2015高中數(shù)學(xué) 2.3變量間的相關(guān)關(guān)系總結(jié) 新人教A版必修3

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1、2015高中數(shù)學(xué) 2.3變量間的相關(guān)關(guān)系總結(jié) 新人教A版必修3 線性相關(guān)關(guān)系判斷 [例1]　下表是某地的年降雨量與年平均氣溫，判斷兩者是相關(guān)關(guān)系嗎？求回歸直線方程有意義嗎？ 年平均氣溫(℃) 12.51 12.74 12.74 13.69 13.33 12.84 13.05 年降雨量(mm) 748 542 507 813 574 701 432 [自主解答]　以x軸為年平均氣溫，y軸為年降雨量，可得相應(yīng)的散點圖如圖所示． 因為圖中各點并不在一條直線附近，所以兩者不具有相關(guān)關(guān)系，求回歸直線也是沒有意義的． —————————————————

2、— 1．兩個變量x和y相關(guān)關(guān)系的確定方法 (1)散點圖法：通過散點圖，觀察它們的分布是否存在一定規(guī)律，直觀地判斷； (2)表格、關(guān)系式法：結(jié)合表格或關(guān)系式進行判斷； (3)經(jīng)驗法：借助積累的經(jīng)驗進行分析判斷． 2．判斷兩個變量x和y間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，常用的簡便方法就是繪制散點圖，如果發(fā)現(xiàn)點的分布從整體上看大致在一條線附近，那么這兩個變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個別點的位置的影響． —————————————————————————————————————— 1．以下是在某地搜集到的不同樓盤新房屋的銷售價格y(單位：萬元)和房屋面積x(單位：m2)的數(shù)據(jù)： 房屋面積x

3、(m2) 115 110 80 135 105 銷售價格y(萬元) 24.8 21.6 19.4 29.2 22 (1)畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖； (2)判斷新房屋的銷售價格和房屋面積之間是否具有相關(guān)關(guān)系？如果有相關(guān)關(guān)系，是正相關(guān)還是負相關(guān)？ 解：(1)數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖如圖所示． (2)通過以上數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖可以判斷，新房屋的銷售價格和房屋的面積之間具有相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān)． 求回歸直線方程 [例2]　已知10只狗的血球體積及紅血球數(shù)的測量值如下表： x(血球體積)(mm3) 45 42 46 48 42 35 58 40 39

4、 50 y(紅血球數(shù))(百萬) 6.53 6.30 9.52 7.50 6.99 5.90 9.49 6.20 6.55 8.72 若由資料知，y對x呈線性相關(guān)關(guān)系， (1)畫出上表的散點圖； (2)求出回歸直線方程并畫出圖形． [自主解答]　(1)散點圖如圖所示： (2)由題意可知： ＝(45＋42＋46＋48＋42＋35＋58＋40＋39＋50)＝44.50， ＝(6.53＋6.30＋9.52＋7.50＋6.99＋5.90＋9.49＋6.20＋6.55＋8.72)＝7.37. 設(shè)回歸直線方程為＝x＋， 則＝≈0.175，＝－≈－0.427. 所

5、以所求的回歸直線方程為＝0.175x－0.427， 其圖形如圖所示． —————————————————— (4)寫出回歸方程＝＋x. 2．求回歸直線方程的適用條件 兩個變量具有線性相關(guān)性，若題目沒有說明相關(guān)性，則必須對兩個變量進行相關(guān)性判斷． —————————————————————————————————————— 2．隨著人們經(jīng)濟收入的不斷增長，個人購買家庭轎車已不再是一種時尚．車的使用費用，尤其是隨著使用年限的增多，所支出的費用到底會增長多少，一直是購車一族非常關(guān)心的問題．某汽車銷售公司作了一次抽樣調(diào)查，并統(tǒng)計得出某款車的使用年限x與所支出的總費用y(萬元)

6、有如下的數(shù)據(jù)資料： 使用年限x 2 3 4 5 6 總費用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由資料，知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系．試求： 線性回歸方程＝x＋的回歸系數(shù)、. 解：列表： i 1 2 3 4 5 xi 2 3 4 5 6 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 x 4 9 16 25 36 ＝4，＝5，＝90，iyi＝112.3 于是＝＝＝1.23； ＝－b＝5－1.23×4＝0.08. 利用回歸直線方程對總

7、體進行估計 [例3]　下表是某地搜集到的新房屋的銷售價格y(單位：萬元)和房屋的面積x(單位：m2)的數(shù)據(jù)： x 115 110 80 135 105 y 44.8 41.6 38.4 49.2 42 (1)畫出散點圖； (2)求回歸方程； (3)根據(jù)(2)的結(jié)果估計當房屋面積為150 m2時的銷售價格． [自主解答]　 (1)散點圖如圖所示． (2)由散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線的附近，可求回歸方程．由表中的數(shù)據(jù)，用計算器計算得＝109，＝43.2，＝60 975，iyi＝23 852. 則＝＝＝≈0.196，＝－ ＝43.2－0.19

8、6×109＝21.836.故所求回歸方程為＝0.196x＋21.836. (3)根據(jù)上面求得的回歸方程，當房屋面積為150 m2時，銷售價格的估計值為0.196×150＋21.836＝51.236(萬元)． —————————————————— (2)如果散點在一條直線附近，用公式、并寫出線性回歸方程； (3)根據(jù)線性回歸方程對總體進行估計． —————————————————————————————————————— 3．一臺機器由于使用時間較長，生產(chǎn)的零件有一些會有缺損，按不同轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的零件有缺損的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示： 轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒) 16 14 12

9、8 每小時生產(chǎn)有缺損零件數(shù)y(個) 11 9 8 5 (1)作出散點圖； (2)如果y與x線性相關(guān)，求出回歸直線方程； (3)若實際生產(chǎn)中，允許每小時的產(chǎn)品中有缺損的零件最多為10個，那么，機器的運轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？ 解：(1)作散點圖如圖所示： (2)由散點圖可知y與x線性相關(guān)． 故可設(shè)回歸直線方程為 ＝bx＋a. 依題意，用計算器可算得： ＝12.5，＝8.25，＝660， iyi＝438. ∴b＝≈0.73， a＝－b ＝8.25－0.73×12.5＝－0.875. ∴所求回歸直線方程為＝0.73x－0.875. (3)令＝10，得0.7

10、3x－0.875＝10，解得x≈15. 即機器的運轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在15轉(zhuǎn)/秒內(nèi)． 下列各散點圖，其中兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的是________(填序號)． [錯解]　相關(guān)關(guān)系對應(yīng)的圖形都是離散圖，故①不正確；②圖中的點分布在一條直線附近，具有相關(guān)關(guān)系；③④圖中的點不在一條直線附近，不能反應(yīng)兩個變量的變化規(guī)律，不是相關(guān)關(guān)系． [答案]?、? [錯因]　錯解的原因是：誤認為只有點分布在一條直線附近才具有相關(guān)關(guān)系，混淆了“相關(guān)關(guān)系”和“線性相關(guān)”的概念，實質(zhì)上，線性相關(guān)關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的一種特殊情況，散點圖只要能反映兩個變量的變化規(guī)律，就具有相關(guān)關(guān)系． [正解]　相關(guān)關(guān)系對應(yīng)的圖形是離散

11、圖，故①不是相關(guān)關(guān)系；②③都能反映兩個變量的變化規(guī)律，它們都是相關(guān)關(guān)系；④圖中的點散亂地分布在坐標平面內(nèi)，不能反映兩個變量的變化規(guī)律，不是相關(guān)關(guān)系． [答案]　②③ 1．兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系是一種(　　) A．確定性關(guān)系　　　　　 　B．線性關(guān)系 C．非確定性關(guān)系 D．非線性關(guān)系 答案：C 2．設(shè)有一個回歸方程為＝－1.5x＋2，則變量x增加一個單位時(　　) A．y平均增加1.5個單位 B．y平均增加2個單位 C．y平均減少1.5個單位 D．y平均減少2個單位 解析：∵兩個變量線性負相關(guān)， ∴變量x增加一個單位，y平均減少1.5個單位． 答案：C

12、 3．(2012·新課標全國高考)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為(　　) A．－1 B．0 C. D．1 解析：因為所有的點都在直線上，所以它就是確定的函數(shù)關(guān)系，所以相關(guān)系數(shù)為1. 答案：D 4．有關(guān)線性回歸的說法，正確的是________． ①相關(guān)關(guān)系的兩個變量不是因果關(guān)系； ②散點圖能直觀地反映數(shù)據(jù)的相關(guān)程度； ③回歸直線最能代表線性相關(guān)的兩個變量之間的關(guān)系； ④任一組數(shù)據(jù)都有回歸

13、方程． 解析：只有線性相關(guān)的數(shù)據(jù)才有回歸直線．故①②③均正確，④不正確． 答案：①②③ 5．(2011·遼寧高考)調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：＝0.254x＋0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元． 解析：以x＋1代替x，得＝0.254(x＋1)＋0.321，與＝0.254x＋0.321相減可得，年飲食支出平均增加0.254萬元． 答案：0.254 6．在某種產(chǎn)品表面進行腐蝕線實驗，得到腐蝕深度y與腐蝕時間t之間對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)： 時間t(s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 深度y(μm) 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 (1)畫出散點圖； (2)試求腐蝕深度y對時間t的回歸直線方程． 解：(1) (2)經(jīng)計算可得： ＝46.36，＝19.45，＝36 750，iyi＝13 910. ＝＝≈0.3， ＝－b≈19.45－0.3×46.36＝5.542. 故所求的回歸直線方程為＝0.3t＋5.542.