題型04 平面向量數(shù)量積

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1、r 2 2 2 2 2 2 ( ) r r 2 2 2 2 D OAB ( ) ( ) ( ) 2 2 秒殺高考數(shù)學(xué)題型之平面向量數(shù)量積 【秒殺題型一】：平面向量數(shù)量積。 『秒殺策略』：定義：(與物理中功的定義一致，兩向量通過數(shù)量積運(yùn)算以后是標(biāo)量或?qū)崝?shù)。 )(亦稱內(nèi)積 )是 兩向量乘法運(yùn)算中的一種，a ×b= a ×b cos  q  =x ×x +y ×y 1 2 1  2  ，叫做向量 a 與 b 的數(shù)量積。q 為向量 a 與 b  的夾角，注意：求兩向量的夾角應(yīng)把向量

2、的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)，注意不能理解成兩條直線的夾角，q?  [0,p]。 r r 幾何意義為： a ×b等于 a (或 b )與 b (或 a )在 a (或 b )方向上的投影 b cos q (  a cos  q  )的乘積。 運(yùn)算率：①交換率： a ×b=b ×a； ( ) ②分配率： a +b ×c=a ×c+b×c; () () ③不滿足結(jié)合率： a ×b×c1a ×b×c，因?yàn)榍懊姹硎九c  c  共線的向量，后面表示與  a  共線的向量。 三種方法：1.定義法：代入到數(shù)量積的公式中，對(duì)于較簡(jiǎn)單題（已

3、知兩向量的模與夾角），用此法計(jì)算。 2.繞法：當(dāng)兩向量的模與夾角不易求時(shí)，把兩向量通過平行四邊形或三角形繞成用已知向量（已知模與夾角 的向量）表示，然后代入到數(shù)量積公式中。 3.坐標(biāo)法：如果給出兩向量所在圖形存在垂直關(guān)系（易建系時(shí)）時(shí)，適當(dāng)建立直角坐標(biāo)系，代入坐標(biāo)計(jì)算。 4.投影法：當(dāng)一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影易求時(shí)，用此法計(jì)算。 5.特殊圖形法：如果圖形形狀不確定，則可取特殊圖形，然后利用建系或投影計(jì)算。 【題型 1】：簡(jiǎn)單型，利用定義計(jì)算。 1.(2010 年遼寧卷)平面上  O , A, B  三點(diǎn)不共線，設(shè)  OA =a , OB

4、=b ，則 DOAB 的面積等于 ( ) A. C.  1 2  2 a b -( a ×b) a b -( a ×b)  2  B. D.  1 2  2 a b +( a ×b) r r a b + a ×b 1 1 2 2 1 【解析】：定義法： S = OA ×OB sin q = a ×b (1-cos q) = 2 2 2 2.(2016 年新課標(biāo)全國(guó)卷 II3)已知向量 a = 1, m , b = 3, -2 且 a +b ^b ，則  a ×b -( a ×b) m

5、= ( )  2  ，選 C。 A.－8 B.－6 C.6 D.8 2 【解析】：定義法：代入坐標(biāo)選 D。 3.(2012 年遼寧卷)已知向量  a =(1, -1) ， b =(2, x) ，若 a ×b=1 ，則 x = ( ) A.—1 B.—  1 1 C. 2 2  D.1 【解析】：定義法：代入坐標(biāo)得  x =1  ，選 D。 4.(2016 年新課標(biāo)全國(guó)卷 II4)已知向量  a, b 滿足  a =1, a ×b=-1 ( ) ，則 a ×2a -

6、b = ( ) A.4 B.3 C.2 D.0 【解析】：代入已知條件，選 B。 5.(高考題)已知  a  是平面內(nèi)的單位向量，若向量  b  滿足  b ×(a -b ) =0  ，則  | b |  的取值范圍是 。 【解析】：定義法：展開得： b =a ×b=a b cos  q=b cos  q，即 b =cos  q ? [0,1]。 6.(高考題)設(shè) a , b 為向量,則“  a ×b = a b ”是“ a // b ”的 ( ) A.充分不必要條件 C.

7、必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】：定義法：可得  cos  q  =1  ，共線同向或反向，選 C。 7.(2020 年新課標(biāo)全國(guó)卷 III6)在平面內(nèi)，A、B 是兩個(gè)定點(diǎn)，C 是動(dòng)點(diǎn)，若 A.圓 B.橢圓 C.拋物線 D.直線  AC ×BC =1  ，則點(diǎn) C 的軌跡為 【解析】：選 A。 【題型 2】：多種方法均可。 1.(2013 年新課標(biāo)全國(guó)卷 II13)已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2， E 為 CD 的中點(diǎn)，則 AE ×BD = 。 【解析】：法一：繞法

8、： AE ×BD =( AD +DE ) ×BD =2。 法二：坐標(biāo)法，建立坐標(biāo)系，代入坐標(biāo)可得。 法三：投影法。 2.(高考題)在正三角形  ABC  中，  D  是  BC  上的點(diǎn)，若  AB =3  ，  BD =1  ，則  AB ×AD =  。 15 【解析】：法一：繞法： 。 2 ( AB +AC )( AC -AB ) = ( AC -AB ) = 法二：投影法。 法三：坐標(biāo)法。 3.(高考題)在 DABC 中， M 是 BC 的中點(diǎn)，

9、AM =3, BC =10 ，則 AB ×AC = 。 【解析】：法一：繞法。 法二：特殊圖形法：不妨看成等腰三角形，AB AC = AB AC cos DBAC =34(2cos  2  DBAD -1)  =－16。 法三：亦可看成直角三角形建系計(jì)算。 4.(高考題)正方形 OABC 的對(duì)角線 OB 的兩端點(diǎn)分別為  O (0,0)  ，  B (1,1)  ，則 AB ×AC = 。 【解析】：法一：坐標(biāo)法：建立直角坐標(biāo)系，代入坐標(biāo)可得 1。 法二：投影法：利用數(shù)量積的幾何意義(投影)可得數(shù)量積為 1

10、。 5.(高考題)在邊長(zhǎng)為 1 的正三角形  ABC  中，設(shè)  BC =2 BD , CA =3CE  ，則  AD ×BE =________  。 【解析】：法一：繞法： -  1 4  。 法二：坐標(biāo)法。 6.(高考題)如圖,在平行四邊形 ABCD 中，已知 AB =8 ，AD =5 ， CP =3PD ，AP ×BP =2 ，則 AB ×AD 的值 是 。 【解析】：法一：繞法：22。 法二：特殊圖形法 。 7.(高考題)在 DABC 中， AB =2, AC =3 ， D 是

11、邊 BC 的中點(diǎn)，則 AD ×BC =  。 【解析】：法一：繞法： AD ×BC = 法二：特殊圖形法。 法三：投影法。  1 1 2 2 5 2 2 2  。 8.(高考題)設(shè)四邊形 ABCD 為平行四邊形， AB =6 ， AD =4 ，若點(diǎn) M , N 滿足 BM =3 MC  ， ÷ DN =2 NC ，則 AM ×NM =  ( ) A.20 B.15 C.9 D.6 【解析】：法一：繞法：原式=  ? ? è  AB +  3 3  ??1 1 AD ÷×?

12、AB - AD ?è3 4  ? ?  =9，選 C。 法二：特殊圖形法，ABCD 為矩形，建立直角坐標(biāo)系。 9.(2020 年新高考北京卷 13)已知正方形  ABCD  的邊長(zhǎng)為 2，點(diǎn)P  滿足  AP =  1 2  ( AB +AC )  ，則  | PD |=  ； PB ×PD = 【解析】：  5，-1  。 。 【題型 3】：利用投影計(jì)算較簡(jiǎn)單。 1.(高考題)如圖,已知正六邊形 PP P P P P 1 2 3 4 5 6 

13、，下列向量的數(shù)量積中最大的是 ( ) A.  PP , PP 1 2 1 3  B.  PP , PP 1 2 1 4  C.  PP , PP 1 2 1 5  D.  PP , PP 1 2 1 6 【解析】：投影法：判斷各個(gè)向量在 P P 1 2  上的投影大小，選 A。 2.(2020 年新高考全國(guó)卷 I7)已知 P 是邊長(zhǎng)為 2 的正六邊形 ABCDEF 內(nèi)的一點(diǎn)，則 AP ×AB 的取值范圍是 A.  ( -2,6 )  B.  ( -6,2 )  C. 

14、 ( -2,4 )  D.  ( -4,6 ) 【解析】：選 A。 3.(高考題)在直角  DABC  中，  CD  是斜邊  AB  上的高，則下列等式不成立的是 ( ) BC = AC ×AB B. 2 2 2 2 2 2 a 2 A.  AC  2 2  =BA ×BC C.  AB =AC ×CD  D.  CD =  ( AC ×AB ) ′( BA ×BC ) AB 【解析】：投影法：畫出直角三角形，

15、利用數(shù)量積幾何意義(投影)，選 C。 4.(高考題)在 Rt DABC 中， DC =90°， AC =4 ，則 AB. AC 等于 ( ) A.－16 B.－8 C.8 D.16 【解析】：投影法：利用數(shù)量積幾何意義(數(shù)量積)，選 D。 5.(高考題)在平行四邊形  ABCD  中，  AP ^ BD  ，垂足為  P  ，  AP =3  ，則  AP ×AC  = 。 【解析】：投影法：利用數(shù)量積的幾何意義，  AP ×AC =AP ×2AO  (  O  為  AC

16、  與  BD  交點(diǎn))=  2 AP =  18  。 6.(高考題)已知向量 OA ^ AB ， | OA |=3 ，則 OA ×OB =  。 【解析】：投影法： OA ×OB =OA =  9  。 【題型 4】：求投影。 『秒殺策略』：?！羶上蛄克傻慕怯嘞?數(shù)量積/模。 1.(高考題)已知向量  a  ，  b  滿足  b =2  ，  a  與  b  的夾角為  60 °  ，則  b  在

17、 a  上的投影是 。 【解析】：  b  在  a  上的投影是  b cos60°=1  。 2.(高考題)已知點(diǎn)  A (-1,1)，B(1,2)，C(-2,-1)，D(3,4)  ，則向量  AB  在  CD  方向上的投影為 ( ) A.  3 2 3 15 3 2 3 15 B. C. - D. - 2 2 2 2 【解析】：  AB 在 CD 方向上的投影等于  AB ×CD 3 2 = ，選 A。 CD 3.(高考題)設(shè)

18、e , e 1 2  為單位向量，且  e , e 1 2  的夾角為  p 3  ，若  a =e +3e ， b =2e 1 2 1  ，則向量 a 在 b 方向上的射 影為 。 【解析】： a 在 b 方向上的射影等于 【題型 5】：數(shù)量積最值問題。  ( ) a ×b e +3e ×2e 5 = 1 2 1 = 2e 1  。 2,1 ( ) ( ) ( a a? 0, BP ×BA | 『秒殺策略』：利用投影的直觀性或轉(zhuǎn)化為某變量的函數(shù)。 1.(高考題

19、)已知平面直角坐標(biāo)系  xOy  上的區(qū)域  D  ì0 ￡x ￡ 2 ? 由不等式組 í y ￡2  給定，若  M  (  x, y  )  為 D 上的動(dòng) ? ? x ￡ 2 y 點(diǎn)，點(diǎn)  A  的坐標(biāo)為 ( ) ，則  z =OM ×OA  的最大值為 ( ) A.  4 2  B.  3 2  C.4 D.3 【解析】：投影直觀法：利用數(shù)量積的幾何意義（投影）可知當(dāng) M 為點(diǎn) (  2, 2 ) 時(shí)最大，選 C。

20、 2.(高考題)在平面直角坐標(biāo)系中，已知  A 1,0 , B 0, -1 ， P 是曲線 y = 1 -x  2  上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 BP ×BA 的 取值范圍是 。 【解析】：坐標(biāo)法：設(shè)  P cos  a,sin  )， [p]， =  2 sin  ??a+p?÷+1?[0,1+2]。 è 4 ? 3.(高考題)已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 1，點(diǎn) E 是 AB 邊上的動(dòng)點(diǎn)，則 DE ×CB 的值為 ，DE ×DC 的 最大值為 . 【解析】：投影直觀法：利用數(shù)量積的幾何意義， DE ×

21、CB =DA 2=  1  ，要使  DE ×DC  最大，即投影最大， 此時(shí)  E  點(diǎn)與  B  點(diǎn)重合，射影為  DC  ，所以最大值為 1。 4.(2020 年新高考天津卷 15)如圖，在四邊形 ABCD 中， DB =60°,AB =3 ， BC =6 ，且 AD =lBC ,  AD ×AB =-  3 2  ，則實(shí)數(shù)  l  的值為_________，若  M , N  是線段  BC  上的動(dòng)點(diǎn)，且  | MN |=1  ， 則 DM ×DN 的最小值為 。 1 13 【解析】： ， 6 2  。