題型05 平面向量數(shù)量積運算率及處理垂直問題

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1、2 2 ( ) r 秒殺高考數(shù)學題型之平面向量數(shù)量積運算率及處理垂直問題 【秒殺題型二】：向量數(shù)量積的運算率。 『秒殺策略』：運算率：①交換率： a ×b=b ×a； ( ) ②分配率： a +b ×c=a ×c+b×c; () () ③不滿足結合率： a ×b×c1a ×b×c，因為前面表示與 c 共線的向量，后面表示與 a 共線的向量。 1.(高考題)對于向量  a, b , c  和實數(shù)  l  ，下列命題中真命題是 ( ) A.若  a ×b=0 ，則 a =0 或 b =0  B.若 

2、l  a =0 ，則 l =0 或 a =0 C.若 a =b ，則 a =b 或 a =-b 【解析】：選 B。  D.若  a ×b=a ×c，則 b =c 2.(高考題)關于平面向量  a, b,c  有下列三個命題: ①若  a ×b=a ×c  ，則  b =c  ； ②若  a =(1, k ), b =( -2,6)  ，  a // b  ，則  k =-3  ； ③非零向量  a  和  b  滿足  a = b =

3、a -b  ，則  a  與  a +b  的夾角為  60  。 其中真命題的序號為 ．（寫出所有真命題的序號） 【解析】： a ×b=a ×cT a ^ b -c ，①錯誤； a = b = a -b T a  與  a +b  的夾角為  30°  ，③錯誤；② 正確。 【秒殺題型三】：求合成向量的模。 『秒殺策略』：利用平方，轉化為單一向量模與向量數(shù)量積運算問題。 1.(高考題)若向量 a , b 的夾角為  150 o ，  a = 3, b =4 

4、 r ，則 2 a +b =  。 【解析】：平方得 2。 2.(高考題)若向量 a , b 滿足 a =1，b =2 ，且 a 與 b 的夾角為 7 【解析】：平方得 。  p 3  ，則  a +b =  。 3.(2012 年新課標全國卷 13)已知向量 a, b 夾角為 45 °  ，且 r a =1, 2 a -b = 10 ，則 b = 。 2 2 2 2 2 【解析】：平方得  b =3 2  。 4.(2014 年新課標全國卷 II3)設向量 a,

5、b 滿足| a +b |= 10 ，| a -b |= 6 ，則 a ×b= ( ) A.1 B.2 C.3 D.5 【解析】：平方相減，選 A。 5.(2017 年新課標全國卷 I13)已知向量 a , b 的夾角為 60°,  a =2 ， b =1 ，則 a +2b  = 。 【解析】：平方后得  2 3  。 6.(2009 年遼寧卷)平面向量 a 與 b 的夾角為 60°，a =(2,0)  ， b =1 ，則 a +2b  = ( ) A.  3  B.  2 3  C.4 D

6、.12 【解析】：平方代入，選 B。 7.(高考題)已知平面向量 a , b ， a =1, b =2 ， a ^( a -2b ) ，則 2a +b  ＝ 。 【解析】：Q a ^(a -2b )  ，所以 a =2 a ×b=1， 2 a +b =4a +b +4 a ×b=10， 2 a +b = 10  。 8.(高考題)若向量  a, b ( ) ( ) 滿足： a =1, a +b ^a, 2 a +b ^b,  則  b =  ( ) A.2 B.  2  C.1 D. 

7、 2 2 【解析】：選 B。 9.(高考題)已知向量  a 1e, e =1  ，對任意  t ?R  恒有  a -te 3 a -e  ，則 ( ) A. a ⊥ e  B. a ⊥( a － e ) C. e ⊥( a － e ) D.( a ＋ e )⊥( a － e ) 【解析】：平方后轉化為關于 t 的一元二次不等式，Q 恒成立，所以需 D￡0 ，選。 10.(高考題)已知點  A, B, C  在圓 x  2  +y  2  =  1  上

8、運動，且 AB ^ BC 若點 P 的坐標為  (2,0)  ，則  PA +PB +PC 的最大值為 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】： AC 為直徑，  PA +PB +PC  = PO +PB  = max  7  。 【秒殺題型四】：求兩向量夾角。 2 2 2 2 é ê 1 p : a +b >1 ? q? , p 3 ? è ? ÷ ? ê ú 3 4 2 2 2 2 r r ( ) 『秒殺策

9、略』：逆用數(shù)量積： cos q =  a ×b a b  =  x 1  x x +y y 1 2 1 2 +y x +y 1 2 2  。 1.(2011 年新課標全國卷 10)已知 a 與 b 均為單位向量，其夾角為q ，有下列四個命題： p : a +b >1 ? q? 0, ?  2p 3  ? ?2p ù ÷ 2 ? ú é p? ?p ù p : a -b >1 ? q? 0, p : a -b >1 ? q? , p ? 3 ? è3 ? 其中的真命題是 ( ) A. 

10、p , p 1 4  B.  p , p 1 3  C.  p , p 2 3  D.  p , p 2 4 【解析】：法一：代數(shù)法：平方后利用數(shù)量積可得夾角范圍。 法二：幾何法：構成平行四邊形為菱形，而  a +b , a -b  為菱形的兩條對角線，選 A。 2.(2010 年新課標全國卷) a , b 為平面向量，已知 a = (4,3 )，2a +b =(3,18)，則a,b 夾角的余弦值等于 ( ) A. 8 8 16 16 B. - C. D. - 65 65 65 65

11、 【解析】：可得 b =(-5,12)  ，代入得 cos  q  = 16 65  。 ?1 3 ? ? 3 1 ? 3.(2016 年新課標全國卷 III3)已知向量 BA =? , ÷，BC =? , ÷ ? ÷ ? ÷ è ? è ?  ，則  DABC  = ( ) A.300 B.450 C.600 D.1200 【解析】：利用數(shù)量積或畫圖，選 A。 4.(高考題)設向量 a 與 b 的夾角為 q ，且  a =(3,3)  ，  r 2b -a =( -1,1) 

12、，則  cos  q  =  。 【解析】：可求得  a = 1,2  ，則 cos  q  =  3 10 10  。 5.(高考題)若  | a |=1,| b |=2, c =a +b  ，且  c ^a  ，則向量  a  與  b  的夾角為 ( ) A.  30°  B.  60°  C.  120°  D.  150° 【解析】：選 C。 6.(高考題)設非零向量  a, b ,

13、 c ，滿足 a = b = c ， a +b =c ，則 a , b 的夾角為 ( ) r r r r a -b ^ 3a +2b b ( ) ( 2 2 a =5 b =6 A.  30°  B.  60°  C.  120°  D.  150° 【解析】：三個向量構成菱形的兩條邊及一條對角線，內角為120°,60°  ，選 C。 7.(高考題)若非零向量  a, b  滿足  a =3 b = a +2b  ，則  a, b  夾角

14、的余弦值為 。 【解析】：秒殺技巧：設  b =1  ，則  a =3  ，  a +2b =3  ，平方得：  cos  q  =  -  1 3  。 r 8.(高考題)若非零向量 a, b p p A. B. 4 2  滿足  r a = 2 2 (r )(r ) ，且 ，則 3 3p p C. D. 4  r a  與 r b  的夾角為 ( ) 【解析】：秒殺方法：設 b =3 ，則 a =2 2  ，代入即可

15、，選 A。 9.(2019 年新課標全國卷 I7)已知非零向量 a , b  滿足  a =2 b  ，且 ( a -b ) ^b  ，則  a 與 b 的夾角為 ( ) A.  p p 2p 5p B. C. D. 6 3 3 6 【解析】：秒殺方法：設 b =1 ，則 a =2 ， a ×b=1  ，選 B。 10.(高考題)已知單位向量 e 與 e 的夾角為 a ，且 1 2  cos  a =  1 3  ，向量  a =3e -2e 與 b =3e -e 1 2 1 2

16、  的夾角 為 b  ，則  cos  b  = 。 【解析】： cos b = ( )( ) 3e -2e ×3e -e 1 2 1 2 3e -2e × 3e -e 1 2 1 2  )2  =  2 2 3  。 11.(2019 年新課標全國卷 III13)已知 余弦值是 。  a 、 b 為單位向量，且 a ×b=0  ，若 c =2 a - 5 b ，則 a 、 c 夾角的 【解析】： cos q =  a ×c a c  =  2a -

17、 5 a ×b ( )2 2a - 5 b  =  2 3  。 12.(2020 年新課標全國卷 III6)已知向量  a  、b  滿足 ， ，a ×b=-6  ，則  cos a , a +b  = ( ) A.  -  31 19 17 19 B. - C. D. 35 35 35 35 【解析】：選 D。 【秒殺題型五】：平面向量數(shù)量積處理垂直問題。 2 (1 ) 0 ( ) ( ) 『秒殺策略』：  a ^b ? a ×b=0  ? x

18、×x +y ×y = 1 2 1 2  0  ，是向量中作為工具最重要的一條性質，是高考題 出現(xiàn)頻率較高的題型，與立體幾何、三角函數(shù)、解析幾何等內容綜合考查的一個知識點， a =( x , y ) 1 1  ，若 a ^b  ，設法：  b =( -ly, 1  lx ) 1  。 1.(2013 年新課標全國卷 I13)已知兩個單位向量 a ，b 的夾角為 60°，c =ta +(1 -t )b ，若 b ×c=0 ，則 t = 。 【解析】： b ×c=ta ×b+ -t b =  ，代入得 t

19、=2 。 2.(2014 年遼寧卷 ) 設  a , b, c  是非零向量，已知命題 p ：若 a ×b=0 , b ×c=0 ，則 a ×c=0 ；命題 q ：若 a / / b, b / / c  ，則  a / / c  ，則下列命題中真命題是 ( ) A.  p úq  B.  p ùq  C.  ( ?p ) ù( ?q )  D.  p ú( ?q ) 【解析】：命題  p  中  a, c  可能共線，所以  p  為假命題，命題

20、  q  中平行具有傳遞性，所以  q  為真命題，選 A。 3.(2017 年新課標全國卷 I13)已知向量 a = -1,2 , b = m,1 ，若向量 a +b 【解析】：代入數(shù)量積等于 0，得 m =7。  與 a  垂直，則 m = 。 4.(高考題)在 DABC 中， DC =90 °  ， AB =(k ,1), AC =(2,3), 則 k 的值是 ( ) A.5 B.－5 C.  3 2  D.  -  3 2 【解析】：代入數(shù)量積等于 0，選 A。 5.( 高

21、考題 ) 直角坐標系 xOy 中， i , j 分別是與 x , y 軸正方向同向的單位向量，在直角三角形 ABC 中，若 AB =2i +j ， AC =3i +k j ，則 k 的可能值個數(shù)是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】：代入數(shù)量積等于 0，有兩個角可能是直角，選 B。 6.(高考題)若向量  a  與  b  不共線，  a ×b10  ，且 c =a -(  a ×a a ×b  )b  ，則向量  a  與  c  的夾角為 ( ) A.0 B. 

22、 π 6  C.  π 3  D.  π 2 【解析】：D(數(shù)量積為 0)。 q = ( ) ( ) í ? ? 7.(高考題)設 a, b 是非零向量，若函數(shù)  f ( x) =( xa +b ) ×(a -xb )  的圖象是一條直線，則必有 ( ) A.  a ^b  B.  a // b  C.  a = b  D.  a 1 b 【解析】：A(二次項系數(shù)  a ×b=0  )。 8.(高考題)設  x, y ?

23、R  ，向量  a =( x ,1), b =(1, y ), c =(2, -4)  且  a ^c , b // c ，則 a +b =  ( ) A.  5  B.  10  C.  2 5  D.10 【解析】：代入坐標可得選 B。 9.(高考題)設向量  a  =(1,  cosq  )與  b  =(－1,2  cosq  )垂直，則  cos2q  等于 ( ) A.  2 2  B.  1 2

24、  C.0 D.-1 【解析】：代入數(shù)量積等于 0，得  2 cos  2 q-  1  =  cos 2  0  ，選 C。 10.(高考題)設單位向量 m = x , y ， b = 2, -1 ，若 m ^b ，則 x +2 y  = 。 ì2x -y =0 【解析】：代入坐標得 ，得 x 2 +y 2 =1  ì ? ? í ? ?  x = y =  5 5 2 5  ，  x +2 y  =  5  。 11.(高考

25、題)已知向量  m =(  l  +1,1)  ，  n =(  l  +2,2)  ，若  ( m +n ) ^( m -n )  ，則 l = ( ) A.  -4  B.  -3  C.  -2  D.  -1 【解析】：可知 m ^n ，代入坐標使數(shù)量積等于 0，選 B。 12.(高考題)設  0

26、 tan q =  。 1 【解析】：代入數(shù)量積等于 0，得 。 2 13.( 高 考 題 ) 已 知 非 零 向 量 m, n 滿 足  4 m =3 n  ,  cos =  1 3  . 若  ( ) n ^ tm +n , 則 實 數(shù) t 的 值 為 ( ) A.4 B.-4 C. 9 4  D.  - 9 4 【解析】：設 m =3 ， n =4 ，代入坐標使數(shù)量積等于 0，選 B。 14.(2020 年新課標全國卷 I14)設向量 a =(1,-1),

27、 b =( m +1,2 m -4)  ，若  a ^b  ，則  m =  。 2 2 2 2 【解析】：5。 15.(2020 年新課標全國卷 II5)已知單位向量 a 、b 的夾角為 60°，則在下列向量中，與b 垂直的是 ( ) A.  a +2b  B.  2 a +b  C.  a -2b  D.  2 a -b 【解析】：選 D。 16.(2020年新課標全國卷II13)已知單位向量  a  、 b  的夾角為 45°  ， k

28、a -b  與 a  垂直，則k= 。 【解析】：  2 2  。 【秒殺題型 6】：三角形四心的平面向量性質。 『秒殺策略』：ⅰ.重心:  GA +GB +GC =0  ; ⅱ.外心:  OA =OB =OC  ; ⅲ.內心:  aOA +bOB +cOC =0  ; ⅳ.垂心:  OA ×OB =OB ×OC =OC ×OA 1.(2009 年新課標全國卷 9)已知  O , N , P 在 DABC 所在平面內,且  OA =OB =OC ，NA +NB +N

29、C =0  , 且  PA ×PB =PB ×PC =PC ×PA ,則點 O , N , P 依次是 DABC 的 ( ) A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、內心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、內心 【解析】：從四心向量特點可知選 C。 2.(高考題)已知 DABC ，點 M 滿足 MA +MB +MC =0  ,若存在實數(shù) m 使得 AB +AC =mAM 成立,則 m = ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】：由  MA +MB +MC =0 可知 M 是 DABC 的重心，AB +

30、AC =mAM =2 AD ，其中 D 是邊 BC 的 中點，所以  m =3  ，選 B。 3.( 高考題 )在  DABC  中,  M  是  BC  的中點,  AM =1  ,點  P  在  AM  上且滿足  AP =2 PM  ,則  PA ×(PB +PC ) 等于 ( ) A. 4 4 4 4 B. C. - D. - 9 3 3 9 【解析】： 由 AP =2 PM 可知 P 是 DABC 的重心， PA ×(

31、PB +PC )  =  PA ×2PM =-PA =- 4 9  ，選 D。 4.( 高 考 題 ) DABC 外 接圓 圓 心為  O  , 兩 條邊 上 的高 的 交點 為  H , OH =m(OA +OB +OC)  , 則 實 數(shù) m  = 。 【解析】：取特例：直角三角形，可得 m =1。 5.( 高考題 ) 點 O 是 DABC 所在平面內的一點 , 滿足  OA ×OB =OB ×OC =OC ×OA , 則點 O 是 DABC 的 ( ) A.三個內角的角平分線的交點 B.三條邊的垂直平分線的交點 C.三條中線的交點 D.三條高的交點 【解析】：  OA ×OB =OB ×OC ,即 OB ×(OA -OC ) =OB ×CA =0 ,可知 OB ^ AC ,同理得 OC ^ AB , OA ^ BC  ，所以  O  是垂心，選 D。