人教版數(shù)學九年級下冊 方向角和坡角問題(導(dǎo)學案)

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1、 28.2.2 應(yīng)用舉例 知己知彼，百戰(zhàn)不殆?！秾O子兵法·謀攻》 櫻落學校  曾澤平 第 2 課時 方向角和坡角問題 一、新課導(dǎo)入 1.課題導(dǎo)入 情景：如圖，一艘海輪位于燈塔 P 的北偏東 65°方向，距 離燈塔 80 n mile 的 A 處，它沿正南方向航行一段時間后，到達 位于燈塔 P 的南偏東 34°方向上的 B 處，這時，海輪所在的 B 處距離燈塔 P 有多遠？ 問題：怎樣由方向角確定三角形的內(nèi)角？ 2.學習目標 （1）能根據(jù)方向角畫出相應(yīng)的圖形，會用解直角三角形的 知識解決方位問題. （2）

2、知道坡度與坡角的含義，能利用解直角三角形的知識 解決與坡度有關(guān)的實際問題. 3.學習重、難點 重點：會用解直角三角形的知識解決方向角、坡度的相關(guān)問 題. 難點：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題（即數(shù)學建模）. 二、分層學習 1.自學指導(dǎo) （1）自學內(nèi)容：教材 P76 例 5. （2）自學時間：10 分鐘. （3）自學方法：獨立探索解題思路，然后同桌之間討論， 寫出規(guī)范的解題過程. （4）自學參考提綱： ①如圖，一艘海輪位于燈塔 P 的北偏東 65°方向，距離燈 塔 80 海里的 A 處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位

3、于燈 塔 P 的南偏東 34°方向上的 B 處，這時，海輪所在的 B 處距離 燈塔 P 有多遠？(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：cos25°≈0.91， sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin34°≈0.56，cos34°≈ 0.83，tan34°≈0.67） a.根據(jù)已知在圖中標出方向角：如圖所示. b.根據(jù)方向角得到三角形的內(nèi)角：在△PAB 中，∵海輪沿正 南方向航行，∴∠A= 65° ，∠B= 34° ，PA= 80 . c.作高構(gòu)造直角三角形：如圖所示. d.寫出解答過程： 在 Rt△APC 中，PC=PA·cos(90°-65°

4、)=80×cos25°≈ 72.505（n mile）. 在 Rt△BPC  中，∠B=34°,PB=  PC 72.505 = sin B sin34 °  ≈130（n mile）. ②如圖，海中有一個小島 A，它周圍 8 海里內(nèi)有暗礁，漁船 跟蹤魚群由西向東航行，在 B 點測得小島 A 在北偏東 60°的方 向上，航行 12 海里到達 D 點，這時測得小島 A 在北偏東 30°的 方向上，如果漁船不改變航向繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危 險？ 解：過 A 作 AE⊥BD 于 E.由題意知：∠ABE30°,∠AD

5、E=60°. ∴∠BAD=60°-30°=30°=∠ABD.∴AD=BD=12. ∴AE=AD·sin60°=12×  3 2  =  6 3  (海里)＞8 海里. ∴無觸礁的危險. 2.自學： 結(jié)合自學指導(dǎo)進行自學. 3.助學 （1）師助生： ①明了學情：觀察學生自學提綱的答題情況. ②差異指導(dǎo)：根據(jù)學情對學習有困難的學生進行個別或分類 指導(dǎo). （2）生助生：小組內(nèi)互相交流、研討. 4.強化：用解直角三角形的知識解方向角問題的一般思路. 1.自學指導(dǎo) （1）自學內(nèi)容：教材 P7

6、7. （2）自學時間：5 分鐘. （3）自學方法：先獨立歸納利用解直角三角形的知識解決 實際問題的一般思路，然后對照課本 P77 的內(nèi)容歸納，進行反思 總結(jié). （4）自學參考提綱： ①利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般思路： a.將實際問題抽象為數(shù)學問題；b.根據(jù)問題中的條件，適當 選用銳角三角函數(shù)等解直角三形； c.得到數(shù)學問題的答案；d.得到實際問題的答案. ②練習：如圖，攔水壩的橫斷面為梯形 ABCD，斜面坡度 i=11.5 是指坡面的鉛直高度 AF 與水平寬度 BF 的比，斜面坡度 i=1∶3 是指 DE 與 CE 的比，根據(jù)

7、圖中數(shù)據(jù)，求： a.坡角α和β的度數(shù)； b.斜坡 AB 的長(結(jié)果保留小數(shù)點后一位). 2.自學： 學生可參考自學指導(dǎo)進行自學. 3.助學 （1）師助生： ①明了學情：了學生解答問題的情況 ②差異指導(dǎo)：根據(jù)學情進行相應(yīng)指導(dǎo). （2）生助生：小組內(nèi)互相交流、研討. 4.強化 （1）坡度、坡角的含義及其關(guān)系，梯形問題的解題方法. （2）在自學參考提綱第②題中，若補充條件“壩頂寬 AD=4 m”，你能求出壩底 BC 的長嗎？ （3）利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般思路： 三、評價 1

8、.學生自我評價：在這節(jié)課的學習中你有哪些收獲？掌握了 哪些題技巧和方法？ 2.教師對學生的評價： （1）表現(xiàn)性評價：點評學生學習的主動性、小組交流協(xié)作 情況、解題方法的掌握情況等. （2）紙筆評價：課堂評價檢測. 3.教師的自我評價（教學反思）. 本課時應(yīng)先認知“方向角”“坡度”及其所代表的實際意義， 添作適當?shù)妮o助線，構(gòu)建直角三角形.然后結(jié)合解直角三角形的 有關(guān)知識加以解答，層層展開，步步深入. 一、基礎(chǔ)鞏固（70 分） 1.(10 分)已知外婆家在小明家的正東方，學校在外婆家的 北偏西 40°，外婆家到學校與小明家到學

9、校的距離相等，則學 校在小明家的（D） A.南偏東 50° B.南偏東 40° C.北偏東 50° D. 北偏東 40° 2.(10 分)如圖，某村準備在坡度為 i=1∶1.5 的斜坡上栽樹， 要求相鄰兩棵樹之間的水平距離為 5 m，則這兩棵樹在坡面上的 距離 AB  為  5 13 3  m．（結(jié)果保留根號） 3.（10 分）在菱形 ABCD 中，AB=13，銳角 B 的正弦值 sinB= 則這個菱形的面積為 65 .  5 13  ， 4.(20 分)為方便行人橫過馬路，打算修建一座高 5 m 的過 街

10、天橋.已知天橋的斜面坡度為 1∶1.5，計算斜坡 AB 的長度(結(jié) 果取整數(shù)). 解：∵i=  AC 1 = BC 1.5  ,AC=5,∴BC=1.5×5=7.5. ∴AB=  AC  2  + BC  2  = 81.25  ≈9(m). 5.(20 分)一輪船原在 A 處，它的北偏東 45°方向上有一燈 塔 P，輪船沿著北偏西 30°方向航行 4 h 到達 B 處，這時燈塔 P 正好在輪船的正東方向上.已知輪船的航速為 25 n mile/h，求 1 ,BD= 4 輪船在

11、 B 處時與燈塔的距離（結(jié)果可保留根號）. 解：過點 A 作 AC⊥BP 于點 C.由題意知：∠BAC=30°,∠ CAP=45°, AB=25×4=100. 在 ABC  中，BC= AB=50，AC= 2  3 2  AB=50 3 . 在 Rt△ACP 中，CP=AC=50  3  . ∴BP=BC+CP=50(  3  +1)(n mile). 二、綜合應(yīng)用（20 分） 6.(20 分)某型號飛機的機翼形狀如圖所示.根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計 算 AC,BD 和 AB 的長度（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位

12、）. 解：如圖所示，在 BDE 中，BE=5.00，∠DBE=30°, ∴DE=BE·tan30°= 5.77(m).  5 BE 10 3 = 3 3 cos30° 3  ≈ 在 ACF  中，CF=BE=5.00,∠FCA= °, 5 ∴AF=CF=5.00,∴AC=  2 CF=5 2 ≈7.07(m). ∴AB=BF-AF=DE+CD-AF=  5 3  3  +3.40-5.00≈1.29(m). 三、拓展延伸（10 分） 7.(10 分)海中有一小島 P，在以 P

13、為圓心、半徑為 162 n mile 的圓形海域內(nèi)有暗礁，一艘船自西向東航行，它在 A 處時測得小島 P 位于北偏東 60°方向上,且 A，P 1 之間的距離為 32 n mile.若輪船繼續(xù)向正東方向航行,輪船有無 觸礁危險?請通過計算加以說明.若有危險,輪船自 A 處開始至少 沿東偏南多少度的方向航行,才能安全通過這一海域? 解：如圖，∠PAB=30°,AP=32.∴PB= AP=16(n mile). 2 ∴PB＜16  2  n mile.∴輪船有觸礁危險. 假設(shè)輪船沿東偏南α恰好能安全通過，此時航線 AC 與⊙P 相

14、切，即 PC⊥AC. 又∵AP=32，PC=16  2  ,∴∠PAC=45°,∴α=15°. ∴輪船自 A 處開始至少沿東偏南 15 度方向航行,才能安全通 過這一海域. 【素材積累】 宋慶齡自 1913 年開始追隨孫中山，致力于中國革命事業(yè)， 謀求中華民族獨立解放。在近 70 年的漫長歲月里，經(jīng)過護法運 動(1917 年)、國民大革命(1924—1927 年)、國共對立十年(1927 —1937 年)、抗日戰(zhàn)爭(1937—1945 年)、解放戰(zhàn)爭(1945—1949 年)，她始終忠貞不渝地堅持孫中山的革命主張，堅定地和中國 人民站在一起，為祖國的繁榮富強和人民生活的美滿幸福而殫精 竭慮，英勇奮斗，在中國現(xiàn)代歷史上，譜寫了光輝的篇章。宋慶 齡因此被譽為 20 世紀最偉大的女性之一。