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1、2013年高中數(shù)學(xué) 暑期特獻 重要知識點 導(dǎo)數(shù)與微分
二、導(dǎo)數(shù)與微分
導(dǎo)數(shù)的概念
在學(xué)習(xí)到數(shù)的概念之前，我們先來討論一下物理學(xué)中變速直線運動的瞬時速度的問題。例：設(shè)一質(zhì)點沿x軸運動時，其位置x是時間t的函數(shù)，，求質(zhì)點在t0的瞬時速度？我們知道時間從t0有增量△t時，質(zhì)點的位置有增量 ，這就是質(zhì)點在時間段△t的位移。因此，在此段時間內(nèi)質(zhì)點的平均速度為：.若質(zhì)點是勻速運動的則這就是在t0的瞬時速度，若質(zhì)點是非勻速直線運動，則這還不是質(zhì)點在t0時的瞬時速度。我們認為當(dāng)時間段△t無限地接近于0時，此平均速度會無限地接近于質(zhì)點t0時的瞬時速度，即：質(zhì)點在t0時的瞬時速度=為此就產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)的定義，如
2、下：
導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量△x(x+△x也在該鄰域內(nèi))時，相應(yīng)地函數(shù)有增量，若△y與△x之比當(dāng)△x→0時極限存在，則稱這個極限值為在x0處的導(dǎo)數(shù)。記為： 還可記為：，
函數(shù)在點x0處存在導(dǎo)數(shù)簡稱函數(shù)在點x0處可導(dǎo)，否則不可導(dǎo)。若函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。這時函數(shù)對于區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個確定的x值，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們就稱這個函數(shù)為原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。
??? 注：導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限
左、右導(dǎo)數(shù)
前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左
3、、右導(dǎo)數(shù)的概念。若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的左導(dǎo)數(shù)。若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的右導(dǎo)數(shù)。
注：函數(shù)在x0處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)在x0處的可導(dǎo)的充分必要條件
函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則
函數(shù)的和差求導(dǎo)法則
?? 法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差).用公式可寫為：。其中u、v為可導(dǎo)函數(shù)。
例題：已知，求
解答：
例題：已知，求
解答：
函數(shù)的積商求導(dǎo)法則
常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則
法則：在求一個常數(shù)與一個可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號外面去。用公式可寫成：
例題：已知，求
解答：
函數(shù)的積的求
4、導(dǎo)法則
法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個因子，加上第一個因子乘第二個因子的導(dǎo)數(shù)。用公式可寫成：
例題：已知，求
解答：
注：若是三個函數(shù)相乘，則先把其中的兩個看成一項。
函數(shù)的商的求導(dǎo)法則
法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)的乘積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。用公式可寫成：
例題：已知，求
解答：
復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
在學(xué)習(xí)此法則之前我們先來看一個例子!
例題：求=?
解答：由于，故?? 這個解答正確嗎?
這個解答是錯誤的，正確的解答應(yīng)該如下：
我們發(fā)生錯誤的原因是是對自變量x求導(dǎo)，而不是對2x
5、求導(dǎo)。
下面我們給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則
規(guī)則：兩個可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。用公式表示為：
，其中u為中間變量
例題：已知，求
解答：設(shè),則可分解為,因此
注：在以后解題中，我們可以中間步驟省去。
例題：已知，求
?? 解答：
反函數(shù)求導(dǎo)法則
根據(jù)反函數(shù)的定義，函數(shù)為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù),它也是單調(diào)連續(xù)的.為此我們可給出反函數(shù)的求導(dǎo)法則，如下(我們以定理的形式給出)：
定理：若是單調(diào)連續(xù)的，且，則它的反函數(shù)在點x可導(dǎo)，且有： 注：通過此定理我們可以發(fā)現(xiàn)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒
6、數(shù)。注：這里的反函數(shù)是以y為自變量的，我們沒有對它作記號變換。
即： 是對y求導(dǎo)，是對x求導(dǎo)
例題：求的導(dǎo)數(shù).
解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則：
例題：求的導(dǎo)數(shù).
解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則：
高階導(dǎo)數(shù)
我們知道，在物理學(xué)上變速直線運動的速度v(t)是位置函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)，即： ，而加速度a又是速度v對時間t的變化率，即速度v對時間t的導(dǎo)數(shù)： ，或。這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做s對t的二階導(dǎo)數(shù)。下面我們給出它的數(shù)學(xué)定義：
定義：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是x的函數(shù).我們把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作或，即：或.相應(yīng)地，把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)
7、數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，…，一般地(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù).
分別記作：，，…，或，，…，
二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。由此可見，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)，所以，在求高階導(dǎo)數(shù)時可運用前面所學(xué)的求導(dǎo)方法。
例題：已知，求? 解答：因為=a，故=0
例題：求對數(shù)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。
解答：，，，，
一般地，可得
隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則
我們知道用解析法表示函數(shù)，可以有不同的形式.若函數(shù)y可以用含自變量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，這樣的函數(shù)叫顯函數(shù).前面我們所遇到的函數(shù)大多都是顯函數(shù).
一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時，相應(yīng)地總有滿足此方程的y值存在，則我們就說方程F(x,y)=0在該區(qū)間上確定了x的隱函數(shù)y.把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)的形式，叫做隱函數(shù)的顯化。注：有些隱函數(shù)并不是很容易化為顯函數(shù)的，那么在求其導(dǎo)數(shù)時該如何呢？下面讓我們來解決這個問題！
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