利息理論 第8章 利率風(fēng)險(xiǎn)的度量

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1、第八章利率風(fēng)險(xiǎn)的度量與防范內(nèi)容o1到期期限到期期限o2平均到期期限平均到期期限o3馬考勒持續(xù)期馬考勒持續(xù)期o4修正持續(xù)期修正持續(xù)期o5凸度凸度o6、利率風(fēng)險(xiǎn)的防范、利率風(fēng)險(xiǎn)的防范1到期期限o一般而言，期限越長(zhǎng)的債券，其價(jià)格受利率變動(dòng)的影響越大，因此，衡量債券利率風(fēng)險(xiǎn)最傳統(tǒng)的方法或最原始的指標(biāo)就是計(jì)算債券到期期限。o如10年期債券的到期年限為10年。這個(gè)指標(biāo)的作用有限，能區(qū)分10年期債券不同于20年期債券，但不能區(qū)分票息不同的兩種10年期債券，故是一種很粗糙的方法。2平均到期期限o。對(duì)于兩個(gè)到期期限完全相同但息票不同的債券，它們實(shí)際的利率風(fēng)險(xiǎn)是不相同的。為此，一個(gè)改進(jìn)的方法或好一點(diǎn)的指標(biāo)便是計(jì)算

2、債券的平均到期期限，即以債券未來的付款作為權(quán)數(shù)計(jì)算債券的平均到期時(shí)間。設(shè) 為時(shí)刻1,2,，n的付款額，根據(jù)等時(shí)法有12,nR RR.o.nttnttRtRt11.o例 兩種面值100元的5年期債券，年票息率分別為5%和8%，試計(jì)算平均到期年限。o解：平均到期年限為60.41005555510055554535251111nttnttRtRt42.41008888810058584838281112nttnttRtRt3馬考勒持續(xù)期o馬考勒在考慮貨幣時(shí)間價(jià)值的基礎(chǔ)上，于1938年提出了持續(xù)期的概念。所謂馬考勒持續(xù)期，是指未來一系列付款的時(shí)間與付款的現(xiàn)值為權(quán)數(shù)計(jì)算的加權(quán)平均到期期限。假設(shè)債券在未來

3、一系列付款額為 ，1n表示未來付款的到期期限，馬考勒持續(xù)期被定義為 12,nR RR.o。ntttntttntttRtvPRvRtvd1111其中：其中：P是未來付款的現(xiàn)值，即債券是未來付款的現(xiàn)值，即債券的價(jià)格。的價(jià)格。.o馬考勒持續(xù)期就是以未來付款的現(xiàn)值為權(quán)數(shù)所計(jì)算的付款到期時(shí)間t的加權(quán)平均數(shù).o其值越大，說明未來付款的加權(quán)到期時(shí)間越長(zhǎng)，從而債券的利率風(fēng)險(xiǎn)越大。馬考勒持續(xù)期仍然是一個(gè)時(shí)間概念，可以用年、月等時(shí)間單位計(jì)量 現(xiàn)將 對(duì) 求導(dǎo)，可得o。dintttntttRvRtvdiddidd11)(2121121ntttntttntttntttRvRtvRvtRvv211112ntttntttn

4、tttntttRvRtvRvRvtv2v討論o其中 表示付款到期時(shí)間t的方差，由于方差 ，所以上式必然為負(fù)?？梢?，是的 減函數(shù)。市場(chǎng)利率越高，馬考勒持續(xù)期越短，從而債券價(jià)格對(duì)市場(chǎng)利率變動(dòng)的敏感性越小，債券的利率風(fēng)險(xiǎn)越小。o若 ,則 ，故等時(shí)法實(shí)際是忽略利息的期限的特例；202di0itd 特例：債券的息票率為5%，市場(chǎng)利率為15%的債券。o 402080100年持續(xù)期一般情況，債券的到期時(shí)間越長(zhǎng)，馬考勒持續(xù)期越大，但特例中，一般情況，債券的到期時(shí)間越長(zhǎng)，馬考勒持續(xù)期越大，但特例中，到期時(shí)間超過到期時(shí)間超過20年時(shí)，到期時(shí)間越長(zhǎng)，債券的利率風(fēng)險(xiǎn)越小。年時(shí)，到期時(shí)間越長(zhǎng)，債券的利率風(fēng)險(xiǎn)越小。債券的

5、息票率對(duì)馬考勒持續(xù)期的影響。2015100.10.20.30.4息票率息票率持續(xù)期持續(xù)期年年隨著債券息票率的不斷上升，馬考勒持續(xù)期減少的速度越來越慢。隨著債券息票率的不斷上升，馬考勒持續(xù)期減少的速度越來越慢。這表明，債券的利率風(fēng)險(xiǎn)隨著債券息票率的上升而不斷減小，這表明，債券的利率風(fēng)險(xiǎn)隨著債券息票率的上升而不斷減小，但減小的幅度越來越小。但減小的幅度越來越小。例：假設(shè)債券的面值為F，期限為n，到期時(shí)按面值償還，年票息率為r，若市場(chǎng)通行的年實(shí)際利率為i，試求債券的馬考勒持續(xù)期。o解：由公式可知該債券的馬考勒持續(xù)期為ntttntttRvRtvd11ntntntntFvrFvFnvrFtv11ntnt

6、ntntvvrnvtvr11ninninvranvIar)(例：例：一筆貸款的本金為一筆貸款的本金為L(zhǎng) L，期限為，期限為n n，年實(shí)際利率為，年實(shí)際利率為i i，按，按年等額分期償還，每年末的償還金額為年等額分期償還，每年末的償還金額為R R，試求出這筆貸款，試求出這筆貸款的馬考勒持續(xù)期。的馬考勒持續(xù)期。o解：ininnttnttnttnttaIavtvRvRtvd)(1111從本例可以看出，分期償還貸款的馬考勒持續(xù)期與貸款本金和分期償還金額都無關(guān)，只受貸款期限和貸款利率的影響。4修正持續(xù)期o修正持續(xù)期與馬考勒持續(xù)期不同。它不再是一個(gè)時(shí)間概念，是一個(gè)強(qiáng)度概念，反映了市場(chǎng)利率變化對(duì)債券價(jià)格影響

7、強(qiáng)度。如果假設(shè)未來的一系列付款（R1，R2，R3，Rn）表示債券的未來收益，則債券價(jià)格（未來收益的現(xiàn)值）可表示為：nttttnttRiRviP11)1()(.o若用 表示市場(chǎng)利率變化時(shí)債券價(jià)格的單位變化速率，則有o可見 也是利率 i 的減函數(shù)。b)()(iPiPbb含義o債券價(jià)格的單位變化率反映了債券價(jià)格隨市場(chǎng)利率變化的速度。其值越大，債券價(jià)格波動(dòng)幅度越大。市場(chǎng)利率的較小波動(dòng)，有可能引起債券價(jià)格的大幅波動(dòng)，因此，債券利率風(fēng)險(xiǎn)大。反之，債券利率風(fēng)險(xiǎn)小。o由于 ntttRvdidiP1)(ntttRtv11ntttRtvv1)(iPdviddviPiPdviPiPb1)()()()(o可見，債券價(jià)

8、格的單位變化速率是債券的馬考勒持續(xù)期除以（1+i），所以 亦稱為修正持續(xù)期。o從上式可知，修正持續(xù)期同馬考勒持續(xù)期一樣也是市場(chǎng)利率的減函數(shù)。這就是說，市場(chǎng)利率越高，修正持續(xù)期越?。环粗?，市場(chǎng)利率越低，修正持續(xù)期越大，則利率變化也越大。b例例:假設(shè)年實(shí)際利率為5%，試計(jì)算永續(xù)年金的馬考勒持續(xù)期和修正持續(xù)期。o解：2105.0105.005.01)(205.005.011aIaRvRtvdtttttt2005.01211)()(idiPiPb5凸度o盡管修正持續(xù)期是金融分析的重要工具，但它只度量了利率與債券價(jià)格之間的近似線性關(guān)系，單純用修正持續(xù)期度量債券的利率變化風(fēng)險(xiǎn)是不大準(zhǔn)確的，故又出現(xiàn)了一個(gè)更

9、優(yōu)越的指標(biāo)來計(jì)算這種線性近似所產(chǎn)生的誤差，即債券的凸度。.o凸度被定義為債券價(jià)格對(duì)利率的二階導(dǎo)數(shù)與債券價(jià)格的比率。它更加精確地度量利率與債券價(jià)格之間的變化關(guān)系。o凸度越大的債券，其抗利率風(fēng)險(xiǎn)能力越強(qiáng)。221)()(diPdPiPiPc o。iPABi i減少時(shí)，減少時(shí)，P PB B 上升的幅度小于上升的幅度小于P PA A上升的幅度。上升的幅度。i i增加時(shí)，增加時(shí)，P PA A 下降的幅度小于下降的幅度小于P PB B下降的幅度。下降的幅度。o其中 o債券的凸度是市場(chǎng)利率的減函數(shù)，即在其他條件不變的情況下，市場(chǎng)利率越高，債券的凸度越小，市場(chǎng)利率越低，債券的凸度越大。tnttntttRvttR

10、vdidiP 12122)1()(結(jié)論o理想的債券應(yīng)該具有較小的修正持續(xù)期和較大的凸度。例例 某債券的面值為1000元，期限為5年，年票息率為10%，到期時(shí)按面值償還。若市場(chǎng)利率為12%，試計(jì)算其價(jià)格、馬考勒持續(xù)期、修正持續(xù)期和凸度。o解：債券的價(jià)格債券的價(jià)格o馬考勒持續(xù)期馬考勒持續(xù)期91.927)12.01(1000100512.05aP1354.412.15100012.11001515tttPd修正持續(xù)期修正持續(xù)期o凸度凸度6923.312.11354.41idb)()(iPiPc 5125212.165100012.1)1(1001ttttP4774.18一些結(jié)論o凸度度量了市場(chǎng)利率變

11、化時(shí)持續(xù)期的穩(wěn)定性。o債券的凸度是對(duì)債券價(jià)格曲線彎曲程度的一種度量。債券的凸度越大，債券價(jià)格曲線的彎曲程度越大，從而用修正持續(xù)期度量債券的利率風(fēng)險(xiǎn)所產(chǎn)生的誤差越大。o持續(xù)期和凸度是當(dāng)前運(yùn)用最為廣泛的度量利率風(fēng)險(xiǎn)的指標(biāo)，但在運(yùn)用這些方法時(shí)，應(yīng)該特別注意其局限性。o馬考勒持續(xù)期從本質(zhì)上講仍然是一個(gè)時(shí)間概念，而修正持續(xù)期是一個(gè)強(qiáng)度概念，并且它們的計(jì)算都是在一定假設(shè)前提下進(jìn)行的。即收益率曲線是平坦的或者收益率曲線只會(huì)發(fā)生平移。因此，修正持續(xù)期通常會(huì)低估債券的利率風(fēng)險(xiǎn)，此時(shí)，必須考慮凸度對(duì)債券價(jià)格的影響。6、利率風(fēng)險(xiǎn)的防范o1）問題的提出o在負(fù)債結(jié)構(gòu)一定的條件下，如何安排資產(chǎn)結(jié)構(gòu)，從而使得資產(chǎn)結(jié)構(gòu)與負(fù)債

12、結(jié)構(gòu)正好平衡。以消除和減弱利率風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)生的不利影響。實(shí)例：銀行發(fā)行一種一年期的存款單，金額為100萬元，該銀行在投資這筆資金時(shí)可能遇到兩種風(fēng)險(xiǎn)：o第一：如果投資期限太長(zhǎng)，銀行可能遇到利率上升的風(fēng)險(xiǎn)。（投資者可能抽走資金，銀行不得不把未到期投資變現(xiàn)）o第二：如果投資期限太短，銀行可能遇到利率下降的風(fēng)險(xiǎn)。（當(dāng)利率下降時(shí)，再投資收益率會(huì)下降）2）方法-免疫策略o合理安排資產(chǎn)的投資期限，降低利率風(fēng)險(xiǎn)。o1、按當(dāng)前的利率計(jì)算，資產(chǎn)的現(xiàn)值應(yīng)該等于負(fù)債的現(xiàn)值。（資產(chǎn)正好支付負(fù)債）o2、資產(chǎn)的修正持續(xù)期等于負(fù)債的修正持續(xù)期。（資產(chǎn)的價(jià)值和負(fù)債的價(jià)值發(fā)生同步變化，從而保證資產(chǎn)的價(jià)值不會(huì)低于負(fù)債的價(jià)值）o3、資產(chǎn)的

13、凸度大于負(fù)債的凸度。（當(dāng)市場(chǎng)利率變化時(shí)，資產(chǎn)的價(jià)值大于負(fù)債的價(jià)值。利率上升時(shí)，資產(chǎn)價(jià)值下降的幅度小于負(fù)債價(jià)值下降的幅度；利率下降時(shí)，資產(chǎn)價(jià)值上升的幅度大于負(fù)債價(jià)值上升的幅度；）o某人在10年以后需要償還一筆債務(wù)，按當(dāng)前的市場(chǎng)利率6%計(jì)算，這筆債務(wù)的現(xiàn)值為1000元，到期的償還值為 1000 元。為了防范利率風(fēng)險(xiǎn)，債務(wù)人購買價(jià)值為1000元的債券實(shí)施免疫策略，假設(shè)可供選擇的債券有三種。10(16%)1790.85o債券A：面值為1000元，期限為10年，息票率為6.7%；o債券B：面值為1000元，期限為15年，息票率為6.988%；o債券C：面值為1000元，期限為30年，息票率為5.9%；分析o1、市場(chǎng)利率不變 可以選擇任何一種債券，無利率風(fēng)險(xiǎn)。o2、市場(chǎng)利率發(fā)生變化 選擇B，因債券B的修正持續(xù)期正好等于債務(wù)的修正持續(xù)期。市場(chǎng)利率變化時(shí)，債券B的變化不大。o3、構(gòu)造債券組合 使組合債券的修正持續(xù)期正好等于債務(wù)的修正持續(xù)期。習(xí)題o1、一筆貸款的期限為5年，按年等額分期償款，試求該筆貸款的馬考勒持續(xù)期和修正持續(xù)期。o2、假設(shè)實(shí)際年利率為5%，試計(jì)算永續(xù)年金的馬考勒持續(xù)期和修正持續(xù)期。o3、假設(shè)年實(shí)際利率為8%，試計(jì)算10年期、息票率為8%的債券的馬考勒持續(xù)期和修正持續(xù)期。