2013高考物理 重點難點例析 專題4 萬有引力定律和天體運動

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1、專題四 萬有引力定律和天體運動 重點難點 1．研究天體運動的基本方法： 研究人造衛(wèi)星、行星等天體的運動時，我們進行了以下近似：中心天體是不動的，環(huán)繞天體以中心天體的球心為圓心做勻速圓周運動；環(huán)繞天體只受到中心天體的萬有引力作用，這個引力提供環(huán)繞天體圓周運動的向心力． 即 G = m2 = m2ω2r = m2（）2r 2．衛(wèi)星的速度、角速度、加速度、周期和軌道半徑的關(guān)系 ①υ= ，即線速度 υ∝； ②ω = ，即角速度ω∝; ③T = ，即周期T∝，或 = ，即開普勒第三定律; ④a = ，即向心加速度a∝ 3．“雙星”和“黑洞” “雙星”是兩

2、顆相距較近，它們之間的萬有引力對兩者運動都有顯著影響，而其他天體的作用力影響可以忽略的特殊天體系統(tǒng)．它們之所以沒有被強大的引力吸引到一起而保持距離L不變，是因為它們繞著共同“中心”以相同的角速度做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供它們做圓周運動的向心力． “黑洞”是近代引力理論預(yù)言的一種特殊天體，它的質(zhì)量十分巨大，以致于其脫離速度有可能超過其空中的光速，因此任何物體都不能脫離它的束縛，即光子也不能射出．已知物體從地球上的脫離速度（即第二宇宙速度）是υ= ，故一個質(zhì)量為M的天體，若它是一個黑體，則其半徑R應(yīng)有：R≤． 規(guī)律方法 【例1】由于萬有引力定律和庫侖定律都滿足于平方反比律，因

3、此引力場和電場之間有許多相似的性質(zhì)，在處理有關(guān)問題時可以將它們進行類比．例如電場中反映各點電場強弱的物理量是電場強度，其定義式為E = ，在引力場中可以有一 個類似的物理量來反映各點引力場的強弱．設(shè)地球質(zhì)量為M，半徑為R，地球表面處重力加速度為g，引力常量為G．如果一個質(zhì)量為m的物體位于距地心2R處的某點，則下列表達(dá)式中能反映該點引力場強弱的是 （AD） A．G 　　 B．G C．G D． 訓(xùn)練題在某星球表面以初速度υ0豎直上拋一個物體，若物體受到該星球引力作用，忽略其他力的影響，物體上升的最大高度為h，已知該星球的直徑為d，如果要在這個星球上發(fā)射一顆繞它運行

4、的衛(wèi)星，其做勻速圓周運動的最小周期為 （ A ） A． 　　 B． 　　C． D． 【例2】已知萬有引力常量是G，地球半徑R，月球和地球之間的距離r，同步衛(wèi)星距地面的高度h，月球繞地球的運動周期為T1，地球的自轉(zhuǎn)周期為T2，地球表面的重力加速度g，某同學(xué)根據(jù)以上條件，提出一種估算地球質(zhì)量M的方法： 同步衛(wèi)星繞地心作圓周運動，由G = m（）2h，得M =  （1）請判斷上面的結(jié)果是否正確，并說明理由，如不正確，請給出正確的解法和結(jié)果． （2）請根據(jù)已知條件再提出兩種估算地球質(zhì)量的方法并解得結(jié)果． 【解析】（1）地球半徑約為64

5、00km，同步衛(wèi)星的高度約為36000km．計算同步衛(wèi)星軌道半徑時，就不能忽略地球的半徑．故題中的結(jié)果是錯誤的． 正確的解法和結(jié)果是：由G = m（）2（R+h），得： M =  （2）方法一：由月球繞地球做圓周運動，有：G = m（）2r，得：M = 方法二：在地面附近重力近似等于萬有引力，由 = mg得：M = ． 訓(xùn)練題已知物體在質(zhì)量為M、半徑為R的星球表面脫離的速度為υ= ，其中G = 6.67×10-11N·m2/kg2．黑洞是一種質(zhì)量十分巨大的特殊天體，因此任何物體（包括光子）都不能脫離它的束縛． （1）天文學(xué)家根據(jù)天文觀測認(rèn)為：在銀河系中心可能存在一個大

6、黑洞，它的引力使距該黑洞60億千米的星體以2000km/s速度繞其旋轉(zhuǎn)，若視星體做勻速圓周運動，試求該黑洞的質(zhì)量． （2）若黑洞的質(zhì)量等于太陽的質(zhì)量M = 2×103kg，求它的可能最大半徑． （3）在目前的天文觀測范圍內(nèi)，宇宙的平均密度為10-27kg/m3，若視宇宙是一個均勻的大球體，光子也不能逃離宇宙，則宇宙的半徑至少應(yīng)為多少? 答案：（1）M=3．6×1035kg （2）Rm=3×103m （3）R＞4×1025m 【例3】一地球探測飛船在地球赤道上空繞地球做圓周運動，用攝像機拍攝地球表面圖片．已知地球的密度為ρ，飛船的飛行周期為T（小于24h）．試求攝像機

7、所能拍攝的總面積與地球表面積之比．（萬有引力常量為G；球體體積公式為V = πr3，r為球半徑；球冠面積公式為S = 2πrh，r為球半徑，h為球冠高） 【解析】如圖所示，設(shè)地球半徑為r，衛(wèi)星的軌道半徑為R．圖中兩個陰影部分的球冠表面積是不能拍攝到的區(qū)域． 衛(wèi)星繞地球運動，有： = mR 其中地球的質(zhì)量為M，則M = πr3ρ 圖中球冠的高為h，則h = r（1-cosα） 其中cosα =  而球冠的總面積為 S′ = 2πrh×2，地球的表面積為 S = 4πr2 解得攝像機所能拍攝到的總面積與地球表面積之比為 = ． 訓(xùn)練題宇宙飛船上的科研人員在探索某星

8、球時，完成如下實驗：①當(dāng)飛船停留在距該星球一定的距離時，正對著該星球發(fā)出一個激光脈沖，經(jīng)過時間t后收到反射回來的信號，并測得此時刻星球?qū)τ^察者的眼睛所張視角為；②當(dāng)飛船在該星球著陸后，科研人員在距星球表面h處以初速度水平拋出一個小球，并測出落點到拋出點的水平距離為S。已知萬有引力恒量G，光速c，星球的自轉(zhuǎn)影響以及大氣對物體的阻力均不計。試根據(jù)以上信息，求： （1）星球的半徑R。 （2）星球的質(zhì)量M。 答案：， 【例4】閱讀下列材料，并結(jié)合該材料解題． 開普勒從1609年～1619年發(fā)表了著名的開普勒行星三定律： 第一定律：所有的行星分別在大小不同的橢圓軌道上繞太陽運動，太陽

9、在這些橢圓的一個公共焦點上． 第二定律：太陽和行星的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積． 第三定律：所有行星的橢圓軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等． 實踐證明，開普勒三定律也適用于人造地球衛(wèi)星的運動．如果人造地球衛(wèi)星沿半徑為r的圓形軌道繞地球運動，當(dāng)開動制動發(fā)動機后，衛(wèi)星速度降低并轉(zhuǎn)移到與地球相切的橢圓軌道上，如圖所示．問在這之后衛(wèi)星經(jīng)過多長時間著陸。空氣阻力不計，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，圓形軌道應(yīng)為橢圓軌道的一種特殊形式． 【解析】衛(wèi)星在半徑為r的圓軌道運動有： r 得此時衛(wèi)星的周期為T1 = 2π 衛(wèi)星沿橢圓軌道運動時，其半長軸

10、為a =  由開普勒第三定律有： = ，得 T2 = π（R+r） 另外，在地球表面時，近似有： = mg，得 GM = R2g． 從開始制動到飛船著陸，經(jīng)過時間為t，則t = ，得t = ． 訓(xùn)練題盧瑟福的α粒子散射實驗，建立了原子的核式模型，原子的核式模型又叫做原子的行星模型，這是因為兩者之間有極大的相似之處，帶電粒子間遵循庫侖定律，而星體之間遵循萬有引力定律，兩定律有相同的表達(dá)形式．以無窮遠(yuǎn)處電勢為零點，點電荷的電勢為u = k，可推出氫原子基態(tài)能級為-13．6eV． （1）令距地球無窮遠(yuǎn)處為重力勢能的零點，計算：質(zhì)量為1t的衛(wèi)星，繞地表飛行，其總機械能為多大?

11、 （2）再補充多少能量可使它脫離地球的引力? 答案：（1）E=－3．1×1010J （2）E/=3．1×1010J 能力訓(xùn)練 1． 2005年10月12日，我國利用“神舟六號”飛船將宇航員費俊龍、聶海勝送入太空，中國成為繼俄、美之后第三個掌握載人航天技術(shù)的國家．設(shè)費俊龍測出自己繞地球球心做勻速圓周運動的周期為T．離地面的高度為H，地球半徑為R．則根據(jù)T、H、R和萬有引力恒量G，費俊龍不能計算出下面的哪一項（ C ） A．地球的質(zhì)量 B．地球的平均密度C．飛船所需的向心力 D．飛船線速度的大小 2．如圖在發(fā)射地球同步衛(wèi)星的過程中，衛(wèi)星首先進入橢圓軌道Ⅰ，然后在

12、Q點通過改變衛(wèi)星速度，讓衛(wèi)星進入地球同步軌道Ⅱ，則 （ CD ） A．該衛(wèi)星的發(fā)射速度必定大于11.2km/s B．衛(wèi)星在同步軌道Ⅱ上的運行速度大于7.9km/s C．在軌道Ⅰ上，衛(wèi)星在P點速度大于在Q點的速度 D．衛(wèi)星在Q點通過加速實現(xiàn)由軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ 3． “神舟”五號載人飛船在繞地球飛行的第五圈進行變軌，由原來的橢圓軌道變?yōu)榫嗟孛娓叨葹閔的圓形軌道．已知飛船的質(zhì)量為m，地球半徑為R，地面處的重力加速度為g，則飛船在上述圓軌道上運行的動能 （ B ） A．等于mg（R+h） 　　B．小于mg（R+h）　 C．大于mg（R+h）　　　D．等于mgh 4．

13、氫原子中的電子繞原子核旋轉(zhuǎn)和人造地球衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)相比較（不計算空氣阻力），下列說法正確的是 （ AB ） A．軌道半徑越大，線速度都越小 B．軌道半徑越大，周期都越大 C．電子從內(nèi)層軌道向外層軌道躍遷時，總能量（動能和電勢能）不變，人造衛(wèi)星從遠(yuǎn)地點向近地點運動時，總能量（動能和重力勢能）也不變 D．電子可以在大于基態(tài)軌道半徑的任意軌道上運動，衛(wèi)星可以在大于地球半徑的任意軌道上運動 5．我國的航天技術(shù)正在飛速發(fā)展，在我國航天史上第一顆人造衛(wèi)星繞地球運動的軌道為一橢圓，它在近地點時離地面高度為h，速度為υ，又知地球半徑為R，地面附近重力加速度為g，則它在近地點時的加速度大小（

14、A ） A． 　　　B．　　　C．g　　　 D． 6．某人造衛(wèi)星運動的軌道可近似看作是以地心為中心的圓，由于阻力作用，人造衛(wèi)星到地心的距離從r1慢慢變到r2，用Ek1、Ek2分別表示衛(wèi)星在這兩個軌道上的動能，則（ B ） A．r1＜r2，Ek1＜Ek2 B．r1＞r2，Ek1＜Ek2 C．r1＜r2，Ek2＞Ek2 D．r1＞r2，Ek1＞Ek2 7一顆在赤道上空運行的人造衛(wèi)星，其軌道半徑為r=2R (R為地球半徑)，衛(wèi)星的運動方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同。已知地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω，地球表面處的重力加速度為g。 （1）求人造衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動的角速度。 （2）若某時刻衛(wèi)

15、星通過赤道上某建筑物的正上方，求它下次通過該建筑物上方需要的時間。 答案：（1）地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供作圓周運動的向心力 　　　　　　　　　　　 　 地面表面附近的重力加速度g =　 　　　　　　　　 把r＝2R代入，解方程可得 　　　 　　　　　　　　　 （2）衛(wèi)星下次通過該建筑物上方時，衛(wèi)星比地球多轉(zhuǎn)2p弧度，所需時間 　　 　 　 　 8

16、偵察衛(wèi)星在通過地球兩極上空的圓軌道上運行，它的運行軌道距地面高度為h，已知地球半徑為R，地面表面處的重力加速度為g，地球的自轉(zhuǎn)周期為T。 ⑴ 試求該衛(wèi)星的運行速度；　 ⑵ 要使衛(wèi)星在一天內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件下的情況全部拍下來，衛(wèi)星在通過赤道上空時，衛(wèi)星上的攝像機應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長S是多少? 答案：⑴　設(shè)地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，衛(wèi)星在運行時，由萬有引力提供向心力： 設(shè)地球表面有個質(zhì)量為m0的物體，則：m0g= 由①②式聯(lián)立，衛(wèi)星的運行速度為： ⑵設(shè)衛(wèi)星的運動周期為T′，則： 得： 一天內(nèi)偵察衛(wèi)星經(jīng)過有日照的赤道上空次數(shù)為： 攝像機每次應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長為：S＝ 得：S＝