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1、數(shù)學能力訓練（11）
1
設是兩個不共線的向量。已知，，，若A，B，D三點共線，求k的值。
2
已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a＞b＞c)的圖象上有兩點A（m，f(m1)）、B(m2，f(m2))，滿足f(1)=0且a2+(f(m1)+f(m2))·a+f(m1)·f(m2)=0.
（Ⅰ）求證：b≥0；
（Ⅱ）求證：f(x)的圖象被x軸所截得的線段長的取值范圍是［2，3］；
3
某化妝品生產企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2002年度進行一系列的促銷活動，經過市場調查和測算，化妝品的年銷量x萬元和年促銷t萬件之間滿足：3－x與t+1成反比例；如果不搞
2、促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件，已知2002年生產化妝品的固定投資為3萬元，每生產1萬件化妝品需要投資32萬元，當將每件化妝品的售額定為“年平均成本的150%”與“年平均每件所占促銷費的一半”之和，則當年的產銷量相等。
① 將2002年的年利潤y萬元表示為促銷費y萬元的函數(shù)。
② 該企業(yè)2002年的促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？
（注：利潤=收入－生產成本－促銷費）
4
直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的側棱AA1=a,底面ABCD是邊長AB=2a,BC=a的矩形，E為C1D1的中點.
（Ⅰ）求證：平面BCE⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角E—BD—C
3、的大??；
（Ⅲ）求三棱錐B1—BDE的體積.
5
已知函數(shù)f(x)= (x<-2)
(Ⅰ)求f(x)的反函數(shù)f-1(x);
(Ⅱ)設a1=1,=-f-1(an)(n∈N),求an;
(Ⅲ)設Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整數(shù)m,使得對任意n∈N,有bn<成立？若存在，求出m的值；若不存在說明理由.
6
已知函數(shù)f(x)=－
（Ⅰ）求證：函數(shù)y=f(x)的圖象關于點（，－）對稱；
（Ⅱ）求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值；
（Ⅲ）若ｂｎ＝，求證：對任何
4、自然數(shù)n，總有ｂｎ＞ｎ２成立.
7
橢圓（為銳角）的焦點在x軸上，A是它的右頂點，這個橢圓
與射線y=x(x0)的交點是B，以A為焦點且過點B，開口向左的拋物線頂點
為(m,0)，當橢圓的離心率e時，求m的變化范圍。
答案
1 ．解：∵A，B，D三點共線
∴與共線，一定存在實數(shù)使得
∵
∴
∵ 不共線，可作為平面向量的一組基底。
由平面向量基本定理，得 ∴ 。
2．（Ⅰ）證明：因f(m1),f(m2)滿足a2+［f(m1)+f(m2)］a+f(m1)f(m2
5、)=0
即［a+f(m1)］［a+f(m2)］=0
∴f(m1)=-a或f(m2)=-a,
∴m1或m2是f(x)=-a的一個實根，
∴Δ≥0即b2≥4a(a+c).
∵f(1)=0,∴a+b+c=0
且a＞b＞c,∴a＞0,c＜0,
∴3a-c＞0,∴b≥0。
(Ⅱ)證明：設f(x)=ax2+bx+c=0兩根為x1,x2,則一個根為1，另一根為,
又∵a＞0,c＜0，
∴＜0,
∵a＞b＞c且b=-a-c≥0,
∴a＞-a-c＞c,∴-2＜≤-1
2≤|x1-x2|＜3。
3．解：由題意得：3－x= 將x=1,t=0代入：得 k
6、=2
x=3－
年生產成本為32x+3=32(3－)+3萬元
年收入為：150%[32(3－)+3]+t
年利潤為：y=150%[32(3－)+3]+t－[32(3－)+3]－t
=－(+)
=50－(+)≤50－2=42（萬元）
當且僅當=，即t=7時，y=42（萬元）
當促銷費為7萬元時，利潤最大。
4．（Ⅰ）證明：∵E是C1D1的中點，∴C1E=D1E=a,又由直四棱柱的性質得：
BC⊥面CC1D1D，
∴EC=a,BE=a,DE=a,又BD=a,
∴△BDE是直角三角形,△DEC也是直角三角形,∴DE⊥EC,D
7、E⊥BE,∴DE⊥面BEC，又DE平面BDE ∴平面BCE⊥平面BDE
(Ⅱ)解：取CD的中點E′ ∴EE′⊥面ABCD，∴△BED在面AC內的射影是
△E′BD,設二面角E—BD—C的大小為θ,∴cosθ=
又∵S△BDE=DE·BE=a2，S△BE′D=a2,
∴cosθ= ∴θ=arccos。
(Ⅲ)解：V—BDE=VD—BE=V—BE=D1E·S△BE
=a·a=a3.
故V—BDE=a3 。
5．(Ⅰ)證明：設P(x,y)是y=f(x)的圖象上任意一點，關于（，－）對稱
點的坐標為（１－ｘ，－１－ｙ）
8、
由已知y=－則－１－ｙ＝－１＋＝－,f(1-x)＝
－
∴－１-ｙ＝f（１－ｘ），即函數(shù)ｙ＝f（ｘ）的圖象關于點（，－）對稱.
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)有f(1-x)=-1-f(x)即f(x)+f(1-x)=-1
∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1
則f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3 。
(Ⅲ)證明：bｎ＝bｎ＝３ｎ
不等式bｎ＞ｎ２即為３ｎ＞ｎ２
下面用數(shù)學歸納法證明
當n=1時，左＝３，右＝１，３＞１不等式
9、成立
當n=2時，左＝９，右＝４，９＞４不等式成立
令n=k(k≥２）不等式成立即３ｋ＞ｋ２
則ｎ＝ｋ＋１時，左＝３ｋ＋１＝３·３ｋ＞３·ｋ２
右＝（ｋ＋１）２＝ｋ２＋２ｋ＋１
∵３ｋ２－（ｋ２＋２ｋ＋１）＝２ｋ２－２ｋ－１＝２（ｋ－）２－
當ｋ≥２，ｋ∈N時，上式恒為正值
則左＞右，即３ｋ＋１＞（ｋ＋１）２，所以對任何自然數(shù)n，總有３ｎ＞ｎ２成立，
即對任何自然數(shù)n，總有bｎ＞ｎ２成立。
6．解：由已知可得：A（1，0），，
，
由,
由已知m＞0，拋物線焦準距p=2(m-1)
設拋物線為y2=-4(m-1)(x-m),
,即
令t=,則,
令,f(t)在上有解。
對稱軸t=-＜0
只須滿足,
。
2013年高中數(shù)學 基礎能力訓練（11）
