大物習(xí)題答案第3章 連續(xù)物體的運(yùn)動(dòng)【答案類別】

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1、 第3章 連續(xù)物體的運(yùn)動(dòng) 一 基本要求 1 理解描寫剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量，并掌握角量與線量的關(guān)系。 2 理解力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量概念，掌握剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律。 3理解角動(dòng)量概念，掌握質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)以及剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的角動(dòng)量守恒定律。 4理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能概念，能載有剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的問題中正確的應(yīng)用機(jī)械能守恒定律。 5了解流體的特點(diǎn)，掌握理想流體的概念。 6掌握理想流體的連續(xù)性方程和伯努利方程。 7了解伯努利方程的應(yīng)用。 二 基本概念 1連續(xù)介質(zhì) 在宏觀力學(xué)的范圍內(nèi)如果能忽視物體內(nèi)部的不連續(xù)性，把物體看作質(zhì)量連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)系。 2剛體 大小和形狀的變

2、化可以忽略的連續(xù)介質(zhì)。 3對(duì)定軸的力矩：力的大小與點(diǎn)到力的作用線的垂直距離的（力臂）乘積。 或 =r×F 4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的物理量。對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 。如果物體的質(zhì)量是連續(xù)分布的，上式可寫為 。 5 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量 質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)O的位矢為，質(zhì)點(diǎn)m對(duì)原點(diǎn)O的角動(dòng)量為 6 沖量矩 力矩和作用時(shí)間的乘積，記作。 7剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量 8力矩的功 9力矩的功率 10剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 11流體 處于液態(tài)和氣態(tài)的物體的統(tǒng)稱。特點(diǎn)是物體各部分之間很容易發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，即流動(dòng)性。

3、 12理想流體 絕對(duì)不可壓縮和完全沒有黏性的流體。 13定常流動(dòng) 流體流經(jīng)空間任一給定點(diǎn)的速度是確定的，并且不隨時(shí)間變化。在流速較低時(shí)定常流動(dòng)的條件是能夠得到滿足的。 14流線 為了形象地描述流體的運(yùn)動(dòng), 在流體中畫出一系列曲線,使曲線上每一點(diǎn)的切線方向與流經(jīng)該點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)的速度方向相同, 這種曲線稱為流線。 15流管 在定常流動(dòng)中,通過流體中的每一點(diǎn)都可以畫一條流線。由流線圍成的管狀區(qū)域, 就稱為流管。 16流量 單位時(shí)間內(nèi)流過某一截面的流體體積, 稱為流體流過該截面的體積。 三 基本規(guī)律 1剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角量與線量的關(guān)系 =R = R 2轉(zhuǎn)動(dòng)定律 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛

4、體的角加速度與所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比，。 3相加性原理 對(duì)同一轉(zhuǎn)軸而言，剛體總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各部分轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。 4平行軸定理 質(zhì)量為m的剛體對(duì)過它質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是,如果有另一軸與該軸平行，兩軸之間的距離為d,那么剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 5質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理 對(duì)同一參考點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量 6質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受的對(duì)參考點(diǎn)的合外力矩為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量為一恒矢量。 7剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理 作用在剛體上的沖量矩等于剛體角動(dòng)量的增量。 8剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律 當(dāng)剛體所受的的合外力矩為零，或者不受

5、合外力的作用，剛體的角動(dòng)量保持不變。 9剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 合外力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所作的功，等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量，即 。 10理想流體的連續(xù)性方程 理想流體作定常流動(dòng)時(shí), 流體的速率與流管截面積的乘積是一個(gè)恒量, = 恒量。 11伯努利方程 作定常流動(dòng)的理想流體 四 難點(diǎn)解析與問題討論 1轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用與牛頓運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用相似。牛頓運(yùn)動(dòng)定律應(yīng)用的基礎(chǔ)是受力解，而對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用，則不僅要進(jìn)行受力解，還要進(jìn)行力矩解。按力矩解可用轉(zhuǎn)動(dòng)定律列出剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程并求解出結(jié)果。 在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用中還常常涉及到與牛頓運(yùn)動(dòng)定律的

6、綜合。題目的復(fù)雜性相對(duì)較大，這也是大家注意的問題。 問題3.１如圖3.1所示，一輕桿（不計(jì)質(zhì)量）長度為2，兩端各固定一小球，A球質(zhì)量為2m，B球質(zhì)量為m，桿可繞過中心的水平軸O在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，求桿與豎直方向成角時(shí)的角加速度。 圖3.1 解 輕桿連接兩個(gè)小球構(gòu)成一個(gè)簡單的剛性質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)形式為繞O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，應(yīng)該用轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解 　　 ????????????????????????????（1） 先解系統(tǒng)所受的合外力矩。系統(tǒng)受外力有三個(gè)，即A、B受到的重力和軸的支撐作用力。軸的作用力對(duì)軸的力臂為零，故力矩為零，系統(tǒng)只受兩個(gè)重力矩作用

7、。以順時(shí)針方向作為運(yùn)動(dòng)的正方向，則A球受力矩為正，B球受力矩為負(fù)，兩個(gè)重力的力臂相等為，故合力矩 ? 　　???????????? ?(2) 系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為兩個(gè)小球（可看作質(zhì)點(diǎn)）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和 　　???????????????????? ? (3) 將（2）（3）式代入（1）式 有 ????????????????????? 　　 解得 問題3.2如圖3.2所示，有一勻質(zhì)細(xì)桿長度為，質(zhì)量為m，可繞其一端的水平軸O在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)它自水平位置自由下

8、擺到角位置時(shí)角加速度有多大？ 圖3.2 解 桿受到兩個(gè)力的作用，一個(gè)是重力，一個(gè)是O軸作用的支撐力。O軸的作用力的力臂為零，故只有重力提供力矩。重力是作用在物體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的，但對(duì)于剛體，可以看作是合力作用于重心。即桿的中心，力臂為。桿對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。按轉(zhuǎn)動(dòng)定律有 　　 即 ????????????????????? 　 　 解得 ???????????????????? 問題3.3如圖3.3所示，一固定光滑斜面上裝有一勻質(zhì)圓盤A作為定滑輪，輪上繞有輕繩（不計(jì)質(zhì)量），繩上連接兩重物B和C。已知A、B、C

9、的質(zhì)量均為m，輪半徑為r，斜面傾角。若輪軸的摩擦可忽略，輪子和繩子之間無相對(duì)滑動(dòng)，求裝置啟動(dòng)后兩重物的加速度及繩中的張力？ 圖3.3 解 A、B、C構(gòu)成一個(gè)連接體，A輪沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，B物體向下運(yùn)動(dòng)，C物體沿斜面向上運(yùn)動(dòng)。設(shè)A的角加速度為，B、C加速度的大小相等設(shè)為a，繩子中張力的大小在A、B間設(shè)為、（），在A、C間設(shè)為、（）。和不相等，否則輪A受合力矩將為零，就不可能隨繩子運(yùn)動(dòng)了，這顯然不符合題意。 ??? 對(duì)滑輪A，滑輪所受的重力的力心在軸上，輪軸的支撐力也在軸上，它們的力臂均為零，故力矩也為零，所以只有繩子的張力和提供力矩，按轉(zhuǎn)動(dòng)定律有 對(duì)重物B，按牛頓運(yùn)動(dòng)定

10、律有 　　 對(duì)重物C，按牛頓運(yùn)動(dòng)定律有 　　 由于輪子和繩子之間無相對(duì)滑動(dòng)，A輪邊緣的切向加速度和B、C加速度的大小相等，，又按角量與線量關(guān)系有 聯(lián)立以上四個(gè)方程可解得 ? 　 　 2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量和動(dòng)能 單個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量： 單個(gè)剛體對(duì)軸的角動(dòng)量： 共軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體系統(tǒng)的角動(dòng)量： 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能歸結(jié)于質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能，定義為組成剛體的各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能之和，即 其中為第個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速率，是它的質(zhì)量。按角量與線量關(guān)系，其中為質(zhì)點(diǎn)到軸的距離，為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，有 由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義可知，其中的是剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，故有

11、 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能公式是從質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能公式推導(dǎo)而來，最終的形式也很象質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能公式。在公式的推導(dǎo)中我們看到，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能采用角量描述比用線量描述方便，這是由于在轉(zhuǎn)動(dòng)中各質(zhì)點(diǎn)角速度相同而線速度各不相同的緣故。在已知?jiǎng)傮w轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的情況下，上述公式計(jì)算剛體的動(dòng)能是非常方便的，要求大家必須掌握。 3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的綜合應(yīng)用 在一些剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問題中，會(huì)涉及到角動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒的綜合應(yīng)用。下面我們通過一些例題來予以說明。 問題3.4如圖3.4所示，一勻質(zhì)木棒長度=1m，質(zhì)量為=10kg，可繞其一端的光滑水平軸O在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。初時(shí)棒自然下垂，一質(zhì)量=0.05kg的子彈沿水平方向以速度擊入棒下端（嵌入其中

12、），求棒獲得的角速度及最大上擺角。 圖3.3 解 子彈擊入木棒的過程可以看成是繞軸做轉(zhuǎn)動(dòng)，因此在碰撞過程中可以將子彈和木棒作為一個(gè)共軸轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)來討論。子彈擊入木棒的過程中，軸的支撐力及重力都不提供力矩（力臂為零），故系統(tǒng)對(duì)軸O的角動(dòng)量守恒。擊入前只有子彈有角動(dòng)量 　　 擊入后設(shè)棒獲得的角速度為，棒和子彈整體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 　 　????????????????????? (1)擊入后系統(tǒng)的角動(dòng)量為 　　 由角動(dòng)量守恒定律有，即 　　 可解得棒的角速度 ? (2) 在棒上

13、擺的過程中只有保守力重力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。以棒剛開始上擺時(shí)的狀態(tài)作為棒和子彈重力勢(shì)能的零點(diǎn)，則此時(shí)系統(tǒng)只有動(dòng)能，其中J和見（1）式和（2）式。棒上擺到最大角度時(shí)動(dòng)能為零，系統(tǒng)只有重力勢(shì)能。棒的重力勢(shì)能為，子彈的重力勢(shì)能為。由機(jī)械能定恒定律有 　　 可解出　　 最大上擺角　　 4伯努利方程 上式各項(xiàng)分別表示單位體積流體的壓力能、重力勢(shì)能和動(dòng)能。 在沿流線運(yùn)動(dòng)過程中，總和保持不變即總能量守恒。顯然，流動(dòng)中速度增大，壓強(qiáng)就減??；速度減小， 壓強(qiáng)就增大；速度降為零，壓強(qiáng)就達(dá)到最大(理論上應(yīng)等于總壓)。飛機(jī)機(jī)翼產(chǎn)生舉力，就在于下翼面速度低而壓強(qiáng)大，上翼面速度高而壓強(qiáng)小 ，因而合力向

14、上。方程適用于全流場(chǎng)任意兩點(diǎn)之間。 習(xí)題 3.1關(guān)于剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，下列說法中正確的是（ ） （A）只取決于剛體的質(zhì)量,與質(zhì)量的空間分布和軸的位置無關(guān)． （B）取決于剛體的質(zhì)量和質(zhì)量的空間分布，與軸的位置無關(guān)． （C）取決于剛體的質(zhì)量、質(zhì)量的空間分布和軸的位置． （D）只取決于轉(zhuǎn)軸的位置，與剛體的質(zhì)量和質(zhì)量的空間分布無關(guān)． 解 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的物理量。對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，如果物體的質(zhì)量是連續(xù)分布的，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。所以剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取決于剛體的質(zhì)

15、量、質(zhì)量的空間分布和軸的位置．故選。 3.2幾個(gè)力同時(shí)作用在一個(gè)具有光滑固定轉(zhuǎn)軸的剛體上，如果這幾個(gè)力的矢量和為零，則此剛體（ ） (A) 必然不會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)． (B) 轉(zhuǎn)速必然不變． (C) 轉(zhuǎn)速必然改變． (D) 轉(zhuǎn)速可能不變，也可能改變． 解 剛體所受幾個(gè)力的矢量和為零，合外力矩可能等于零，也可能不等于零。根據(jù)剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律，可能等于零，也可能不等于零，所以轉(zhuǎn)速可能不變，也可能改變．故選。 3.3在下列說法中，錯(cuò)誤的是（ ） ? A．剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)的角速度相同，線速度則不同

16、； ???B．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律為，式中、、均為對(duì)同一條固定 ??????? 軸而言的，否則該式不成立； ???C．剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于剛體上各質(zhì)元的動(dòng)能之和； ???D．對(duì)給定的剛體而言，它的質(zhì)量和形狀是一定的，則其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是唯一確定 ??????? 的。 解 對(duì)給定的剛體而言，它的質(zhì)量和形狀一定時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量還與軸的位置有關(guān)．故選。 ??????? 3.4一個(gè)人站在有光滑固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)平臺(tái)上,雙臂伸直水平地舉起二啞鈴,在該人把此二啞 鈴水平收縮到胸前的過程中，人、啞鈴與轉(zhuǎn)動(dòng)平臺(tái)組成的系統(tǒng)的（ ） （A）機(jī)械能守恒，角動(dòng)量守恒；（B）機(jī)械能守恒，角動(dòng)量

17、不守恒； （C）機(jī)械能不守恒，角動(dòng)量守恒；（D）機(jī)械能不守恒，角動(dòng)量不守恒。 解 人把此二啞鈴水平收縮到胸前的過程中，勢(shì)能不變，動(dòng)能變化，所以機(jī)械能不守恒，但系統(tǒng)所受合外力矩等于零，所以角動(dòng)量守恒。故選。 3.5有一半徑為R的水平圓轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞通過其中心的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，開始時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)以勻角速度ω0轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)有一質(zhì)量為m的人站在轉(zhuǎn)臺(tái)中心．隨后人沿半徑向外跑去，當(dāng)人到達(dá)轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為（ ） (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． 解 人、水平圓轉(zhuǎn)臺(tái)組成的系統(tǒng)，在人沿半徑向外跑去的過程中所受合外力矩等于零，角動(dòng)量守恒。所以

18、有。故選。 3.6花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員繞過自身的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)兩臂伸開，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0，角速度為 ω0，然后她將兩臂收回，使轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減少為J0，這時(shí)她轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度變?yōu)? （ ） （A） （B）、。 （C）、3ω0 （D）、 ( ) 解 花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員繞過自身的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，所受合外力矩等于零，角動(dòng)量守恒。所以有 。故選。 3.7如圖所示，一光滑細(xì)桿上端由光滑鉸鏈固定，桿可繞其上端在任意角度的錐面上繞豎直軸

19、作勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。有一小環(huán)套在桿的上端處。開始使桿在一個(gè)錐面上運(yùn)動(dòng)起來，而后小環(huán)由靜止開始沿桿下滑。在小環(huán)下滑過程中，小環(huán)、桿和地球系統(tǒng)的機(jī)械能以及小環(huán)與桿對(duì)軸的角動(dòng)量這兩個(gè)量中（ ） (A) 機(jī)械能、角動(dòng)量都守恒； (B) 機(jī)械能守恒、角動(dòng)量不守恒； (C) 機(jī)械不守恒、角動(dòng)量守恒； 習(xí)題3.7圖 (D) 機(jī)械能、角動(dòng)量都不守恒. 解 在小環(huán)下滑過程中，小環(huán)、桿和地球組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)只有重力作功，和外力矩等于零，所以機(jī)械能、角動(dòng)量都守恒。 3.8一均質(zhì)細(xì)桿可繞垂直它且離其一端（為桿長）的水平固定軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。

20、桿的質(zhì)量為，當(dāng)桿自由懸掛時(shí)，給它一個(gè)起始角速度，如桿恰能持續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)而不作往復(fù)擺動(dòng)則需要（已知細(xì)桿繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，一切摩擦不計(jì)）（ ） (A) (B) (C) (D) . 習(xí)題3.8圖 解 細(xì)桿在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，只有重力作功，故細(xì)桿和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒。 以為重力勢(shì)能零位置，設(shè)細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到最高位置時(shí)的角速度為，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有，要使桿恰能持續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)而不作往復(fù)擺動(dòng)則需要。由此可求得。故選。 2 填空題 3.9若作用于一力學(xué)系統(tǒng)上外力的合力為零，則外力的合力矩________

21、____（填一定或不一定）為零；這種情況下力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)量、角動(dòng)量、機(jī)械能三個(gè)量中一定守恒的量是________________． 解 若作用于一力學(xué)系統(tǒng)上外力的合力為零，則外力的合力矩不一定為零，這種情況下力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)量一定守恒。 3.10一均勻細(xì)直棒，可繞通過其一端的光滑固定軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)．使棒從水平位置自由下擺，棒是否作勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)？________________．理由是________________． 解 棒從水平位置自由下擺，所受的合外力矩不等于恒量，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律 。 3.11飛輪半徑為0.2 m，轉(zhuǎn)速為150 ，因受制動(dòng)而均勻減速。經(jīng)30秒后停止轉(zhuǎn)動(dòng)，則

22、此段時(shí)間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為______________________。 解 飛輪轉(zhuǎn)速為150 ，即；因受制動(dòng)而均勻減速，；得，飛輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為。 3.12如圖所示，一質(zhì)量為m，長為l的均勺細(xì)棒，繞圖示轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小為__________。 習(xí)題3.12圖 解 根據(jù)連續(xù)物體地轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可得均勺細(xì)棒對(duì)圖示轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小為。 3.13均勻細(xì)棒OA可繞通過其一端O而與棒垂直的水平固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。今使棒從水平位置由靜止開始自由下落，在棒擺到豎直位置的過程中，角速度變化是___________，角加速度變化是_________________。

23、 習(xí)題3.13圖 解 棒從水平位置由靜止開始自由下落，，所受的合外力矩為重力矩，重力矩不斷變小，角加速度不斷變小，角速度不斷變大。 3.14長為、質(zhì)量為的均質(zhì)桿可繞通過桿一端的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，開始時(shí)桿豎直下垂，如圖所示。現(xiàn)有一質(zhì)量為的子彈以水平速度射入桿上點(diǎn)，并嵌在桿中. ， 習(xí)題3.14圖 則子彈射入后瞬間桿的角速度= 。 解 子彈射入桿瞬間前后子彈和桿組成的系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，有，整理得。 3.15一質(zhì)量為m，半徑為R的均勻圓盤，求通過盤中心O并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 解 在圓盤上以和為半徑作圓，所取得

24、的質(zhì)量元為 根據(jù)連續(xù)物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義有 題3.15圖 3.16在邊長為的六邊形頂點(diǎn)上，分別固定有質(zhì)量都是的6個(gè)質(zhì)點(diǎn)，如圖所示。試求此系統(tǒng)繞下列轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：（1）設(shè)轉(zhuǎn)軸Ⅰ、Ⅱ在質(zhì)點(diǎn)所在的平面內(nèi)，如圖所示；（2）設(shè)轉(zhuǎn)軸Ⅲ垂直于質(zhì)點(diǎn)所在的平面，如圖所示。 解 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有 以Ⅰ為軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ； 以Ⅱ?yàn)檩S轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ； 習(xí)題3.16圖 以Ⅲ為軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 。 3.17一半圓形細(xì)桿，半徑為R，質(zhì)量為，求對(duì)過細(xì)桿二端AA`軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 解 半圓的長度為C = πR，質(zhì)量的線密度為λ = m/C． 習(xí)題3.17圖 在半圓

25、上取一弧元ds = Rdθ，其質(zhì)量為dm = λds， 到AA`軸的距離為r = Rsinθ，繞此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dJ = r2dm = λR3sin2θdθ， 半圓繞AA`軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 3.18一長為1 m的均勻直棒可繞過其一端且與棒垂直的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)．抬起另一端使棒向上與水平面成60°，然后無初轉(zhuǎn)速地將棒釋放．已知棒對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，其中m和l分別為棒的質(zhì)量和長度．求： (1) 放手時(shí)棒的角加速度； (2) 棒轉(zhuǎn)到水平位置時(shí)的角加速度． 解（1）根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律 棒所受的合外力矩為重力產(chǎn)生的力矩 習(xí)題3.18圖 所以

26、 （2）棒轉(zhuǎn)到水平位置時(shí)重力產(chǎn)生的力矩 3.19以初速度0將質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)以傾角從坐標(biāo)原點(diǎn)處拋出。設(shè)質(zhì)點(diǎn)在Oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，以坐標(biāo)原點(diǎn)為參考點(diǎn)，計(jì)算任一時(shí)刻： （1）作用在質(zhì)點(diǎn)上的力矩； （2）質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量。 解（1）質(zhì)點(diǎn)僅受重力作用，質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的位矢為 習(xí)題3.19圖 （2） 3.20如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián)，繩子的質(zhì)量可以忽略，它與定滑輪之間無滑動(dòng)。假設(shè)定滑輪質(zhì)量為、半徑為 ,其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，試求該物體由靜止開始下落的過程中，下落速度與時(shí)間的關(guān)系。 解 受力解如圖，可建立方程： ┄① ┄②

27、 ，┄③ 習(xí)題3.20圖 聯(lián)立，解得：，， 考慮到，∴，有：。 或： 或： 3.21設(shè)電風(fēng)扇的功率恒定不變?yōu)?，葉片受到的空氣阻力矩與葉片旋轉(zhuǎn)的角速度成正比，比例系數(shù)為，并已知葉片轉(zhuǎn)子的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。（1）原來靜止的電扇通電后秒時(shí)刻的角速度；（2）電扇穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)速為多大？（3）電扇以穩(wěn)定轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)時(shí)，斷開電源后風(fēng)葉還能繼續(xù)轉(zhuǎn)多少角度？ 解（1）已知，而動(dòng)力矩， 通電時(shí)根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律有： 代入兩邊積分有： ，可求得：； （2）見上式，當(dāng)時(shí)，電扇穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)速：； （3）斷開電源時(shí)，電扇的轉(zhuǎn)速為，只有作用，那么： ，考慮到，有：，

28、得： 。 3.22有一質(zhì)量為、長為的均勻細(xì)棒，靜止平放在滑動(dòng)摩擦系數(shù)為m的水平桌面上，它可繞通過其端點(diǎn)且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。另有一水平運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為的小滑塊，從側(cè)面垂直于棒與棒的另一端A相碰撞，設(shè)碰撞時(shí)間極短。已知小滑塊在碰撞前后的速度分別為和，如圖所示。求碰撞后從細(xì)棒開始轉(zhuǎn)動(dòng)到停止轉(zhuǎn)動(dòng)的過程所需的時(shí)間。 (已知棒繞點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量) 解 由碰撞時(shí)角動(dòng)量守恒，考慮到和方向相反，以逆時(shí)針方向?yàn)檎?，有? 習(xí)題3.22圖 ，得： 又∵細(xì)棒運(yùn)動(dòng)起來所受到的摩擦力矩可由積分求得： ，利用，有： ，得：。 3.23如圖所示，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，半徑為；物體的質(zhì)量為，用一細(xì)繩與

29、勁度系數(shù)的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸上的摩擦忽略不計(jì)。求：（1）當(dāng)繩拉直、彈簧無伸長時(shí)使物體由靜止而下落的最大距離；（2）物體的速度達(dá)最大值時(shí)的位置及最大速率。 解（1）設(shè)彈簧的形變量為，下落最大距離為。 由機(jī)械能守恒：，有： 習(xí)題3.23圖 ； （2）當(dāng)物體下落時(shí)，由機(jī)械能守恒：， 考慮到，有：， 欲求速度最大值，將上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，且令，有： ，將代入，有：， ∴當(dāng)m時(shí)物體速度達(dá)最大值，有： ，代入數(shù)值可算出： 。 3.24如圖所示，半徑分別是和、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別是和的兩個(gè)圓柱體，可繞垂直于圖面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，最初大圓柱體的角速度為，現(xiàn)在將小圓柱體向左靠近，

30、直到它碰到大圓柱體為止。由于相互間的摩擦力，小圓柱體被帶著轉(zhuǎn)動(dòng)，最后，當(dāng)相對(duì)滑動(dòng)停止時(shí)，兩圓柱體各以恒定角速度沿相反方向轉(zhuǎn)動(dòng)。試問這種情況角動(dòng)量是否守恒？為什么？小圓柱的最終角速度多大？ 解 角動(dòng)量守恒，因?yàn)槟Σ亮Φ牧貫?。 由，有小圓柱的最終角速度為： 。 習(xí)題3.24圖 3.25如圖所示，一根長，質(zhì)量為的均勻直棒，其一端掛在一個(gè)水平光滑軸上而靜止在豎直位置，今有一子彈，質(zhì)量為，以水平速度射入棒的下端而不復(fù)出。求棒和子彈開始一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度。 解：由于從子彈進(jìn)入棒到二者開始一起運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的時(shí)間極短，在這一過程中棒的位置基本不變，即仍然保持豎直，如圖3.36所

31、示。因此，對(duì)于木棒和子彈系統(tǒng)，在子彈沖入過程中，系統(tǒng)所受的外力(重力和軸的支持力)對(duì)于軸O的力矩都是零。這樣，系統(tǒng)對(duì)軸O的角動(dòng)量守恒。以和分別表示子彈和木棒開始一起運(yùn)動(dòng)時(shí)木棒端點(diǎn)的速度和角速度。則角動(dòng)量守恒給出 習(xí)題3.25圖   再利用關(guān)系式就可解得：   注意，在子彈射入棒的過程中，木棒和子彈系統(tǒng)的總動(dòng)量并不守恒。 3.26 如圖所示，將單擺和一等長的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點(diǎn)，桿的質(zhì)量也與單擺的擺錘相等。開始時(shí)直桿自然下垂，將單擺擺錘拉到高度，令它自靜止?fàn)顟B(tài)下擺，于鉛垂位置和直桿作彈性碰撞。求碰撞后直桿下端達(dá)到的高度。 解：

32、碰撞前單擺擺錘的速度為， 令碰撞后直桿的角速度為ω，擺錘的速度為， 由角動(dòng)量守恒，有  （1) 式中桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J＝。 在彈性碰撞過程中機(jī)械能守恒 習(xí)題3.26圖 （2) (1)(2)聯(lián)立解得  ， 按機(jī)械能守恒，擺錘達(dá)到的高度顯然為，而桿的質(zhì)心達(dá)到的高度滿足  ， 由此得 3.27如圖所示，質(zhì)量為、半徑為R的圓盤，可繞一無摩擦的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。圓盤上繞有輕繩，一端懸掛質(zhì)量為m的物體。問物體由靜止下落高度h時(shí)，其速度的大小為多少？設(shè)繩的質(zhì)量忽略不計(jì)。 解 圓盤和物體的受力如圖，對(duì)于

33、圓盤，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定律 式中Δθ為圓盤在力矩的作用下轉(zhuǎn)過的角度，ω0與ω為圓盤在開始和終了時(shí)的角速度，J為圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 對(duì)于物體, 式與為物體在開始和終了時(shí)的速度。 由牛頓第三定律 由于繩與圓盤之間無相對(duì)滑動(dòng)，故有 習(xí)題3.27圖 題3.24圖 解上述方程，可得 3.28 某一沖床利用飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能通過曲柄聯(lián)桿機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)，帶動(dòng)沖頭在鐵板上穿孔。已知飛輪的半徑為＝0.4ｍ，質(zhì)量為＝600，可以看成均勻圓盤。飛輪的正常轉(zhuǎn)速是＝240，沖一次孔轉(zhuǎn)速減低20％。求沖一次孔，沖頭做

34、了多少功？ 解 以和分別表示沖孔前后飛輪的角速度，即：  ＝２π／６０＝８π ＝（1－0.2）＝0.8＝6.4π  由轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能定理，可以求出沖一次孔鐵板阻力對(duì)沖頭—飛輪所做的功為  ＝－＝－ 由題意知，＝，所以  ＝ 代入數(shù)據(jù)＝600ｋｇ，ｒ＝0.4ｍ，＝８π，得 ＝  ＝－5.45×Ｊ 所以沖一次孔，沖頭做功  ＝5.45×Ｊ 3.29 一長為，質(zhì)量為的均勻細(xì)桿ＡＢ，用摩擦可忽

35、略的柱鉸鏈懸掛于Ａ處，如圖所示。若欲使靜止的桿ＡＢ自鉛垂位置恰好能轉(zhuǎn)至水平位置，求桿必須獲得最小的角速度。 解 取桿ＡＢ為研究對(duì)象，作用于桿的力有鉸鏈處的支撐力（不做功）和重力，桿在重力作用下由豎直位置轉(zhuǎn)向水平位置。設(shè)桿在豎直位置時(shí)最小角速度為，則桿具有的初動(dòng)能為＝。桿恰好轉(zhuǎn)至水平位置時(shí)，＝０，在此過程中，重力矩的功為  ＝ 根據(jù)動(dòng)能定理，可得：  ＝０－ 將＝代入上式，得：  ＝－ 習(xí)題3.29圖 所以  3.30人從大船上跳上岸容易還是從小船上跳上岸容易？為什么？在這兩種情況下，人和船組成的系

36、統(tǒng)動(dòng)量變化和能量變化是否相同？ 解 設(shè)大船質(zhì)量為，小船質(zhì)量為，人的質(zhì)量為。人要能跳上岸的條件是要求人相對(duì)于岸能有一定的初速度。 若忽略摩擦阻力，對(duì)人和船組成的系統(tǒng)，人在跳上岸的過程中水平方向所受外力為零，故沿水平方向的動(dòng)量守恒。 人從大船上跳：， 大船獲得動(dòng)能： 人從小船上跳：， 小船獲得動(dòng)能： 由動(dòng)能定理，人對(duì)大船所做的功： 人對(duì)小船所做的功： 很顯然：。所以人從大船上跳上岸容易。 當(dāng)人從大船和從小船上分別跳上岸時(shí)大船和小船獲得的動(dòng)量相同，但動(dòng)能不同。通過此題，我們可以弄清楚為什么在物理學(xué)中要同時(shí)引進(jìn)動(dòng)量和動(dòng)能的概念。它們是不同的物理量，分別反映了物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的某一方面的性質(zhì)。對(duì)同一個(gè)事物也只有從不同的角度去把握它，才能對(duì)事物有一個(gè)比較全面的認(rèn)識(shí)。 3.31 水在管中作定常流動(dòng)，在某點(diǎn)處的流速是，壓強(qiáng)是；在比它高處的流速為，壓強(qiáng)是多少？（水的密度，） 解 水在管中作定常流動(dòng)，可以利用伯努利方程求解。 此題中，，；，。將這些已知條件代入伯努利方程可求得 4 開放性習(xí)題 3.26 以“子彈頭”為關(guān)鍵詞，在互聯(lián)網(wǎng)上查閱資料簡述高速列車車頭做成“子彈頭”形狀所涵蓋的物理學(xué)原理及其優(yōu)點(diǎn)。 24 教資材料