《天津市佳春中學中考數(shù)學復習 二次函數(shù)的應用（幾何問題）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《天津市佳春中學中考數(shù)學復習 二次函數(shù)的應用（幾何問題）（72頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、二次函數(shù)的應用（幾何問題）一、選擇題1.（2012甘肅蘭州4分）二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象如圖所示，若|ax2bxc|k(k0)有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是【 】Ak3 Bk3 Ck3 Dk3【答案】 D?！究键c】二次函數(shù)的圖象和性質?！痉治觥扛鶕?jù)題意得：y|ax2bxc|的圖象如右圖，|ax2bxc|k(k0)有兩個不相等的實數(shù)根，k3。故選D。二、填空題三、解答題1. （2012天津市10分）已知拋物線y=ax2+bx+c（02ab）的頂點為P（x0，y0），點A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）在該拋物線上（）當a=1，b=4，c=10時，求頂點P的坐標；求
2、的值；（）當y00恒成立時，求的最小值【答案】解：（）若a=1，b=4，c=10，此時拋物線的解析式為y=x2+4x+10。 y=x2+4x+10=（x+2）2+6，拋物線的頂點坐標為P（2，6）。點A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）在拋物線y=x2+4x+10上，yA=15，yB=10，yC=7。（）由02ab，得。由題意，如圖過點A作AA1x軸于點A1，則AA1=yA，OA1=1。連接BC，過點C作CDy軸于點D，則BD=yByC，CD=1。過點A作AFBC，交拋物線于點E（x1，yE），交x軸于點F（x2，0）。則FAA1=CBD。RtAFA1RtBCD。 ，即。過點E作EG
3、AA1于點G，易得AEGBCD。，即。點A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）、E（x1，yE）在拋物線y=ax2+bx+c上，yA=a+b+c，yB=c，yC=ab+c，yE=ax12+bx1+c，化簡，得x12x12=0，解得x1=2（x1=1舍去）。y00恒成立，根據(jù)題意，有x2x11。則1x21x1，即1x23。的最小值為3。 【考點】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的性質，曲線上點的坐標與方程的關系，相似三角形的判定和性質?！痉治觥浚ǎ=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函數(shù)解析式。將二次函數(shù)化為頂點式，即可得到得到拋物線頂點坐標。將A（1，yA）、B（0，yB）、C（
4、1，yC）分別代入解析式，即可求出yA、yB、yC的值，然后計算的值即可。（）根據(jù)02ab，求出，作出圖中輔助線：點A作AA1x軸于點A1，則AA1=yA，OA1=1連接BC，過點C作CDy軸于點D，則BD=yByC，CD=1過點A作AFBC，交拋物線于點E（x1，yE），交x軸于點F（x2，0）。證出RtAFA1RtBCD，得到，再根據(jù)AEGBCD得到，然后求出yA、yB、yC、yE的表達式，然后y00恒成立，得到x2x11，從而利用不等式求出 的最小值。 2. （2012上海市12分）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+6x+c的圖象經(jīng)過點A（4，0）、B（1，0），與y軸交于點
5、C，點D在線段OC上，OD=t，點E在第二象限，ADE=90，tanDAE=，EFOD，垂足為F（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）求線段EF、OF的長（用含t的代數(shù)式表示）；（3）當ECA=OAC時，求t的值【答案】解：（1）二次函數(shù)y=ax2+6x+c的圖象經(jīng)過點A（4，0）、B（1，0），解得。這個二次函數(shù)的解析式為：y=2x2+6x+8。（2）EFD=EDA=90，DEF+EDF=90，EDF+ODA=90。DEF=ODA。EDFDAO。，。OD=t，EF=。同理，DF=2，OF=t2。（3）拋物線的解析式為：y=2x2+6x+8，C（0，8），OC=8。如圖，連接EC、AC，過A作E
6、C的垂線交CE于G點ECA=OAC，OAC=GCA（等角的余角相等）。在CAG與OCA中，OAC=GCA，AC=CA，ECA=OAC，CAGOCA（ASA）。CG=AO=4，AG=OC=8。如圖，過E點作EMx軸于點M，則在RtAEM中，EM=OF=t2，AM=OA+AM=OA+EF=4+，由勾股定理得： 。在RtAEG中，由勾股定理得：。在RtECF中，EF=，CF=OCOF=10t，CE=CG+EG=4+由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，即。解得t1=10（不合題意，舍去），t2=6。t=6?！究键c】二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數(shù)定義，
7、全等三角形的判定和性質，勾股定理?！痉治觥浚?）已知點A、B坐標，用待定系數(shù)法求拋物線解析式即可。 （2）先證明EDFDAO，然后利用相似三角形對應邊的比例關系以及三角形函數(shù)的定義求解。（3）通過作輔助線構造一對全等三角形：CAGOCA，得到CG、AG的長度；然后利用勾股定理求得AE、EG的長度（用含t的代數(shù)式表示）；最后在RtECF中，利用勾股定理，得到關于t的無理方程，解方程求出t的值。3. （2012廣東廣州14分）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C（1）求點A、B的坐標；（2）設D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當ACD的面積等于ACB的面積時，求點
8、D的坐標；（3）若直線l過點E（4，0），M為直線l上的動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式【答案】解：（1）在中，令y=0，即，解得x1=4，x2=2。 點A在點B的左側，A、B點的坐標為A（4，0）、B（2，0）。 （2）由得，對稱軸為x=1。 在中，令x=0，得y=3。 OC=3，AB=6，。在RtAOC中，。設ACD中AC邊上的高為h，則有ACh=9，解得h=。如圖1，在坐標平面內(nèi)作直線平行于AC，且到AC的距離=h=，這樣的直線有2條，分別是L1和L2，則直線與對稱軸x=1的兩個交點即為所求的點D。設L1交y軸于E，過C作CFL1于F，則CF=h
9、=，。設直線AC的解析式為y=kx+b，將A（4，0），B（0，3）坐標代入，得，解得。直線AC解析式為。直線L1可以看做直線AC向下平移CE長度單位（個長度單位）而形成的，直線L1的解析式為。則D1的縱坐標為。D1（4，）。同理，直線AC向上平移個長度單位得到L2，可求得D2（1，）。綜上所述，D點坐標為：D1（4，），D2（1，）。（3）如圖2，以AB為直徑作F，圓心為F過E點作F的切線，這樣的切線有2條連接FM，過M作MNx軸于點N。A（4，0），B（2，0），F(xiàn)（1，0），F(xiàn)半徑FM=FB=3。又FE=5，則在RtMEF中，-ME=，sinMFE=，cosMFE=。在RtFMN中，MN
10、=MNsinMFE=3，F(xiàn)N=MNcosMFE=3。則ON=。M點坐標為（，）。直線l過M（，），E（4，0），設直線l的解析式為y=k1x+b1，則有，解得。直線l的解析式為y=x+3。同理，可以求得另一條切線的解析式為y=x3。綜上所述，直線l的解析式為y=x+3或y=x3?！究键c】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系，二次函數(shù)的性質，勾股定理，直線平行和平移的性質，直線與圓的位置關系，直線與圓相切的性質，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥浚?）A、B點為拋物線與x軸交點，令y=0，解一元二次方程即可求解。（2）根據(jù)題意求出ACD中AC邊上的高，設為h在坐標平面內(nèi)，作
11、AC的平行線，平行線之間的距離等于h根據(jù)等底等高面積相等的原理，則平行線與坐標軸的交點即為所求的D點從一次函數(shù)的觀點來看，這樣的平行線可以看做是直線AC向上或向下平移而形成因此先求出直線AC的解析式，再求出平移距離，即可求得所作平行線的解析式，從而求得D點坐標。這樣的平行線有兩條。（3）本問關鍵是理解“以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個”的含義因為過A、B點作x軸的垂線，其與直線l的兩個交點均可以與A、B點構成直角三角形，這樣已經(jīng)有符合題意的兩個直角三角形；第三個直角三角形從直線與圓的位置關系方面考慮，以AB為直徑作圓，當直線與圓相切時，根據(jù)圓周角定理，切點與A、B點構成直角三角形
12、從而問題得解。這樣的切線有兩條。4. （2012廣東肇慶10分）已知二次函數(shù)圖象的頂點橫坐標是2，與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0），x10x2，與y軸交于點C，O為坐標原點，（1）求證： ；（2）求m、n的值；（3）當p0且二次函數(shù)圖象與直線僅有一個交點時，求二次函數(shù)的最大值【答案】（1）證明：二次函數(shù)圖象的頂點橫坐標是2，拋物線的對稱軸為x=2，即，化簡得：n+4m=0。（2）解：二次函數(shù)與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0），x10x2，OA=x1，OB=x2；。令x=0，得y=p，C（0，p），OC=|p|。由三角函數(shù)定義得：。tanCAOtanCBO=1，即 ，化簡得：。將
13、代入得：，化簡得：。由（1）知n+4m=0，當n=1時，；當n=1時，。m、n的值為： ，n=1（此時拋物線開口向上）或 ，n=1（此時拋物線開口向下）。（3）解：由（2）知，當p0時，n=1， ，拋物線解析式為：。聯(lián)立拋物線與直線y=x+3解析式得到：，化簡得： 。二次函數(shù)圖象與直線y=x+3僅有一個交點，一元二次方程根的判別式等于0，即=02+16（p3）=0，解得p=3。拋物線解析式為：。當x=2時，二次函數(shù)有最大值，最大值為4。當p0且二次函數(shù)圖象與直線y=x+3僅有一個交點時，二次函數(shù)的最大值為4?！究键c】二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的
14、關系，銳角三角函數(shù)定義，二次函數(shù)的性質。【分析】（1）由題意可知拋物線的對稱軸為x=2，利用對稱軸公式，化簡即得n+4m=0。（2）利用三角函數(shù)定義和拋物線與x軸交點坐標性質求解特別需要注意的是拋物線的開口方向未定，所以所求m、n的值將有兩組。（3）利用一元二次方程的判別式等于0求解當p0時，m、n的值隨之確定；將拋物線的解析式與直線的解析式聯(lián)立，得到一個一元二次方程；由交點唯一可知，此一元二次方程的判別式等于0，據(jù)此求出p的值，從而確定了拋物線的解析式；最后由拋物線的解析式確定其最大值。5. （2012廣東珠海7分）如圖，二次函數(shù)y=（x2）2+m的圖象與y軸交于點C，點B是點C關于該二次函
15、數(shù)圖象的對稱軸對稱的點已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上點A（1，0）及點B（1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，寫出滿足kx+b（x2）2+m的x的取值范圍6. （2012浙江杭州12分）在平面直角坐標系內(nèi)，反比例函數(shù)和二次函數(shù)y=k（x2+x1）的圖象交于點A（1，k）和點B（1，k）（1）當k=2時，求反比例函數(shù)的解析式；（2）要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，求k應滿足的條件以及x的取值范圍；（3）設二次函數(shù)的圖象的頂點為Q，當ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值【答案】解：（1）當k=2時，A（1，2），A在反比例函數(shù)圖象上，設反
16、比例函數(shù)的解析式為：。將A（1，2）代入得： ，解得：m=2。反比例函數(shù)的解析式為：。（2）要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，k0。二次函數(shù)y=k（x2+x1）=，它的對稱軸為：直線x=。要使二次函數(shù)y=k（x2+x1）滿足上述條件，在k0的情況下，x必須在對稱軸的左邊，即x時，才能使得y隨著x的增大而增大。綜上所述，k0且x。（3）由（2）可得：Q。ABQ是以AB為斜邊的直角三角形，A點與B點關于原點對稱，（如圖是其中的一種情況）原點O平分AB，OQ=OA=OB。作ADOC，QCOC，垂足分別為點C，D。，解得：k=?！究键c】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的
17、關系，反比例函數(shù)和二次函數(shù)的性質?！痉治觥浚?）當k=2時，即可求得點A的坐標，然后設反比例函數(shù)的解析式為：，利用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）由反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，可得k0。又由二次函數(shù)y=k（x2+x1）的對稱軸為x=，可得x時，才能使得y隨著x的增大而增大。（3）由ABQ是以AB為斜邊的直角三角形，A點與B點關于原點對稱，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得OQ=OA=OB，又由Q，A（1，k），即可得，從而求得答案。7. （2012浙江寧波12分）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（1，0），B（2，0），交y軸于C（0，2），過A
18、，C畫直線（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點P在x軸正半軸上，且PA=PC，求OP的長；（3）點M在二次函數(shù)圖象上，以M為圓心的圓與直線AC相切，切點為H若M在y軸右側，且CHMAOC（點C與點A對應），求點M的坐標；若M的半徑為，求點M的坐標【答案】解：（1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（1，0），B（2，0）設該二次函數(shù)的解析式為：y=a（x+1）（x2）， 將x=0，y=2代入，得2=a（0+1）（02），解得a=1。拋物線的解析式為y=（x+1）（x2），即y=x2x2。（2）設OP=x，則PC=PA=x+1，在RtPOC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，解得
19、，x=，即OP=。（3）CHMAOC，MCH=CAO。（i）如圖1，當H在點C下方時，MCH=CAO，CMx軸，yM=2。x2x2=2，解得x1=0（舍去），x2=1。M（1，2）。（ii）如圖2，當H在點C上方時，MCH=CAO，PA=PC。由（2）得，M為直線CP與拋物線的另一交點，設直線CM的解析式為y=kx2，把P（，0）的坐標代入，得k2=0，解得k=。y=x2。由x2=x2x2，解得x1=0（舍去），x2=。此時y=。M（）。在x軸上取一點D，如圖3，過點D作DEAC于點E，使DE=，在RtAOC中，AC=。COA=DEA=90，OAC=EAD，AEDAOC，即，解得AD=2。D（
20、1，0）或D（3，0）。過點D作DMAC，交拋物線于M，如圖則直線DM的解析式為：y=2x+2或y=2x6。當2x6=x2x2時，即x2+x+4=0，方程無實數(shù)根，當2x+2=x2x2時，即x2+x4=0，解得。 點M的坐標為（）或（）。【考點】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系，勾股定理，平行的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解一元二次方程。【分析】（1）根據(jù)與x軸的兩個交點A、B的坐標，故設出交點式解析式，然后把點C的坐標代入計算求出a的值，即可得到二次函數(shù)解析式。 （2）設OP=x，然后表示出PC、PA的長度，在RtPOC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。（3
21、）根據(jù)相似三角形對應角相等可得MCH=CAO，然后分（i）點H在點C下方時，利用同位角相等，兩直線平行判定CMx軸，從而得到點M的縱坐標與點C的縱坐標相同，是-2，代入拋物線解析式計算即可；（ii）點H在點C上方時，根據(jù)（2）的結論，點M為直線PC與拋物線的另一交點，求出直線PC的解析式，與拋物線的解析式聯(lián)立求解即可得到點M的坐標。在x軸上取一點D，過點D作DEAC于點E，可以證明AED和AOC相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求解即可得到AD的長度，然后分點D在點A的左邊與右邊兩種情況求出OD的長度，從而得到點D的坐標，再作直線DMAC，然后求出直線DM的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解即可
22、得到點M的坐標。8. （2012浙江溫州14分）如圖，經(jīng)過原點的拋物線與x軸的另一個交點為A.過點作直線軸于點M，交拋物線于點B.記點B關于拋物線對稱軸的對稱點為C（B、C不重合）.連結CB,CP。（1）當時，求點A的坐標及BC的長；（2）當時，連結CA，問為何值時CACP？（3）過點P作PEPC且PE=PC，問是否存在，使得點E落在坐標軸上？若存在，求出所有滿足要求的的值，并寫出相對應的點E坐標；若不存在，請說明理由?！敬鸢浮拷猓海?）當m=3時，y=x26x。令y=0得x26x=0，解得，x1=0，x2=6。A（6，0）。當x=1時，y=5。B（1，5）。拋物線y=x26x的對稱軸為直線x
23、=3，且B，C關于對稱軸對稱，BC=4。（2）過點C作CHx軸于點H（如圖1）由已知得，ACP=BCH=90，ACH=PCB。又AHC=PBC=90，AGHPCB。拋物線y=x22mx的對稱軸為直線x=m，其中m1，且B，C關于對稱軸對稱，BC=2（m1）。B（1，2m1），P（1，m），BP=m1。又A（2m，0），C（2m1，2m1），H（2m1，0）。AH=1，CH=2m1，解得m= 。（3）存在。B，C不重合，m1。（I）當m1時，BC=2（m1），PM=m，BP=m1，（i）若點E在x軸上（如圖1），CPE=90，MPE+BPC=MPE+MEP=90，PC=EP。BPCMEP，BC=
24、PM，即2（m-1）=m，解得m=2。此時點E的坐標是（2，0）。（ii）若點E在y軸上（如圖2），過點P作PNy軸于點N，易證BPCNPE，BP=NP=OM=1，即m1=1，解得，m=2。此時點E的坐標是（0，4）。（II）當0m1時，BC=2（1m），PM=m，BP=1m，（i）若點E在x軸上（如圖3），易證BPCMEP，BC=PM，即2（1m）=m，解得，m=。此時點E的坐標是（ ，0）。（ii）若點E在y軸上（如圖4），過點P作PNy軸于點N，易證BPCNPE，BP=NP=OM=1，即1m=1，m=0（舍去）。綜上所述，當m=2時，點E的坐標是（0，2）或（0，4），當m=時，點E的坐
25、標是（，0）?！究键c】二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，二次函數(shù)的性質，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質?！痉治觥浚?）把m=3，代入拋物線的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即為和x軸交點的橫坐標，再求出拋物線的對稱軸方程，從而求出BC的長。（2）過點C作CHx軸于點H（如圖1）由已知得ACP=BCH=90，利用已知條件證明AGHPCB，根據(jù)相似的性質得到： ，再用含有m的代數(shù)式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值。（3）存在。本題要分當m1時，BC=2（m-1），PM=m，BP=m1和當0m1時，BC=2（1m），PM=m，BP=1m，兩種情況分別討論
26、，再求出滿足題意的m值和相對應的點E坐標。9. （2012江蘇連云港12分）如圖，拋物線yx2bxc與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點O為坐標原點，點D為拋物線的頂點，點E在拋物線上，點F在x軸上，四邊形OCEF為矩形，且OF2，EF3，(1)求拋物線所對應的函數(shù)解析式；(2)求ABD的面積；(3)將AOC繞點C逆時針旋轉90，點A對應點為點G，問點G是否在該拋物線上？請說明理由【答案】解：(1)四邊形OCEF為矩形，OF2，EF3，點C的坐標為(0，3)，點E的坐標為(2，3)把x0，y3；x2，y3分別代入yx2bxc，得，解得。拋物線所對應的函數(shù)解析式為yx22x3。(2)yx22
27、x3(x1)24，拋物線的頂點坐標為D(1，4)。ABD中AB邊的高為4。令y0，得x22x30，解得x11，x23。AB3(1)4。ABD的面積448。(3)如圖，AOC繞點C逆時針旋轉90，CO落在CE所在的直線上，由（1）(2)可知OA1，OC=3，點A對應點G的坐標為(3，2)。當x3時，y3223302，點G不在該拋物線上?！究键c】二次函數(shù)綜合題，矩形的性質，曲線圖上點的坐標與方程的關系，解一元二次方程，二次函數(shù)的性質，旋轉的性質。【分析】(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的長，先表示出C、E的坐標，然后利用待定系數(shù)法確定該函數(shù)的解析式。(2)根據(jù)(1)的函數(shù)解析式求出A、B、D
28、三點的坐標，以AB為底、D點縱坐標的絕對值為高，可求出ABD的面積。(3)根據(jù)旋轉條件求出點A對應點G的坐標，然后將點G的坐標代入拋物線的解析式中直接進行判定即可。10. （2012江蘇南通14分）如圖，經(jīng)過點A(0，4)的拋物線yx2bxc與x軸相交于點B(0，0)和C，O為坐標原點(1)求拋物線的解析式；(2)將拋物線yx2bxc向上平移個單位長度、再向左平移m(m0)個單位長度，得到新拋物線若新拋物線的頂點P在ABC內(nèi)，求m的取值范圍；(3)設點M在y軸上，OMBOABACB，求AM的長 【答案】解：（1）將A（0，4）、B（2，0）代入拋物線y=x2+bx+c中，得： ，解得，。 拋物
29、線的解析式：y=x2x4。（2）由題意，新拋物線的解析式可表示為：，即：。它的頂點坐標P（1m，1）。由（1）的拋物線解析式可得：C（4，0）。直線AB：y=2x-4；直線AC：y=x4。當點P在直線AB上時，2（1m）4=1，解得：m=；當點P在直線AC上時，（1m）4=1，解得：m=2；又m0，當點P在ABC內(nèi)時，0m 。（3）由A（0，-4）、B（4，0）得：OA=OC=4，且OAC是等腰直角三角形。如圖，在OA上取ON=OB=2，則ONB=ACB=45。ONB=NBA+OAB=ACB=OMB+OAB，即ONB=OMB。如圖，在ABN、AM1B中，BAN=M1AB，ABN=AM1B，AB
30、NAM1B，得：AB2=ANAM1；由勾股定理，得AB2=（2）2+42=20，又AN=OAON=42=2，AM1=202=10，OM1=AM1OA=104=6。而BM1A=BM2A=ABN，OM1=OM2=6，AM2=OM2OA=64=2。綜上，AM的長為6或2?！究键c】二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，平移的性質，二次函數(shù)的性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理?！痉治觥浚?）該拋物線的解析式中只有兩個待定系數(shù)，只需將A、B兩點坐標代入即可得解。（2）首先根據(jù)平移條件表示出移動后的函數(shù)解析式，從而用m表示出該函數(shù)的頂點坐標，將其代入直線AB、AC的解析式中，即可確定P在ABC
31、內(nèi)時m的取值范圍。（3）先在OA上取點N，使得ONB=ACB，那么只需令NBA=OMB即可，顯然在y軸的正負半軸上都有一個符合條件的M點；以y軸正半軸上的點M為例，先證ABN、AMB相似，然后通過相關比例線段求出AM的長。11. （2012江蘇泰州10分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，邊長為2的正方形OABC的頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過B、C兩點（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）結合函數(shù)的圖象探索：當y0時x的取值范圍12. （2012湖北黃石10分）已知拋物線C1的函數(shù)解析式為，若拋物線C1經(jīng)過點，方程的兩根為，且。（1）求拋物線C1的頂點坐標.（2）已知實數(shù)
32、，請證明：,并說明為何值時才會有.（3）若拋物線先向上平移4個單位，再向左平移1個單位后得到拋物線C2，設， 是C2上的兩個不同點，且滿足： ，.請你用含有的表達式表示出AOB的面積S，并求出S的最小值及S取最小值時一次函數(shù)OA的函數(shù)解析式。（參考公式：在平面直角坐標系中，若，則P，Q兩點間的距離）【答案】解：（1）拋物線過（,）點，3a。a 。x2bx x2bx=的兩根為x1，x2且，且b。b。拋物線的頂點坐標為（，）。（2）x，。當時，即當x時，有。 （3）由平移的性質，得C2的解析式為：yx2 。(m，m2)，B（n，n2）。AOB為直角三角形，OA2OB2=AB2。m2m4n2n4（m
33、n）2（m2n2）2，化簡得：m n。AOB=，m n，AOB。AOB的最小值為，此時m,(,)。直線OA的一次函數(shù)解析式為x?！究键c】二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，一元二次方程根與系數(shù)的關系，二次函數(shù)的性質，不等式的知識?！痉治觥浚?）求拋物線的頂點坐標，即要先求出拋物線的解析式，即確定待定系數(shù)a、b的值已知拋物線圖象與y軸交點，可確定解析式中的常數(shù)項（由此得到a的值）；然后從方程入手求b的值，題目給出了兩根差的絕對值，將其進行適當變形（轉化為兩根和、兩根積的形式），結合根與系數(shù)的關系即可求出b的值。（2）將配成完全平方式，然后根據(jù)平方的非負性即可得證。（3）結合（1）的拋物線
34、的解析式以及函數(shù)的平移規(guī)律，可得出拋物線C2的解析式；在RtOAB中，由勾股定理可確定m、n的關系式，然后用m列出AOB的面積表達式，結合不等式的相關知識可確定OAB的最小面積值以及此時m的值，從而由待定系數(shù)法確定一次函數(shù)OA的解析式。別解：由題意可求拋物線C2的解析式為：yx2。(m，m2)，B（n，n2）。過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為C、D，則由得 ，即。AOB的最小值為，此時m,(,)。直線OA的一次函數(shù)解析式為x。13. （2012湖北武漢12分）如圖1，點A為拋物線C1：的頂點，點B的坐標為(1，0)，直線AB交拋物線C1于另一點C(1)求點C的坐標；(2)如圖1，平行于y軸的
35、直線x3交直線AB于點D，交拋物線C1于點E，平行于y軸的直線xa交直線AB于F，交拋物線C1于G，若FG：DE43，求a的值；(3)如圖2，將拋物線C1向下平移m(m0)個單位得到拋物線C2，且拋物線C2的頂點為點P，交x軸于點M，交射線BC于點N，NQx軸于點Q，當NP平分MNQ時，求m的值圖1 圖2【答案】解：（1）當x=0時，y2。A（0，2）。 設直線AB的解析式為，則，解得。 直線AB的解析式為。 點C是直線AB與拋物線C1的交點， ，解得（舍去）。 C（4，6）。（2）直線x3交直線AB于點D，交拋物線C1于點E， ，DE=。 FG：DE43，F(xiàn)G=2。 直線xa交直線AB于點F
36、，交拋物線C1于點G， 。FG=。 解得。（3）設直線MN交y軸于點T，過點N作NHy軸于點H。 設點M的坐標為（t,0），拋物線C2的解析式為。 。P（0，）。 點N是直線AB與拋物線C2的交點， ，解得（舍去）。N（）。 NQ=，MQ=。NQ=MQ。NMQ=450。 MOT，NHT都是等腰直角三角形。MO=TO，HT=HN。 OT=t，。 PN平分MNQ，PT=NT。 ，解得（舍去）。 ?！究键c】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系，解二元二次方程組，平移的性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，角平分線的性質，平行的性質。【分析】（1）由點A在拋物線C1上求得點A的
37、坐標，用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式；聯(lián)立直線AB和拋物線C1即可求得點C的坐標。 （2）由FG：DE43求得FG=2。把點F和點G的縱坐標用含a的代數(shù)式表示，即可得等式FG=，解之即可得a的值。 （3）設點M的坐標為（t,0）和拋物線C2的解析式，求得t和m的關系。求出點P和點N的坐標（用t的代數(shù)式表示），得出MOT，NHT都是等腰直角三角形的結論。從而由角平分線和平行的性質得到PT=NT，列式求解即可求得t，從而根據(jù)t和m的關系式求出m的值。14. （2012湖北荊門10分）已知：y關于x的函數(shù)y=（k1）x22kx+k+2的圖象與x軸有交點（1）求k的取值范圍；（2）若x1，x2是函數(shù)
38、圖象與x軸兩個交點的橫坐標，且滿足（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2求k的值；當kxk+2時，請結合函數(shù)圖象確定y的最大值和最大值【答案】解：（1）當k=1時，函數(shù)為一次函數(shù)y=2x+3，其圖象與x軸有一個交點。當k1時，函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象與x軸有一個或兩個交點，令y=0得（k1）x22kx+k+2=0=（2k）24（k1）（k+2）0，解得k2即k2且k1。綜上所述，k的取值范圍是k2。（2）x1x2，由（1）知k2且k1。由題意得（k1）x12+（k+2）=2kx1（*），將（*）代入（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。又x1+x
39、2=，x1x2=，2k=4，解得：k1=1，k2=2（不合題意，舍去）。所求k值為1。如圖，k1=1，y=2x2+2x+1=2（x）2+，且1x1，由圖象知：當x=1時，y最小=3；當x=時，y最大=。y的最大值為，最小值為3?！究键c】拋物線與x軸的交點，一次函數(shù)的定義，一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)物關系，二次函數(shù)的最值。【分析】（1）分兩種情況討論，當k=1時，可求出函數(shù)為一次函數(shù)，必與x軸有一交點；當k1時，函數(shù)為二次函數(shù)，若與x軸有交點，則0。（2）根據(jù)（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2及根與系數(shù)的關系，建立關于k的方程，求出k的值。充分利用圖象，直接得出y的最大值和最小值
40、。15. （2012湖北恩施8分）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與一直線相交于A（1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N其頂點為D（1）拋物線及直線AC的函數(shù)關系式；（2）設點M（3，m），求使MN+MD的值最小時m的值；（3）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EFBD交拋物線于點F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由；（4）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求APC的面積的最大值【答案】解：（1）由拋物線y=x2+bx+c過點A（1，0）及C（2，3）得，解得。拋物線的函數(shù)關系式為。設直
41、線AC的函數(shù)關系式為y=kx+n，由直線AC過點A（1，0）及C（2，3）得，解得。直線AC的函數(shù)關系式為y=x+1。（2）作N點關于直線x=3的對稱點N， 令x=0，得y=3，即N（0，3）。N（6， 3）由得D（1，4）。設直線DN的函數(shù)關系式為y=sx+t，則，解得。故直線DN的函數(shù)關系式為。根據(jù)軸對稱的性質和三角形三邊關系，知當M（3，m）在直線DN上時，MN+MD的值最小，。使MN+MD的值最小時m的值為。（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）， 當BD為平行四邊形對角線時，由B、C、D、N的坐標知，四邊形BCDN是平行四邊形，此時，點E與點C重合，即E（2，3）。 當B
42、D為平行四邊形邊時，點E在直線AC上，設E（x，x+1），則F（x，）。又BD=2若四邊形BDEF或BDFE是平行四邊形時，BD=EF。，即。若，解得，x=0或x=1（舍去），E（0，1）。若，解得，E或E。綜上，滿足條件的點E為（2，3）、（0，1）、。（4）如圖，過點P作PQx軸交AC于點Q；過點C作CGx軸于點G， 設Q（x，x+1），則P（x，x2+2x+3）。 。 ，當時，APC的面積取得最大值，最大值為?！究键c】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系，軸對稱的性質，三角形三邊關系，平行四邊形的判定和性質，二次函數(shù)的最值?！痉治觥浚?）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、
43、一次函數(shù)解析式。（2）根據(jù)軸對稱的性質和三角形三邊關系作N點關于直線x=3的對稱點N，當M（3，m）在直線DN上時，MN+MD的值最小。（3）分BD為平行四邊形對角線和BD為平行四邊形邊兩種情況討論。（4）如圖，過點P作PQx軸交AC于點Q；過點C作CGx軸于點G，設Q（x，x+1），則P（x，x2+2x+3），求得線段PQ=x2+x+2。由圖示以及三角形的面積公式知，由二次函數(shù)的最值的求法可知APC的面積的最大值。16. （2012湖北黃岡14分）如圖，已知拋物線的方程C1:與x 軸相交于點B、C，與y 軸相交于點E，且點B 在點C 的左側.(1)若拋物線C1過點M(2，2)，求實數(shù)m 的值
44、(2)在(1)的條件下，求BCE的面積(3)在(1)的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使BH+EH最小，并求出點H的坐標(4)在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，請說明理由【答案】解：（1）拋物線C1過點M(2，2)，解得m=4。（2）由（1）得。 令x=0，得。E（0，2），OE=2。 令y=0，得，解得x1=2，x=4。B（2，0），C（4，0），BC=6。 BCE的面積=。（3）由（2）可得的對稱軸為x=1。 連接CE，交對稱軸于點H，由軸對稱的性質和兩點之間線段最短的性質，知此時BH+EH最小。 設直線C
45、E的解析式為，則 ，解得。直線CE的解析式為。 當x=1時，。H（1，）。（4）存在。分兩種情形討論： 當BECBCF時，如圖所示。則，BC2=BEBF。由（2）知B（2，0），E（0，2），即OB=OE，EBC=45，CBF=45。作FTx軸于點F，則BT=TF。令F（x，x2）（x0），又點F在拋物線上，x2=，x+20（x0），x=2m，F(xiàn)（2m，2m2）。此時，又BC2=BEBF，（m+2）2= ，解得m=2。m0，m=+2。當BECFCB時，如圖所示。則，BC2=ECBF。同，EBC=CFB，BTFCOE，。令F（x，（x+2）（x0），又點F在拋物線上，（x+2）=。x+20（x0
46、），x=m+2。F（m+2，（m+4），BC=m+2。又BC2=ECBF，（m+2）2= .整理得：0=16，顯然不成立。綜合得，在第四象限內(nèi)，拋物線上存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與BCE相似，m=+2?！究键c】二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，二次函數(shù)的性質，軸對稱的性質，兩點之間線段最短的性質，相似三角形的判定和性質。【分析】（1）將點（2，2）的坐標代入拋物線解析式，即可求得m的值。（2）求出B、C、E點的坐標，從而求得BCE的面積。（3）根據(jù)軸對稱以及兩點之間線段最短的性質，可知點B、C關于對稱軸x=1對稱，連接EC與對稱軸的交點即為所求的H點。（4）分兩種情況
47、進行討論：當BECBCF時，如圖所示，此時可求得+2。當BECFCB時，如圖所示，此時得到矛盾的等式，故此種情形不存在。17. （2012湖南常德10分）如圖，已知二次函數(shù)的圖像過點A(4，3），B(4，4). （1）求二次函數(shù)的解析式： （2）求證：ACB是直角三角形； （3）若點P在第二象限，且是拋物線上的一動點，過點P作PH垂直x軸于點H，是否存在以P、H、D、為頂點的三角形與ABC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由?！敬鸢浮拷猓海?）將A(4，3），B(4，4)代人中， ， 整理得： 解得 二次函數(shù)的解析式為：，即：。 （2）由 整理得 ，解得。 C （2，0），D 。
48、 AC2=4+9 ，BC2=36+16，AC2+ BC2=13+52=65，AB2=64+1=65， AC2+ BC2=AB2 。ACB是直角三角形。 （3）設（x0），則PH=， HD=。又AC=， BC=， 當PHDACB時有：，即：，整理得 ，解得（舍去），此時，。 。 當DHPACB時有：， 即：， 整理 ，解得（舍去），此時，。 。 綜上所述，滿足條件的點有兩個即，?！究键c】二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，勾股定理和逆定理的應用，相似三角形的判定性質，坐標系中點的坐標的特征，拋物線與x軸的交點，解一元二次方程和二元一次方程組?！痉治觥浚?）求二次函數(shù)的解析式，也就是要求中
49、a、b的值，只要把A(-4，3），B(4，4)代人即可。 （2）求證ACB是直角三角形，只要求出AC，BC，AB的長度，然后用勾股定理及其逆定理去考察。 （3）分兩種情況進行討論，DHPBCA，PHDBCA，然后分別利用相似三角形對應邊成比例的性質求出點P的坐標。18. （2012湖南懷化10分）如圖，拋物線m：與x軸的交點為A、B，與y軸的交點為C，頂點為,將拋物線m繞點B旋轉，得到新的拋物線n,它的頂點為D.（1）求拋物線n的解析式；（2）設拋物線n與x軸的另一個交點為E，點P是線段ED上一個動點（P不與E、D重合），過點P作y軸的垂線，垂足為F，連接EF.如果P點的坐標為，PEF的面積為
50、S，求S與x的函數(shù)關系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；（3）設拋物線m的對稱軸與x軸的交點為G，以G為圓心，A、B兩點間的距離為直徑作G，試判斷直線CM與G的位置關系，并說明理由.【答案】解：（1）拋物線m的頂點為， m的解析式為=。拋物線n是由拋物線m繞點B旋轉得到，D的坐標為。拋物線n的解析式為：，即。（2）點E與點A關于點B中心對稱，E。設直線ED的解析式為，則，解得。直線ED的解析式為。又點P的坐標為，S=。當時，S有最大值。但，PEF的面積S沒有最大值 。（3）直線CM與G相切。理由如下：拋物線m的解析式為，令得。拋物線m的對稱軸與軸的交點為G，OC=4，OG=3，。由
51、勾股定理得CG=5。又AB=10，G的半徑為5，點C在G上。 過M點作y軸的垂線，垂足為N，則。又，。根據(jù)勾股定理逆定理，得GCM=900。直線CM與G相切?！究键c】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的性質，旋轉的性質，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系，直線與圓的位置關系，勾股定理和逆定理。【分析】（1）由拋物線m的頂點坐標寫出拋物線m的頂點式方程，化為交點式方程即可求出A、B兩點的坐標，根據(jù)旋轉的性質即可求出拋物線n的解析式。 （2）求出直線ED的解析式，由點P在直線ED，可知P，從而求出PEF的面積S的函數(shù)關系式，由點P在線段ED上得。從而根據(jù)二次函數(shù)最值的求法得出結果。 （3）要判斷直線CM
52、與G的位置關系首先要判斷CG與G半徑的關系，由AB=10，得G的半徑為5。求出CG，知點C在G上。由勾股定理和逆定理，得出。從而得出，得出直線CM與G相切的結論。19. （2012湖南郴州10分）如圖，已知拋物線經(jīng)過A（4，0），B（2，3），C（0，3）三點（1）求拋物線的解析式及對稱軸（2）在拋物線的對稱軸上找一點M，使得MA+MB的值最小，并求出點M的坐標（3）在拋物線上是否存在一點P，使得以點A、B、C、P四點為頂點所構成的四邊形為梯形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由【答案】解：（1）拋物線經(jīng)過A（4，0），B（2，3），C（0，3）三點， ，解得。拋物線的解析式為：，
53、其對稱軸為：。（2）由B（2，3），C（0，3），且對稱軸為x=1，可知點B、C是關于對稱軸x=1的對稱點。如圖1所示，連接AC，交對稱軸x=1于點M，連接MB，則MAMB=MAMC=AC，根據(jù)兩點之間線段最短可知此時MAMB的值最小。設直線AC的解析式為y=kxb，A（4，0），C（0，3）， ，解得。直線AC的解析式為：y=x3。令x=1，得y= 。M點坐標為（1，）。（3）結論：存在。如圖2所示，在拋物線上有兩個點P滿足題意：若BCAP1，此時梯形為ABCP1。由B（2，3），C（0，3），可知BCx軸，則x軸與拋物線的另一個交點P1即為所求。在中令y=0，解得x1=-2，x2=4。P1
54、（2，0）。P1A=6，BC=2，P1ABC。四邊形ABCP1為梯形。若ABCP2，此時梯形為ABCP2。設CP2與x軸交于點N，BCx軸，ABCP2，四邊形ABCN為平行四邊形。AN=BC=2。N（2，0）。設直線CN的解析式為y=k1x+b1，則有： ，解得。直線CN的解析式為：y=x+3。點P2既在直線CN：y=x+3上，又在拋物線：上，x+3=，化簡得：x26x=0，解得x1=0（舍去），x2=6。點P2橫坐標為6，代入直線CN解析式求得縱坐標為6。P2（6，6）。ABCN，AB=CN，而CP2CN，CP2AB。四邊形ABCP2為梯形。綜上所述，在拋物線上存在點P，使得以點A、B、C、
55、P四點為頂點所構成的四邊形為梯形，點P的坐標為（2，0）或（6，6）?！究键c】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系，二次函數(shù)的性質，軸對稱的性質，線段最短的性質，梯形的判定?！痉治觥浚?）已知拋物線上三點A、B、C的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，再由對稱軸公式求出對稱軸。（2）如圖1所示，連接AC，則AC與對稱軸的交點即為所求之M點；已知點A、C的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，從而求出點M的坐標。（3）根據(jù)梯形定義確定點P，如圖2所示：若BCAP1，確定梯形ABCP1此時P1為拋物線與x軸的另一個交點，解一元二次方程即可求得點P1的坐標；若ABCP2
56、，確定梯形ABCP2此時P2位于第四象限，先確定CP2與x軸交點N的坐標，然后求出直線CN的解析式，再聯(lián)立拋物線與直線解析式求出點P2的坐標。20. （2012湖南株洲10分）如圖，一次函數(shù)分別交y軸、x軸于A、B兩點，拋物線y=x2+bx+c過A、B兩點（1）求這個拋物線的解析式；（2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個拋物線于N求當t取何值時，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點作平行四邊形，求第四個頂點D的坐標【答案】解：（1）分別交y軸、x軸于A、B兩點，A、B點的坐標為：A（0，2），B（4，0）。將x=0，y=2代入y=x2+bx+c得c=2；將x=4，y=0代入y=x2+bx+c得0=16+4b+2，解得b=。拋物線解析式為：y=x2+x+2。（2）如圖1，設MN交x軸于點E，則E（t，0）
天津市佳春中學中考數(shù)學復習 二次函數(shù)的應用（幾何問題）
