2021-2021學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊 第8章 8.4 因式分解講解與例題 （新版）滬科版

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1、 8.4　因式分解 1．了解因式分解的意義及其與整式乘法的區(qū)別與聯(lián)系，養(yǎng)成逆向思維的能力． 2．理解因式分解的常用方法，能靈活地應(yīng)用因式分解的常用方法進行因式分解． 3．能用因式分解的知識解決相關(guān)的數(shù)學(xué)及實際問題． 1．因式分解 (1)因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做因式分解，也叫做把這個多項式分解因式． (2)因式分解的注意事項 ①因式分解的實質(zhì)是多項式的恒等變形，與整式乘法的過程恰好相反，整式乘法是“積化和差”，而因式分解是“和差化積”，利用這種關(guān)系可以檢驗因式分解結(jié)果是否正確． ②分解因式的對象必須是多項式，如把5a2bc分解成5a·

2、abc就不是分解因式，因為5a2bc不是多項式；再如把－1分解為也不是分解因式，因為－1不是整式． ③分解因式的結(jié)果必須是積的形式，如x2＋x－1＝x(x＋1)－1就不是分解因式，因為結(jié)果x(x＋1)－1不是積的形式． ④分解因式結(jié)果中每個因式都必須是整式，如x2－x＝x2就不是分解因式，因為x2不是整式的乘積形式． ⑤分解因式的結(jié)果中各因式中的各項系數(shù)的最大公約數(shù)是1.如4x2－6x＝x(4x－6)．結(jié)果中的因式4x－6中4和6的公約數(shù)不為1，正確的分解結(jié)果應(yīng)是4x2－6x＝2x(2x－3)． 【例1－1】在下列四個式子中，從等號左邊到右邊的變形是因式分解的是(　　)． A．x2y

3、＋x＝x2 B．x2－4－3x＝(x＋2)(x－2)－3x C．a(chǎn)b2－2ab＝ab(b－2) D．(x－3)(x＋3)＝x2－9 解析：選項A右邊的其中一個因式不是整式，不符合；選項B的結(jié)果不是整式的乘積，只分解了一部分；選項D是整式乘法；選項C符合因式分解的意義，故選C． 答案：C 分解因式與整式乘法是兩種相反方向的變形過程，即它們互為逆過程，互為逆關(guān)系，例如： n(a＋b＋c)na＋nb＋nc，因式分解是把多項式化為積的形式，注意一要是整式，二要是多項式． 【例1－2】下列從左到右的變形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？為什么？ (1)12a2b＝3a·4ab；

4、(2)(x＋3)(x－3)＝x2－9； (3)4x2－8x－1＝4x(x－2)－1； (4)2ax－2ay＝2a(x－y)； (5)a2－4ab＋b2＝(a－2b)2. 解：(1)不是分解因式．因為等號左邊必須是一個多項式，而12a2b是單項式． (2)不是分解因式．因為等號左邊(x＋3)(x－3)是積的形式，右邊x2－9是一個多項式，不符合分解因式的定義． (3)不是分解因式．因為等號左邊雖然是一個多項式，但是等號右邊的4x(x－2)－1不是整式積的形式． (4)是分解因式．因為等號左邊2ax－2ay是一個多項式，且等號右邊2a(x－y)是整式積的形式． (5)不是分解因式．

5、因為分解因式是多項式的恒等變形，左右兩邊必須相等，而此題左邊＝a2－4ab＋b2；右邊＝(a－2b)2＝a2－4ab＋4b2.因為左、右兩邊不相等，即不是恒等變形，當然不是分解因式． 判斷一個式子由左到右的變形是不是分解因式，關(guān)鍵看它是不是把多項式變形為幾個整式積的形式，也就是說，變形后第一必須是整式；第二必須是乘積的形式． 2．因式分解的基本方法——提公因式法 (1)公因式的意義 多項式中的每一項都含有一個相同因式，這個相同因式叫做這個多項式各項的公因式．如多項式ab＋ac＋ad中，各項都含有因式a，故a是這個多項式的公因式． (2)公因式的確定 準確地確定公因式，是運用提公因式

6、法因式分解的關(guān)鍵．確定一個多項式各項的公因式，其方法如下： ①確定公因式系數(shù)，即數(shù)字因數(shù)．當各項系數(shù)都是整數(shù)時，取各項的最大公約數(shù)作為公因式的系數(shù)；當各項系數(shù)中有分數(shù)時，則公因式的系數(shù)為分數(shù)，分母取各項系數(shù)分母的最小公倍數(shù)，分子取各項系數(shù)分子的最大公約數(shù)． ②確定公因式的字母及字母指數(shù)．公因式的字母應(yīng)是多項式各項都含有的字母，其指數(shù)取最低的．如：多項式4x4＋6x2＋12x3y中，系數(shù)的最大公約數(shù)是2，相同字母為x，它的最低指數(shù)是2，所以這個多項式的公因式應(yīng)為2x2. ③注意：公因式可能是單項式，也可能是多項式．當公因式是多項式時，要把這個多項式看作一個整體，這時要注意符號的變化，經(jīng)常用

7、的變形有： (b＋a)n＝(a＋b)n(n為正整數(shù))， (b－a)n＝(a－b)n(n為偶數(shù))， (b－a)n＝－(a－b)n(n為奇數(shù))． 【例2－1】指出下列各多項式中各項的公因式： (1)4x2y3z＋12x3y4； (2)(x＋1)2y3－12(x＋1)3y4； (3)12xny2n＋16xn－1yn＋1(n為大于1的整數(shù))． 解：(1)系數(shù)4和12的最大公約數(shù)為4，相同字母有x和y，x的最低次數(shù)是2，y的最低次數(shù)是3，所以公因式為4x2y3. (2)系數(shù)和12，分母的最小公倍數(shù)是7，分子的最大公約數(shù)是4，所以公因式的系數(shù)為，有相同的因式(x＋1)和相同的字母y，(x

8、＋1)的最低次數(shù)是2，y的最低次數(shù)是3，因此公因式是(x＋1)2y3. (3)系數(shù)12和16的最大公約數(shù)是4，相同的字母是x和y，而指數(shù)n＞n－1,2n＞n＋1，因此，公因式是4xn－1yn＋1. (3)提公因式法 ①如果一個多項式的各項都含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而把多項式化成兩個整式乘積的形式，這種分解因式的方法叫提公因式法． 我們在學(xué)習乘法分配律時知道，m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc，現(xiàn)在把它反過來就有ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，這正是提公因式法，可見提公因式法在實質(zhì)上是逆用乘法分配律． ②提公因式法的步驟 運用提公因式法分解因式一般分為三步：

9、 第一步，確定公因式； 第二步，把多項式的各項寫成含公因式的乘積形式； 第三步，把公因式提到括號前面，余下的項寫在括號內(nèi)． (1)若首項系數(shù)為負數(shù)時，一般先要提出“－”，但要注意，此時多項式的各項都要變號，如－x2－2x＝－x(x＋2)； (2)所提的公因式必須是“最大公因式”，即提取公因式后，另一個因式中不能含有公因式； (3)提出公因式后，另一個因式必須化簡整理，不能帶有中括號，如2x(y－z)2－4y(y－z)3＝2(y－z)2[x－2y(y－z)]＝2(y－z)2(x－2y2＋2yz)； (4)多項式中各項的公因式要一次提盡； (5)公因式提取后，要用整式乘法來檢驗是否正

10、確． 【例2－2】把下列各式分解因式： (1)2(m－n)2－m(n－m)； (2)5a(x－y)2＋10a(y－x)3. 分析：(1)觀察該多項式，可發(fā)現(xiàn)其沒有公因式，但是(n－m)可以變形為－(m－n)，從而原式變形為2(m－n)2＋m(m－n)，這樣每一項都含有多項式(m－n)，且(m－n)的最低次數(shù)是1，所以變形后的多項式的公因式是(m－n)． (2)這個多項式的兩項的系數(shù)有公約數(shù)5，含有字母a，并且含有多項式x－y，因此該多項式的公因式是5a(x－y)2.還要注意(y－x)3＝－(x－y)3的變形． 解：(1)2(m－n)2－m(n－m) ＝2(m－n)2＋m(m－n)

11、＝(m－n)(2m－2n＋m)＝(m－n)(3m－2n)． (2)5a(x－y)2＋10a(y－x)3 ＝5a(x－y)2－10a(x－y)3 ＝5a(x－y)2[1－2(x－y)] ＝5a(x－y)2(1－2x＋2y)． 3．因式分解的基本方法——公式法 (1)公式法的意義：利用完全平方公式和平方差公式進行因式分解的方法叫做公式法． (2)公式的結(jié)構(gòu)特征 運用公式法的關(guān)鍵是熟悉公式的結(jié)構(gòu)特征． ①平方差公式的特征：左邊是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反，右邊分解的結(jié)果是兩個整式的和與兩個整式的差的乘積． 凡符合平方差公式特點的二項式，都可運用平方差公式分解因式．

12、分解時，先寫成平方差的形式，確定公式中的a和b，再運用平方差公式分解因式． 注意公式中字母的廣泛含義，既可以表示單項式，也可以表示多項式，如：(x－y)2－(x＋y)2＝[(x－y)＋(x＋y)][(x－y)－(x＋y)]＝2x(－2y)＝－4xy(其中x－y相當于公式中的a，x＋y相當于公式中的b)． 【例3－1】把下列多項式分解因式： (1)4x2－9；(2)16m2－9n2； (3)a3b－ab；(4)(x＋p)2－(x＋q)2. 解：(1)4x2－9＝(2x)2－32 ＝(2x＋3)(2x－3)． (2)16m2－9n2＝(4m)2－(3n)2 ＝(4m＋3n)(4m－

13、3n)． (3)a3b－ab＝ab(a2－1) ＝ab(a＋1)(a－1)． (4)(x＋p)2－(x＋q)2 ＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)] ＝(2x＋p＋q)(p－q)． ②完全平方公式的特征：左邊是三項式，其中首末兩項是兩個數(shù)(或式子)的平方，且符號相同，中間的一項是首末兩個數(shù)(或式子)的積的2(或－2)倍，右邊的結(jié)果是兩個數(shù)(或式子)的和(或差)的平方．運用完全平方公式分解因式，一定要檢驗中間的一項是否是首末兩項乘積的2(或－2)倍． 凡是滿足完全平方公式的多項式都可以直接用完全平方公式因式分解． 注意公式中字母的廣泛含義，既可以表示單項式，也可

14、以表示多項式，如：(x－y)2－4(x－y)＋4＝[(x－y)－2]2＝(x－y－2)2(其中x－y相當于公式中的a,2相當于公式中的b)． 【例3－2】把下列各式分解因式： (1)－x2－2xy－y2； (2)4(x＋y)2＋25＋20(x＋y)； (3)(a＋b)2－4(a＋b－1)． 分析：(1)題有三項，首項含“－”，先提出“－”，得－x2－2xy－y2＝－(x2＋2xy＋y2)，此時，括號中的第一項與第三項構(gòu)成平方和形式，中間一項恰好是x和y積的2倍，可以用完全平方公式來分解因式；(2)題把(x＋y)看作一個整體，也是三項，第一、二項構(gòu)成2(x＋y)與5的平方和的形式，第三

15、項化成2·2(x＋y)·5，恰好是前面兩個數(shù)的積的2倍，所以也可以用完全平方公式．(3)題無法直接因式分解，應(yīng)借助整體變形，使其變成具有公式特征的多項式．去括號，把a＋b看作整體，重新組合，使二項式變?yōu)槿検剑?a＋b)2－4(a＋b－1)＝(a＋b)2－4(a＋b)＋4，此時，第一、三項構(gòu)成a＋b與2的平方和的形式，中間一項是a＋b與2的乘積的－2倍，可以用完全平方公式來分解因式． 解：(1)－x2－2xy－y2＝－(x2＋2xy＋y2) ＝－(x＋y)2. (2)4(x＋y)2＋25＋20(x＋y) ＝[2(x＋y)]2＋2·2(x＋y)·5＋52 ＝[2(x＋y)＋5]2＝(2

16、x＋2y＋5)2. (3)(a＋b)2－4(a＋b－1) ＝(a＋b)2－4(a＋b)＋4＝(a＋b－2)2. 4．因式分解的步驟 (1)分組分解法 對于一個多項式的整體，若不能直接運用提公因式法和公式法進行因式分解時，可考慮分步處理的方法，即把這個多項式分成幾組，先對各組分別分解因式，然后再對整體作因式分解，這種分解因式的方法叫分組分解法． (2)因式分解的一般步驟是：“一提”、“二套”、“三分組”、“四檢查”． “一提”即先看是否有公因式，若有，先提取公因式； “二套”是看能否運用公式法因式分解，若兩項看是否符合平方差公式，若三項看是否符合完全平方公式； “三分組”是指如

17、果要分解的多項式多于三項時，要考慮分組，分組的原則是：分組后能提公因式或者運用公式法； “四檢查”是檢查因式分解是不是徹底，要分解到每一個因式不能再分解為止． 一般地，把一個多項式因式分解都是在有理數(shù)范圍內(nèi)進行的，要求因式中的每個系數(shù)(包括常數(shù))都是有理數(shù)，且最后的結(jié)果要分解到每一個因式都不能再分解為止，相同的因式應(yīng)該寫成冪的形式． 【例4－1】分解因式： (1)3a2－6a＋3；(2)3xn＋3－27xn＋1. 分析：(1)多項式中都含有公因式3，提取公因式后變?yōu)?(a2－2a＋1)，再仔細觀察發(fā)現(xiàn)括號中的三項式符合完全平方公式，因此繼續(xù)分解為3(a－1)2；(2)多項式中各項系數(shù)

18、的最大公約數(shù)是3，都含有字母x，x的最低次冪是xn＋1，所以公因式是3xn＋1，提取公因式后括號內(nèi)的多項式為(x2－9)，能利用平方差公式分解因式． 解：(1)3a2－6a＋3＝3(a2－2a＋1) ＝3(a－1)2. (2)3xn＋3－27xn＋1＝3xn＋1(x2－9) ＝3xn＋1(x＋3)(x－3)． 對于多項式的分解因式，應(yīng)優(yōu)先考慮提公因式，如果首項為負，可提取－1，然后對公因式已提取的或無公因式的三項式進行如下考慮：(1)按某一字母降冪排列，(2)對于二次三項式可考慮完全平方公式，(3)對于二項式可考慮平方差公式． 【例4－2】把下列多項式因式分解： (1)(x2＋y

19、2)2－4x2y2； (2)1－a2＋2ab－b2. 解：(1)(x2＋y2)2－4x2y2 ＝(x2＋y2)2－(2xy)2 ＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy) ＝(x＋y)2(x－y)2. (2)1－a2＋2ab－b2 ＝12－(a2－2ab＋b2)＝1－(a－b)2 ＝[1＋(a－b)][1－(a－b)] ＝(1＋a－b)(1－a＋b)． 5．利用因式分解計算、求值、證明 因式分解在許多的有理數(shù)計算、代數(shù)式的化簡、求值、證明中起著重要作用． (1)對于一些復(fù)雜的計算題，直接計算比較麻煩，學(xué)習了因式分解后，可以靈活運用因式分解，使問題的求解難度降到最

20、低限度． (2)在求某些代數(shù)式的值時，比較簡便而常用的方法是先對所給的代數(shù)式進行因式分解，使之出現(xiàn)條件中的式子，再整體代入求值． (3)因式分解是整式乘法的逆向變形，是代數(shù)恒等變形的重要手段，在解方程、不等式及恒等式的證明、幾何等諸多方面也起著重要作用． 解答此類題常用的方法是通過對條件中的式子因式分解，使之含有所要求的因式即可． 【例5－1】計算2022－22. 分析：如果直接計算，2022不太容易計算，但是考慮到(202＋2)(202－2)＝2022－22，則2022－22利用分解因式的方法可以表示為(202＋2)(202－2)，即204×200，再計算就簡單多了． 解：202

21、2－22＝(202＋2)(202－2)＝204×200＝40 800. 【例5－2】(1)已知x－y＝1，xy＝2，求x3y－2x2y2＋xy3的值； (2)已知2x－3＝0，求x(x2－x)＋x2(5－x)－9的值． 解：(1)x3y－2x2y2＋xy3 ＝xy(x2－2xy＋y2)＝xy(x－y)2. 因為x－y＝1，xy＝2，所以原式＝2×12＝2. (2)x(x2－x)＋x2(5－x)－9 ＝x3－x2＋5x2－x3－9＝4x2－9 ＝(2x＋3)(2x－3)． 因為2x－3＝0，所以原式＝6×0＝0. 6．因式分解的實際應(yīng)用 因式分解是一種重要的式子變形，靈

22、活應(yīng)用的話可以解決許多問題，有關(guān)因式分解的實際應(yīng)用主要是根據(jù)題意列出式子，解答時利用因式分解的方法，將列出的代數(shù)式按照因式分解的步驟進行分解，若所得的代數(shù)式不能直接看出是否可用公式法分解時，可以將所給多項式交換位置，重新排列，再進行分解，從而使問題得到快速解答． 【例6】如圖，在半徑為R的圓形鋼板上，除去半徑為r的四個小圓，利用因式分解計算當R＝7.8 cm，r＝1.1 cm時剩余部分的面積．(π取3.14，結(jié)果精確到整數(shù)) 解：剩余部分的面積為πR2－4πr2. 當R＝7.8，r＝1.1時， 原式＝π(R2－4r2)＝π(R＋2r)(R－2r) ＝π(7.8＋2×1.1)(7.

23、8－2×1.1) ＝π×10×5.6＝56π≈56×3.14≈176(cm2)． 故剩余部分的面積約為176 cm2. 7．運用分解因式解決動手操作題 動手操作題是讓學(xué)生在實際操作的基礎(chǔ)上設(shè)計有關(guān)的問題．這類題對同學(xué)們的能力有更高的要求，有利于培養(yǎng)樂于動手、勤于思考的意識和習慣，有利于培養(yǎng)創(chuàng)新能力和實踐能力． 這類題目主要考查動手操作能力，它包括裁剪、折疊、拼圖等．不僅考查動手能力，還考查想象能力，往往與面積、對稱性質(zhì)聯(lián)系在一起．此類題目就是通過拼圖，用不同的式子表示圖形面積，以達到把多項式分解因式的目的． 【例7】某同學(xué)剪出若干個長方形和正方形卡片，如圖①所示，請運用拼圖的方法，選取圖中相應(yīng)的種類和一定數(shù)量的卡片拼成一個大長方形，使它的面積等于a2＋4ab＋3b2，并根據(jù)你拼成的圖形的面積，把此多項式分解因式． 解：因為拼成一個面積等于a2＋4ab＋3b2的大長方形，就要用一個邊長為a的正方形、3個邊長為b的正方形和4個邊長分別為a，b的長方形，可以拼成如圖②所示的圖形，由此知長方形的邊長分別為(a＋b)和(a＋3b)．由面積可知a2＋4ab＋3b2＝(a＋b)(a＋3b)． 6