2014屆高三數(shù)學總復習 課時提升作業(yè)(二十三) 第三章 第八節(jié) 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用舉例 文

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1、課時提升作業(yè)(二十三) 第三章 第八節(jié) 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用舉例 一、選擇題 1.某水庫大壩的外斜坡的坡度為,則坡角α的正弦值為( ) (A) (B) (C) (D) 2.(2013·太原模擬)如圖,D,C,B三點在地面同一直線上,DC=a,從C,D兩點測得A點的仰角分別是β,α(α<β),則A點離地面的高度AB等于( ) (A)　　 (B) (C)　 　(D) 3.在△ABC中,角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,若角A,B,C依次成等差數(shù)列,且a=1,b=,則S△ABC等于( ) (A)　　　　(B)　　　　(C)　　　　(D)2 4.

2、(2013·咸陽模擬)如圖所示,在山底A處測得山頂B的仰角∠CAB=45°,沿傾斜角為30°的山坡向山頂走1000米到達S點,又測得山頂仰角∠DSB=75°,則山高BC為( ) (A)500m (B)200m (C)1000m (D)1000m 5.如圖,一貨輪航行到M處,測得燈塔S在貨輪的北偏東15°,與貨輪相距20海里,隨后貨輪按北偏西30°的方向航行,30分鐘后又測得燈塔在貨輪的東北方向,則貨輪航行的速度為( ) (A)20(+)海里/小時 (B)20(-)海里/小時 (C)20(+)海里/小時 (D)20(-)海里/小時 6.(2013·宜春模擬)從

3、某電視塔的正東方向的A處,測得塔頂仰角是60°,從電視塔的西偏南30°的B處,測得塔頂仰角為45°,A,B間距離是35m,則此電視塔的高度是( ) (A)5m (B)10m (C)m (D)35m 二、填空題 7.(2013·延安模擬)在△ABC中,A=60°,AC=8,S△ABC=4,則BC=　　　. 8.江岸邊有一炮臺高30m,江中有兩條船,船與炮臺底部在同一水面上,由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°,而且兩條船與炮臺底部連線成30°角,則兩條船相距　　　m. 9.(2013·長沙模擬)如圖,一艘船上午9:30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°方向上,之后它

4、繼續(xù)沿正北方向勻速航行,上午10:00到達B處,且與燈塔S相距8n mile.此船的航速是32n mile/h,則燈塔S對于點B的方向角是　　　　　. 三、解答題 10.(2013·宜春模擬)在△ABC中,sin(C-A)=1,sinB=. (1)求sinA的值. (2)設(shè)AC=,求△ABC的面積. 11.如圖,某觀測站C在城A的南偏西20°的方向,從城A出發(fā)有一條走向為南偏東40°的公路,在C處觀測到距離C處31km的公路上的B處有一輛汽車正沿公路向A城駛?cè)?行駛了20km后到達D處,測得C,D兩處的距離為21km,這時此車距離A城多少千米? 12.(能力挑戰(zhàn)題)某港口O要將

5、一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上,在小艇出發(fā)時,輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海 里/時的航行速度勻速行駛,經(jīng)過t小時與輪船相遇. (1)若希望相遇時小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少? (2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達到30海里/時,試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短時間與輪船相遇,并說明理由. 答案解析 1.【思路點撥】坡角的正切值是坡度,故利用此關(guān)系可解. 【解析】選B.由tanα=,得sinα=cosα,代入si

6、n2α+cos2α=1,得sinα=. 2.【解析】選A.由已知得∠DAC=β-α, 由正弦定理得,=, 所以AC==, 故AB=AC·sinβ=. 3.【思路點撥】由角A,B,C依次成等差數(shù)列可得B,由正弦定理得A,從而得C,再用面積公式求解即可. 【解析】選C.∵角A,B,C依次成等差數(shù)列, ∴A+C=2B,∴B=60°. 又a=1,b=,∴=, ∴sinA==×=. 又∵a

7、(C) (D) 【解析】選C.由已知可得b2=ac,又b=,則ac=3, 又B=, ∴S△ABC=acsinB=×3×=. 4.【解析】選D.∵∠SAB=45°-30°=15°, ∠SBA=∠ABC-∠SBC=45°-(90°-75°)=30°, 在△ABS中,AB===1000, ∴BC=AB·sin45°=1000×=1000(m). 5.【解析】選B.由題意知SM=20,∠SNM=105°,∠NMS=45°, ∴∠MSN=30°. 在△MNS中利用正弦定理可得,=, ∴MN==10(-)(海里), ∴貨輪航行的速度 v==20(-)(海里/小時). 6.【思

8、路點撥】畫出示意圖,將條件轉(zhuǎn)化為三角形的邊和角,然后利用三角函數(shù)和余弦定理求解. 【解析】選A.作出示意圖(如圖所示). 設(shè)塔高為hm.在Rt△AOC中,tan∠OAC=, ∴OA===. 在△AOB中,∠AOB=150°,OB=h,AB=35. 由余弦定理得 AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB, 即352=()2+h2-2×·h·cos150°, 整理得h2=352,解得h=5. 【方法技巧】測量高度的一般思路 解決高度的問題主要是根據(jù)條件確定出所利用的三角形,準確地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相對應(yīng);分清已知和待求的關(guān)系,正確地選擇定理和

9、公式,特別注意高度垂直地面構(gòu)成的直角三角形. 7.【解析】由條件知S△ABC=bcsinA=bc·sin60° =bc=4.∴bc=16. 又b=AC=8,∴c=2. 由余弦定理得, a2=b2+c2-2bccosA=82+22-2×8×2cos60°=52. ∴a=2,即BC=2. 答案:2 8.【解析】如圖,OM=OAtan45°=30, ON=AOtan30°=30×=10, 由余弦定理得 MN= ==10(m). 答案:10 9.【解析】由已知可得, AB=32n mile/h×h=16 n mile, BS=8n mile,∠BAS=30°, 由正弦

10、定理得=, ∴sin∠ASB===. 又0°<∠ASB<180°,得∠ASB=45°或135°, 若∠ASB=45°,則∠ABS=105°, 此時,S在點B的北偏東75°方向上; 若∠ASB=135°,則∠ABS=15°, 此時,S在點B的南偏東15°方向上. 答案:北偏東75°或南偏東15° 【方法技巧】測量角度問題的一般步驟 (1)在弄清題意的基礎(chǔ)上,畫出表示實際問題的圖形,并在圖形中標出有關(guān)的角和距離. (2)用正弦定理或余弦定理解三角形. (3)將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解. 同時注意把所求量放在有關(guān)三角形中,有時直接解此三角形時條件不具備,需要先在其他三角形

11、中求解相關(guān)量. 10.【解析】(1)∵在△ABC中,A,B,C∈(0,π),而sin(C-A)=1, ∴C-A=,即C=A+, ∴sinB=sin(A+C)=sin(2A+)=cos2A=1-2sin2A=.∴sinA=. (2)在△ABC中,由正弦定理得: =,即=,得BC=3. 又由sinC=sin(A+)=cosA==, ∴S△ABC=AC·BC·sinC=××3× =3. 11.【解析】在△BCD中, BC=31,DB=20,DC=21,由余弦定理得 cos∠BDC= ==-. 所以cos∠ADC=,故sin∠ADC=. 在△ACD中,由條件知CD=21,∠

12、BAC=60°, 所以sin∠ACD=sin(60°+∠ADC)=×+×=. 在△ACD中, 由正弦定理得=, 即=, 所以AD=×=15(km). 所以此車距離A城15千米. 12.【思路點撥】第(1)問建立航行距離與時間的函數(shù)關(guān)系式.第(2)問建立速度與時間的函數(shù)關(guān)系式. 【解析】(1)設(shè)相遇時小艇航行的距離為s海里,則 s= = =, 故當t=時,smin=10(海里), 此時v==30(海里/時), 即小艇以30海里/時的速度航行,相遇時小艇的航行距離最小. (2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇,則v2t2=400+900t2-2·20·30t·cos(90°-30°), 故v2=900-, ∵0