高中數(shù)學 2023屆大一輪復習 第48講 圓的方程（含答案）

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1、2023屆大一輪復習 第48講 圓的方程 一、選擇題（共6小題） 1. 以點 2,?1 為圓心，2 為半徑的圓的標準方程是 ?? A. x+22+y?12=2 B. x+22+y?12=2 C. x?22+y+12=2 D. x?22+y+12=2 2. 【復習題B組】設圓的方程是 x?a2+y+b2=a2+b2 其中 a>0 及 b>0，給出下列三種說法：（1）該圓的圓心 a,b．（2）該圓過原點．（3）該圓與 x 軸相交于兩個不同點．其中 ?? A. 只有（1）與（2）正確 B. 只有（1）與（3）正確 C. 只有（2）與（3）正確 D. （1）、（2

2、）與（3）都正確 3. 方程 x?1=1?y?12 表示的曲線為 ?? A. 一個圓 B. 兩個圓 C. 半個圓 D. 兩個半圓 4. 若直線 x+y+a=0 是圓 x2+y2?2y=0 的一條對稱軸，則 a 的值為 ?? A. 1 B. ?1 C. 2 D. ?2 5. 已知 △ABC 的頂點坐標分別是 A5,1，B1,1，C1,3，則 △ABC 的外接圓方程為 ?? A. x+32+y+22=5 B. x+32+y+22=20 C. x?32+y?22=20 D. x?32+y?22=5 6. 若過點 2,1 的圓與兩坐標軸都相切，則

3、圓心到直線 2x?y?3=0 的距離為 ?? A. 55 B. 255 C. 355 D. 455 二、多選題（共1小題） 7. 已知圓 C 關于 y 軸對稱，經(jīng)過點 1,0 且被 x 軸分成兩段，弧長比為 1:2，則圓 C 的方程為 ?? A. x2+y+332=43 B. x2+y?332=43 C. x?32+y2=43 D. x+32+y2=43 三、填空題（共11小題） 8. 圓 x2+y2?x+y?1=0 的圓心坐標是 ?． 9. 直線 ax+y+1=0 被圓 x2+y2?2ax+a=0 截得的弦長為

4、 2，則實數(shù) a 的值是 ? . 10. 已知圓 C 經(jīng)過 A5,1，B1,3 兩點，圓心在 x 軸上，則圓 C 的方程為 ?． 11. 若圓 x2+y2?4mx+2m?3y+4=0 被直線 2x?2y?3=0 所截得的弦最長，則實數(shù) m 的值為 ?． 12. 已知圓 O:x2+y2=5 和點 A1,2，則過點 A 且與圓 O 相切的直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于 ?． 13. 直線 x?y?2=0 被圓 x?a2+y2=4 截得的弦長

5、為 22，則實數(shù) a 的值為 ??． 14. 過點 P?4,0 的直線 l 與圓 C:x?12+y2=5 相交于 A，B 兩點，若點 A 恰好是線段 PB 的中點，則直線 l 的方程為 ?． 15. 以點 2,?1 為圓心且與直線 3x+4y?7=0 相切的圓的標準方程是 ?． 16. 已知圓 O 過點 A0,0，B0,4，C1,1，點 D3,4 到圓 O 上的點的最小距離為 ?． 17. 已知實數(shù) x1，x2，y1，y2 滿足：x12+y12=1，x22+y22=1，x

6、1x2+y1y2=12，則 x1+y1?12+x2+y2?12 的最大值為 ?． 18. 已知 Ax1,y1，Bx2,y2 為圓 M：x2+y2=4 上的兩點，且 x1x2+y1y2=?12，設 Px0,y0 為弦 AB 上一點，且 AP=2PB，則 3x0+4y0?10 的最小值為 ?． 四、解答題（共6小題） 19. 已知直線 l:x?y+2=0 與圓 C:x?a2+y?22=4 相交于 A，B 兩點． （1）當 a=?2 時，求弦 AB 的垂直平分線方程； （2）當直線 l 被圓 C 所截得的弦長為 2

7、3 時，求實數(shù) a 的值． 20. 船只航行前方的河道上有一圓拱橋，在正常水位時，拱橋的最高點距水面 9?m，圓拱橋內水面寬 18?m，船只在水面以上部分高為 6.5?m，船頂部寬為 4?m，船行無阻．近日水位暴漲了 2.7?m，船只已經(jīng)不能通過橋洞了，船員必須加重船載，降低船身，試問：船身至少降低多少，才能通過橋洞?（精確到 0.01?m） 21. （1）已知點 A?2,?5，B6,?1，求以線段 AB 為直徑的圓的方程； （2）求圓心在直線 y=?x 上，且過兩點 A2,0，B0,?4 的圓的方程． 22. 某高速公路隧道內設雙行線公路，其截面由一段圓弧和一

8、個長方形構成（如圖所示）．已知隧道總寬度 AD 為 63?m，行車道總寬度 BC 為 211?m，側墻 EA，F(xiàn)D 高為 2?m，弧頂高 MN 為 5?m． （1）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，求圓弧所在的圓的方程； （2）為保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有 0.5?m．請計算車輛通過隧道的限制高度是多少． 23. 已知，以點 Ct,2t 為圓心的圓與 x 軸交于 O，A 兩點，與 y 軸交于 O，B 兩點． （1）求證：S△AOB 為定值； （2）設直線 y=?2x+4 與圓 C 交于點 M，N，若 OM=ON，求圓 C 的方程．

9、 24. 已知直線 l:y=x+m 與圓 C:x2+y2?2x+4y?4=0 相交于 A，B 不同兩點． （1）求 m 的取值范圍； （2）設以 AB 為直徑的圓經(jīng)過原點，求直線 l 的方程． 答案 1. C 2. C 3. D 【解析】原式平方后，得 x?12+y?12=1，x≥1． 當 x≥1 時，x?12+y?12=1； 當 x≤?1 時，x+12+y?12=1，如圖． 4. B 【解析】由題意可得，直線過圓心． 由 x2+y2?2y=0，得圓的標準方程為 x2+y?12=1，則圓心 0,1，將圓心坐標代入直線 x+y+a=0 可得

10、a=?1． 5. D 【解析】由 △ABC 的頂點坐標分別是 A5,1，B1,1，C1,3， 可得 AB⊥CB，故 △ABC 的外接圓的圓心為斜邊 AC 的中點 3,2， 半徑為 12AC=12?5?12+1?32=5， 故圓的方程為 x?32+y?22=5． 6. B 【解析】由于圓上的點 2,1 在第一象限，若圓心不在第一象限， 則圓與至少與一條坐標軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限． 設圓心的坐標為 a,a，則圓的半徑為 a． 圓的標準方程為 x?a2+y?a2=a2． 由題意可得 2?a2+1?a2=a2， 可得 a2?6a+5=0，解得 a=1 或

11、a=5， 所以圓心的坐標為 1,1 或 5,5， 圓心 1,1 到直線 2x?y?3=0 的距離均為 d1=2×1?1?35=255； 圓心 5,5 到直線 2x?y?3=0 的距離均為 d2=2×5?5?35=255． 圓心到直線 2x?y?3=0 的距離均為 d=?25=255． 所以，圓心到直線 2x?y?3=0 的距離為 255． 7. A， B 【解析】由已知圓心在 y 軸上，且被 x 軸所分劣弧所對圓心角為 2π3，設圓心 0,a，半徑為 r，則 rsinπ3=1，rcosπ3=a，解得 r=23，即 r2=43，a=33，即 a=±33，故圓 C 的方程為

12、 x2+y±332=43． 8. 12,?12 【解析】圓 x2+y2?x+y?1=0，即 x?122+y+122=32，故該圓的圓心為 12,?12． 9. ?2 【解析】圓 x2+y2?2ax+a=0 可化為 x?a2+y2=a2?a ， 所以圓心為：a,0，半徑為：a2?a ， 圓心到直線的距離為：d=a2+1a2+1=a2+1 ， 因為直線 ax+y+1=0 被圓 x2+y2?2ax+a=0 截得的弦長為 2 ， 所以 a2+1+1=a2?a 所以 a=?2 10. x?22+y2=10 【解析】設所求圓 C 的方程為 x?a2+y2=r2，

13、把所給兩點坐標代入方程得 5?a2+12=r2,1?a2+32=r2, 解得 a=2,r2=10, 所以所求圓 C 的方程為 x?22+y2=10． 11. 1 【解析】圓 x2+y2?4mx+2m?3y+4=0 的圓心坐標為 2m,?m+32， 因為圓 x2+y2?4mx+2m?3y+4=0 被直線 2x?2y?3=0 所截得的弦最長， 所以圓心在直線上， 所以 4m+2m?3?3=0， 所以 m=1． 12. 254 【解析】因為點 A1,2 在圓 x2+y2=5 上，故過點 A 的圓的切線方程為 x+2y=5，令 x=0 得 y=52，令 y=0 得 x=

14、5， 故 SΔ=12×52×5=254． 13. 0 或 4 14. x±3y+4=0 15. x?22+y+12=1 16. 5 17. 3+2 18. 10?52 【解析】由題設可得：AP=x0?x1,y0?y1，PB=x2?x0,y2?y0， 因為 AP=2PB， 所以 x0?x1=2x2?x0,y0?y1=2y2?y0, 即 3x0=x1+2x2,3y0=y1+2y2, 所以 9x02+y02=x1+2x22+y1+2y22=x12+y12+4x22+y22+4x1x2+y1y2． 因為 Ax1,y1，Bx2,y2 為圓 M：x2+y2=4 上

15、的兩點， 且 x1x2+y1y2=?12， 所以 9x02+y02=4+4×4?2=18，即 x02+y02=2， 所以點 P 的軌跡為圓 x2+y2=2， 又 3x0+4y0?10=5×3x0+4y0?1032+42， 其幾何意義為圓 x2+y2=2 上一點到直線 3x+4y?10=0 的距離的 5 倍， 又因為圓 x2+y2=2 的圓心 0,0 到直線 3x+4y?10=0 的距離 d=?1032+42=2， 所以圓 x2+y2=2 上一點到直線 3x+4y?10=0 的距離的最小值 d?r=2?2， 所以 3x0+4y0?10=5×3x0+4y0?1032+42≥52

16、?2=10?52． 19. （1） x+y=0． ??????（2） a=±2． 20. 建立如圖所示的直角坐標系， 由題意，得 A9,?9． 設 B2,y1?9

17、為 77?2.7<6.5， 所以船要通過橋洞，船身至少需要降低約 6.5+2.7?77≈0.43m． 21. （1） 已知點 A?2,?5，B6,?1，則以線段 AB 為直徑的圓的圓心為 2,?3 、半徑為 AB2=1282+42=25，故它的方程為 x?22+y+32=20． ??????（2） 由圓心在直線 y=?x 上，可設圓的圓心為 Ca,?a，再根據(jù)圓過兩點 A2,0，B0,?4，可得 CA=CB，即 a?22+?a2=a2+?a+42， 所以 a=3，圓心為 3,?3 、半徑為 CA=a?22+?a2=10，故要求的圓的方程為 x?32+y+32=10． 22. （1）

18、方法一： 以 EF 所在直線為 x 軸，以 MN 所在直線為 y 軸，以 1?m 為單位長度建立直角坐標系， 則有 E?33,0，F(xiàn)33,0，M0,3． 由于所求圓的圓心在 y 軸上，所以設圓的方程為 x?02+y?b2=r2． 因為 F33,0，M0,3 都在圓上， 所以 332+b2=r2,02+3?b2=r2. 解得 b=?3,r2=36. 所以圓的方程為 x2+y+32=36． 方法二： 以 EF 所在直線為 x 軸，以 MN 所在直線為 y 軸，以 1?m 為單位長度建立直角坐標系． 設所求圓的圓心 G，半徑為 r，則點 G 在 y 軸上． 在 Rt△G

19、OE 中，OE=33，GE=r，OG=r?3． 由勾股定理 r2=332+r?32 解得 r=6． 則圓心坐標為 0,3． 圓的方程為 x2+y+32=36． ??????（2） 設限高為 h，作 CP⊥AD，交圓于點 P，則 CP=h+0.5． 將點 P 的坐標 x=11 代入圓的方程得 112+y+32=36，得 y=2 或 y=?8（舍去）． 所以 h=CP?0.5=y+DF?0.5=2+2?0.5=3.5?m． 答：車輛的限制高度為 3.5?m． 23. （1） 因為 ∠AOB=90°，所以 Ct,2t 為 AB 中點， 所以 A2t,0，B0,4t，所以 S△AOB

20、=122t×4t=4． ??????（2） 因為 OM=ON，所以 O 在線段 MN 的中垂線上，所以 OC⊥MN， 所以 kOC?kMN=?1，所以 2tt×?2=?1，所以 t=±2， 所以圓心 C2,1或?2,?1，r=OC=5， 經(jīng)驗證，當圓心 C 為 ?2,?1 時，直線 y=?2x+4 與圓 C 相離． 所以圓 C 的方程為 x?22+y?12=5． 24. （1） 由 y=x+m,x2+y2?2x+4y?4=0 得 2x2+2m+1x+m2+4m?4=0， 因為直線 l:y=x+m 與圓 C:x2+y2?2x+4y?4=0 相交于 A，B 不同兩點， 所以 Δ

21、=4m+12?8m2+4m?4>0， 解得 ?3?32