2013年高考數(shù)學 易錯點點睛與高考突破 專題12 排列、組合、二項式定理

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1、2013年高考數(shù)學 易錯點點睛與高考突破 專題12 排列、組合、二項式定理 難點 1 利用空間向量解立幾中的探索性問題 1．如圖11-23，PD⊥面ABCD，ABCD為正方形，AB=2，E是PB的中點，且異面直線DP與AE所成的角的余弦為。 1，m）， ∴cos<>= 得m=1. ∴P(0,0,2),E(1,1,1) 2．如圖11-25，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，面ABCD是一個直角梯形，AB、CD為梯形的兩腰，且AB=AD=AA1=a。 （Ⅰ）如果截面ACD1的面種為S，求點D到平面ACD1的距離； （Ⅱ）當為何值時，平面AB1C⊥平面AB1D1。證

2、明你的結論。 難點 2 利用空間向量求角和距離 1． 已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，BC=a，AA1=1。 （1）棱BC上是否存在點P，使A1P⊥PD，說明理由； （2）若BC上有且僅有一點P，使A1P⊥PD，試求此時的二面角P-A1D-A的大小。 易錯點 1 求異面直線所成的角 1．如圖11-1，四棱錐P—ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點。 （1）證明：面PAD⊥面PCD； （2）求AC與PB所成的角； （3）求面AMC與面BMC所成二面角A-CM-

3、B的大小。 2．如圖11-2，在直四棱術ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2，AA1=，AD⊥DC，AC⊥BD，垂足為E。 （1）求證BD⊥A1C； （2）求二面角A1-BD-C1的大??； （3）求異面直線AD與BC1所成角的大小。 0，0）、D（-，0，0）、A（0，-1，0），其中A1、D、A的坐標容易求錯。 【特別提醒】 利用空間向量求異面直線所成的角，公式為cos關鍵是正確地建立坐標系進而寫出各有關點的坐標，建立坐標會出現(xiàn)用三條 兩兩不垂直的直線作x軸、y軸、z軸的錯誤，還會出現(xiàn)用三條兩兩互相垂直但不過同一點的三條直線作x軸、y軸、z軸的錯誤。

4、寫點的 坐標也容易出現(xiàn)錯誤，學習時要掌握一些特殊點坐標的特點，如x軸上的點坐標為（a，0，0），xoz面上的點坐標為（a,0,b）等，其次還 應學會把某個平面單獨分化出來，利用平面幾何的知識求解，如本節(jié)的例2，求B的坐標。 【變式訓練】 1．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為2a,高為b，求異面直線AC1和A1B所成的角。 易錯點 2 求直線與平面所成的角 1．如圖在三棱錐P—ABC中，AB⊥BC，AB=BC=KPA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC。 （1）當k=時，求直線PA與平面PBC所成角的大小； （2）當k取何值時，O在平

5、面PBC內的射影恰好為△PBC的重心？ 2．如圖11-7，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分別為CD、PB的中點。 【特別提醒】 求直線與平面所成角的公式為：sinθ=,其中a為直線上某線段所確定的一個向量，n為平面的一個法向量，這個公式很容易記錯， 關鍵是理解，有些學生從數(shù)形結合來看，認為n應過直線上某個點，如例4中n應過C點，這是錯誤的，這里n是平面的任意一個法向量， 再說一個向量過某一個具體的點這種說法也是錯誤的。 【變式訓練】 1 如圖11-9，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°AC=2，BC=6，D為A1

6、B1的中點，異面直線CD與A1B垂直。 （1）求直三棱術ABC-A1B1C1的高； =(-2，2，-4)，由·=0知A1C⊥BE，·BD=0知A1C⊥BD，∴A1C⊥平面BED （2）求A1B與平面BDE所成的角是正弦值。 答案：由(1)知=(-2，2，-4)為平面BED的一個法向量，=(0，2，-4),∴sinθ= （3）求二面角P-MN-Q的余弦值。 答案：由(Ⅰ)，MN⊥平面PAD，知MQ⊥MN,MP⊥MN, ∴∠PMQ即為二面角P—MN—Q的平面角． 而PM=,MQ=，MD=, （1）證明：PC⊥平面PAB； （2）求二面角P-AB-C的平面角的余弦值；

7、（3）若點P、A、B、C在一個表面積為12π的球面上，求△ABC的邊長。 PO= ∴P（0，0，a），C（0，0），A（0），C（0，0），B（0）。 【特別提醒】 利用空間向量求二面角，先求兩平面的法向量，利用向量的夾角公式求出兩法現(xiàn)量的夾角，二面角的平面角與法向量的夾角相等或互補，具體是哪一種，一般有兩種判斷方法：（1）根據(jù)圖形判斷二面角是銳角還是鈍角；（2）根據(jù)兩法向量的方向判斷。實際上很多求二面角的題目，還是傳統(tǒng)方法（如三垂線定理作出二面角的平面角）簡單，或傳統(tǒng)方法與空間向量相結合來解。 【變式訓練】 1.如圖，在三棱錐P-OAC中，OP、OA、OC兩兩互相垂直，且OP=O

8、A=1，OC=2， B為OC的中點。 3 如圖所示，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為4，AA1=6，Q為BB1的中點，P∈DD1，M∈A1B1，N∈C1D1，AM=1，D1N=3。 【特別提醒】 立體幾何中的距離以點到面的距離最為重要利用空間和量求點到面的距離關鍵是對公式d=的理解和記憶，其中a為過該點且與平面相交的線段確定的向量，n為平面的任意一個法向量，這個任意給解題帶來了很大的方便。當然有些題目用空間向量來解可能沒有傳統(tǒng)方法簡單。 【變式訓練】 1 已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，PC垂直于ABCD所在的平面，且P

9、C=2。 求點B到平面PEF的距離。 2 如圖：正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面邊長是，側棱長是3，點E、F分別在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A2C。 3 在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC，BC=2a，AC=a，AB=a，點P到平面ABC的距離為a （2）求點B’到平面PAC的距離。 3 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中點，M、N分別是棱DD1、D1C1的中點，則直線OM A．是AC和MN的公垂線 B．垂直于AC，但不垂直于MN C．垂直于MN，但不垂直于AC D．與AC、MN都不垂直 4 在正三棱柱AB

10、C-A1B1C1中，D是AC的中點，AB1⊥BC1，則平面DBC1積與平面CBC1所成的角為 （ ） A．點P在線段AB上 B．點P在線段AB的延長線上 C．點P在線段BA的延長線上 D．點P不一定在直線AB上 解析：∵0

11、1的棱長為a，點M在AC1上且＝，N為B1B的中點，則||為(　　) 10．已知空間三點A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．則以，為邊的平行四邊形的面積為________． 則－5＋＋＝0. ∴A、B、C、D共面． 13．設向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，計算2a＋3b,3a－2b，a·b以及a與b所成角的余弦值，并確定λ，μ應滿足的條件，使λa＋μb與z軸垂直． 解：2a＋3b＝2×(3,5，－4)＋3×(2,1,8) ＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16)． 3a－2b＝3×(3,5，－4)－2×(2,1,8)

12、＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)． a·b＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21. ∵|a|＝＝， |b|＝＝， ∴cos〈a，b〉＝＝ ＝－. ∵λa＋μb與z軸垂直， ∴(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1) ＝－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ. ∴當λ，μ滿足λ＝2μ時，可使λa＋μb與z軸垂直． 14.直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分別為AB、BB′的中點． (2) ＝－a＋c，∴ 設二面角C-AB-D為θ，則由tanθ=因此 16、四棱錐P=ABC

13、D中，AB⊥CD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點。 （1）求證BM∥平面PAD；? （3）求直線PC與平面PBD所成角的正弦值。 18、四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個平行四邊形， （1）求證：PA⊥底面ABCD； 答案：∵ ∴AP⊥PB，AP⊥AD， ∴AP⊥底面ABCD． （2）求四棱錐P-ABCD的體積； (1)證明：EM⊥BF； (2)求平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值． 20．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于點

14、M. (1)求證：AM⊥PD； (2)求直線CD與平面ACM所成的角的余弦值． 解：(1)證明：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD， ∴PA⊥AB. 21．在如圖的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中點． (1)求證：AB∥平面DEG； (2)求證：BD⊥EG； (3)求二面角C－DF－E的余弦值． 令z＝1，得n＝(－1,2,1)． 設二面角C－DF－E的大小為θ， ＝(－1，，0)，＝(0，，－1)， ＝(－1,0,0)． 設平面PAB的法向量為n＝(x，y，z)， 則即 因此可取n＝(，1，)． 23．如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE與平面ABCD所成角為60°. (1)求證：AC⊥平面BDE； (2)求二面角F－BE－D的余弦值； (3)設點M是線段BD上一個動點，試確定M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結論．