2021-2021學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊 第6章 6.2 實數(shù)講解與例題 （新版）滬科版

《2021-2021學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊 第6章 6.2 實數(shù)講解與例題 （新版）滬科版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021-2021學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊 第6章 6.2 實數(shù)講解與例題 （新版）滬科版（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 6.2　實數(shù) 1．了解無理數(shù)、實數(shù)的概念和實數(shù)的分類，了解無理數(shù)的表現(xiàn)類型，會辨別有理數(shù)與無理數(shù)． 2．了解實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的關(guān)系，體會數(shù)形結(jié)合的思想；會進行實數(shù)的大小比較． 3．了解實數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義；了解有理數(shù)的運算法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用，能利用運算法則進行簡單的四則運算． 1．無理數(shù)的概念及表現(xiàn)類型 (1)無理數(shù)的概念： 無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)． 無理數(shù)應(yīng)滿足的條件：①是小數(shù)；②是無限小數(shù)；③是不循環(huán)小數(shù)．三者缺一不可．例如3.232 323 23…是無限小數(shù)，但它又是循環(huán)小數(shù)，因此3.232 323 23…是有理數(shù)；而3.

2、141 592 6不是循環(huán)小數(shù)，但它是有限小數(shù)，所以3.141 592 6是有理數(shù)． (2)無理數(shù)的表現(xiàn)類型： 第一類：π型，即圓周率π及含有π的數(shù)，如3π，2π－1，…； 第二類：根號型，即開方開不盡的數(shù)，如，，…； 第三類：小數(shù)型，即無限不循環(huán)小數(shù)，如0.101 001 000 1…；2.383 883 888 388 88…(每兩個3之間依次增加一個8)． 有理數(shù)與無理數(shù)的主要區(qū)別 (1)有理數(shù)包括整數(shù)和分數(shù)，任何整數(shù)和分數(shù)都可化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，因此有理數(shù)包括有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)則是無限不循環(huán)小數(shù)． (2)所有的有理數(shù)都能寫成分數(shù)的形式(整 數(shù)可以看

3、成是分母為1的分數(shù))，而無理數(shù)則不能寫成分數(shù)的形式． 【例1－1】下列說法正確的有(　　)． ①無理數(shù)是無限小數(shù)；②無限小數(shù)是無理數(shù)；③不能除盡的數(shù)都是無理數(shù)；④帶根號的數(shù)都是無理數(shù)． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 解析：②中，0.是無限小數(shù)，但0.是有理數(shù)；③中，除不盡，但是有理數(shù)；④中，帶根號，但＝2，是有理數(shù)．故正確的說法只有①. 答案：A 【例1－2】有下列各數(shù)：，－，3.141 592 6，，，，3.101 001 000…(每兩個1之間依次增加1個0)，其中無理數(shù)有(　　)． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

4、 分析：判斷一個數(shù)是否是無理數(shù)，不能只根據(jù)其形式，主要根據(jù)其結(jié)果，如帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，如＝5，＝－2；寫成分數(shù)形式的數(shù)也不一定是有理數(shù)，如，－，本題中，－，3.101 001 000…是無限不循環(huán)小數(shù)．故無理數(shù)共有3個． 答案：C 由于開方的需要我們引入了無理數(shù)，這很容易給人以錯覺，認為無理數(shù)就是開方開不盡的數(shù)．開方運算可能產(chǎn)生無理數(shù)(如等)，但也可能產(chǎn)生有理數(shù)(如等)．開方開不盡的數(shù)是無理數(shù)，但無理數(shù)并不全是開方開不盡的數(shù)，如π，0.101 001 000 1…(每兩個1之間依次增加一個0)等都是無理數(shù)，因此，對于含根號的數(shù)不能一概而論，應(yīng)先化簡再判斷其是否為無理數(shù)． 2．實

5、數(shù)的概念及其分類 (1)實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)． (2)實數(shù)的分類 ①按定義來分類 實數(shù) ②按正、負數(shù)來分類 實數(shù) 0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)． 分類是一個重要的數(shù)學(xué)思想，分類時只要做到按同一標(biāo)準，既不重復(fù)，又不遺漏即可．如我們也可按照以下方式對實數(shù)分類： 實數(shù) 【例2】把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi)：－π，，3.141 592 6，，0.808 008 000 8…(每兩個8之間的0的個數(shù)逐次加1)，，＋1，，－，，，. 整數(shù)集合{　　　　　　　　　　　，…}； 負分數(shù)集合{　　　　　　　　　　，…}； 正實數(shù)集合{　　　　　　　　　　，…}； 有理數(shù)集合{　　

6、　　　　　　　　，…}； 無理數(shù)集合{　　　　　　　　　　，…}； 負實數(shù)集合{　　　　　　　　　　，…}． 解析：本題要根據(jù)整數(shù)、負分數(shù)、無理數(shù)、負實數(shù)、有理數(shù)、正實數(shù)的概念進行分類，應(yīng)注意帶根號的數(shù)的判斷，如＝2，＝6，它們都是整數(shù)． 答案：整數(shù)集合{，，…}； 負分數(shù)集合； 正實數(shù)集合，3.141 592 6，，0.808 008 000 8…(每兩個8之間的0的個數(shù)逐次加1)，，＋1，，，，； 有理數(shù)集合 ； 無理數(shù)集合－π，0.808 008 000 8…(每兩個8之間的0的個數(shù)逐次加1)，＋1，，； 負實數(shù)集合. 將各數(shù)化簡到最簡后，再按有關(guān)概念進行分類，填入

7、相應(yīng)的括號內(nèi)，要做到不重不漏． 3．實數(shù)的有關(guān)性質(zhì) (1)實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系：實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，即每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)．也就是說，數(shù)軸上的任意一點表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù)． (2)相反數(shù)：實數(shù)a的相反數(shù)是－a,0的相反數(shù)是0.即若a與b互為相反數(shù)，則a＋b＝0；反之，若a＋b＝0，則a與b互為相反數(shù)． 在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點在原點的兩側(cè)，并且這兩點到原點的距離相等． (3)絕對值：一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0. 實數(shù)a的絕對值可表示為|a|＝實數(shù)a的絕

8、對值總是一個非負數(shù)，即|a|≥0，并且若有|x|＝a(a≥0)，則x＝±a. 在數(shù)軸上實數(shù)a的絕對值就是實數(shù)a所對應(yīng)的點與原點的距離． (4)倒數(shù)：乘積為1的兩個實數(shù)互為倒數(shù)．即若ab＝1，則a，b互為倒數(shù)；反之，若a，b互為倒數(shù)，則ab＝1．注意：0沒有倒數(shù)． 【例3－1】下列說法中，正確的是(　　)． A．實數(shù)包括有理數(shù)、無理數(shù)和0 B．無理數(shù)就是無限小數(shù) C．無論是有理數(shù)還是無理數(shù)，都可以用數(shù)軸上的點來表示 D．有理數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng) 解析：選項A中0屬于有理數(shù)，應(yīng)改為：實數(shù)包括有理數(shù)、無理數(shù)；無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，因此選項B不正確，應(yīng)改為：無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)；

9、選項C正確；有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但是數(shù)軸上的點不一定表示有理數(shù)，還可以表示無理數(shù)，因此選項D不正確，應(yīng)改為：實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)． 答案：C 【例3－2】(1)寫出－，π－3.14的相反數(shù)分別是__________，指出1－是實數(shù)__________的相反數(shù)； (2)已知一個數(shù)的絕對值是，則這個數(shù)是__________；的絕對值是__________． 解析：(1)因為－(－)＝，－(π－3.14)＝3.14－π，所以－，π－3.14的相反數(shù)分別是，3.14－π；因為－(1－)＝－1，所以1－是－1的相反數(shù)；(2)因為||＝，|－|＝，所以絕對值是的數(shù)是或－；因為＝－，所

10、以||＝|－|＝. 答案：(1)，3.14－π　－1　(2)或－　 4．實數(shù)的運算 實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進行開立方運算，其中正實數(shù)及零可以進行開平方運算． 實數(shù)的運算法則、運算律和運算順序都與有理數(shù)相同．注意：開方運算和乘方運算一樣，都是第三級運算．即先算乘方、開方，再算乘、除，最后算加減；同級運算按照從左到右的順序進行；有括號先算小括號，再算中括號，最后算大括號． 在實數(shù)運算中，遇到無理數(shù)并且需要求出結(jié)果的近似數(shù)時，可以按照所要求的精確度用相應(yīng)的近似有限小數(shù)去代替無理數(shù)再進行計算，并按要求進行取舍． 實數(shù)與有理數(shù)的關(guān)系 (1)在實數(shù)范圍內(nèi)，與有理數(shù)一樣

11、，規(guī)定了一個數(shù)的相反數(shù)、絕對值及大小比較的意義． (2)有理數(shù)的運算規(guī)律和運算性質(zhì)，在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用． (3)在實數(shù)范圍內(nèi)總可以實施四則運算和乘方運算，而非負數(shù)總可以實施開方運算，但負數(shù)只能開奇次方，不能開偶次方． (4)有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點并不都表示有理數(shù)，而實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的． (5)在實際問題中，涉及無理數(shù)運算常常用與它近似的一個有理數(shù)來代替，如圓周率π常取近似值為3.14，常取近似值為1.732等． 【例4－1】計算： (1)＋； (2)＋； (3)××3； (4)(2＋)－(＋)． 分析：嚴格按照運算順序運算．(1)只含有開方運算

12、與加減運算，根據(jù)運算順序，先算開方，最后算加減；(2)先去括號，再利用運算律把被開方數(shù)相同的結(jié)合在一起，利用分配律求出結(jié)果． 解：(1)＋＝＋＝－－＝－2． (2)＋ ＝＋＝＋ ＝－. (3)××3＝10×(－2)×3×0.7＝－42． (4)(2＋)－(＋)＝2＋－－＝(2－)＋(－) ＝(2－1)＋0＝. 【例4－2】(1)＋－5.021(精確到0.01)； (2)＋3－π＋0.25(精確到0.001)． 分析：(1)(2)先用計算器求出無理數(shù)的近似值，把無理數(shù)用近似的有限小數(shù)代替．然后再進行近似計算．可熟記幾個無理數(shù)的近似值，如≈1.414，≈1.732，≈2.236

13、，π≈3.14等． 解：(1)＋－5.021≈2.236＋1.710－5.021＝－1.075≈－1.08． (2)＋3－π＋0.25≈2.645 8＋5.196 2－3.141 6＋0.25＝4.950 4≈4.950. 實數(shù)運算中遇到無理數(shù)并且需要求出結(jié)果的近似值時，參與運算的無理數(shù)的近似值要比結(jié)果要求的精確度多取一位小數(shù)．計算的最后結(jié)果四舍五入到所要求的精確度． 5．實數(shù)大小比較 任意兩個實數(shù)都可以比較大小，正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，正數(shù)大于負數(shù)．兩個正數(shù)，絕對值大的數(shù)較大．兩個負數(shù)，絕對值大的數(shù)反而?。? 利用數(shù)軸也可以比較兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的點所表

14、示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大． 【例5－1】用“＜”連接下列各數(shù)：－，0.4，－，0,2，－，－2.5． 分析：將各數(shù)用數(shù)軸上的點表示，如圖所示： 根據(jù)“在數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大”可以得到． 解：－2.5＜－＜－＜0＜0.4＜－＜2. 【例5－2】比較下列各組數(shù)的大?。? (1)______3.6； (2)－1.5______； (3)－__________－π. 解析：(1)因為≈3.61，所以＞3.6； (2)因為正數(shù)大于一切負數(shù)，所以－1.5＜； (3)因為|－|≈3.162，|－π|≈3.142， 所以|－|＞|－π|，即－＜－π. 答

15、案：(1)＞　(2)＜　(3)＜ 6．確定根號型無理數(shù)的范圍 估算能力是一種重要的數(shù)學(xué)思維方法，估算思想就是在處理問題時，采用估算的方法達到問題解決的目的．在遇到無理數(shù)的大小比較或確定無理數(shù)的范圍等問題時，常用到的估算的方法有如下兩種： (1)通過夾逼的辦法確定被開方數(shù)在哪兩個相鄰整數(shù)的平方之間，從而確定在哪兩個整數(shù)之間，進而確定的整數(shù)部分及其小數(shù)部分．比如12＜2＜22，故1＜＜2．又由于1.42＝1.96，1.52＝2.25，所以1.42＜2＜1.52，從而可知1.4＜＜1.5，即的整數(shù)位是1，十分位是4．同樣，我們也可以確定的百分位、千分位等． (2)借助計算器確定的整數(shù)部分

16、，進而確定其小數(shù)部分． 【例6－1】估計＋1的值是(　　)． A．在2和3之間 B．在3和4之間 C．在4和5之間 D．在5和6之間 解析：首先要確定的取值范圍，再估算＋1的取值范圍．因為9＜10＜16，所以＜＜，即3＜＜4,4＜＋1＜5．從而可確定＋1的取值范圍． 答案：C 【例6－2】已知a，b分別是6－的整數(shù)部分與小數(shù)部分，則2a－b＝__________. 分析：方法1：因為9＜13＜16，所以3＜＜4．因此的值在3～4之間，故6－的整數(shù)部分應(yīng)該是2．用6－減去它的整數(shù)部分2，剩下的就是小數(shù)部分了，于是小數(shù)部分是6－－2＝4－.故2a－b＝2×2－(4－)＝4－4＋＝

17、. 方法2：借助計算器確定6－的整數(shù)部分a＝2，進而表示小數(shù)部分，解決問題． 答案：, 7．比較兩個實數(shù)大小的方法 (1)利用數(shù)軸比較大?。跀?shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大． (2)利用法則比較實數(shù)大?。龜?shù)大于0,0大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)．兩個正數(shù)比較，絕對值大的數(shù)較大．兩個負數(shù)比較，絕對值大的數(shù)反而小，絕對值小的數(shù)反而大． (3)取近似值法．用有限小數(shù)來代替無理數(shù)比較大?。畱?yīng)用此種方法比較兩實數(shù)的大小時，由于有計算器的緣故，此種方法較為簡便． (4)乘方法．如果a＞b＞0，那么＞，＞. (5)差值比較法．對于實數(shù)a，b，當(dāng)a－b＞0時，a＞b； 當(dāng)a－b＝0

18、時，a＝b； 當(dāng)a－b＜0時，a＜b. (6)商值比較法．對于兩個正數(shù)a，b，當(dāng)＞1時，a＞b； 當(dāng)＜1時，a＜b； 當(dāng)＝1時，a＝b. 【例7】(1)比較和0.5的大?。? (2)比較和的大?。? 分析：(1)兩個同分母的分數(shù)比較大小，分子大的較大，分子小的較小，因為0.5＝，所以只要比較－1與1的大小即可．因為＞2，所以－2＞0，從而得出比較的結(jié)果．(2)異分母的分數(shù)進行比較大小，要先化成同分母的分數(shù)再進行比較，因為＝，所以只要比較4－4與5的大小即可，也就是比較4與9的大?。? 解：(1)因為－0.5＝， 而－2＝－＞0， 所以＞0， 即－0.5＞0. 故＞0.5．

19、(2)因為－＝－＝， 又4＜4×2.24＝8.96,8.96＜9，所以4＜9． 因此＜0，從而可知＜. 比較4與9的大小也可采用平方法，如(4)2＝80,92＝81，因為80＜81，所以4＜9． 8．與實數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題 初中階段學(xué)習(xí)的數(shù)的最大范圍就是實數(shù)，本階段所學(xué)習(xí)的所有計算、推理都是在實數(shù)范圍內(nèi)進行的． 在實際問題中，經(jīng)常會遇到一些與實數(shù)有關(guān)的開方運算．有關(guān)實數(shù)的性質(zhì)特點應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)的各個方面，一般從實際問題中構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，通過開平方或開立方解決實際問題． 【例8】現(xiàn)有一面積為150 m2的正方形魚池，為了增加養(yǎng)魚量，欲把魚池的邊長增加6 m，那么擴建后的魚池的面積為多

20、少？(精確到0.01) 解：因為原正方形魚池的面積為150 m2，根據(jù)面積公式，它的邊長為≈12.247(m)．由題意可得擴建后的正方形魚池邊長為(12.247＋6) m，所以擴建后的魚池的面積為18.2472≈332.95(m2)． 9．與實數(shù)有關(guān)的新題型 與實數(shù)有關(guān)的新題型主要是以實數(shù)知識為問題背景，從問題呈現(xiàn)的形式、考查所學(xué)知識的角度等各方面進行創(chuàng)新，解決這些問題的關(guān)鍵是認真觀察、仔細分析、積極探索，從而求出問題的答案．常見題型有以下兩種： (1)閱讀理解題：一般是給定一系列數(shù)或等式或圖形要求我們適當(dāng)?shù)剡M行運算．解決此類問題，首先要認真閱讀材料給出的信息，輔之必要的觀察、猜想、歸

21、納、驗證，利用從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，分析特點，探索規(guī)律，總結(jié)結(jié)論，最終使問題獲解．這類題主要考查觀察能力、合情推理能力和探索能力． (2)新運算問題：除了一般的運算外，輔以預(yù)先規(guī)定好新符號的新運算．解答新運算問題的關(guān)鍵，在于理解新運算的定義，嚴格按照規(guī)定的計算法則代入計算，把定義的新運算轉(zhuǎn)化為我們常規(guī)的四則運算．值得注意的是，遇到有括號時，仍應(yīng)當(dāng)先算括號里面的；同級運算(兩個相同的新定義運算是同級運算)按照自左而右的順序計算．另外，新定義的運算往往不一定具備交換律和結(jié)合律，不能隨便套用這些運算定律來解題． 【例9－1】先閱讀理解，再回答問題： 因為＝，且1＜＜2，所以的整數(shù)部分為1；

22、 因為＝，且2＜＜3，所以的整數(shù)部分為2； 因為＝，且3＜＜4，所以的整數(shù)部分為3； 以此類推，發(fā)現(xiàn)(n為正整數(shù))的整數(shù)部分是__________，請說明理由． 解：n　 理由：因為＜＜， 即n＜＜n＋1， 所以的整數(shù)部分為n. 【例9－2】用“★”定義新運算：對于任意實數(shù)a，b，都有a★b＝b2＋1． 例如，7★4＝42＋1＝17，求5★3的值； 當(dāng)m為實數(shù)時，求m★(m★2)的值． 分析：以a★b＝b2＋1為求解的突破口，即a★b等于符號★后面的因式的平方與1的和． 解：因為a★b＝b2＋1，所以5★3＝32＋1＝10． 又因為m★2＝22＋1＝5， m★5＝52＋1＝26， 所以m★(m★2)＝26． 在解答與新運算有關(guān)的問題時，有括號時，應(yīng)當(dāng)先算括號里面的． 7