊AB長(zhǎng)為l=2.1m,質(zhì)量為m的物體 從斜面頂端由靜止開始向下滑動(dòng),斜面的摩擦因數(shù)為=0.14.試問,當(dāng)為何值時(shí),物體在斜面上下滑的時(shí)間最短?其數(shù)值為多少?,解答:,取沿斜面為坐標(biāo)軸Ox,原點(diǎn)O位于斜面頂點(diǎn),則由牛頓第二定律有,分析:,該題關(guān)鍵在列出動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)
2、學(xué)方程后,解出傾角與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系=f(t),然后運(yùn)用對(duì) t求極值的方法即可得出數(shù)值來.,又物體在斜面上作勻變速直線運(yùn)動(dòng),故有:,則:,為使下滑時(shí)間最短,可令 ,由上式得:,則可得:,此時(shí):,2-8 直升飛機(jī)的螺旋槳由兩個(gè)對(duì)稱的葉片組成.每一葉片的質(zhì)量m=136kg,長(zhǎng)l=3.66m,求當(dāng)它的轉(zhuǎn)速n=320r/min時(shí),兩個(gè)葉片根部的張力.(設(shè)葉片是寬度一定、厚度均勻的薄片）,分析:,螺旋槳旋轉(zhuǎn)時(shí)，葉片上各點(diǎn)的加速度不同，在其各部分兩側(cè)的張力也不同；由于葉片的質(zhì)量是連續(xù)分布的，在求葉片根部的張力時(shí)，可選取葉片上一小段，分析其受力，列出動(dòng)力學(xué)方程，然后采用積分的方法求解。,解答:,設(shè)葉片根部為原
3、點(diǎn)O，沿葉片背離原點(diǎn)O的方向，距原點(diǎn)O為r處為dr一小段葉片，其兩側(cè)對(duì)它的拉力分別為FT（r）與FT（r+dr）葉片轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，該小段葉片作圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓定律有,由于 時(shí)外側(cè) ,所以有:,上式中取 ,即得葉片根部的張力,負(fù)號(hào)表示張力方向與坐標(biāo)方向相反.,2-9在一只半徑為R的半球形碗內(nèi)，有一粒質(zhì)量為m的小鋼球。當(dāng)鋼球以角速度在水平面內(nèi)沿碗內(nèi)壁作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，它距碗旅底有多高？,分析:,維持鋼球在水平面內(nèi)作勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，必須使鋼球受到一與向心加速度相對(duì)應(yīng)的力（向心力），而該力是由碗內(nèi)壁對(duì)球的支持力FN的分力來提供的，由于支持為FN始終垂直于碗內(nèi)壁，所以支持力的大小和方向是隨而變的。取圖示Oxy
4、坐標(biāo)，列出動(dòng)力學(xué)方程，即可求解鋼球距碗底的高度。,解答:,取鋼球?yàn)楦綦x體,其受力分析如圖所示.在圖示坐標(biāo)中列動(dòng)力學(xué)方程:,且有:,由上述各式可解得鋼球距離碗底的高度為:,可見,h隨 的變化而變化.,2-10一質(zhì)量為m的小球最初位于如圖2-10(a)所示的A點(diǎn)，然后沿半徑為r的光滑圓軌道ADCB下滑。試求小球到達(dá)點(diǎn)C時(shí)的角速度和對(duì)圓軌道的作用力。,分析:,該題可由牛頓第二定律求解。在取自然坐標(biāo)的情況下，沿圓弧方向的加速度就是切向加速度at，與其相對(duì)應(yīng)的外力Ft是重力的切向分量mgsin,而與法向加速度an相對(duì)應(yīng)的外力是支持力FN和重力的法向分量mgcos .由此，可分別列出切向和法向的動(dòng)力學(xué)方程
5、Ft=mdv/dt和Fn=man.由于小球在滑動(dòng)過程中加速度不是恒定的，因此，需應(yīng)用積分求解，為使運(yùn)算簡(jiǎn)便，可轉(zhuǎn)換積分變量。,解答:,小球在運(yùn)動(dòng)過程是受到重力P和圓軌道對(duì)它的支持力FN,取如圖所示的自然坐標(biāo)系,由牛頓定律得:,代入(1)式,并根據(jù)小球從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的始末條件,進(jìn)行積分,有:,得:,則小球在點(diǎn)C的角速度為:,由式(2)得:,由此可得小球?qū)A軌道的作用力為:,負(fù)號(hào)表示 與 反向.,2-12一質(zhì)量為10kg的質(zhì)點(diǎn)在力F=（120N.s-1)t+40N的作用下，沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)。在t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于x=5.0m處，其速度vo=6.0m.s-1.求質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和位置。,分析:,
6、這是在變力作用下的動(dòng)力學(xué)問題。由于力是時(shí)間的函數(shù)，而加速度a=dv/dt，這時(shí)，動(dòng)力學(xué)方程就成為速度對(duì)時(shí)間的一階微分方程，解此微分方程可得質(zhì)點(diǎn)的速度v(t)；由速度的定義v=dx/dt，用積分的方法可求出質(zhì)點(diǎn)的位置。,解答:,因加速度 ,在直線運(yùn)動(dòng)中,根據(jù)牛頓定律有:,依據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件,即t0=0時(shí),v0=6.0ms-2,運(yùn)用分離變量法對(duì)上式積分,得:,又因v=dx/dt,并由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件:t0=0時(shí)x0=5.0m,對(duì)上式分離變量積分,有,2-13輕型飛機(jī)連同駕駛員總質(zhì)量為1.0103kg,飛機(jī)以55.0ms-1的速率在水平跑道上著陸后,駕駛員開始制動(dòng),若阻力與時(shí)間成正比,比例系數(shù)
7、=5.0102 Ns-1,求(1)10s后飛機(jī)的速率;(2)飛機(jī)著陸后10s內(nèi)滑行的距離.,分析:,飛機(jī)連同駕駛員在水平跑道上運(yùn)動(dòng)可視為質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng),其水平方向所受制動(dòng)力F為變力,且是時(shí)間的函數(shù),在求速率和距離時(shí),可根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律,采用分離變量法求解.,解答:,以地面飛機(jī)滑行方向?yàn)樽鴺?biāo)正方向,由牛頓定律及初始條件,有:,因此,飛機(jī)著陸10s后的速率為:,又,故飛機(jī)著陸后10s內(nèi)所滑行的距離為:,2-15 自地球表面垂直上拋一物體,要使它不返回地面,其初速度最小為多少?(略去空氣阻力作用),分析:,要使豎直上拋物體能脫離地球不再返回地面,即使其離開地球引力的范圍,其速度V0,為此,可根據(jù)物體在地球引力場(chǎng)中的動(dòng)力學(xué)方程導(dǎo)出V-r關(guān)系加以討論,就可確定脫離地球引力場(chǎng)所需的最小初速度即逃逸速度.,解答:,由動(dòng)力學(xué)方程得:,為使初速度最小,可取末速度接近于零,即v=0,此時(shí)物體可視為無限遠(yuǎn),即h,由上式可得:,2-16 質(zhì)量為45.0kg的物體,由地面以初速60.0ms-1豎直向上發(fā)射,物體受到空氣的阻力為Fr=kv,且k=0.03N/ms-1. （1）求物體發(fā)射到最大高度所需的時(shí)間.（2）最大高度是多少?,解答:,(1)物體 在空中受重力mg和空氣阻力Fr=kv作用而減速.由牛頓定律得,根據(jù)始末條件對(duì)上式積分,有:,(2)利用 的關(guān)系代入式(1),可得:,分離變量后積分:,
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