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1、
21.2 解一元二次方程
人非圣賢，孰能無過？過而能改，善莫大焉。《左傳》 江緣學(xué)校 陳思梅
21.2.1 配方法
第 1 課時 直接開平方法
【知識與技能】
1.會利用開平方法解形如 x2=p(p≥0)的方程；
2.初步了解形如（x+n）2=p（p≥0）方程的解法.
3.能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結(jié)果的合理性.
【過程與方法】
通過對實例的探究過程，體會類比、轉(zhuǎn)化、降次的數(shù)學(xué)思想 方法.
【情感態(tài)度】
在成功解決實際問題過程中，體驗成功的快樂，增強數(shù)學(xué)學(xué) 習(xí)的信心和樂趣.
【教學(xué)重點】
解形如 x2=
2、p(p≥0)的方程.
【教學(xué)難點】
把一個方程化成 x2=p(p≥0)的形式.
一、情境導(dǎo)入，初步認識
問題我們知道，42=16,(-4)2=16，如果有 x2=16，你知道 x 的值是多少嗎？說說你的想法.如果 3x2=18 呢？
【教學(xué)說明】讓學(xué)生通過回顧平方根的意義初步感受利用開
平方法求簡單一元二次方程的思路，引入新課.教學(xué)時，教師提
出問題后，讓學(xué)生相互交流，在類比的基礎(chǔ)上感受新知.
解：如果 x2=16，則 x=±4;若 3x2=18,則 x=±
6
.
二、思考探究，獲取新知
探究一桶油漆
3、可刷的面積為 1500dm2 ，李林用這桶油漆恰
好刷完 10 個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出 盒子的棱長嗎？
思考 1 設(shè)一個盒子的棱長為 xdm，則它的外表面面積為，10
個這種盒子的外表面面積的和為 ，由此你可得到方程 為，你能求出它的解嗎？
解：6x2,10×6x2,10×6x2=1500，整理得 x2=25,根據(jù)平方
根的意義，得 x=±5,可以驗證，5 和-5 是原方程的兩個根，因 為棱長不能為負值，所以盒子的棱長為 5dm,故 x=5dm.
【教學(xué)說明】學(xué)生通過自主探究，嘗試用開平方法解決一元
二次方程，體驗成功的快樂.教
4、師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的思考是否正確，
是否注意到實際問題的解與對應(yīng)的一元二次方程的解之間的關(guān) 系，幫助學(xué)生獲取新知.
【歸納結(jié)論】一般地，對于方程
x2=p,（Ⅰ）
（1）當(dāng) p>0 時，根據(jù)平方根的意義，方程（Ⅰ）有兩個不 等的實數(shù)根
x1=- p ,x2= p ;
()當(dāng) p=0 時，方程（Ⅰ）有兩個相等的實數(shù)根 x1=x2=0;
(3)當(dāng) p<0 時，因為對任意實數(shù) x，都有 x2≥0,所以方程（Ⅰ） 無實數(shù)根.
思考 2 對上面題解方程（Ⅰ）的過程，你認為應(yīng)該怎樣解方 程（x+3）2=5?
學(xué)生通過比較它們與方程 x2=25 異
5、同，從而獲得解一元二次 方程的思路.
在解方程（Ⅰ）時，由方程 x2=25 得 x=±5.由此想到： 由方程
（x+3）2=5,②
得 x+3=±
5
,
即 x+3=
5
或 x+3=-
5
.③
于是，方程（x+3）2=5 的兩個根為 x1=-3+
5
,x2=-3- 5 .
【教學(xué)說明】教學(xué)時，就讓學(xué)生獨立嘗試給出解答過程，最
后教師再給出規(guī)范解答，既幫助學(xué)生形成用直接開平方法解一元
二次方程的方法，同時為以后學(xué)配方作好鋪墊，讓學(xué)生體會到類 比、轉(zhuǎn)化、降次的數(shù)學(xué)
6、思想方法.
【歸納結(jié)論】
上面的解法中，由方程②得到③，實質(zhì)上是把一個元二次方
程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，這樣就把方程②轉(zhuǎn)化為 我們會解的方程了.
【教學(xué)說明】上述歸納結(jié)論應(yīng)由師生共同探討獲得，教師要 讓學(xué)生知道解一元二次方程的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化.
三、典例精析，掌握新知
例解下列方程：（教材第 6 頁練習(xí)）
(1)2x2-8=0; (2)9x2-53;
(3)(x+6)2-9=0; (4)3(x-1)2-6=0;
(5)x2-4x+4=5; (6)9x2+5=1.
解：(1)原方程整理，得 2x2=8,即 x2=4,根據(jù)平
7、方根的意義， 得 x=±2,即 x1=2,x2=-2.
（2）原方程可化為 9x2=8,即 x2=8/9.兩邊開平方，得 x=± ,
即 x1=
2 2
,x2=-
2 2
.
3
3
(3)原方程整理，得（x+6）2=9，根據(jù)平方根的意義,得 x+6= ±3,即 x1=-3,x2=-9.
（4）原方程可化為（x-1）2=2,
兩邊開平方，得 x-1=±
2
，
∴x1=1+
2
,x2=1- 2 ;
（5）原方程可化為（x-2）2=5,
兩邊開平方
8、，得 x-2=±
5
,
∴x1=2+
5
,x2=2- 5 .
（6）原方程可化為 9x2=-4,x2=-4/9.由前面結(jié)論知，當(dāng) p<0 時，對任意實數(shù) x,都有 x2≥0，所以這個方程無實根.
【教學(xué)說明】本例可選派六位同學(xué)上黑板演算，其余同學(xué)自
主探究，獨立完成.教師巡視全場，發(fā)現(xiàn)問題及時予以糾正，幫
助學(xué)生深化理解，最后師生共同給出評析，完善認知.特別要強 調(diào)用直接開平方法開方時什么情況下是無實根的.
四、運用新知，深化理解
1.若 8x2-16=0，則 x 的值是 .
2.若方程 2(x-3
9、)2=72，那么這個一元二次方程的兩根
是 .
3.如果實數(shù) a、b 滿足 3a+4+b2-12b+36=0,則 ab 的值
為 .
4.解關(guān)于 x 的方程：
(1)(x+m)2=n(n≥0);
(2)2x2+4x+2=5.
5.已知方程（x-2）2=m2-1 的一個根是 x=4,求 m 的值和另一 個根.
【教學(xué)說明】讓學(xué)生獨立完成，加深對本節(jié)知識的理解和掌 握.
五、師生互動，課堂小結(jié)
教師可以向?qū)W生這樣提問：
(1)你學(xué)會怎樣解一元二次方程了嗎？有哪些步驟？
(2)通過今天的學(xué)習(xí)你了解了哪些數(shù)學(xué)思想方法？與同
10、伴交 流.
【教學(xué)說明】教師可引導(dǎo)學(xué)生提煉本節(jié)知識及方法，感受解 一元二次方程的降次思想方法.
1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題 21.2”中選取.
2. 完成練習(xí)冊中本課時練習(xí)的“課后作業(yè)”部分..
1.本課時通過創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生探索新知的欲望. 2.本課時還通過回憶舊知識為新知學(xué)習(xí)作好鋪墊.
3.教師引導(dǎo)學(xué)生自主、合作、探究、驗證，培養(yǎng)學(xué)生分析問 題、解析問題的能力.
【素材積累】
辛棄疾憂國憂民 辛棄疾曾寫《美芹十論》獻給宋孝宗。論
文前三篇詳細分析了北方人民對女真統(tǒng)治者的怨恨，以及女真統(tǒng)
治集團內(nèi)部的尖銳矛盾。后七篇就南宋方面應(yīng)如何充實國力，積
極準備，及時完成統(tǒng)一中國的事業(yè)等問題，提出了一些具體的規(guī)
劃。但是當(dāng)時宋金議和剛確定，朝廷沒有采納他的建議。
2021年人教版數(shù)學(xué)九年級上冊第1課時 直接開平方法
