全國各地名校2013年中考數(shù)學(xué)5月試卷分類匯編 開放探究型問題

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1、開放探究型問題一、選擇題1、（2013浙江省寧波模擬題）課題研究小組對附著在物體表面的三個微生物（課小組成員把他們分別標號為，）的生長情況進行觀察記錄這三個微生物第一天各自一分為二，產(chǎn)生新的微生物（分別被標號為，），接下去每天都按照這樣的規(guī)律變化，即每個微生物一分為二，形成新的微生物（課題組成員用如圖所示的圖形 進行形象的記錄）那么標號為的微生物會出現(xiàn)在（ ） A第天 B第天 C第天 D第天11211110121201918171615141354987623（第12題圖）答案：CAEBCDF2、（2013山東德州特長展示）如圖，在ABC中，點E 、D、F分別在邊AB、BC、CA上，且DEAC

2、，DFAB下列說法中錯誤的是( ) A四邊形AEDF是平行四邊形B如果BAC=90 ，那么四邊形AEDF是矩形C如果ADBC，那么四邊形AEDF是正方形D如果AD平分BAC，那么四邊形AEDF是菱形二、填空題1、（2013河南沁陽市九年級第一次質(zhì)量檢測）如圖，RtABC中，在AC邊上取點O畫圓使O經(jīng)過A、B兩點，下列結(jié)論中：；以O(shè)為圓心，以O(shè)C為半徑的圓與AB相切；延長BC交O與D，則A、B、D是O的三等分點正確的序號是 (多填或錯填不給分)2、（2013年湖北省武漢市中考全真模擬）已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P為對角線AC上一點，過P作BP的垂線交直線AD于點Q，若APQ為等腰

3、三角形，則AP的長度為 或 . 3.6或1三、解答題第1題圖1（2013年安徽初中畢業(yè)考試模擬卷一）如圖，在中，AC=6，BC=8，AB=10，點D、E分別在AB、AC上，且DE將的周長分成相等的兩部分，設(shè)AE=，AD=，的面積為S.（1）求出與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；（2）求出S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并判斷S是否有最大的值，若有，則求出其最大值，并指出此時的形狀；若沒有，請說明理由. 答案：（1）DE平分ABC的周長，即yx12y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y12x（2x6）（2）過點D作DFAC，垂足為FF，即，ABC是直角三角形，ACB90，即故當x6時，S取得最大值此時，y1266，即A

4、EAD因此，ADE是等腰三角形2. （2013年北京房山區(qū)一模）已知，拋物線，當1x5時，y值為正；當x1或x5時，y值為負.（1）求拋物線的解析式.（2）若直線（k0）與拋物線交于點A（，m）和B（4，n），求直線的解析式.（3）設(shè)平行于y軸的直線x=t和x=t+2分別交線段AB于E、F，交二次函數(shù)于H、G.求t的取值范圍是否存在適當?shù)膖值，使得EFGH是平行四邊形？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由.答案：解：（1）根據(jù)題意，拋物線與x軸交點為（1,0）和（5,0）-1分，解得.拋物線的解析式為. -2分 （2）的圖象過A（，m）和B（4，n）兩點 m=，n=3 ， A（，）和B（4，

5、3） - 3分 直線（k0）過A（，）和B（4，3）兩點，解得.直線的解析式為. -4分（3）根據(jù)題意，解得t2 -5分根據(jù)題意E（t，），F(xiàn)（t+2，） H（t，），G（t+2，），EH=，F(xiàn)G=. 若EFGH是平行四邊形，則EH=FG，即= 解得t=， - -6分t=滿足t2. 存在適當?shù)膖值，且t=使得EFGH是平行四邊形.-7分3. （2013年北京龍文教育一模） 如圖，在平面直角坐標系xOy中,二次函數(shù)的圖象與軸交于（-1,0）、（3,0）兩點, 頂點為.(1) 求此二次函數(shù)解析式； (2) 點為點關(guān)于x軸的對稱點，過點作直線：交BD于點E，過點作直線交直線于點.問：在四邊形ABKD

6、的內(nèi)部是否存在點P，使得它到四邊形ABKD四邊的距離都相等，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3) 在（2）的條件下，若、分別為直線和直線上的兩個動點，連結(jié)、，求和的最小值.第3題圖答案：解:(1) 點A、B的坐標分別為（-1,0）、（3,0）， 解得 二次函數(shù)解析式為. 2分 （2）可求點C的坐標為（1，） 點D的坐標為（1，）.可求 直線AD的解析式為 .由題意可求 直線BK的解析式為. 直線的解析式為, 可求出點K的坐標為(5,).易求 . 四邊形ABKD是菱形. 菱形的中心到四邊的距離相等， 點P與點E重合時，即是滿足題意的點，坐標為（2， ） . 5分 (3) 點D、

7、B關(guān)于直線AK對稱, 的最小值是.過K作KFx軸于F點. 過點K作直線AD的對稱點P,連接KP,交直線AD于點Q, KPAD. AK是DAB的角平分線, . 的最小值是.即BP的長是的最小值. BKAD, . 在RtBKP中,由勾股定理得BP=8. 的最小值為8. 8分4（2013年北京順義區(qū)一模）如圖，已知拋物線與軸交于點，且經(jīng)過兩點，點是拋物線頂點，是對稱軸與直線的交點，與關(guān)于點對稱（1）求拋物線的解析式；（2）求證：；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點，使與相似若有，請求出所有符合條件的點的坐標；若沒有，請說明理由第4題圖答案：解：（1）將點代入得 1分解之得，所以拋物線的解析式為 2分

8、（2）由（1）可得拋物線頂點 3分 直線的解析式為 由是對稱軸與直線的交點，則 由與關(guān)于點對稱 ，則4分證法一：從點分別向?qū)ΨQ軸作垂線，交對稱軸于在和中，所以所以 5分證法二：直線的解析式為點 關(guān)于對稱軸的對稱點是將點代入可知點在直線所以 （3）在中，三內(nèi)角不等，且為鈍角 若點在點下方時，在中，為鈍角因為，所以和不相等所以，點在點下方時，兩三角形不能相似 6分 若點在點上方時，由，要使與相似只需（點在之間）或（點在的延長線上）解得點的坐標為或 8分第1題圖5（2013年安徽初中畢業(yè)考試模擬卷一）如圖，在中，AC=6，BC=8，AB=10，點D、E分別在AB、AC上，且DE將的周長分成相等的兩部

9、分，設(shè)AE=，AD=，的面積為S.（1）求出與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；（2）求出S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并判斷S是否有最大的值，若有，則求出其最大值，并指出此時的形狀；若沒有，請說明理由. 答案：（1）DE平分ABC的周長，即yx12y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y12x（2x6）（2）過點D作DFAC，垂足為FF，即，ABC是直角三角形，ACB90，即故當x6時，S取得最大值此時，y1266，即AEAD因此，ADE是等腰三角形6. （2013年北京房山區(qū)一模）已知，拋物線，當1x5時，y值為正；當x1或x5時，y值為負.（1）求拋物線的解析式.（2）若直線（k0）與拋物線交于點A（，m）和B（

10、4，n），求直線的解析式.（3）設(shè)平行于y軸的直線x=t和x=t+2分別交線段AB于E、F，交二次函數(shù)于H、G.求t的取值范圍是否存在適當?shù)膖值，使得EFGH是平行四邊形？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由.答案：解：（1）根據(jù)題意，拋物線與x軸交點為（1,0）和（5,0）-1分，解得.拋物線的解析式為. -2分 （2）的圖象過A（，m）和B（4，n）兩點 m=，n=3 ， A（，）和B（4，3） - 3分 直線（k0）過A（，）和B（4，3）兩點，解得.直線的解析式為. -4分（3）根據(jù)題意，解得t2 -5分根據(jù)題意E（t，），F(xiàn)（t+2，） H（t，），G（t+2，），EH=，F(xiàn)G=.

11、 若EFGH是平行四邊形，則EH=FG，即= 解得t=， - -6分t=滿足t2. 存在適當?shù)膖值，且t=使得EFGH是平行四邊形.-7分7. （2013年北京龍文教育一模） 如圖，在平面直角坐標系xOy中,二次函數(shù)的圖象與軸交于（-1,0）、（3,0）兩點, 頂點為.(1) 求此二次函數(shù)解析式； (2) 點為點關(guān)于x軸的對稱點，過點作直線：交BD于點E，過點作直線交直線于點.問：在四邊形ABKD的內(nèi)部是否存在點P，使得它到四邊形ABKD四邊的距離都相等，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3) 在（2）的條件下，若、分別為直線和直線上的兩個動點，連結(jié)、，求和的最小值.第3題圖答

12、案：解:(1) 點A、B的坐標分別為（-1,0）、（3,0）， 解得 二次函數(shù)解析式為. 2分 （2）可求點C的坐標為（1，） 點D的坐標為（1，）.可求 直線AD的解析式為 .由題意可求 直線BK的解析式為. 直線的解析式為, 可求出點K的坐標為(5,).易求 . 四邊形ABKD是菱形. 菱形的中心到四邊的距離相等， 點P與點E重合時，即是滿足題意的點，坐標為（2， ） . 5分 (3) 點D、B關(guān)于直線AK對稱, 的最小值是.過K作KFx軸于F點. 過點K作直線AD的對稱點P,連接KP,交直線AD于點Q, KPAD. AK是DAB的角平分線, . 的最小值是.即BP的長是的最小值. BKA

13、D, . 在RtBKP中,由勾股定理得BP=8. 的最小值為8. 8分8（2013年北京順義區(qū)一模）如圖，已知拋物線與軸交于點，且經(jīng)過兩點，點是拋物線頂點，是對稱軸與直線的交點，與關(guān)于點對稱（1）求拋物線的解析式；（2）求證：；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點，使與相似若有，請求出所有符合條件的點的坐標；若沒有，請說明理由第4題圖答案：解：（1）將點代入得 1分解之得，所以拋物線的解析式為 2分（2）由（1）可得拋物線頂點 3分 直線的解析式為 由是對稱軸與直線的交點，則 由與關(guān)于點對稱 ，則4分證法一：從點分別向?qū)ΨQ軸作垂線，交對稱軸于在和中，所以所以 5分證法二：直線的解析式為點 關(guān)于對

14、稱軸的對稱點是將點代入可知點在直線所以 （3）在中，三內(nèi)角不等，且為鈍角 若點在點下方時，在中，為鈍角因為，所以和不相等所以，點在點下方時，兩三角形不能相似 6分 若點在點上方時，由，要使與相似只需（點在之間）或（點在的延長線上）解得點的坐標為或 8分9、(本題滿分15分)如圖（1），P為所在平面上一點，且，則點叫做的費馬點(1).如點P為銳角的費馬點且ABC60，PA=3，PC=4，求PB的長。(4分)(2).如圖（2），在銳角外側(cè)作等邊連結(jié)求證：過的費馬點，且(6分)(3).已知銳角，ACB60，分別以三邊為邊向形外作等邊三角形ABD,BCE,ACF,請找出的費馬點，并探究SABC與SAB

15、D的和,SBCE與SACF的和是否相等。(1+4分)ACB圖（1）圖（2）解：由ABP與BPC相似,得PB2=PAPC,PB=2 ；（2）在BB上取點P，使BPC=120，連接AP，再在PB上截取PE=PC，連接CE，BPC=120,EPC=60，PCE是正三角形。ACB圖（1）圖（2）PC=CE,PCE=60,CEB=120.ACB是正三角形,AC=CB,ACB=60.PCA+ACE=ACE+ECB=60,PCA=ECB,ACPBCE,APC=BEC=120,PA=EB,P為銳角的費馬點.BB過的費馬點P,且BB=EB+PB+PE=PA+PB+PC.（3） 連接DC,BF交與點P，則P為銳角

16、的費馬點.在DAC與BAF中,DA=BA,DAC=BAF,AC=AF,DACBAF.SDAC=SBAF,ACB=CAF=60,AFBC.SBAF=SCAF, SDAC=SCAF.同理可證SDBC=SBEC,.SACF+SBCE=SDAC+SDBC=SABC+SABD10. 如圖1，在面積為3的正方形ABCD中，E、F分別是BC和CD邊上的兩點，AEBF于點G，且BE=1（1）求證：ABEBCF；（2）試求ABE和BCF重疊部分的面積；（3）如圖2，將ABE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到ABE，點E落在CD邊上的點E處，則ABE在旋轉(zhuǎn)前后與BCF重疊部分的面積是否發(fā)生了變化？請說明理由（1）證明：正方形

17、ABCD中，ABE=BCF=90，AB=BC， ABF+CBF=900， AEBF， ABF+BAE=900， BAE=CBF， 2分 ABEBCF. 3分（2）正方形面積為3，AB=.又BE=1，tanBAE=BAE=30，CBF=30 5分GE=，GB=. 6分（3）沒有變化. 7分由（2）可知BAE=30.AB=AD, ABE= ADE=90,AE公共，RtABERtABE RtADEDAE=BAE=BAE=30AB與AE在同一直線上，即G點就是AB與BF的交點，如圖所示.設(shè)BF與AE的交點為H，RtBAGRtHAG. 11分S四邊形HGBE= SBGE即ABE在旋轉(zhuǎn)前后與BCF重疊部分

18、的面積沒有發(fā)生變化. 11. （黑龍江2013）(本題10分)如圖，平面直角坐標系中O為坐標原點，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，C為OA中點；（1）求直線BC解析式；（2）動點P從O出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿線段OA向終點A運動，同時動點Q從C出發(fā)沿線段CB以每秒個單位長度的速度向終點B運動，過點Q作QMAB交x軸于點M，若線段PM的長為y，點P運動時間為t( )，求y于t的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，以PC為直徑作N，求t為何值時直線QM與N相切.解：（1） x=0時，y=6；y=0時，x=8， B（0,6） A(8，0) C為OA中點，C（4,0） （1分）設(shè)BC：4k+

19、b=0， b=6，k= y=x+6 （1分） （2）QMAB （1分）CM=t， （1分） 0t4時，PM= （0t4）（1分） （3）過N點作NHMQ交直線MQ于H點N為PC的中點，MN=（1分）MQABQMC=BAOsinQMC=sinBAO=NH=2=（1分）PC=（1分）=2=，解得，或（1分）綜上，或時，直線QM與N相切第27題圖12、（2013山東德州特長展示）（本小題滿分12分）已知：如圖，在RtABC中，ACB=90，BC=3 ，tanBAC=，將ABC對折，使點C的對應(yīng)點H恰好落在直線AB上，折痕交AC于點O，以點O為坐標原點，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標系（1）求過A

20、、B、O三點的拋物線解析式；（2）若在線段AB上有一動點P，過P點作x軸的垂線，交拋物線于M，設(shè)PM的長度等于d，試探究d有無最大值，如果有，請求出最大值，如果沒有，請說明理由（3）若在拋物線上有一點E，在對稱軸上有一點F，且以O(shè)、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，試求出點E的坐標BACOHxy解：（1）在RtABC 中，BC=3 ，tanBAC=，AC=4AB=設(shè)OC=m，連接OH，如圖，由對稱性知，OH=OC=m，BH=BC=3，BHO=BCO=90，AH=ABBH=2，OA=4m在RtAOH 中， OH2+AH2=OA2，即m2+22=(4m)2，得 m=OC=，OA=ACOC=，O

21、（0，0） A（，0），B（，3）2分設(shè)過A、B、O三點的拋物線的解析式為：y=ax（x）把x=，y=3代入解析式，得a=y=x（x）= 即過A、B、O三點的拋物線的解析式為y=4分（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意得： 解之得 k= ，b=直線AB的解析式為y=6分設(shè)動點P（t，），則M（t，）7分d=（）（）= 當t=時，d有最大值，最大值為28分yBACOHxE2E1E3D(3)設(shè)拋物線y=的頂點為Dy=，拋物線的對稱軸x=，頂點D（，）根據(jù)拋物線的對稱性，A、O兩點關(guān)于對稱軸對稱 當AO為平行四邊形的對角線時，拋物線的頂點D以及點D關(guān)于x軸對稱的點F與A、O四點為頂點的四

22、邊形一定是平行四邊形這時點D即為點E，所以E點坐標為（）10分 當AO為平行四邊形的邊時，由OA=，知拋物線存在點E的橫坐標為或，即或，分別把x=和x=代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=中，得點E（，）或E（，）所以在拋物線上存在三個點：E1（，），E2（，），E3（，），使以O(shè)、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形12分13、(2013年福州市初中畢業(yè)班質(zhì)量檢查) (12分)如圖，RtABC中，C90，ACBC8，DE2，線段DE在AC邊上運動(端點D從點A開始)，速度為每秒1個單位，當端點E到達點C時運動停止F為DE中點，MFDE交AB于點M，MNAC交BC于點N，連接DM、ME、EN設(shè)運動時間為t秒

23、 (1) 求證：四邊形MFCN是矩形； (2) 設(shè)四邊形DENM的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式；當S取最大值時，求t的值； (3) 在運動過程中，若以E、M、N為頂點的三角形與DEM相似，求t的值A(chǔ)BCDEMFN第21題圖備用圖(1) 證明：MFAC，MFC90 1分MNAC，MFCFMN180FMN90 2分C90，四邊形MFCN是矩形 3分(若先證明四邊形MFCN是平行四邊形，得2分，再證明它是矩形，得3分)(2) 解：當運動時間為t秒時，ADt，F(xiàn)為DE的中點，DE2，DFEFDE1AFt1，F(xiàn)C8(t1)7tABCDEMFN四邊形MFCN是矩形，MNFC7t 4分又ACBC，C90

24、，A45在RtAMF中，MFAFt1， 5分SSMDE SMNE DEMFMNMF2(t1) (7t)(t1)t24t 6分St24t(t4)2當t4時，S有最大值 7分(若面積S用梯形面積公式求不扣分)(3) 解：MNAC，NMEDEM 8分 當NMEDEM時， 9分1，解得：t5 10分 當EMNDEM時， 11分EM2NMDE在RtMEF中，ME2EF2MF21(t1)2，1(t1)22(7t)解得：t12，t26(不合題意，舍去)綜上所述，當t為2秒或5秒時，以E、M、N為頂點的三角形與DEM相似 12分14、（2013河南沁陽市九年級第一次質(zhì)量檢測）（10分）某特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其

25、進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低2元，則平均每天的銷售量可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元， 請回答：（1）每千克核桃應(yīng)降價多少元？（2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏利市場，該店應(yīng)按原售價的幾折出售？15、（2013河南沁陽市九年級第一次質(zhì)量檢測）（11分）以原點為圓心,為半徑的圓分別交、軸的正半軸于A、B兩點,點P的坐標為.(1)如圖一，動點Q從點B處出發(fā)，沿圓周按順時針方向勻速運動一周,設(shè)經(jīng)過的時間為t秒，當時，直線PQ恰好與O第一次相切，連接OQ.求此時點Q的運動速度（結(jié)

26、果保留）；(2)若點Q按照中的方向和速度繼續(xù)運動，為何值時，以O(shè)、P、Q為頂點的三角形是直角三角形；在的條件下，如果直線PQ與O相交，請求出直線PQ被O所截的弦長.（補充說明：直角三角形中，如果一條直角邊長等于斜邊長的一半，那么這條直角邊所對的角等于30.）解：（1）連接OQ，則OQPQOQ=1，OP=2，所以，可得 所以點Q的運動速度為/秒. 3分(2)由（1）可知，當t=1時， OPQ為直角三角形所以，當Q與Q關(guān)于x軸對稱時，OPQ為直角三角形此時， 當Q(0，-1)或Q(0，1)時， 此時或即當，或時，OPQ是直角三角形. 7分當或時，直線PQ與O相交.作OMPQ，根據(jù)等面積法可知：PQ

27、OM=OQOPPQ= QM 弦長. 11分16、（2013年湖北省武漢市中考全真模擬）（本題滿分6分）如圖，在ABC中，ABC=90，BEAC于點E，點F在線段BE上，1=2，點D在線段EC上，給出兩個條件：DFBC；BF=DF.請你從中選擇一個作為條件，證明：AFDAFB解：選DF/BC.證明略17、（2013年湖北省武漢市中考全真模擬）(本題滿分10分) 如圖1，在長方形紙片ABCD中，其中1，將它沿EF折疊（點E、F分別在邊AB、CD上），使點B落在AD邊上的點M處，點C落在點N處，MN與CD相交于點P，連接EP.設(shè)，其中0n1(1) 如圖2，當（即M點與D點重合），=2時，則= ；（2

28、）如圖3，當（M為AD的中點），的值發(fā)生變化時，求證：EP=AE+DP；(3) 如圖1，當（AB=2AD），的值發(fā)生變化時，的值是否發(fā)生變化？說明理由解： 延長PM交EA延長線于G，則PDMGAM，EMPEMG.EP=EG=EA+AG=EA+DP. 設(shè)AD=1,AB=2,過E作EHCD于H,EFP=FPN=MPD=EMA.EFHEMA AE的長度發(fā)生變化,的值將發(fā)生變化.18、（2013年湖北省武漢市中考全真模擬）（本題滿分12分）如圖1，拋物線：與直線AB：交于x軸上的一點A，和另一點B(3，n)(1)求拋物線的解析式；(2)點P是拋物線上的一個動點（點P在A，B兩點之間，但不包括A，B兩點

29、），PMAB于點M，PNy軸交AB于點N，在點P的運動過程中，存在某一位置，使得PMN的周長最大，求此時P點的坐標，并求PMN周長的最大值；(3)如圖2，將拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180后，再作適當平移得到拋物線，已知拋物線的頂點E在第四象限的拋物線上，且拋物線與拋物線交于點D，過D點作軸的平行線交拋物線于點F，過E點作軸的平行線交拋物線于點G，是否存在這樣的拋物線，使得四邊形DFEG為菱形？若存在，請求E點的橫坐標；若不存在請說明理由 、解：由題意得：A(-1,0)、B(3,2) 解得:拋物線的解析式為y=-x+x+2 設(shè)AB交y軸于D，則D（0，），OA=1，OD=，AD=，=， PNy軸, PN

30、M=CDN=ADO, RtADORtPNM.=PN=PN. 當PN取最大值時, 取最大值. 設(shè)P(m, -m+m+2) N(m, m+).則PN=-m+m+2-(m+)=-m+m+. -1m3. 當m=1時,PN取最大值. PNM周長的最大值為2=.此時P(1,3). 設(shè)E(n,t),由題意得:拋物線為：y=-(x-)+,為：y=(x-n) +t. E在拋物線上，t=-(n-)+.四邊形DFEG為菱形. DF=FE=EG=DG連ED,由拋物線的對稱性可知,ED=EF.DEG與DEF均為正三角形.D為拋物線的頂點.D(,).DFx軸,且D、F關(guān)于直線x=n對稱.DF=2（n-）.DEF為正三角形

31、.-=2(n-).解得：n=.t=-.存在點E，坐標為E(,-).19、（2013鳳陽縣縣直義教教研中心）如圖1，ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時BDCF，BDCF成立.（1）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)（）時，如圖2，BDCF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.（2）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45時，如圖3，延長BD交CF于點G. 求證：BDCF； 當AB4，AD時，求線段BG的長. 圖1 圖2 圖3解（1）BDCF成立.理由：ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，AB=AC，AD=AF，BAC=DAF=90, B

32、AD=，CAF=，BAD=CAF，BADCAF. BDCF.（4分）（2）證明：設(shè)BG交AC于點M.BADCAF（已證），ABMGCM.BMA CMG ，BMA CMG.BGCBAC 90.BDCF.（7分）過點F作FNAC于點N.在正方形ADEF中，AD，ANFN.在等腰直角ABC 中，AB4，CNACAN3，BC.RtFCNRtABM，AM.CMACAM4， . （9分）BMA CMG，. CG. （11分）在RtBGC中，. . （12分）20、（2013鳳陽縣縣直義教教研中心）如圖，已知：直線y=-x+3交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C（1，0）三點

33、.（1）求拋物線的解析式;（2）若點D的坐標為（-1，0），在直線y=-x+3上有一點P，使ABO與ADP相似，求出點P的坐標；（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點E，使ADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請求出點E的坐標；如果不存在，請說明理由解：（1）：由題意得，A（3，0），B（0，3）拋物線經(jīng)過A、B、C三點，把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三點分別代入得方程組 解得：拋物線的解析式為 （4分）（2）由題意可得：ABO為等腰三角形,如圖所示，若ABOAP1D，則DP1=AD=4 , P1若ABOADP2 ，過點P2作P2 Mx軸于M，AD=4,

34、 ABO為等腰三角形, ADP2是等腰三角形,由三線合一可得：DM=AM=2= P2M，即點M與點C重合P2（1，2） （8分）（3）如圖設(shè)點E ，則 當P1(-1,4)時，S四邊形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE = 點E在x軸下方 代入得： ,即 =(-4)2-47=-120 此方程無解當P2（1，2）時，S四邊形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE = 點E在x軸下方 代入得：即 ，=(-4)2-45=-40此方程無解綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點E。（14分）21（2013鄭州外國語預(yù)測卷）某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動，過程如下：如圖1，等腰直角ABC

35、中，AB=AC，BAC=90，小敏將一塊三角板中含45角的頂點放在A上，從AB邊開始繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點D，直角邊所在的直線交直線BC于點E（1）小敏在線段BC上取一點M，連接AM，旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)：若AD平分BAM，則AE也平分MAC請你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；（2）當045時，小敏在旋轉(zhuǎn)中還發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE之間存在如下等量關(guān)系：BD2+CE2=DE2同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進行解決：小穎的想法：將ABD沿AD所在的直線對折得到ADF，連接EF（如圖2）；小亮的想法：將ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90得到ACG，連接EG（如圖3）；請你從中任

36、選一種方法進行證明；（3）小敏繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，在探究中得出當45135且90時，等量關(guān)系BD2+CE2=DE2仍然成立，先請你繼續(xù)研究：當135180時（如圖4），等量關(guān)系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由答案：解：（1）證明：BAC90，DAEDAMMAE45，BADEAC45。 又AD平分MAB，BADDAM。MAEEAC。 AE平分MAC。 （2）證明小穎的方法： 將ABD沿AD所在的直線對折得到ADF， AFAB，AFDB45，BADFAD。 又AC=AB，AFAC。 由（1）知，F(xiàn)AECAE。 在AEF和AEC中，AF AC，F(xiàn)AECAE，AEA

37、E， AEFAEC（SAS）。CEFE，AFEC45。 DFEAFD AFE90。 在RtOCE中，DE2FE2DE2，BD2CE2DE2。（3）當135180時，等量關(guān)系BD2CE2DE2仍然成立。證明如下： 如圖，按小穎的方法作圖，設(shè)AB與EF相交于點G。 將ABD沿AD所在的直線對折得到ADF， AFAB，AFDABC45，BADFAD。 又AC=AB，AFAC。 又CAE900BAE900（45BAD）45BAD45FADFAE。在AEF和AEC中，AF AC，F(xiàn)AECAE，AEAE， AEFAEC（SAS）。CEFE，AFEC45。又在AGF和BGE中，ABCAFE45，AGFBGE，F(xiàn)AGBEG。又FDEDEF=FDEFAG（ADBDAB）ABC90。DFE90。在RtOCE中，DE2FE2DE2，BD2CE2DE2。27