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1、,第十節(jié),一、最值定理,二、介值定理,*三、一致連續(xù)性,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),第一章,注意: 若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),,結(jié)論不一定成立 .,一、最值定理,定理1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù),即: 設(shè),,,則,使,值和最小值.,或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷,在該區(qū)間上一定有最大,(證明略),點 ,,例如,,無最大值和最小值,也無最大值和最小值,又如,,,,,,二、介值定理,由定理 1 可知有,證: 設(shè),上有界 .,定理2. ( 零點定理 ),至少有一點,且,使,( 證明略 ),,推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界.,定理3. ( 介值定理 ),設(shè),且,則對 A 與 B 之間的任一數(shù) C ,,一點,證: 作
2、輔助函數(shù),則,且,故由零點定理知, 至少有一點,使,即,推論: 在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),,,,,使,至少有,必取得介于最小值與,最大值之間的任何值 .,,例. 證明方程,一個根 .,證: 顯然,又,故據(jù)零點定理, 至少存在一點,使,即,說明:,內(nèi)必有方程的根 ;,取,的中點,內(nèi)必有方程的根 ;,,可用此法求近似根.,二分法,在區(qū)間,內(nèi)至少有,則,則,,,,內(nèi)容小結(jié),*三. 一致連續(xù)性,已知函數(shù),在區(qū)間 I 上連續(xù),,即:,一般情形,,就引出,了一致連續(xù)的概念 .,定義:,對任意的,都有,在 I 上一致連續(xù) .,顯然:,,,例如,,但不一致連續(xù) .,因為,取點,則,可以任意小,但,這說明,在( 0
3、 , 1 上不一致連續(xù) .,定理4.,上一致連續(xù).,(證明略),思考: P74 題 *7,提示:,設(shè),存在,,作輔助函數(shù),,顯然,內(nèi)容小結(jié),在,上達到最大值與最小值;,上可取最大與最小值之間的任何值;,4. 當,時,,使,必存在,上有界;,在,在,,1. 任給一張面積為 A 的紙片(如圖),,證明必可將它,思考與練習,一刀剪為面積相等的兩片.,提示:,建立坐標系如圖.,,則面積函數(shù),因,故由介值定理可知:,,,,,則,證明至少存在,使,提示: 令,則,易證,2. 設(shè),作業(yè) P74 (習題110） 2 ; 3; 5,一點,習題課,備用題,至少有一個不超過 4 的,證：,證明,令,且,根據(jù)零點定理
4、 ,,原命題得證 .,內(nèi)至少存在一點,在開區(qū)間,顯然,正根 .,和差化積公式 sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 積化和差公式 sincos=sin(+)+sin(-)/2 cossin=sin(+)-sin(-)/2 coscos=cos(+)+cos(-)/2 sinsin=-cos(+)-cos(-)/2 其他的一些公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB sin2A=2sinAcosA cos2A=(cosA)2-(sinA)2=2(cosA)2-1=1-2(sinA)2 (cosA)2=(1+cos2A)/2 (sinA)2=(1-cos2A)/2,
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