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1、第四節(jié) 二次函數(shù)
【回顧與思考】
【例題經(jīng)典】
由拋物線的位置確定系數(shù)的符號
例1 (1)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖1,則點M(b,)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
(2)(2005年武漢市)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖2所示,則下列結(jié)論:①a、b同號;②當(dāng)x=1和x=3時,函數(shù)值相等;③4a+b=0;④當(dāng)y=-2時,x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
2、 (1) (2)
【點評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a,b,c之間的關(guān)系,是解決問題的關(guān)鍵.
會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式
例2 (2006年煙臺市)如圖(單位:m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形移動,直到AB與CD重合.設(shè)x秒時,三角形與正方形重疊部分的面積為ym2.
(1)寫出y與x的關(guān)系式;
(2)當(dāng)x=2,3.5時,y分別是多少?
(3)當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時,三角形移動了多長時間?
求拋物線頂點坐標(biāo)、對稱軸.
例3
3、 (2005年天津市)已知拋物線y=x2+x-.
(1)用配方法求它的頂點坐標(biāo)和對稱軸.
(2)若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B,求線段AB的長.
【點評】本題(1)是對二次函數(shù)的“基本方法”的考查,第(2)問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系.
【考點精練】
基礎(chǔ)訓(xùn)練
1.二次函數(shù)y=x2的圖象向右平移3個單位,得到新的圖象的函數(shù)表達式是( )
A.y=x2+3 B.y=x2-3 C.y=(x+3)2 D.y=(x-3)2
2.二次函數(shù)y=-(x-1)2+3圖像的頂點坐標(biāo)是( )
A.(
4、-1,3) B.(1,3) C.(-1,-3) D.(1,-3)
3.二次函數(shù)y=x2+x-6的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)是( )
A.2和-3 B.-2和3 C.2和3 D.-2和-3
4.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①a>0;②c>0;③b2-4ac>0,其中正確的個數(shù)是( )
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
5.(2006年常德市)根據(jù)下列表格中二次函數(shù)y=ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的對應(yīng)值,判斷方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c
5、為常數(shù))的一個解x的范圍是( )
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y=ax2+bx+c
-0.03
-0.01
0.02
0.04
A.6
6、2006年宿遷市)將拋物線y=x2向左平移4個單位后,再向下平移2個單位,則此時拋物線的解析式是________.
9.(2006年錦州市)已知二次函數(shù)的圖象開口向上,且頂點在y軸的負(fù)半軸上,請你寫出一個滿足條件的二次函數(shù)的表達式________.
10.(2006年長春市)函數(shù)y=x2+bx-c的圖象經(jīng)過點(1,2),則b-c的值為______.
能力提升
11.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象過正方形ABOC的三個頂點A,B,C,則ac的值是________.
12.觀察下面的表格:
x
0
1
2
ax2
7、
2
ax2+bx+c
4
6
(1)求a,b,c的值,并在表格內(nèi)的空格中填上正確的數(shù);
(2)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的頂點坐標(biāo)與對稱軸.
13.(2006年南通市)已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A,B,C三點,當(dāng)x≥0時,其圖象如圖所示.
(1)求拋物線的解析式,寫出拋物線的頂點坐標(biāo);
(2)畫出拋物線y=ax2+bx+c當(dāng)x<0時的圖象;
(3)利用拋物線y=ax2+bx+c,寫出x為何值時,y>0.
14.(2006年長春市)如圖,P為拋物線y=x
8、2-x+上對稱軸右側(cè)的一點,且點P在x軸上方,過點P作PA垂直x軸于點A,PB垂直y軸于點B,得到矩形PAOB.若AP=1,求矩形PAOB的面積.
15.(2006年莆田市)枇杷是莆田名果之一.某果園有100棵枇杷樹,每棵平均產(chǎn)量為40千克.現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些枇杷樹以提高產(chǎn)量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹接受的陽光就會減少.根據(jù)實踐經(jīng)驗,每多種一棵樹,投產(chǎn)后果園中所有的枇杷樹平均每棵就會減少產(chǎn)量0.25千克.問:增種多少棵枇杷樹,投產(chǎn)后可以使果園枇杷的總產(chǎn)量最多?最多總產(chǎn)量是多少千克?[注:拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標(biāo)是(-,)]
9、
應(yīng)用與探究
16.(2006年常州市)在平面直角坐標(biāo)系中,已知二次函數(shù)y=a(x-1)2+k的圖像與x軸相交于點A、B,頂點為C,點D在這個二次函數(shù)圖像的對稱軸上,若四邊形ABCD是一個邊長為2且有一個內(nèi)角為60°的菱形,求此二次函數(shù)的表達式.
答案:
例題經(jīng)典
例1:(1)D (2)B 例2:(1)y=2x2,(2)8;24.5;(3)5秒.
例3:(1)頂點(-1,-3),對稱軸x=-1,(2)2
考點精練
1.D 2.B 3.A 4.C 5.C 6.C 7.x=-1 8.y=(x+4)2-2(y=x2+8x+14
10、)
9.答案不唯一,符合要求即可.如:y=x2-2 10.1 11.-2
12.(1)a=2,b=-3,c=4,0,8,3 (2)頂點(,)對稱軸是直線x=
13.(1)y=-x2+x+2,頂點坐標(biāo)(,) (2)略,(3)當(dāng)-10.
14.∵PA⊥x軸,AP=1,∴點P的縱坐標(biāo)為1.當(dāng)y=1時,x2-x+=1,
即x2-2x-1=0,解得x1=1+,x2=1-,
∵拋物線的對稱軸為x=1,點P在對稱軸的右側(cè),
∴x=1+,∴矩形PAOB的面積為(1+)個平方單位.
15.設(shè)增種x棵時,果園的總產(chǎn)量為y千克,
根據(jù)題意得:y=(100+x)(40
11、-0.25x)=4000-25x+40x-0.25x2=-0.25x2+15x+4000,
∵a=-0.25<0,
∴當(dāng)x=-=-=30時,y最大,
y最大值===4225.
答:當(dāng)增種30棵枇杷樹時,投產(chǎn)后果園總產(chǎn)量最多,達4225千克.
16.解:本題共四種情況,設(shè)二次函數(shù)的圖像的對稱軸與x軸相交于點E,
(1)如圖①,
當(dāng)∠CAD=60°時,因為ABCD為菱形,一邊長為2,
所以DE=1,BE=,所以點B的坐標(biāo)為(1+,0),點C的坐標(biāo)為(1,-1),
解得k=-1,a=,所以y=(x-1)2-1.
(2)如圖②,當(dāng)∠ACB=60°時,由菱形性質(zhì)知點A的坐標(biāo)為(0,0),
點C的坐標(biāo)為(1,),解得k=-,a=,所以y=(x-1)2-,
同理可得:y=-(x-1)2+1=,y=-(x-1)2+,
所以符合條件的二次函數(shù)的表達式有:
y=(x-1)2-1,
y=(x-1)2-,
y=-(x-1)2+1,
y=-(x-1)2+.
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