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1、壓軸大題搶分練(二)
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1.已知拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,拋物線(xiàn)C上存在一點(diǎn)E(2,t)到焦點(diǎn)F的距離等于3.
(1)求拋物線(xiàn)C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)K(-1,0)的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C相交于A(yíng),B兩點(diǎn)(A,B兩點(diǎn)在x軸上方),點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D,且FA⊥FB,求△ABD的外接圓的方程.
[解] (1)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-,
所以點(diǎn)E(2,t)到焦點(diǎn)F的距離為2+=3,
解得p=2.
所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為y2=4x.
(2)法一:設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=my-1(m>0).
將x=my-1代入y2=4x并整理得y2-4my+4=0.
2、
由Δ=(-4m)2-16>0,解得m>1.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則D(x1,-y1),
y1+y2=4m,y1y2=4,
所以·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(1+m2)y1y2-2m(y1+y2)+4=8-4m2,
因?yàn)镕A⊥FB,所以·=0,
即8-4m2=0,結(jié)合m>0,解得m=.
所以直線(xiàn)l的方程為x-y+1=0.
設(shè)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),
則y0==2m=2,x0=my0-1=3,
所以線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)方程為y-2=-(x-3).
因?yàn)榫€(xiàn)段AD的垂直平分線(xiàn)方程為y=0,
所以△ABD的外接圓圓心坐標(biāo)為(5,0).
因?yàn)?/p>
3、圓心(5,0)到直線(xiàn)l的距離d=2,
且|AB|==4,
所以圓的半徑r==2.
所以△ABD的外接圓的方程為(x-5)2+y2=24.
法二:依題意可設(shè)直線(xiàn)l:y=k(x+1)(k>0).
將直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C的方程聯(lián)立并整理得k2x2+(2k2-4)x+k2=0.
由Δ=(2k2-4)2-4k4>0,結(jié)合k>0,得0<k<1.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=-2+,x1x2=1.
所以y1y2=k2(x1x2+x1+x2+1)=4.
所以·=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=8-,
因?yàn)镕A⊥FB,所以·=0,
所以8-=0,又k>0,解
4、得k=.
以下同法一.
2.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)滿(mǎn)足:+=2.
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程;
(2)設(shè)A,B是軌跡E上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),線(xiàn)段AB的中點(diǎn)N在直線(xiàn)l:x=-上,線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)與E交于P,Q兩點(diǎn),是否存在點(diǎn)N,使以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),若存在,求出N點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
[解] (1)由+=2知,動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)(-1,0)和(1,0)的距離之和等于2,根據(jù)橢圓的定義知,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以定點(diǎn)(-1,0)和(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓,且a=,c=1,故b=1,因此橢圓方程為+y2=1.
(2)當(dāng)直線(xiàn)AB垂直于x軸時(shí),直線(xiàn)AB方程為x=-,
此時(shí)P(-,0),Q(
5、,0),·=-1,不合題意;
當(dāng)直線(xiàn)AB不垂直于x軸時(shí),設(shè)存在點(diǎn)N(m≠0)點(diǎn),直線(xiàn)AB的斜率為k,
A(x1,y1),B(x2,y2),由得:(x1+x2)+2(y1+y2)·=0,
則-1+4mk=0,
故k=,此時(shí),直線(xiàn)PQ斜率為k1=-4m,
PQ的直線(xiàn)方程為y-m=-4m,即y=-4mx-m,
聯(lián)立消去y,整理得:(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0,
所以x1+x2=-,x1·x2=,
由題意·=0,于是
·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1·x2-(x1+x2)+1+(4mx1+m)(4mx2+m)
=(1+16m2)x1·x2+(4m2-
6、1)(x1+x2)+1+m2
=++1+m2==0,
∴m=±,因?yàn)镹在橢圓內(nèi),∴m2<,
∴m=±符合條件,
綜上所述,存在兩點(diǎn)N符合條件,坐標(biāo)為N-,±.
3.設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-x+1.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)證明當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),1<<x;
(3)設(shè)c>1,證明當(dāng)x∈(0,1)時(shí),1+(c-1)x>cx.
[解] (1)由題設(shè),f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=-1,令f′(x)=0解得x=1.
當(dāng)0<x<1時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x>1時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
(2)由(1)知f(x)在x=1處
7、取得最大值,最大值為f(1)=0.
所以當(dāng)x≠1時(shí),ln x<x-1.
故當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),ln x<x-1,ln<-1,即1<<x.
(3)由題設(shè)c>1,設(shè)g(x)=1+(c-1)x-cx,則g′(x)=c-1-cxln c,令g′(x)=0,
解得x0=.
當(dāng)x<x0時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x>x0時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.
由(2)知1<<c,故0<x0<1.
又g(0)=g(1)=0,故當(dāng)0<x<1時(shí),g(x)>0.
所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),1+(c-1)x>cx.
4.已知函數(shù)f(x)=x(ln x-ax)(a∈R).
(1)若
8、a=1,求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程;
(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x1<x2,求證:
f(x2)>-.
[解] (1)由已知條件,f(x)=x(ln x-x),當(dāng)x=1時(shí),f(x)=-1,
f′(x)=ln x+1-2x,當(dāng)x=1時(shí),f′(x)=-1,所以所求切線(xiàn)方程為x+y=0.
(2)由已知條件可得f′(x)=ln x+1-2ax有兩個(gè)相異實(shí)根x1,x2,
令f′(x)=h(x),則h′(x)=-2a(x>0),
①若a≤0,則h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,f′(x)不可能有兩根;
②若a>0,
令h′(x)=0得x=,可知h(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
令f′>0解得0<a<,
由<有f′=-<0,
由>有f′=-2ln a+1-<0,
從而0<a<時(shí)函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),
當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表
x
(0,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
f(x1)
f(x2)
因?yàn)閒′(1)=1-2a>0,所以x1<1<x2,f(x)在區(qū)間[1,x2]上單調(diào)遞增,
∴f(x2)>f(1)=-a>-.