《2018-2019版高中數(shù)學 第四講 數(shù)學歸納法證明不等式 一 數(shù)學歸納法課件 新人教A版選修4-5.ppt》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018-2019版高中數(shù)學 第四講 數(shù)學歸納法證明不等式 一 數(shù)學歸納法課件 新人教A版選修4-5.ppt(35頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、一數(shù)學歸納法,第四講用數(shù)學歸納法證明不等式,,學習目標 1.了解數(shù)學歸納法的基本原理. 2.了解數(shù)學歸納法的應用范圍. 3.會用數(shù)學歸納法證明一些簡單問題.,,,問題導學,達標檢測,,題型探究,內(nèi)容索引,問題導學,,知識點數(shù)學歸納法,,,,,在學校,我們經(jīng)常會看到這樣的一種現(xiàn)象:排成一排的自行車,如果一個同學將第一輛自行車不小心弄倒了,那么整排自行車就會倒下. 思考1試想要使整排自行車倒下,需要具備哪幾個條件?,答案第一輛自行車倒下; 任意相鄰的兩輛自行車,前一輛倒下一定導致后一輛倒下.,思考2由這種思想方法所得的數(shù)學方法叫數(shù)學歸納法,那么,數(shù)學歸納法適用于解決哪類問題?,答案適合解決一些與正
2、整數(shù)n有關(guān)的問題.,梳理數(shù)學歸納法的概念及步驟 (1)數(shù)學歸納法的定義 一般地,當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時,可以用以下兩個步驟: 證明當 時命題成立; 假設當 時命題成立,證明 時命題也成立. 在完成了這兩個步驟后,就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學歸納法.,nn0,nk1,nk(kN,且kn0),(2)數(shù)學歸納法適用范圍 數(shù)學歸納法的適用范圍僅限于與 有關(guān)的數(shù)學命題的證明. (3)數(shù)學歸納法的基本過程,正整數(shù),題型探究,,類型一用數(shù)學歸納法證明等式,(2)假設當nk(k1)時,等式成立,,即當n
3、k1時,等式也成立. 由(1)(2)可知,原等式對nN均成立.,證明,反思與感悟利用數(shù)學歸納法證明代數(shù)恒等式時要注意兩點:一是要準確表述nn0時命題的形式,二是要準確把握由nk到nk1時,命題結(jié)構(gòu)的變化特點.并且一定要記?。涸谧C明nk1成立時,必須使用歸納假設.,證明,(2)假設當nk(k1,kN)時,等式成立, 即122232k2,當nk1時,122232k2(k1)2,所以當nk1時等式也成立. 由(1)(2)可知,等式對任何nN都成立.,,類型二證明與整除有關(guān)的問題,例2求證:x2ny2n(nN)能被xy整除.,證明,證明(1)當n1時,x2y2(xy)(xy)能被xy整除. (2)假設
4、nk(k1,kN)時,x2ky2k能被xy整除, 那么當nk1時,x2k2y2k2 x2x2ky2y2kx2y2kx2y2k x2(x2ky2k)y2k(x2y2). x2ky2k與x2y2都能被xy整除, x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除. 即當nk1時,x2k2y2k2能被xy整除. 由(1)(2)可知,對任意正整數(shù)n,命題均成立.,反思與感悟利用數(shù)學歸納法證明整除問題時,關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式.這往往要利用“添項”與“減項”“因式分解”等變形技巧來湊出nk時的情形,從而利用歸納假設使問題得證.,跟蹤訓練2用數(shù)學歸納法證明:n3(n1)3(n2)3能被9整
5、除(nN).,證明,證明(1)當n1時,13233336能被9整除, 所以結(jié)論成立. (2)假設當nk(kN,k1)時結(jié)論成立, 即k3(k1)3(k2)3能被9整除. 則當nk1時,(k1)3(k2)3(k3)3 k3(k1)3(k2)3(k3)3k3 k3(k1)3(k2)39k227k27 k3(k1)3(k2)39(k23k3). 因為k3(k1)3(k2)3能被9整除,,9(k23k3)也能被9整除, 所以(k1)3(k2)3(k3)3也能被9整除, 即當nk1時結(jié)論也成立. 由(1)(2)知,命題對一切nN成立.,,類型三用數(shù)學歸納法證明幾何命題,例3有n個圓,任意兩個圓都相交于兩
6、點,任意三個圓不相交于同一點,求證這n個圓將平面分成f(n)n2n2個部分(nN).,證明,證明(1)當n1時,一個圓將平面分成兩個部分, 且f(1)1122, 所以n1時命題成立. (2)假設nk(k1)時命題成立, 即k個圓把平面分成f(k)k2k2個部分. 則當nk1時,,在k1個圓中任取一個圓O,剩下的k個圓將平面分成f(k)個部分,而圓O與k個圓有2k個交點,這2k個點將圓O分成k段弧,每段弧將原平面一分為二, 故得f(k1)f(k)2kk2k22k (k1)2(k1)2. 所以當nk1時,命題成立. 綜合(1)(2)可知,對一切nN,命題成立.,反思與感悟(1)數(shù)學歸納法證明幾何問
7、題的關(guān)鍵在于分析清楚nk與nk1時二者的差異,這時常常借助于圖形的直觀性,然后用數(shù)學式子予以描述,建立起f(k)與f(k1)之間的遞推關(guān)系,實在分析不出的情況下,將nk1和nk分別代入所證的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加說明即可. (2)利用數(shù)學歸納法證明幾何問題要注意利用數(shù)形結(jié)合尋找公式,還要注意結(jié)論要有必要的文字說明.,證明,證明(1)當n1時,一條直線把平面分成兩個區(qū)域,,n1時命題成立. (2)假設當nk(k1,kN)時,命題成立,,第k1條直線被這k條直線分成k1段,每段把它們所在的區(qū)域分成了兩塊, 因此增加了k1個區(qū)域,,當nk1時命題也成立. 由(1)(2)知,對一
8、切的nN,此命題均成立.,達標檢測,1.用數(shù)學歸納法證明“凸n邊形的內(nèi)角和等于(n2)”時,歸納奠基中n0的取值應為 A.1 B.2 C.3 D.4,1,2,3,4,解析邊數(shù)最少的凸n邊形為三角形,故n03.,解析,答案,,2.用數(shù)學歸納法證明1aa2an1 (nN,a1),在驗證n1成立時,左邊所得的項為 A.1 B.1aa2 C.1a D.1aa2a3,答案,,1,2,3,4,解析當n1時,n12,故左邊所得的項為1aa2.,解析,3.用數(shù)學歸納法證明34n152n1(nN)能被8整除,當nk1時,34(k1)152(k1)1應變形為__________________________
9、______________________ ____________.,1,2,3,4,答案,解析34(k1)152(k1)134k552k38134k12552k18134k18152k15652k181(34k152k1)5652k1.,解析,81(34k152k1)5652k1(或25(34k152k1),5634k1),1,2,3,4,4.用數(shù)學歸納法證明13(2n1)n2(nN).,證明(1)當n1時,左邊1,右邊1,等式成立. (2)假設當nk(k1)時,等式成立, 即13(2k1)k2, 那么,當nk1時, 13(2k1)2(k1)1k22(k1)1k22k1(k1)2. 所以
10、當nk1時等式成立. 由(1)和(2)可知等式對任意正整數(shù)n都成立.,證明,1.應用數(shù)學歸納法時應注意的問題 (1)第一步中的驗證,對于有些問題驗證的并不是n1,有時需驗證n2,n3. (2)對nk1時式子的項數(shù)以及nk與nk1的關(guān)系的正確分析是應用數(shù)學歸納法成功證明問題的保障. (3)“假設nk時命題成立,利用這一假設證明nk1時命題成立”,這是應用數(shù)學歸納法證明問題的核心環(huán)節(jié),對待這一推導過程決不可含糊不清,推導的步驟要完整、嚴謹、規(guī)范.,規(guī)律與方法,2.判斷利用數(shù)學歸納法證明問題是否正確. (1)是要看有無歸納基礎(chǔ). (2)是證明當nk1時是否應用了歸納假設. 3.與n有關(guān)的整除問題一般都用數(shù)學歸納法證明.其中關(guān)鍵問題是從當nk1時的表達式中分解出nk時的表達式與一個含除式的因式或幾個含除式的因式,這樣才能得出結(jié)論成立.,本課結(jié)束,,