《2013年高中數(shù)學 基礎(chǔ)能力訓練（14）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2013年高中數(shù)學 基礎(chǔ)能力訓練（14）（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、數(shù)學能力訓練（14）
1．（本大題共12分）已知數(shù)列的前n項和為，且、的等差中項為1.
（Ⅰ）寫出；
（Ⅱ）猜想的表達式，并用數(shù)學歸納法證明；
（Ⅲ）設(shè)，求的值。
2長方體ABCD－A1B1C1D1中，
E為AA1上的點。（如圖）
(1) 若DBEC為二面角B－EB1－C的平面角，
則平面BCE^平面B1CE，
此命題是否正確？證明你的結(jié)論。
(2) 寫出(1)中命題的逆命題，它正確嗎？
證明你的結(jié)論。
(3) 設(shè)AB＝AD＝1，當AA1邊上有且僅
有一點E，使平面BCE^平面B1CE
時。(文)求點B到平面B1CE的距離；
(理)求點A到
2、平面B1CE的距離。
3
設(shè)，求證：
4
某地要建一個水庫，設(shè)計的水庫最大容量為1.28×106m3，在山洪爆發(fā)時，預計注入水量Sn（單位為m3）與天數(shù)n（n為不大于10的正整數(shù)）的關(guān)系是Sn=50000，設(shè)水庫原有水量為8×105m3。泄水閘每天排水量為4×104m3，若山洪爆發(fā)時的第一天就打開泄水閘，那么在10天內(nèi)，堤壩是否會發(fā)生危險，若會發(fā)生危險，請計算第幾天會發(fā)生危險，若不會發(fā)生危險，請說明理由。（水庫水量超過最大容量時，堤壩會發(fā)生危險）。
5
已知拋物線S的頂點在原點，焦點在x軸上，△ABC三個頂點都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點.若BC所在直線
3、的方程為l:4x+y-20=0.
(Ⅰ)求拋物線S的方程；
(Ⅱ)若O是坐標原點，問：是否存在定點M，使過點M的動直線與拋物線S交于P、Q兩點，且∠POQ=90°?
6
定義在(－1,1)上的函數(shù)f(x)滿足①對于任意x,y(－1,1)，都有f(x)+f(y)=f(),
②當時x(－1,0)時，f(x)>0,回答下列問題：
① 判斷f(x)在(0,1)上的單調(diào)性。
② 計算f()－f(),f()－f()－f(),f()－f()－f()－f(),┄┄,猜想f()－f()－f(),┄┄,－f()的值,并用數(shù)學歸納法給予證明.
③ 能不用數(shù)學歸納法證明上面的結(jié)論嗎?若能，請
4、證明。
答案
1 ．解：（Ⅰ）依題意：，計算得；
（Ⅱ）猜想以下用數(shù)學歸納法證明：
（1）當n=1時，,猜想成立；
（2）假設(shè)當n=k時，猜想成立，即，則
當n=k+1時，，
兩式相減得，即
∴當n=k+1時，猜想也成立
綜上（1）（2），對時，
（Ⅲ）
。
2．解：(1)∵DBEC為二面角B－EB1－C平面角，∴CE^B1E，BE^EB1，
∴BE1^面CBE，又BE1ì面B1CE ∴面BCE^面B1CE
(2)逆命題:若面BCE^面B1CE，
5、則DBEC為二面角B-EB1-C的平面角
過B作BH^CE于H，
∵平面BCE^平面B1CE且平面BCE∩平面B1CE=CE
∴BH^平面B1CE，又B1Eì平面B1CE
∴BH^B1E ∵CB^B1E BC∩BH＝B
∴B1E^平面BCE
∴B1E^BE，B1E^CE
即證得DCEB為二面角B-EB1-C平面角
(3)由(2)知當平面BCE^平面B1CE時，DBEC為二
面角B-EB1-C的平面角
∴DBEB1＝90°，又滿足條件的E有且只有一個。
∴E必為AA1中點。即以BB1為直徑的圓必與AA1相切于E
(文)∵AB=1, ∴BB1=2,BE=,
6、∵平面BCE^平面B1CE。
∴過B作BH^CE于H，則BH就是B到平面B1CE的距離。
在RtDBCE中，dB-CEB=BH=.
(理)∵B1E=,CE=，S
且V，∴
=，解得。
3．證明：令， ∴
∴
∵ ∴
∴
∴。
4．解：設(shè)第n天會發(fā)生危險（n為不大于10的正整數(shù)）
8×105+Sn－4×104×n ＞1.28×106
即Sn ＞1.28×106－8×105+4×104×n
將Sn=50000代入
得：50000＞1.28×106－8×105+4×104×n
整理得： 5＞4n+48
兩邊平方得：25(n2+24n
7、) ＞16(n+12)2
整理得： n2+24n－256＞0
解得： n＞8或n＜－12（舍去）
第9天會發(fā)生危險。
5．解：(Ⅰ)設(shè)拋物線S的方程為y=2px.把直線l:4x+y-20=0代入，
得2y2+py-20p=0.
由Δ＞0，有p＞0或p＜-160.
設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)，則y1+y2=-.
同理，x1+x2=
△ABC的重心F( ，0)，設(shè)A(x3，y3)，
則
∵點A在拋物
8、線S上，∴
∴p=8.
∴拋物線S的方程為y2=16x.
(Ⅱ)設(shè)過定點M的動直線方程為y=kx+b，交拋物線于P、Q兩點，
顯然k≠0，b≠0.
∵∠POQ=90°，∴kPO·kQO=-1.
把①代入拋物線方程，得ky2-16y+16b=0.
∴yP·yQ=,從而xP·x
9、Q=
∵k≠0,b≠0,∴b=-16k.
∴動直線方程為y=kx-16k,
從而y=k(x-16).
∴動直線必過定點(16，0).
若PQ的斜率不存在，直線x=16與拋物線交于P(16，-16)、Q(16，16)兩點，
仍有∠POQ=90°.
∴存在
10、定點M(16，0)滿足條件.
6．解：①令 y=0, f(x)+f(0)=f(x) f(0)=0
再令y=－x, f(x)+f(－x)=f(0) =0
f(x) 在(－1,1)上為奇函數(shù)
又設(shè)任意x1,x2(0,1),且x10
<0
f()>0
f(x1) >f(x2)
f(x) 在(0,1)上為減函數(shù)。
② f()－f()=f()+f(－) =f()=f(
11、)=f()
f()－f()=f()
f()－f()－f()=f()－f()=f()=f()
f()－f()－f()－f()=f()－f()=f()=f()
猜想：f()－f()－f(),┄┄,－f()=f()
以下用數(shù)學歸納法證明：
1) 當n=1,2,3時，由上可知，等式成立。
2) 設(shè)n=k (kN)時，等式成立。
即 f()+f(),┄┄,+f()=f()－f()
n=k+1, f()+f(),┄┄,+f()+f()
= f()－f()+f()
= f()－[f()－f()]
= f()－f()
=f()－f()=f()－f()
n=k+1時，等式成立。
3) 能，f()=f[]=f()
=f()－f()
f()=f()－f()
f()=f()－f()
f()=f()－f()
相加得：f()+f(),┄┄,+f()=f()－f()
得證。
2013年高中數(shù)學 基礎(chǔ)能力訓練（14）
