2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三章 柯西不等式與排序不等式 3.1 二維形式的柯西不等式課件 新人教A版選修4-5.ppt

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1、一二維形式的柯西不等式,1.二維形式的柯西不等式 (1)二維形式的柯西不等式:若a,b,c,d都是實(shí)數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí),等號(hào)成立. (2)柯西不等式推論:,,,,,,,,,,,,做一做1下列不等式中,不一定成立的是(),解析：由柯西不等式可知選項(xiàng)A,B,C均正確,選項(xiàng)D錯(cuò)誤. 答案：D,2.柯西不等式的向量形式 設(shè),是兩個(gè)向量,則||||||,當(dāng)且僅當(dāng)是零向量,或存在實(shí)數(shù)k,使=k時(shí),等號(hào)成立.,,名師點(diǎn)撥1.平面直角坐標(biāo)系上一個(gè)向量從原點(diǎn)出發(fā)的由兩個(gè)量決定:橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo),所以“二維”就要有四個(gè)量,因此柯西不等式的向量形式可以認(rèn)為是四個(gè)數(shù)

2、組合成的一種不等關(guān)系. 2.二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式與向量形式是一致的,只是表現(xiàn)方式不同.,做一做2若a=(cos ,sin ),b=(3cos 2,3sin 2),則ab的取值范圍是. 解析：由已知得|a|=1,|b|=3,而|ab||a||b|=3,所以-3ab3,即ab的取值范圍是-3,3. 答案：-3,3,解析：因?yàn)閨ab||a||b|= =5,所以-5ab5(當(dāng)且僅當(dāng)a=kb,即k=1時(shí),等號(hào)成立),即ab的最大值為5. 答案：B,3.二維形式的三角不等式 (1)二維形式的三角不等式:若x1,y1,x2,y2R,,思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“”

3、,錯(cuò)誤的畫“”.,,,,,探究一,探究二,探究三,思維辨析,利用二維形式的柯西不等式證明不等式 分析：根據(jù)柯西不等式的結(jié)構(gòu),先將待證不等式右邊添乘cos2+sin2,以符合柯西不等式的形式,再進(jìn)行論證和推理.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟利用二維形式柯西不等式的代數(shù)形式的證明技巧,2.證明時(shí)往往需要將數(shù)學(xué)表達(dá)式適當(dāng)變形,如“添項(xiàng)、拆項(xiàng)、分解、組合、配方、變量替換”等,這些變形要求具有很高的技巧,必須善于分析題目的特征,才能找到問題的突破口.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,利用二維形式的柯西不等式求最值,分析：可考慮“1”的代換,將x+y化為(

4、x+y) ,再利用柯西不等式求最值.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟利用柯西不等式求最值的注意點(diǎn): (1)不等式的形式特點(diǎn),利用二維形式的柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2解題時(shí),要對(duì)照柯西不等式,弄清要求的問題中哪樣的數(shù)或代數(shù)式分別相當(dāng)于柯西不等式中的“a,b,c,d”,否則容易出錯(cuò). (2)等號(hào)成立的條件,利用二維形式的柯西不等式解題時(shí),一定要寫明等號(hào)成立的條件,否則題目的解題過程是不完善的.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練2(1)設(shè)x,yR,且2x+3y=13,則x2+y2的最小值為. (2)函數(shù)f(x)= 的最大值等于. 解析：

5、(1)由柯西不等式可得(2x+3y)2(22+32)(x2+y2),當(dāng)且僅當(dāng)2y=3x時(shí),等號(hào)成立,因?yàn)?x+3y=13,所以x2+y213(當(dāng)且僅當(dāng)x=2,y=3時(shí),等號(hào)成立).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,柯西不等式的向量形式的應(yīng)用,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟利用柯西不等式的向量形式解決問題的技巧與方法:應(yīng)用二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式解決問題時(shí)常需要構(gòu)造兩列數(shù),同樣,向量形式的柯西不等式需要構(gòu)造兩個(gè)向量,通常我們使構(gòu)造的向量先滿足待證不等式一側(cè)的形式,再證另一側(cè).同時(shí)要注意向量模的計(jì)算公式|a|=

6、 對(duì)代數(shù)式的影響.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練3設(shè)a=(-2,2),|b|=6,則ab的最小值是,此時(shí)b=.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,柯西不等式使用不當(dāng)致錯(cuò),探究一,探究二,探究三,思維辨析,糾錯(cuò)心得柯西不等式在求二元代數(shù)式的最值中具有重要的應(yīng)用,解題中,一是要熟記柯西不等式的基本形式及其各種變式,二是要注意不等式中等號(hào)成立的條件,這是能否取得相應(yīng)最值的關(guān)鍵.如果公式記憶不準(zhǔn)確,等號(hào)成立條件忽視,就容易導(dǎo)致錯(cuò)誤.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,答案：3,1 2 3 4,,,,,1.若x,yR,且x+y=1,則x2+y2的最小值為(),答案：D,1 2 3 4,,,,,2.已知a,b,x1,x2(0,+),則使不等式(ax1+bx2)(bx1+ax2)x1x2成立的一個(gè)條件是() A.a+b=1B.a2+b2=1 C.a=b=1D.a2+b2=,答案：A,1 2 3 4,,,,,3.設(shè)a,bR,且a2+b2=5,則3a+b的最小值為(),答案：D,1 2 3 4,,,,,4.已知x+y=1,則2x2+3y2的最小值是.,