2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第24講 三角恒等變換（2）（含答案）

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1、2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第24講 三角恒等變換（2） 一、選擇題（共2小題） 1. 若 sin2α=14，且 α∈π4,π2，則 cosα?sinα 的值為 ?? A. 32 B. ?32 C. ±32 D. 34 2. 已知 sinα?sinβ=1?32，cosα?cosβ=12，則 cosα?β 的值為 ?? A. 12 B. 32 C. 34 D. 1 二、多選題（共2小題） 3. 在 △ABC 中，若 sinC+sinB?A=sin2A，則 △ABC 的形狀 ??． A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等邊三角形 D. 銳角三角形

2、 4. 已知函數(shù) fx=sin5π6?2x?2sinx?π4?cosx+3π4，則下列關(guān)于函數(shù) fx 的描述正確的是 ?? A. fx 在區(qū)間 0,π3 上單調(diào)遞增 B. fx 圖象的一個對稱中心是 π3,0 C. fx 圖象的一條對稱軸是 x=?π6 D. 將 fx 的圖象向右平移 π3 個單位長度后，所得函數(shù)圖象關(guān)于 y 軸對稱 三、填空題（共8小題） 5. 已知 cosα+π6=13，α∈0,π2，則 sinα= ?． 6. 若 cosα=13，則 cos2α= ?．

3、7. 已知 tanα?5π4=15，則 tanα= ?． 8. 計算：tan65°?tan35°?33tan65°tan35°= ?． 9. 已知 tanαtanα+π4=?23，則 sin2α+π4 的值是 ?． 10. 已知 θ 是第四象限角，且 cosθ=45 ，那么 sinθ+π4cos2θ?6π 的值為 ? . 11. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知角 α 的頂點和 點 O 重合，始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，終邊上

4、一點 M 坐標(biāo)為 1,3，則 tanα+π4= ?． 12. 若 tanθ=?34，θ∈π2,π，則 sinθ+π6= ?． 四、解答題（共12小題） 13. 證明下列恒等式： （1）cos4α?sin4α=cos2α； （2）11?tanα?11+tanα=tan2α． 14. 證明下列恒等式： （1）cos3π2+α=sinα； （2）sin3π2?α=?cosα． 15. 已知 sinα=55，且 α 為第二象限角． （1）求：sin2α 的值． （2）求：cosα?π4

5、 的值． 16. 已知 A，B 都是銳角，sinA=1314，sinB=1114．求： （1）sinA+B 的值； （2）求 A+B 的值． 17. 已知 tanα+β=12，cosβ=7210，且 α，β∈0,π2． （1）求 cos2β?sin2β+sinβcosβ 的值． （2）求 sin2α+β 的值． 18. 已知 α，β 為銳角，cosα=17，cosα+β=?1114． （1）求 sinα+β 的值． （2）求 cosβ 的值． 19. 已知函數(shù) fx=sin2x?sin2x?π6，x∈R． （1）求 fx 的最小正周期；

6、（2）求 fx 在區(qū)間 ?π3,π4 上的最大值和最小值． 20. 已知函數(shù) fx=cosxsinx?3cosx，x∈R． （1）求 fx 的最小正周期和最大值； （2）討論 fx 在區(qū)間 π3,2π3 上的單調(diào)性． 21. 已知函數(shù) fx=23cos2x+sin2x?3+1，x∈R． （1）求 fx 的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）當(dāng) x∈?π4,π4 時，求 fx 的值域． 22. 某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)： ① sin213°+cos217°?sin13°cos17°；② sin215°+cos215°?sin15°

7、cos15°；③ sin218°+cos212°?sin18°cos12°；④ sin2?18°+cos248°?sin?18°cos48°；⑤ sin2?25°+cos255°?sin?25°cos55°． （參考公式：sinα±β=sinαcosβ±cosαsinβ， cosα±sinβ=cosαcosβ?sinαsinβ， sin2α=2sinαcosα， cos2α=cos2α?sin2α=2cos2α?1=1?2sin2α） （1）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)； （2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為一三角恒等式 sin2α+cos23

8、0°?α?sinαcos30°?α= ?，并證明你的結(jié)論． 23. 已知函數(shù) fx=23sinxcosx+2cos2x?1x∈R． （1）求函數(shù) fx 的最小正周期及在區(qū)間 0,π2 上的最大值和最小值； （2）若 fx0=65，x0∈π4,π2，求 cos2x0 的值． 24. 已知函數(shù) fx=sin2x+2sinx?sinπ2?x+3sin23π2?x． （1）若 tanx=12，求 fx 的值； （2）求函數(shù) fx 最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間． 答案 1. B 2. B 3. A， B 【解析】因為

9、sinC+sinB?A=sin2A， 所以 sinA+B+sinB?A=sin2A． 所以 sinAcosB+cosAsinB+sinB?cosA?cosBsinA=2sinAcosA， 所以 2sinBcosA=2sinAcosA． 所以 cosAsinA?sinB=0， 所以 cosA=0 或 sinA=sinB． 因為 0

10、sin2x?cos2x=sin2x?π6. 由 2kπ?π2≤2x?π6≤2kπ+π2k∈Z， 得 kπ?π6≤x≤kπ+π3k∈Z， 當(dāng) k=0 時，0,π3??π6,π3，故A正確； fπ3=sinπ2=1≠0，故B不正確； f?π6=?sinπ2=?1，故C正確； 將 fx 的圖象向右平移 π3 個單位長度得到函數(shù) y=sin2x?5π6 的圖象，顯然不關(guān)于 y 軸對稱，故D不正確． 5. 26?16 6. ?79 7. 32 【解析】由題意得 tanα?5π4=?tan5π4?α=?tanπ4?α=?1?tanα1+tanα=15， 解得 ta

11、nα=32． 8. 33 9. 210 【解析】由 tanαtanα+π4=tanαtanα+11?tanα=tanα1?tanαtanα+1=?23， 得 3tan2α?5tanα?2=0， 解得 tanα=2，或 tanα=?13． sin2α+π4=sin2αcosπ4+cos2αsinπ4=22sin2α+cos2α=222sinαcosα+cos2α?sin2αsin2α+cos2α=222tanα+1?tan2αtan2α+1, 當(dāng) tanα=2 時，上式 =222×2+1?2222+1=210； 當(dāng) tanα=?13 時， 上式 =222×?13+1??

12、132?132+1=210． 綜上，sin2α+π4=210． 10. 5214 【解析】依題意，有 sinθ=?35 ， sinθ+π4cos2θ?6π=sinθcosπ4+cosθsinπ4cos2θ=?35×22+45×222×452?1=5214 . 11. ?2?3 12. 33?410 13. （1） cos4α?sin4α=cos2α+sin2αcos2α?sin2α=cos2α?sin2α=cos2α． ??????（2） 11?tanα?11+tanα=1+tanα?1?tanα1+tanα1?tanα=2tanα1?tan2α=tan2α．

13、 14. （1） cos3π2+α=cosπ2+π+α=?sinπ+α=??sinα=sinα. ??????（2） sin3π2?α=sinπ2+π?α=cosπ?α=?cosα. 15. （1） 因為 α 為第二象限角， 所以 cosα<0， 又因為 sinα=55， 所以 cosα=?255， sin2α=2sinαcosα=2?55??255=?45. ??????（2） cosα?π4=cosαcosπ4+sinαsinπ4=?255?22+55?22=?1010. 16. （1） 32． ??????（2） 120°． 17. （1） 因為 β∈0,π2，

14、又因為 cosβ=7210， 所以 sinβ=210， 所以 cos2β?sin2β+sinβcosβ=98100?2100+14100=1110. ??????（2） 因為 sinβ=210，cosβ=7210， 所以 tanβ=17， 又因為 tanα+β=12， 所以 tanα+tanβ1?tanαtanβ=12， 所以 2tanα+27=1?17tanα， 157tanα=57， tanα=13， 又因為 α∈0,π2， 所以 sinα=1010，cosα=31010， 所以 sin2α=2sinαcosα=2×1010×31010=35,

15、 cos2α=cos2α?sin2α=90100?10100=45, sin2α+β=sin2αcosβ+sinβcos2α=35×7210+210×45=25250=22. 18. （1） 因為 α∈0,π2，β∈0,π2， 所以 α+β∈0,π， 所以 cosα=17， 所以 sinα=1?149=437， 因為 cosα+β=?1114， 所以 sinα+β=1??11142=5314． ??????（2） cosβ=cosα+β?α， cosβ=cosα+βcosα+sinα+βsinα=?1114×17+5314×437=4998=12. 19. （1） 由

16、已知，有 fx=1?cos2x2?1?cos2x?π32=1212cos2x+34sin2x?12cos2x=34sin2x?14cos2x=12sin2x?π6, 所以的最小正周期 T=2π2=π； ??????（2） 當(dāng) ?π2+2kπ≤2x?π6≤π2+2kπ，k∈Z 時，函數(shù) fx 單調(diào)遞增， 所以 ?π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z 時，fx 單調(diào)遞增， 所以 fx 在區(qū)間 ?π3,?π6 上是減函數(shù)， 在區(qū)間 ?π6,π4 上是增函數(shù)， f?π3=?14，f?π6=?12，fπ4=34， 所以 fx 在區(qū)間 ?π3,π4 上的最大值為 34，最小值為 ?1

17、2． 20. （1） 由題意，得 fx=cosxsinx?3cos2x=12sin2x?321+cos2x=12sin2x?32cos2x?32=sin2x?π3?32. 所以 fx 的最小正周期 T=2π2=π，其最大值為 1?32． ??????（2） 當(dāng) x∈π3,23π 時，令 t=2x?π3， 則 t∈π3,π，當(dāng) t∈π3,π2 時，fx 單調(diào)遞增； 當(dāng) t∈π2,π 時，fx 單調(diào)遞減， 即：當(dāng) x∈π3,512π 時，fx 單調(diào)遞增；當(dāng) x∈512π,23π 時，fx 單調(diào)遞減． 21. （1） 由題意 fx=sin2x+32cos2x?1+1=sin2

18、x+3cos2x+1=2sin2x+π3+1. 由 2kπ?π2≤2x+π3≤2kπ+π2k∈Z，得 2kπ?5π6≤2x≤2kπ+π6k∈Z， 所以 kπ?5π12≤x≤kπ+π12k∈Z， 所以 fx 的單調(diào)遞增區(qū)間為 kπ?5π12,kπ+π12k∈Z． ??????（2） 因為 x∈?π4,π4， 所以 2x+π3∈?π6,5π6， 所以 sin2x+π3∈?12,1， 所以 fx∈0,3． 22. （1） 選擇②式： sin215°+cos215°?sin15°cos15°=1?12sin30°=34, 所以該常數(shù)為 34． ??????（2） 34，

19、證明如下： sin2α+cos230°?α?sinαcos30°?α=sin2α+cos30°cosα+sin30°sinα2?sinαcos30°cosα+sin30°sinα=sin2α32cosα+12sinα2?sinα32cosα+12sinα=sin2α+34cos2α?14sin2α=34sin2α+34cos2α=34. 23. （1） fx=3sin2x+cos2x=2sin2x+π6， 所以 T=π， 又 x∈0,π2， 所以 2x+π6∈π6,7π6， 由函數(shù)圖象知 fx∈?1,2，即最大值為 2，最小值為 ?1． ??????（2） 由題意 sin2x0

20、+π6=35， 而 x0∈π4,π2， 所以 2x0+π6∈2π3,7π6， 所以 cos2x0+π6=?1?sin22x0+π6=?45， 所以 cos2x0=cos2x0+π6?π6=?45×32+35×12=3?4310. 24. （1） fx=sin2x+2sinx?cosx+3cos2x=sin2x+2sinxcosx+3cos2xsin2x+cos2x=tan2x+2tanx+3tan2x+1=175. ??????（2） fx=sin2x+2sinx?cosx+3cos2x=2sin2x+π4+2． fx 的最小正周期為 T=2π2=π． 由 π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπ，解得 π8+kπ≤x≤5π8+kπ，k∈Z． 所以 fx 的單調(diào)遞減區(qū)間為 π8+kπ,5π8+kπ，k∈Z． 第9頁（共9 頁）