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1、8.5直線、平面垂直的判定與性質(zhì),知識梳理,考點自測,1.直線與平面垂直,任意,mn=O,a,知識梳理,考點自測,b,ab,知識梳理,考點自測,2.平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義 兩個平面相交,如果它們所成的二面角是,就說這兩個平面互相垂直. (2)判定定理與性質(zhì)定理,直二面角,垂線,交線,l,知識梳理,考點自測,直線與平面垂直的五個結(jié)論 (1)若一條直線垂直于一個平面,則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線. (2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面. (3)垂直于同一條直線的兩個平面平行. (4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個,則這一條直線與另一個平面
2、也垂直. (5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面,它們的交線也垂直于第三個平面.,知識梳理,考點自測,1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”. (1)已知直線a,b,c,若ab,bc,則ac. () (2)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直,則l. () (3)設(shè)m,n是兩條不同的直線,是一個平面,若mn,m,則n. () (4)若兩平面垂直,則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面. () (5)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,則. (),,,,,,知識梳理,考點自測,2.已知互相垂直的平面,交于直線l.若直線m,n滿足m,n,則() A.mlB.mn C.nl
3、D.mn,C,解析:對于A,m與l可能平行或異面,故A錯;對于B、D,m與n可能平行、相交或異面,故B、D錯;對于C,因為n,l,所以nl,故C正確.故選C.,知識梳理,考點自測,3.如圖所示,在立體圖形D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中點,則下列結(jié)論正確的是() A.平面ABC平面ABD B.平面ABD平面BDC C.平面ABC平面BDE,且平面ADC平面BDE D.平面ABC平面ADC,且平面ADC平面BDE,C,解析:AB=CB,且E是AC的中點, BEAC,同理有DEAC, 而BEDE=E,AC平面BDE. AC在平面ABC內(nèi), 平面ABC平面BDE. 又AC在平面A
4、DC內(nèi), 平面ADC平面BDE.故選C.,知識梳理,考點自測,4.(2018黑龍江哈爾濱押題卷(一),9)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,過直線B1D1的平面平面A1BD,則平面截該正方體所得截面的面積為(),D,知識梳理,考點自測,解析:如圖所示,連接A1C1交B1D1于E,取AA1中點F,連接EF、AC1、FB1和FD1, 易得EFAC1,AC1面A1BD, EF面A1BD; EF面FB1D1, FB1D1為平面截該正方體所得截面,且EFB1D1;,知識梳理,考點自測,5.在矩形ABCD中,AB
5、出下列結(jié)論: 存在某個位置,使得直線AC與直線BD垂直; 存在某個位置,使得直線AB與直線CD垂直; 存在某個位置,使得直線AD與直線BC垂直. 其中正確結(jié)論的序號是.(寫出所有正確結(jié)論的序號),,知識梳理,考點自測,解析:如圖,AEBD,CFBD,連接CE, AB
6、CDAM. 又CDBD=D, AM平面BCD,即點A在平面BCD上的射影M位于邊BC上時,直線AB與直線CD垂直,故正確;,知識梳理,考點自測,若存在某個位置,使得直線AD與直線BC垂直,則BC平面ACD,從而平面ACD平面BCD,即A在底面BCD上的射影應(yīng)位于線段CD上,這是不可能的,排除. 故答案為.,考點一,考點二,考點三,考點四,證明空間線面垂直 例1(2018河南安陽核心押題一,18)等邊三角形ABC的邊長為6,O為三角形ABC的重心,EF過點O且與BC平行,將AEF沿直線EF折起,使得平面AEF平面BCFE. (1)求證:BE平面AOC; (2)求點O到平面ABC的距離.,考點5
7、,考點一,考點二,考點三,考點四,(1)證明 因為O為三角形ABC的重心, 所以AOBC,因為EFBC,所以AOEF, 因為平面AEF平面BCFE,平面AEF平面BCFE=EF,AO平面AEF, 所以AO平面BCFE,因為BE平面BCFE,所以AOBE, 因為O為三角形ABC的重心,所以COBE, 因為AO、CO平面AOC,AOCO=O,所以BE平面AOC. (2)解 等邊三角形ABC的邊長為6,O為三角形ABC的重心,,考點5,考點一,考點二,考點三,考點四,思考證明線面垂直的常用方法有哪些? 思路分析(1)由已知條件證得AO平面BCFE,AOBE,COBE得證. (2)運用等體積法求出點O
8、到平面ABC的距離. 解題心得證明線面垂直的常用方法 (1)利用線面垂直的判定定理. (2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直,則另一條也與這個平面垂直”. (3)利用“一條直線垂直于兩個平行平面中的一個,則與另一個也垂直”. (4)利用面面垂直的性質(zhì)定理.,考點5,考點一,考點二,考點三,考點四,考點5,對點訓(xùn)練1 如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,ACBD=O,A1C1B1D1=O1,四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形. (1)證明:O1O底面ABCD; (2)若CBA=60,求二面角C1-OB1-D的余弦值.,考點一,考點二,考點三,考點四,考點5,(1
9、)證明 如圖,因為四邊形ACC1A1為矩形,所以CC1AC. 同理DD1BD.因為CC1DD1, 所以CC1BD.而ACBD=O, 因此CC1底面ABCD. 由題設(shè)知,O1OC1C. 故O1O底面ABCD.,考點一,考點二,考點三,考點四,考點5,(2)解 如圖,過O1作O1HOB1于H,連接HC1.由(1)知,O1O底面ABCD,所以O(shè)1O底面A1B1C1D1,于是O1OA1C1.又因為四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,所以四邊形A1B1C1D1是菱形,因此A1C1B1D1,從而A1C1平面BDD1B1,所以A1C1OB1,于是OB1平面O1HC1,進而OB1C1H.故C1H
10、O1是二面角C1-OB1-D的平面角.,考點一,考點二,考點三,考點四,證明空間兩條直線垂直 例2(2018湖北荊州統(tǒng)考,18)如圖1所示,在梯形BCDE中,DEBC,且DE= BC,C=90,分別延長兩腰交于點A,點F為線段CD上的一點,將ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1FCD,如圖2所示. 圖1圖2 (1)求證:A1FBE; (2)若BC=6,AC=8,四棱錐A1-BCDE的體積為 ,求四棱錐A1-BCDE的表面積.,考點5,考點一,考點二,考點三,考點四,(1)證明 因為C=90,即ACBC,且DEBC, 所以DEAC,則DEDC,DEDA1, 又因為DCDA1=D, 所以
11、DE平面A1DC. 因為A1F平面A1DC, 所以DEA1F. 又因為A1FCD,CDDE=D, 所以A1F平面BCDE, 又因為BE平面BCDE, 所以A1FBE.,考點5,考點一,考點二,考點三,考點四,考點5,考點一,考點二,考點三,考點四,考點5,考點一,考點二,考點三,考點四,考點5,考點一,考點二,考點三,考點四,思考證明空間兩條直線垂直有哪些基本方法? 思路分析(1)先證DE平面A1DC,繼而DEA1F,又A1FCD,證得A1F面BCDE,即可證得A1FBE; (2)分別計算出梯形面積和四個三角形面積即可得到表面積.,考點5,考點一,考點二,考點三,考點四,解題心得1.證明線線垂
12、直的常用方法 (1)利用特殊圖形中的垂直關(guān)系. (2)利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì). (3)利用勾股定理的逆定理. (4)利用直線與平面垂直的性質(zhì). 2.在證明線線垂直時,要注意題中隱含的垂直關(guān)系,如等腰三角形底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形(或給出線段長度,經(jīng)計算滿足勾股定理)、直角梯形等等.,考點5,考點一,考點二,考點三,考點四,對點訓(xùn)練2如圖,四面體ABCD中,ABC是正三角形,AD=CD. (1)證明:ACBD; (2)已知ACD是直角三角形,AB=BD,若E為棱BD上與D不重合的點,且AEEC,求四面體ABC
13、E與四面體ACDE的體積比.,考點5,考點一,考點二,考點三,考點四,(1)證明 取AC的中點O,連接DO,BO. 因為AD=CD,所以ACDO. 又由于ABC是正三角形,所以ACBO. 又DOBO=O,從而AC平面DOB,故ACBD. (2)解 連接EO. 由(1)及題設(shè)知ADC=90,所以DO=AO. 在RtAOB中,BO2+AO2=AB2. 又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.,考點5,考點一,考點二,考點三,考點四,證明空間兩個平面垂直 例3(2018山東臨沂沂水一中一模,18)如圖,四棱錐P-ABCD中, PCD為等邊三角形,CD=AD=
14、2AB,E,S,T,Q為CD,PA,PB,AD的中點, ABC=BCD=PEA=90,平面STRQ平面ABCD=RQ. (1)證明:平面PAE平面STRQ; (2)若AB=1,求三棱錐Q-BCT的體積.,考點5,考點一,考點二,考點三,考點四,(1)證明 因為E為CD的中點,CD=2AB,ABC=BCD=90, 所以四邊形ABCE為矩形,所以AECD. 由已知易得RQCD,所以RQAE. 因為PEA=90,PECD=E, 故AE平面PCD, 故平面PCD平面ABCD. 因為PECD,所以PE平面ABCD. 因為RQ平面ABCD,所以RQPE. 又PEAE=E,所以RQ平面PAE. 所以平面P
15、AE平面STRQ.,考點5,考點一,考點二,考點三,考點四,考點5,考點一,考點二,考點三,考點四,思考證明面面垂直的常用方法有哪些? 思路分析(1)先證明RQ平面PAE,即證明平面PAE平面STRQ. (2)先計算點T到平面BCQ的距離為 ,再求三棱錐Q-BCT的體積.,考點5,考點一,考點二,考點三,考點四,解題心得1.面面垂直的證明方法 (1)定義法:利用面面垂直的定義,即判定兩平面所成的二面角為直二面角,將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題. (2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,把問題轉(zhuǎn)化成證明線面垂直加以解決. 2.三種垂
16、直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化,因此整個證明過程圍繞著線面垂直這個核心展開,這是化解空間垂直關(guān)系難點的技巧所在. 3.兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù),運用時要注意“平面內(nèi)的直線”這一條件.,考點5,考點一,考點二,考點三,考點四,對點訓(xùn)練3(2018全國1,文18)如圖,在平行四邊形ABCM中, AB=AC=3,ACM=90.以AC為折痕將ACM折起,使點M到達點D的位置,且ABDA. (1)證明:平面ACD平面ABC; (2)Q為線段AD上一點,P為線段BC上一點,且BP=DQ= DA,求三棱錐Q-ABP的體積.,考點5,考點一
17、,考點二,考點三,考點四,考點5,考點一,考點二,考點三,考點四,垂直關(guān)系中的存在問題 例4,考點5,考點一,考點二,考點三,考點四,(1)證明 在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB=2CD,DEAB, 沿DE將AED折起到A1ED的位置,DEA1E,DEBE, A1EBE=E,DE平面A1BE, A1B平面A1BE,DE丄A1B. (2)證明 取CD中點F,連接NF,MF, M,N分別為A1C,BE的中點, MFA1D,NFDE, 又DEA1D=D,NFMF=F,DE平面A1DE,A1D平面A1DE,NF平面MNF,MF平面MNF, 平面A1DE平面MNF. MN平面A1ED.,考
18、點5,考點一,考點二,考點三,考點四,(3)解 取A1B的中點G,連接EG, A1E=BE,EGA1B, 由(1)知DE平面A1BE, DEBC,BC平面A1BE, EGBC, 又A1BBC=B,EG平面A1BC. 故棱A1B上存在中點G,使得EG平面A1BC,,考點5,考點一,考點二,考點三,考點四,思考探索性問題的一般處理方法是什么? 解題心得線面垂直中的探索性問題同“平行關(guān)系中的探索性問題”的規(guī)律方法一樣,一般是先探求點的位置,多為線段的中點或某個三等分點,然后給出符合要求的證明.,考點5,考點一,考點二,考點三,考點四,對點訓(xùn)練4如圖1,在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC, AB
19、=2CD,DEAB,沿DE將AED折起到A1ED的位置,連接A1B,A1C,M,N分別為A1C,BE的中點,如圖2. (1)求證:DEA1B. (2)求證:MN平面A1ED. (3)在棱A1B上是否存在一點G,使得EG丄平面A1BC?若存在,求出 的值;若不存在,說明理由.,考點5,考點一,考點二,考點三,考點四,考點5,(1)證明 在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB=2CD,DEAB, 沿DE將AED折起到A1ED的位置,DEA1E,DEBE, A1EBE=E,DE平面A1BE, A1B平面A1BE,DE丄A1B. (2)證明 取CD中點F,連接NF,MF, M,N分別為A1C,
20、BE的中點, MFA1D,NFDE, 又DEA1D=D,NFMF=F,DE平面A1DE,A1D平面A1DE,NF平面MNF,MF平面MNF, 平面A1DE平面MNF. MN平面A1ED.,考點一,考點二,考點三,考點四,考點5,(3)解 取A1B的中點G,連接EG, A1E=BE,EGA1B, 由(1)知DE平面A1BE, DEBC,BC平面A1BE, EGBC, 又A1BBC=B,EG平面A1BC.,考點一,考點二,考點三,考點四,考點5,垂直的綜合運用 例5(2018全國2,文19)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=BC= , PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點. (1)證明:
21、PO平面ABC; (2)若點M在棱BC上,且MC=2MB,求點C到平面POM的距離.,考點一,考點二,考點三,考點四,考點5,考點一,考點二,考點三,考點四,考點5,考點一,考點二,考點三,考點四,考點5,思考空間距離如何求解? 解題心得1.直接找出過已知點的平面的垂線,利用平面幾何知識求解線段長度,注意余弦定理和直角三角形中勾股定理的應(yīng)用. 2.利用等積轉(zhuǎn)化法求解,即三棱錐等體積轉(zhuǎn)化求解點面距離. 3.將線面距離和面面距離轉(zhuǎn)化為點面距離,將點面距離利用平行等價轉(zhuǎn)化為易求點的點面距離.,考點一,考點二,考點三,考點四,考點5,對點訓(xùn)練5(2018安徽安慶模擬,19)如圖,已知四棱錐P-ABCD
22、的底面為菱形,BCD=120,AP=BP. (1)求證:PCAB; (2)若AB=PC=2,PC與平面ABC成30角,求點D到平面PBC的距離.,(1)證明 取AB中點E,連PE,CE. AP=BP,ABPE. 又四邊形ABCD為菱形,且BCD=120, ABC為等邊三角形, ABCE. 又PECE=E, AB平面PCE. PC平面PCE,PCAB.,考點一,考點二,考點三,考點四,考點5,(2)解 由(1)知AB平面PCE,AB平面ABC, 平面PCE平面ABC.過P作PFCE,垂足為F,則PF平面ABC, PCF為PC與平面ABC所成的角, PCF=30,,考點一,考點二,考點三,考點四,
23、1.轉(zhuǎn)化思想:垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 2.在證明兩平面垂直時,一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若圖中不存在這樣的直線,則可通過作輔助線來解決.如有平面垂直時,一般要用性質(zhì)定理,在一個平面內(nèi)作交線的垂線,使之轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.故熟練掌握“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問題的關(guān)鍵.,考點一,考點二,考點三,考點四,1.在解決直線與平面垂直的問題過程中,要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用,即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化. 2.面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù).我們要作一個平面的一條垂線,通常是先找這個平面的一個垂面,在這個垂面中,作交線的垂線即可.,
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