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1、2.4.2 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),一、函數(shù)的一致連續(xù)性,一致連續(xù)的概念,2.4.4,證,證,于是,證 在（0,1上，,注 如果是開區(qū)間，或者是無窮區(qū)間，則上述結(jié)論未必成立.,定理2.4.5（一致連續(xù)性定理）若函數(shù) f 在閉區(qū)間,(i)最大值與最小值的概念 定義1 對于在區(qū)間D上有定義的函數(shù)f(x)，如果有x0D， 使得對于任意xD都有 f(x) f(x0) ( f(x) f(x0) ) 則稱f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的最大值(最小值),最大值與最小值舉例:,例如 函數(shù) f(x)=1+sinx在區(qū)間0 2p上有最大值 2 和最小值 0 ,二 閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),1.最值定理和有界性定
2、理,再如 函數(shù)y=sgn x 在區(qū)間( +)內(nèi)有最大值1和最小值1 但在開區(qū)間(0 +)內(nèi)，它的最大值和最小值都是1,注 并非任何函數(shù)都有最大值和最小值 例如，函數(shù) y=x 在開區(qū)間(a b)內(nèi)既無最大值又無最小值,(ii) 最大值和最小值定理 定理2.4.7 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值,又至少有一點x2,至少有一,定理說明 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間ab上連續(xù)，那么,點x1a b，使f(x1)是f(x)在a b上的最大值，,ab ，使f(x2)是f(x)在a b上的最小值,該定理可用確界原理證明，參見P69,注 如果函數(shù)僅在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，或函數(shù)在閉區(qū)間上有
3、間斷點，那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值,例如，函數(shù) y=x 在開區(qū)間(a b)內(nèi)既無最大值又無最小值,又如，如下函數(shù)在閉區(qū)間0 2內(nèi)既無最大值又無最小值,推論(有界性定理,P76) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界,證(補充) 設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 根據(jù)定理4.6 存在f(x)在區(qū)間a b上的最大值M和最小值m 使任一xa b滿足 m f(x) M 上式表明 f(x)在a b上有上界M和下界m 因此函數(shù) f(x)在a b 上有界,2.根的存在定理與介值定理,其中：如果x0使 f(x0) = 0， 則x0稱為函數(shù)f(x)的零點,定理 2.4.8(根的存在,零點定理
4、) 設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，那么在 開區(qū)間(a b)內(nèi)至少存在一點x0， 使 f(x0) = 0 ,幾何解釋:,例 證明方程 x3 - 4x2 + 1 = 0 在區(qū)間(0 1)內(nèi)至少有一個根 證 設 f(x) = x3 - 4x2 + 1，則 f(x) 在閉區(qū)間0 1上連續(xù)，并且 f(0) =1 0，f(1) = -2 0 根據(jù)根的存在定理，在(0 1)內(nèi)至少有一點x0，使得 f(x0)=0，即 x03 - 4x02 + 1 = 0 這說明方程 x3 - 4x2 + 1 = 0 在區(qū)間(0 1)內(nèi)至少有一個根是x0 ,證,由根的存在定理，,定理2.4.9 (介值性定理) 設函數(shù) f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù)，且f(a) f(b)，則對于f(a)與 f(b)之間的任意實數(shù)，在開區(qū)間(a b)內(nèi)至少有一點x0，使得 f(x0)= 即 f(a),f(b) f(a,b).,推論2(P76) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值 即m,M = f(a,b).,幾何解釋:,證(推論2),2.4.3連續(xù)函數(shù)在極限計算中的應用,解,例,解,同理可得,解,
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