2021年中考數(shù)學(xué)培優(yōu) 專題講義 圓內(nèi)接多邊形

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1、圓內(nèi)接多邊形 解題關(guān)鍵：抓住點(diǎn)在圓上，即圓上的點(diǎn)到圓心距離為半徑這一本質(zhì). 【例題講解】 例題 1、如圖，三個(gè)全等的正方形內(nèi)接于圓，正方形的邊長(zhǎng)為 16，求圓的 半徑. 答案：由題意可知，圓心應(yīng)該在下面兩個(gè)正方形的相交邊上面，且設(shè)定圓 心與上面正方形的距離為 x ，則 BO ＝16 －x ，BC ＝16 ，AD ＝8 ，40 ＝16 ＋x，故BC2＋BO2＝AD2＋AO2，則可以得到方程： 16＋（16－x）2＝（16＋x）2＋82，解之得x＝3，所以能將其完全覆 蓋的圓的最下半徑為R2＝162＋(16－x）2＝5 17 即為所求。 例題 2、如圖，在半徑為

2、2，圓心角為 60°的扇形內(nèi)接一個(gè)正方形，分別求 出以下兩種接法的正方形邊長(zhǎng). A  A F C F C E O 60° D E B  O 60°  D B 答案：2  21 6 3 37  ，4  3  -6. 例題 3、如圖，3 個(gè)正方形在⊙O 直徑的同側(cè)，頂點(diǎn) B、C、G、H 都在⊙ O 的直徑上，正方形 ABCD 的頂點(diǎn) A 在⊙O 上，頂點(diǎn) D 在 PC 上，正方 形 EFGH 的頂點(diǎn) E 在⊙O 上，頂點(diǎn) F 在 QG 上，正方形 PCGQ 的頂點(diǎn) P

3、1 / 7 也在⊙O 上.若 BC＝1，GH＝2，則 CG 的長(zhǎng)為（ ） A. 12 B. 5 P  2  ＋1C. 6 D.2 2 Q A  D  F  E B C  O  G H 答案：C. 【鞏固練習(xí)】 1、如圖，在以 AB 為直徑的半圓中，有一個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的正方形 CDEF， 則該圓的半徑為. D E A C O F B 第1題 2、如圖，三個(gè)相鄰的正方形內(nèi)接于半圓，若小正方形的面積為 16cm2， 則正方形 BEFG 的邊長(zhǎng)為 .

4、第 2 題 3、如圖，用 3 個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的正方形組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，則能將其完 2 / 7 全覆蓋的圓的最小半徑為. 第 3 題 4、如圖，用邊長(zhǎng)為 1 和 3 的兩個(gè)正方形組成一個(gè)圖形，則能將其完全 覆蓋的圓形紙片的最小半徑為 . 第4題 5、如圖，正方形 ABCD 的頂點(diǎn) A、B 和正方形 EFGH 的頂點(diǎn) G、H 在一個(gè)半徑為 5cm 的⊙O 上，點(diǎn) E 、F 在線段 CD 上，正方形 ABCD 的邊 長(zhǎng)為 6cm，則正方形 EFGH 的邊長(zhǎng)為 cm. D  H E  G F  C

5、 O A  B 第5題 6、如圖，已知扇形的圓心角為 2α（定值），半徑為 R（定值），分別在 圖一、二中作扇形的內(nèi)接矩形，若按圖一作出的矩形面積的最大值為 1 R2tanα，則按圖二作出的矩形面積的最大值為（） 2 A.R2tanαB.R2tan 1 αC. 1 R2tan 1 αD. 1 R2tanα 2 2 2 2 3 / 7 2α  2α 圖1  圖2 7 、一種電訊信號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)裝置的發(fā)射直徑為 31km. 現(xiàn)要求：在一邊長(zhǎng)為 30km 的正方形城區(qū)選擇若干個(gè)安裝點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)安裝一個(gè)這種轉(zhuǎn)發(fā)裝

6、置， 使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號(hào)能完全覆蓋這個(gè)城市.問(wèn)： （1）能否找到這樣的 4 個(gè)安裝點(diǎn)，使得這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后 能達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？ （2）至少需要選擇多少個(gè)安裝點(diǎn)，才能使這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置 后達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？答題要求：請(qǐng)你在解答時(shí)，畫出必要的示意圖，并用 必要的計(jì)算、推理和文字來(lái)說(shuō)明你的理由.（下面給出了幾個(gè)邊長(zhǎng)為 30km 的正方形城區(qū)示意圖，供解題時(shí)選用）DA A D A D A D A D B  C B  C B  C B  C 圖1  圖2  圖3  圖4 8、我們將能完全覆蓋某平面

7、圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋 圓.例如線段 AB 的最小覆蓋圓就是以線段 AB 為直徑的圓 . （1）請(qǐng)分別作出下圖中兩個(gè)三角形的最小覆蓋圓；（要求用尺規(guī)作圖， 4 / 7 47.8 保留作圖痕跡，不寫作法） （2）探究三角形的最小覆蓋圓有何規(guī)律？請(qǐng)寫出你所得到的結(jié)論；（不 要求證明） （3）某地有四個(gè)村莊 E，F(xiàn)，G，H（其位置如圖 2 所示），現(xiàn)擬建一個(gè) 電視信號(hào)中轉(zhuǎn)站，為了使這四個(gè)村莊的居民都能接收到電視信號(hào)，且使中 轉(zhuǎn)站所需發(fā)射功率最?。ň嚯x越小，所需功率越?。?，此中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在何處？ 請(qǐng)說(shuō)明理由. G H  32.4

8、° 49.8° 53.8° A 80°  A 100° 50° 44° 47.1° 35.1°  F B C B C  E 5 / 7 參考答案 1. 答案：  5 . 2 2. 答案：8cm. 3.  答案： 5 17 . 16 4. 答案：2.5. 5. 答案：  3  －1. 6. 答案：B. 7. 答案：（1）將圖 1 中的正方形等分成如圖的四個(gè)小正方形，將這 4 個(gè) 轉(zhuǎn)發(fā)裝置 安裝在這 4 個(gè)小正方形對(duì)角

9、線的交點(diǎn)處，此時(shí)，每個(gè)小正方形 的對(duì)角線長(zhǎng)為 1 2  30  2  ＝15 2 ，每個(gè)轉(zhuǎn)發(fā)裝置都能完全覆蓋一個(gè)小正 方形區(qū)域， 故安裝 4 個(gè)這種裝置可以達(dá)到預(yù)設(shè)的要求。（2）將原正方形分割成如圖 2 中的 3 個(gè)矩形，使得 BE＝DG＝CG， 將每個(gè)裝置安裝在這些矩形的對(duì)角線交點(diǎn)處， 設(shè) AE＝x，則 ED ＝30－x，DH＝15， 由 BE＝DG，得 x2＋302＝152＋（30－x）2， ∴x＝ 225 15 = 60 4  ， ∴BE＝  15 ( ) 4  2  +302

10、  ≈30.2＜31， 即如此安裝 3 個(gè)這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，也能達(dá)到預(yù)設(shè)要求； 要用兩個(gè)圓覆蓋一個(gè)正方形，則一個(gè)圓至少要經(jīng)過(guò)正方形相鄰兩個(gè)頂 6 / 7 點(diǎn)， 如圖 3，用一個(gè)直徑為 31 的⊙O 去覆蓋邊長(zhǎng)為 30 的正方形 ABCD， 設(shè)⊙O 經(jīng)過(guò) A，B，⊙O 與 AD 交于 E， 連結(jié) BE，則 AE＝  312  302  ＝  61  ＜15＝  1 AD， 2 這說(shuō)明用兩個(gè)直徑都為 31 的圓不能完全覆蓋正方形 ABCD。 所以，至少要安裝 3 個(gè)這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，才能達(dá)到預(yù)設(shè)要求

11、。 8.答案：（1）圖略；（2）若三角形為銳角三角形，則其最小覆蓋圓為其外 接圓；若三角形為直角或鈍角三角形，則其最小覆蓋圓是以三角形最長(zhǎng)邊 （直角或鈍角所對(duì)的邊）為直徑的圓。 （3）此中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在△EFH 的外接圓圓心處（線段 EF 的垂直平分線與線 段 EH 的垂直平分線的交點(diǎn)處）。理由如下：由∠ HEF ＝∠HEG ＋∠GEF ＝ 47.8°＋35.1°＝82.9°， ∠FHE＝50.0°，∠EFH＝47.1°，故△EFH 是銳角三 角形，所以其最小覆蓋圓為△EFH 的外接圓，設(shè)此外接圓為⊙O，直線 EG 與⊙O 交于點(diǎn) E，M，則∠EMF＝∠EHF＝50.0°＜53.8°＝∠EGF，故點(diǎn) G 在⊙O 內(nèi)，從而⊙O 也是四邊形 EFGH 的最小覆蓋圓，所以中轉(zhuǎn)站建在△ EFH 的外接圓圓心處，能夠符合題中要求。 7 / 7