2011-2012年高考數學 真題分類匯編 第二章數列（含解析）新人教版必修5

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1、數列 1.（2012·重慶高考卷·T1·5分）在等差數列中，，則的前5項和= A.7 B.15 C.20 D.25 [答案]B [解析]從 [點評]考查等差數列的前n項和公式及性質，屬基礎題. 2.（2012·四川高考卷·T12·5分）設函數，是公差為的等差數列，，則（ ） A、 B、 C、 D、 [答案]D [解析]∵數列{an}是公差為的等差數列，且 ∴ ∴ 即 得 ∴ [點評]本題難度較大，綜合性很強.突出考查了等

2、差數列性質和三角函數性質的綜合使用，需考生加強知識系統(tǒng)、網絡化學習. 另外，隱蔽性較強，需要考生具備一定的觀察能力. 3.（2012·安徽高考卷·T4·5分）公比為2的等比數列{} 的各項都是正數，且=16，則（ ） （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 【答案】B 【解析】利用等比數列性質.設等比數列的公比為，，則，所以，故. 【技巧點撥】等比數列運算是注意整體運算和等比數列的運用，這樣可以提高解題效率，同時還應該注意運用選擇題的題型特征，廣開思路采用多種方法和技巧，快速突破.

3、 3．（2011年四川）數列的首項為，為等差數列且． 若，，則 A．0 B．3 C．8 D．11 【答案】B 【解析】由已知知由疊加法 4．（2011年四川）已知定義在上的函數滿足，當時，．設在上的最大值為，且的前項和為，則 A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由題意,在上， 5．（2011年上海）設是各項為正數的無窮數列，是邊長為的矩形面積（），則為等比數列的充要條件為 A．是等比數列。 B．或是等比數列。 C．和均是等比數列。 D．和均是等比數列，且公比相同

4、。 【答案】D 6．（2011年全國大綱）設為等差數列的前項和，若，公差，，則 A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 7．（2011年江西） 已知數列{}的前n項和滿足：，且=1．那么= A．1 B．9 C．10 D．55 【答案】A 8．（2011年福建）已知函數f（x）=e+x，對于曲線y=f（x）上橫坐標成等差數列的三個點A,B,C，給出以下判斷： ①△ABC一定是鈍角三角形 ②△ABC可能是直角三角形 ③△ABC可能是等腰三角形 ④△ABC不可能是等腰三角形 其中，正確的判斷是

5、 A．①③ B．①④ C． ②③ D．②④ 【答案】B 9.（2012·北京高考卷·T10·5分）已知{an}為等差數列，Sn為其前n項和，若a1= ，S2=a3，則a2=_________，Sn=_________________. [答案]1， [解析]本題考查等差數列的基本計算，難度不大，因為 ，所以 [點評]等差、等比數列的通項公式、前n項和公式是必須要掌握的內容，并會熟練應用. 10．（2011年湖南）設是等差數列，的前項和，且， 則= ． 【答案】25 11．（2011年重慶）在等差數列中，，則__________ 【答

6、案】74 12．（2011年北京）在等比數列{an}中，a1=，a4=-4，則公比q=______________；____________?！? 【答案】 13．（2011年安徽）已知的一個內角為120o，并且三邊長構成公差為4的 等差數列，則的面積為_______________. 【答案】 14.（2012·四川高考卷·T20·12分）已知數列的前項和為，且對一切正整數都成立。 （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）設，數列的前項和為，當為何值時，最大？并求出的最大值。 [解析]取n=1,得 ① 取n=2,得 ② 又②-①，得 ③ （

7、1）若a2=0, 由①知a1=0, (2)若a2, ④ 由①④得： （2）當a1>0時,由（I）知， 當 , (2+)an-1=S2+Sn-1 所以，an= 所以 令 所以，數列{bn}是以為公差，且單調遞減的等差數列. 則 b1>b2>b3>…>b7= 當n≥8時，bn≤b8= 所以，n=7時，Tn取得最大值，且Tn的最大值為 T7= [點評]本小題主要從三個層面對考生進行了考查. 第一，知識層面：考查等差數列、等比數列、對數等基礎知識；第二，能力層面：考查思維、運算、分析問題和解決問題的能力；第三，數學思想：考查方程、分類與整合、化歸與轉化等數學思

8、想. 15.（2012·湖南高考卷·T19·12分） 已知數列{an}的各項均為正數，記A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，…… [來^&源:中教網@~%] （1） 若a1=1，a2=5，且對任意n∈N﹡，三個數A（n），B（n），C（n）組成等差數列，求數列{ an }的通項公式. （2） 證明：數列{ an }是公比為q的等比數列的充分必要條件是：對任意，三個數A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數列. 【解析】 解（１）對任意,三個數是等差數列，所以 　　　　　　　　　　　　

9、 即亦即 故數列是首項為１，公差為４的等差數列.于是 （Ⅱ）（１）必要性：若數列是公比為ｑ的等比數列，則對任意，有 由知，均大于０，于是 　　　　 　　　　 即＝＝，所以三個數組成公比為的等比數列. （２）充分性：若對于任意，三個數組成公比為的等比數列， 則 　　　， 于是得即 　　　 由有即，從而. 因為，所以，故數列是首項為，公比為的等比數列， 綜上所述，數列是公比為的等比數列的充分必要條件是：對任意n∈N﹡，三個數組成公比為的等比數列. 【點評】本題考查等差數列、等比數列的定義、性質及充要條件的證明.第一問由等差數列定義可得；第二問要從充分性、必要性兩

10、方面來證明，利用等比數列的定義及性質易得證. 16.（2012·重慶高考卷·T21·12分）設數列的前項和滿足，其中. （I）求證：是首項為1的等比數列； （II）若，求證：，并給出等號成立的充要條件. [解析] （Ⅰ）證明： （II）證明：當n=1或n=2時，易知成立， 當時，成立； 當時， ①當時，上面不等式可化為 設 ②當時，，由已證結論得： 綜上所述，當當且僅當n=1,2或時等號成立. [點評]考查數列的通項與前n項和的關系、等比數列的證明，求和公式及不等式的證明，考查學生的運算能力和轉化能力，以及對分類討論思想、函數思想等常用數學思

11、想方法的熟練程度，充分體現了數列的函數性，難度很大，平時復習中不宜過多涉及. 17.（2012·安徽高考卷·T21·13分） 數列滿足：. （I）證明：數列是單調遞減數列的充分必要條件是； （II）求的取值范圍，使數列是單調遞增數列. 【解題指導】本題考查數列概念及其性質，不等式及其性質，充要條件的意義，數列與函數的關系等基礎知識，考查綜合運用知識分析問題的能力，推理論證和運算求解的能力. 【解析】（I）必要條件 當時，數列是單調遞減數列； 充分條件 數列是單調遞減數列. 得：數列是單調遞減數列的充分必要條件是. （II）由（I）得：. ①當時，，不合題意

12、； ②當時，， ， . 當時，與同號， 由， . 當時，存在，使與異號. 與數列是單調遞減數列矛盾，得：當時，數列是單調遞增數列. 【規(guī)律總結】安徽高考理科對數列的考查一般以等差等比數列求通項、求前項和為主要形式，淡化遞推公式的運用，有時也結合函數性質、不等式強化綜合性，增加難度，運用數學歸納法解題.十分注重推理能力的考察，但推理能力不再是數列遞推，而是常用邏輯中的充分必要條件，安徽高考已經不止一次這樣考察了，2010年對數列的考查是這樣的，今年也是，這一點要引起我們的重視. 18．（2011年江蘇）設Ｍ部分為正整數組成的集合，數列，前n項和為，已知對任意整數kM，當整數都

13、成立 （1）設的值； （2）設的通項公式 本小題考查數列的通項與前項和的關系、等差數列的基本性質等基礎知識，考查考生分析探究及邏輯推理的能力，滿分16分。 解：（1）由題設知，當， 即， 從而 所以的值為8。 （2）由題設知，當 ， 兩式相減得 所以當成等差數列，且也成等差數 列 從而當時， （*） 且， 即成等差數列， 從而， 故由（*）式知 當時，設 當，從而由（*）式知 故 從而，于是 因此，對任意都成立，又由可知， 解得 因此，數列為等差數列，由

14、 所以數列的通項公式為 19．（2011年安徽） 在數1和100之間插入個實數，使得這個數構成遞增的等比數列，將這個數的乘積記作，再令. （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）設求數列的前項和. 本題考查等比和等差數列，指數和對數的運算，兩角差的正切公式等基本知識，考查靈活運用知識解決問題的能力，綜合運算能力和創(chuàng)新思維能力. 解：（I）設構成等比數列，其中則 ① ② ①×②并利用 （II）由題意和（I）中計算結果，知 另一方面，利用 得 所以 20．（2011年北京） 若數列滿足，數列為數列，記=． （Ⅰ）寫出一個滿足，且

15、〉0的數列； （Ⅱ）若，n=2000，證明：E數列是遞增數列的充要條件是=2011； （Ⅲ）對任意給定的整數n（n≥2），是否存在首項為0的E數列，使得=0？如果存在，寫出一個滿足條件的E數列；如果不存在，說明理由。 解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數列A5。 （答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個滿足條件的E的數列A5） （Ⅱ）必要性：因為E數列A5是遞增數列， 所以. 所以A5是首項為12，公差為1的等差數列. 所以a2000=12+（2000—1）×1=2011. 充分性，由于a2000—a1000≤1， a2000—a1000≤1 ……

16、 a2—a1≤1 所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999. 又因為a1=12，a2000=2011, 所以a2000=a1+1999. 故是遞增數列. 綜上，結論得證。 （Ⅲ）令 因為 …… 所以 因為 所以為偶數, 所以要使為偶數, 即4整除. 當 時，有 當的項滿足， 當不能被4整除，此時不存在E數列An， 使得 21．（2011年福建） 已知等比數列{an}的公比q=3，前3項和S3=。 （I）求數列{an}的通項公式； （II）若函數在處取得最大值，且最大值為a3，求函數f（x）的解析

17、式。 本小題主要考查等比數列、三角函數等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，滿分13分。 解：（I）由 解得 所以 （II）由（I）可知 因為函數的最大值為3，所以A=3。 因為當時取得最大值， 所以 又 所以函數的解析式為 22．（2011年廣東） 設b>0,數列滿足a1=b，． （1）求數列的通項公式； （2）證明：對于一切正整數n， 解： （1）由 令， 當 ①當時， ②當 （2）當時，（欲證） ， 當 綜上所述 23．（2011年湖北）

18、已知數列的前項和為，且滿足：，N*，． （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）若存在N*，使得，，成等差數列，是判斷：對于任意的N*，且，，，是否成等差數列，并證明你的結論． 本小題主要考查等差數列、等比數列等基礎知識，同時考查推理論證能力，以及特殊與一般的思想。（滿分13分） 解：（I）由已知可得，兩式相減可得 即 又所以r=0時， 數列為：a，0，…，0，…； 當時，由已知（）， 于是由可得， 成等比數列， ， 綜上，數列的通項公式為 （II）對于任意的，且成等差數列，證明如下：

19、 當r=0時，由（I）知， 對于任意的，且成等差數列， 當，時， 若存在，使得成等差數列， 則， 由（I）知，的公比，于是 對于任意的，且 成等差數列， 綜上，對于任意的，且成等差數列。 24．（2011年遼寧） 已知等差數列{an}滿足a2=0，a6+a8=-10 （I）求數列{an}的通項公式； （II）求數列的前n項和． 解： （I）設等差數列的公差為d，由已知條件可得 解得 故數列的通項公式為 （II）設數列，即， 所以，當時，

20、 所以 綜上，數列 25．（2011年全國大綱） 設數列滿足且 （Ⅰ）求的通項公式； （Ⅱ）設 解： （I）由題設 即是公差為1的等差數列。 又 所以 （II）由（I）得 ， 26．（2011年全國新課標） 已知等比數列的各項均為正數，且． （I）求數列的通項公式． （II）設，求數列的前n項和． 解： （Ⅰ）設數列{an}的公比為q，由得所以． 由條件可知c>0，故． 由得，所以． 故數列{an}的通項式為an=． （Ⅱ?）

21、 故 所以數列的前n項和為 27．（2011年山東） 等比數列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數，且中的任何兩個數不在下表的同一列． 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）若數列滿足：，求數列的前n項和． 解：（I）當時，不合題意； 當時，當且僅當時，符合題意； 當時，不合題意。 因此 所以公式q=3， 故 （II）因為 所以 所以 當n為偶數時， 當n為奇數時， 綜上所述， 28．（2011年上海）

22、 已知數列和的通項公式分別為，（），將集合 中的元素從小到大依次排列，構成數列 。 （1）求； （2）求證：在數列中．但不在數列中的項恰為； （3）求數列的通項公式。 解：⑴ ； ⑵ ① 任意，設，則，即 ② 假設（矛盾），∴ ∴ 在數列中．但不在數列中的項恰為。 ⑶ ， ，， ∵ ∴ 當時，依次有，…… ∴ 。 29．（2011年四川） 設為非零實數， （1）寫出并判斷是否為等比數列。若是，給出證明；若不是，說明理由； （II）設，求數列的前n項和． 解析：（1） 因為為常數，所以是以為首項，為公比的等比數列。 （

23、2） （2）（1） 30．（2011年天津） 已知數列與滿足：， ，且 ． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）設，證明：是等比數列； （III）設證明：． 本小題主要考查等比數列的定義、數列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.滿分14分. （I）解：由 可得 又 （II）證明：對任意 ① ② ③ ②—③，得 ④ 將④代入①，可得 即 又 因此是等比數列. （III）證明：由（II）可得， 于是，對任意，有 將以上各式相加，得 即， 此式當k=1時也成立.由④式得

24、 從而 所以，對任意， 對于n=1，不等式顯然成立. 所以，對任意 31．（2011年浙江）已知公差不為0的等差數列的首項為a（）,設數列的前n項和為，且，，成等比數列 （1）求數列的通項公式及 （2）記，，當時，試比較與的大?。? 本題主要考查等差數列、等比數列、求和公式、不等式等基礎知識，同時考查分類討論思想。滿分14分。 （I）解：設等差數列的公差為d，由 得 因為，所以所以 （II）解：因為，所以 因為，所以 當， 即 所以，當 當 32．（2011年重慶） 設實數數列的前n項和，滿足 （I）若成等比數列，求和； （II）求證：對 （I）解：由題意， 由S2是等比中項知 由解得 （II）證法一：由題設條件有 故 從而對有 ① 因，由①得 要證，由①只要證 即證 此式明顯成立. 因此 最后證若不然 又因矛盾. 因此 證法二：由題設知， 故方程（可能相同）. 因此判別式 又由 因此， 解得 因此 由，得 因此