大學(xué)物理《普通物理學(xué)簡(jiǎn)明教程》第十二章電磁感應(yīng) 電磁場(chǎng)【答案類別】

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1、 第十二章 電磁感應(yīng) 電磁場(chǎng) 問題 12-1 如圖,在一長直導(dǎo)線中通有電流,為一矩形線圈,試確定在下列情況下，上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向：(1)矩形線圈在紙面內(nèi)向右移動(dòng)；(2)矩形線圈繞AD軸旋轉(zhuǎn)；（3）矩形線圈以直導(dǎo)線為軸旋轉(zhuǎn). 解 導(dǎo)線在右邊區(qū)域激發(fā)的磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，并且由可知，離導(dǎo)線越遠(yuǎn)的區(qū)域磁感強(qiáng)度越小，即磁感線密度越?。?dāng)線圈運(yùn)動(dòng)時(shí)通過線圈的磁通量會(huì)發(fā)生變化，從而產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)．感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向由楞次定律確定． （1）線圈向右移動(dòng)，通過矩形線圈的磁通量減少，由楞次定律可知，線圈中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向?yàn)轫槙r(shí)針方向． （2）線圈繞AD軸旋轉(zhuǎn)，當(dāng)從到時(shí)

2、，通過線圈的磁通量減小，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向?yàn)轫槙r(shí)針方向．從到時(shí)，通過線圈的磁通量增大，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向?yàn)槟鏁r(shí)針. 從到時(shí)，通過線圈的磁通量減少，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向?yàn)轫槙r(shí)針．從到時(shí)，通過線圈的磁通量增大，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向. （2）由于直導(dǎo)線在空間激發(fā)的磁場(chǎng)具有軸對(duì)稱性，所以當(dāng)矩形線圈以直導(dǎo)線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，通過線圈的磁通量并沒有發(fā)生變化，所以，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為零. 12-2 當(dāng)我們把條形磁鐵沿銅質(zhì)圓環(huán)的軸線插入銅環(huán)中時(shí),銅環(huán)內(nèi)有感應(yīng)電流和感應(yīng)電場(chǎng)嗎？ 如用塑料圓環(huán)替代銅質(zhì)圓環(huán),環(huán)中仍有感應(yīng)電流和感應(yīng)電場(chǎng)嗎？ 解 當(dāng)把條形磁鐵沿銅質(zhì)圓環(huán)的軸線插入銅環(huán)過程中，穿過銅環(huán)的磁通量增加，

3、銅環(huán)中有感應(yīng)電流和感應(yīng)電場(chǎng)產(chǎn)生；當(dāng)用塑料圓環(huán)替代銅質(zhì)圓環(huán)，由于塑料圓環(huán)中的沒有可以移動(dòng)的自由電荷，所以環(huán)中無感應(yīng)電流和感應(yīng)電場(chǎng)產(chǎn)生. 12-3 如圖所示銅棒在均勻磁場(chǎng)中作下列各種運(yùn)動(dòng)，試問在哪種運(yùn)動(dòng)中的銅棒上會(huì)有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)？其方向怎樣？設(shè)磁感強(qiáng)度的方向鉛直向下．（１）銅棒向右平移［圖］；（２）銅棒繞通過其中心的軸在垂直于的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)［圖］；（３）銅棒繞通過中心的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)［圖］． 解 在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)體所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為，在圖與中的運(yùn)動(dòng)情況中，的方向與方向垂直，銅棒中沒有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)．在圖中，銅棒繞中心軸運(yùn)動(dòng)，左右兩段產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小相等，

4、方向相反，所以銅棒中總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為零． 12-4 有一面積為的導(dǎo)電回路，其的方向與均勻磁場(chǎng)的的方向之間的夾角為．且的值隨時(shí)間變化率為.試問角為何值時(shí)，回路中的值最大；角為何值時(shí)，回路中的值最??？請(qǐng)解釋之． 解 由，可得當(dāng)時(shí)，回路中的值最大，當(dāng)時(shí)，回路中的值最小. 12-5 有人認(rèn)為可以采用下述方法來測(cè)量炮彈的速度．在炮彈的尖端插一根細(xì)小的永久磁鐵，那么，當(dāng)炮彈在飛行中連續(xù)通過相距為的兩個(gè)線圈后，由于電磁感應(yīng)，線圈中會(huì)產(chǎn)生時(shí)間間隔為的兩個(gè)電流脈沖．您能據(jù)此測(cè)出炮彈速度的值嗎？如，，炮彈的速度為多少？ 解 帶有小磁鐵的炮彈飛向線圈，線圈中會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流， 測(cè)得

5、的兩個(gè)電流脈沖產(chǎn)生的時(shí)間間隔即炮彈飛過這兩個(gè)線圈間距所用的時(shí)間. 由題意可知, 炮彈的速度為 12-6 如圖所示,在兩磁極之間放置一圓形的線圈,線圈的平面與磁場(chǎng)垂直.問在下述各種情況中，線圈中是否產(chǎn)生感應(yīng)電流？并指出其方向．（１）把線圈拉扁時(shí)；（２）把其中一個(gè)磁極很快地移去時(shí)；（３）把兩個(gè)磁極慢慢地同時(shí)移去時(shí)． 解 這三種情況中, 通過的磁通量均減小,線圈中均會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流, 從上往下看, 感應(yīng)電流的方向沿順時(shí)針方向. 12-7 如圖所示,均勻磁場(chǎng)被限制在半徑為的圓柱體內(nèi),且其中磁感強(qiáng)度隨時(shí)間的變化率常量,試問: 在回路和上各點(diǎn)的是否均為零？各點(diǎn)

6、的是否均為零？和各為多少？ 解 由于磁場(chǎng)只存在于圓柱體內(nèi)，在回路上各點(diǎn)為常量，在回路上各點(diǎn)為零. 空間中各點(diǎn)的感生電場(chǎng)分布為 可見在回路和上各點(diǎn)的均不為零. 對(duì)于在回路 對(duì)于回路 12-8 一根很長的銅管鉛直放置，有一根磁棒由管中鉛直下落．試述磁棒的運(yùn)動(dòng)情況． 解 長直銅管可以看作由許多銅線圈組成，當(dāng)磁棒下落，每通過一個(gè)線圈，線圈中的磁通量都會(huì)發(fā)生變化，在下落過程中，銅管中始終會(huì)有感應(yīng)電流產(chǎn)生，并且感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)的方向與磁棒磁場(chǎng)方向相反，因此，磁棒始終受到銅管對(duì)它的阻礙作用. 12

7、-9 有一些礦石具有導(dǎo)電性，在地質(zhì)勘探中常利用導(dǎo)電礦石產(chǎn)生的渦電流來發(fā)現(xiàn)它，這叫電磁勘探．在示意圖中，為通有高頻電流的初級(jí)線圈，Ｂ為次級(jí)線圈，并連接電流計(jì)Ｇ，從次級(jí)線圈中的電流變化可檢測(cè)磁場(chǎng)的變化．當(dāng)次級(jí)線圈Ｂ檢測(cè)到其中磁場(chǎng)發(fā)生變化時(shí)，技術(shù)人員就認(rèn)為在附近有導(dǎo)電礦石存在．你能說明其道理嗎？利用問題12-9圖相似的裝置，還可確定地下金屬管線和電纜的位置，你能提供一個(gè)設(shè)想方案嗎？ 解 該檢測(cè)方法利用的原理是電磁感應(yīng)。通有高頻電流的初級(jí)線圈A產(chǎn)生的交變磁場(chǎng)在導(dǎo)電礦石內(nèi)產(chǎn)生渦電流，由渦電流產(chǎn)生的變化磁場(chǎng)，使其附近的次極線圈中B產(chǎn)生感應(yīng)電流，引起電流計(jì)Ｇ中指針偏轉(zhuǎn)。（在探測(cè)中要使初、次級(jí)線圈的相對(duì)

8、位置不變，以保證次級(jí)線圈B中感應(yīng)電流的變化由導(dǎo)電礦石中渦電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)引起。） 要確定地下金屬管線和電纜的位置，可以將通有高頻電流的初級(jí)線圈和接有電流計(jì)的次級(jí)線圈Ｂ組成一個(gè)探測(cè)儀，使探測(cè)儀沿地面運(yùn)動(dòng)。當(dāng)靠近金屬管線時(shí)，管線中由于初級(jí)線圈的作用會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流，同時(shí)使得線圈B中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，電流計(jì)指針發(fā)生偏轉(zhuǎn)，當(dāng)電流計(jì)指針變化最大時(shí)，可以判斷出管線在探測(cè)儀正下方. 12-10 如圖所示，一個(gè)鋁質(zhì)圓盤可以繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)．為了使圓盤在力矩作用下作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，常在圓盤的邊緣處放一永久磁鐵．圓盤受到力矩作用后先作加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)角速度增加到一定值時(shí)，就不再增加，試說明其作用原理． 解 我們可以把鋁質(zhì)

9、圓盤看作許多根從盤中心到邊緣的鋁棒，當(dāng)圓盤繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，通過磁場(chǎng)的鋁棒切割磁力線，鋁棒中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，其方向由盤心指向邊緣，同時(shí)在盤內(nèi)閉合回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，圓盤受到與外力矩相反的安培力力矩的作用.最初，外力矩大于安培力矩，圓盤做加速運(yùn)動(dòng)，角速度增大，同時(shí)安培力矩增大，導(dǎo)致圓盤加速度減小，當(dāng)安培力力矩等于外力矩時(shí)，圓盤角加速度等于零，角速度增加到最大，安培力矩不再增加，圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng). 12-11 如圖所示，設(shè)有一導(dǎo)體薄片位于與磁感強(qiáng)度垂直的平面上．（１）如果突然改變，則在點(diǎn)附近的改變可不可以立即檢查出來？為什么？（２）若導(dǎo)體薄片的電阻率為零，這個(gè)改變?cè)邳c(diǎn)是始終檢查不出來的，為什

10、么？（若導(dǎo)體薄片是由低電阻的材料做成的，則在點(diǎn)幾乎檢查不出導(dǎo)體薄片下側(cè)磁場(chǎng)的變化，這種電阻率很小的導(dǎo)體能屏蔽磁場(chǎng)變化的現(xiàn)象叫做電磁屏蔽） 解 （1）不能立即檢測(cè)出來．電磁場(chǎng)改變，在導(dǎo)體薄片內(nèi)產(chǎn)生渦電流，會(huì)有電磁場(chǎng)產(chǎn)生，而電磁場(chǎng)在導(dǎo)體中衰減很快，不能通過導(dǎo)體，即大部分電磁場(chǎng)都會(huì)被導(dǎo)體屏蔽掉，所以對(duì)于導(dǎo)體一邊電磁場(chǎng)的突變，在導(dǎo)體另外一邊不能立即檢測(cè)出來. （2）導(dǎo)體電阻率越小，即電導(dǎo)率越高，電磁場(chǎng)在其中的衰減越快，導(dǎo)體電磁屏蔽的效果越顯著，當(dāng)導(dǎo)體薄片的電阻率為零時(shí)，電磁場(chǎng)能被完全屏蔽，因此，導(dǎo)體一邊電磁場(chǎng)突變，在導(dǎo)體另外一邊始終檢測(cè)不出來. 12-12 如果要設(shè)計(jì)一個(gè)自感較大的線圈，應(yīng)

11、該從哪些方面去考慮？ 解 線圈的自感只與線圈匝數(shù)、線圈大小和線圈中磁介質(zhì)有關(guān)，要設(shè)計(jì)自感較大的線圈，需要用較細(xì)的導(dǎo)線繞制，以增加單位長度內(nèi)的匝數(shù)，并選取較大磁導(dǎo)率的磁介質(zhì)防于線圈內(nèi)． 12-13 有的電阻元件是用電阻絲繞成的,為了使它只有電阻而沒有自感,常用雙繞法(如圖).試說明為什么要這樣繞. 解 將電阻絲雙繞成一組線圈，當(dāng)通入電流，相鄰兩根線圈中的電流流向相反，它們產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向相反，通過回路線圈中總的磁通量為零，因此沒有自感. 12-14有兩個(gè)線圈,長度相同,半徑接近相等,試指出在下列三種情況下,哪一種情況的互感最大？哪一種情況的互感最小？(1)兩個(gè)線圈靠得很近,

12、軸線在同一直線上；(2)兩個(gè)線圈相互垂直,也是靠得很近；(3)一個(gè)線圈套在另一個(gè)線圈的外面. 解 互感的大小表示了兩線圈的耦合程度，兩線圈的互感除了跟線圈大小，形狀、匝數(shù)有關(guān)，還與它們的相互位置有關(guān). 若一線圈中電流所產(chǎn)生的磁場(chǎng)貫穿另一個(gè)線圈的部分越大，它們之間的互感越大. 在本題所述的三種情況中，第三種情況的互感最大，第二種情況中的互感最小. 12-15試從以下三個(gè)方面來比較靜電場(chǎng)和有旋電場(chǎng)：(1)產(chǎn)生的原因；(2)電場(chǎng)線的分布；(3)對(duì)導(dǎo)體中電荷的作用. 解 （1）靜電場(chǎng)是由空間中的靜止電荷所激發(fā)的，有旋電場(chǎng)是由變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生的； （2）靜電場(chǎng)中電場(chǎng)線是有源場(chǎng)，始于正電荷，

13、終止于負(fù)電荷；有旋電場(chǎng)的電場(chǎng)線是閉合的； （3）它們對(duì)導(dǎo)體中的電荷都有作用力，但有旋電場(chǎng)對(duì)電荷的作用力不是庫侖力，它對(duì)電荷作用促使電荷積累，形成電勢(shì)差. 12-16 變化電場(chǎng)所產(chǎn)生的磁場(chǎng),是否也一定隨時(shí)間發(fā)生？變化磁場(chǎng)所產(chǎn)生電場(chǎng)，是否也一定隨時(shí)間發(fā)生變化？ 解 不一定．當(dāng)電場(chǎng)隨時(shí)間變化恒定時(shí)，它所產(chǎn)生的磁場(chǎng)恒定；當(dāng)磁場(chǎng)隨時(shí)間變化恒定時(shí)，它所產(chǎn)生的電場(chǎng)也是恒定的． 習(xí)題 12-1 一鐵心上繞有線圈匝，已知鐵心中磁通量與時(shí)間的關(guān)系為 ，式中的單位為，的單位為.求在時(shí)，線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì). 解 線圈中總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 在時(shí)，

14、 12-2 如圖所示,用一根硬導(dǎo)線彎成半徑為的一個(gè)半圓. 使這根半圓形導(dǎo)線在磁感強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中以頻率旋轉(zhuǎn),整個(gè)電路的電阻為,求感應(yīng)電流的表達(dá)式和最大值. 解 由于導(dǎo)線的轉(zhuǎn)動(dòng)，通過面積為的半圓形導(dǎo)線的磁通量發(fā)生改變，導(dǎo)線中會(huì)產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)．取初始時(shí)刻時(shí)，導(dǎo)線平面的法線與磁場(chǎng)的夾角. 經(jīng)過時(shí)間導(dǎo)線平面轉(zhuǎn)過的角度為 所以穿過回路的磁通量隨時(shí)間的變化式為 由法拉第電磁感應(yīng)定律可知，回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

15、回路中感應(yīng)電流為 感應(yīng)電流的最大值為 12-3 有一測(cè)量磁感強(qiáng)度的線圈,其截面積,匝數(shù)匝,電阻.線圈與一內(nèi)阻的沖擊電流計(jì)相連.若開始時(shí)線圈的平面與均勻磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度相垂直,然后線圈的平面很快地轉(zhuǎn)到與的方向平行.此時(shí)從沖擊電流計(jì)中測(cè)得電荷值.問此均勻磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度的值為多少？ 解 線圈平面轉(zhuǎn)動(dòng)前后，通過線圈的磁鏈變化為 此過程中流過導(dǎo)體截面的電量為 由上式可知，磁感強(qiáng)度為 12-4 如

16、圖所示,一長直導(dǎo)線中通有的電流,在距導(dǎo)線處,放一面積為,匝的小圓線圈,線圈中的磁場(chǎng)可看作是均勻的.今在內(nèi)把此線圈移至距長直導(dǎo)線處. 求:(1)線圈中平均感應(yīng)電動(dòng) 勢(shì)；（2）設(shè)線圈的電阻為，求通過線圈橫截面的感應(yīng)電荷． 解 帶電直導(dǎo)線激發(fā)的磁場(chǎng)為非均勻磁場(chǎng)，由于線圈面積較小，我們可以認(rèn)為穿過線圈的磁場(chǎng)為均勻磁場(chǎng). 當(dāng)線圈在、處，通過線圈平面的磁鏈分別為 所以線圈中平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 （2）通過線圈橫截面的感應(yīng)電荷為 12-5 如圖所示，把一半徑為的半圓形導(dǎo)線置于磁感強(qiáng)度為的均勻磁場(chǎng)中，當(dāng)導(dǎo)線以勻

17、速率向右移動(dòng)時(shí)，求導(dǎo)線中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大?。囊欢穗妱?shì)較高？ 解 如圖所示，連接導(dǎo)線兩端，使導(dǎo)線構(gòu)成一閉合回路，此閉合回路由直導(dǎo)線、半圓形導(dǎo)線組成，由于磁場(chǎng)分布均勻，所以此閉合回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為零，. 所以半圓形導(dǎo)線中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小與直導(dǎo)線中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小相等,即 由可知, 端電勢(shì)較高. 12-6 長度為的銅棒，以距端點(diǎn)處為支點(diǎn)，并以角速率繞通過支點(diǎn)且垂直于銅棒的軸轉(zhuǎn)動(dòng)．設(shè)磁感強(qiáng)度為的均勻磁場(chǎng)與軸平行，求棒兩端的電勢(shì)差. 解 以支點(diǎn)為原點(diǎn)，在棒上距原點(diǎn)處取一小段線元, 其速度為

18、，則它產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為 將上式積分可得 12-7 如圖所示，長度為的導(dǎo)體棒，處于均勻磁場(chǎng)中，并繞軸以角速度旋轉(zhuǎn)，棒與轉(zhuǎn)軸夾角恒為，磁感強(qiáng)度與轉(zhuǎn)軸平行. 求棒在圖示位置處的電動(dòng)勢(shì). 解 如圖，在棒上距點(diǎn)為處取一小段線元，其速度為，所以導(dǎo)體棒產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為 12-8 如圖所示，金屬桿以勻速率平行于一長直導(dǎo)線移動(dòng)，此導(dǎo)線通有電流．問：此桿中的電動(dòng)勢(shì)為多大？桿的哪一端電動(dòng)勢(shì)較高？ 解 如圖所示，建立坐標(biāo)系

19、，在處取一小段線元，此處的磁感強(qiáng)度為 所以，桿中電動(dòng)勢(shì)為 電動(dòng)勢(shì)方向由指向，端電動(dòng)勢(shì)較高． 12-9 如圖所示，在一“無限長”直載流導(dǎo)線的近旁放置一個(gè)矩形導(dǎo)體線框．該線框在垂直于導(dǎo)線方向以勻速率向右移動(dòng)．求在圖示位置處線框中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向． 解 矩形線框中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為各邊框?qū)Ь€產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)之和． 由可知，矩形線框中、與導(dǎo)線垂直，它們產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為零，所以線框的電動(dòng)勢(shì)為、兩邊所產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)之和． 在圖示位置處，導(dǎo)線、中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)分別為

20、 這兩邊導(dǎo)線中電動(dòng)勢(shì)方向相反，此時(shí)線框中總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 其方向?yàn)轫槙r(shí)針． 12-10 如圖所示，一長為、質(zhì)量為的導(dǎo)體棒，其電阻為，沿兩條平行的導(dǎo)電軌道無摩擦的滑下，導(dǎo)軌的電阻可不計(jì)，導(dǎo)軌與導(dǎo)體構(gòu)成一閉合回路．導(dǎo)軌所在的平面與水平面成角，整個(gè)裝置放在均勻磁場(chǎng)中，磁感強(qiáng)度的方向?yàn)殂U直向上．求：（1）導(dǎo)體在下滑時(shí)速度隨時(shí)間的變化規(guī)律；（2）導(dǎo)體棒的最大速 度． 解 （1）導(dǎo)體在重力的作用下，沿軌道下滑，回路中磁通量發(fā)生變化，導(dǎo)體中有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生，其大

21、小為，導(dǎo)體中有感應(yīng)電流通過，從而受到水平向左的安培力作用，最初，導(dǎo)體棒的速度較小，導(dǎo)體沿軌道加速運(yùn)動(dòng)，速度增大，同時(shí)安培力也增大，當(dāng)導(dǎo)體所受的安培力與其重力在軌道方向平衡時(shí)，導(dǎo)體加速度為零，速度達(dá)到最大值．導(dǎo)體達(dá)到最大速度由安培定律可得，導(dǎo)體受到的安培力大小為 所以導(dǎo)體下滑的動(dòng)力學(xué)方程為 由上兩式可得 將上式積分可得時(shí)刻導(dǎo)體棒的速度為 （2）由上問中分析可知，當(dāng)導(dǎo)體所受的安培力與其重力在軌道方向平衡時(shí)，導(dǎo)體加

22、速度為零，速度達(dá)到最大值，即 另外，由上問中速度與時(shí)間的關(guān)系可知，當(dāng)， 速度達(dá)到最大 12-11 有一磁感強(qiáng)度為的均勻磁場(chǎng)，以恒定的變化率在變化．把一塊質(zhì)量為的銅拉成截面半徑為的導(dǎo)線，并用它做成半徑為的圓形回路，圓形回路的平面與磁感強(qiáng)度垂直．試證：這回路中的感應(yīng)電流為 式中為銅的電阻率，為銅的密度． 證明 由電磁感應(yīng)定律可知，圓形回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 又圓形回路總

23、電阻為 所以回路中的感應(yīng)電流為 又由導(dǎo)體總的質(zhì)量可知，代入上式可得 12-12 在半徑為的圓柱形空間中存在著均勻磁場(chǎng)，的方向與圓柱軸線平行．如圖所示有一長為的金屬棒放在磁場(chǎng)中，設(shè)隨時(shí)間的變化率為常量．試證棒上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小為 證明 變化的磁場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生感生電場(chǎng)，感生電場(chǎng)的方向與遵從右手螺旋定則．如圖，連接，，使成為一閉合回路，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為為 又，沿半徑方向，與感生電場(chǎng)垂直，所以，中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

24、為零，所以段，即金屬棒上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小為 12-13 一半徑為，電阻率為的金屬薄圓盤放在磁場(chǎng)中，的方向與盤面垂直，的值為，式中和為常量，為時(shí)間．（1）求盤中產(chǎn)生的渦電流的電流密度；（2）若，，，，計(jì)算圓盤邊緣處的電流密度． 解 （1）變化的磁場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生感生電場(chǎng)，從而在金屬薄圓盤中產(chǎn)生渦電流．取圓盤中心為，圓盤上的感生電場(chǎng)線為一組以為圓心的同心圓，各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向沿切線方向，圓盤上半徑為的點(diǎn)感生電場(chǎng)強(qiáng)度大小為，該點(diǎn)電流密度大小為 其方向與該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的方向一致． （2）在邊緣處，即處的電流密

25、度為 12-14 截面積為長方形的環(huán)形均勻密螺繞環(huán)，其尺寸如圖所示，共有匝（圖中僅畫出少量幾匝），求該螺繞環(huán)的自感． 解 設(shè)螺繞環(huán)中線圈電流為，以螺繞環(huán)中心為圓點(diǎn)，取半徑為的圓形回路，由安培定律可得，區(qū)域內(nèi)的磁感強(qiáng)度為 穿過螺繞環(huán)上線圈中總的磁鏈為 螺繞環(huán)的自感為 12-15 如圖所示，螺線管的管心是兩個(gè)套在一起的同軸圓柱體，其截面積分別為和，磁導(dǎo)率分別

26、為和，管長為，匝數(shù)為，求螺線管的自感（設(shè)管的截面很小）． 解 設(shè)螺線管中線圈電流為由于螺線管截面很小，我們可以利用 來求管內(nèi)的磁感強(qiáng)度，其中為管內(nèi)介質(zhì)磁導(dǎo)率．本題中螺線管內(nèi)由兩種不同的介質(zhì)填充，通過磁導(dǎo)率分別為、的介質(zhì)截面的磁感強(qiáng)度分別為 則通過螺線管截面的總的磁鏈為 螺線管的自感為 12-16 有兩根半徑均為的平行長直導(dǎo)線，它們中心距離為．試求長為的一對(duì)導(dǎo)線的自感（導(dǎo)線內(nèi)部的磁通量可略去不計(jì)）． 解 長為、相距為的兩平行直導(dǎo)線可以看作無限長、

27、寬為的矩形回路的一部分，設(shè)回路中通有順時(shí)針電流．如圖所示，建立坐標(biāo)軸，則在兩平行導(dǎo)線間的磁感強(qiáng)度為 則通過兩導(dǎo)線之間的矩形（寬為、長為）面積的磁通量為 所以長為的兩平行導(dǎo)線的自感為 12-17 如圖所示，在一柱形紙筒上繞有兩組相同線圈和，每個(gè)線圈的自感均為，求：（1）和相接時(shí)，和間的自感，（2）和相接時(shí)，和間的自感． 解 （1）設(shè)當(dāng)只有一組線圈中通有電流時(shí)，它穿過自身線圈回路的磁通量為；則當(dāng)兩組線圈中都通有相同的電流時(shí)，穿過兩組線圈回路中總的磁通量為． 當(dāng)和相接，線圈和中的電流方向相反，通過線圈的磁通量也相反， 總的磁通量為，所以和間的自感.

28、 （2）和相接時(shí)，線圈和中的電流方向相同，通過兩線圈總的磁通量為，所以和間的自感． 12-18 如圖所示，一面積為共匝的小圓形線圈Ａ，放在半徑為共匝的大圓形線圈Ｂ的正中央，此兩線圈同心且同平面．設(shè)線圈Ａ內(nèi)各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度可看作是相同的．求：（1）兩線圈的互感；（2）當(dāng)線圈Ｂ中的電流的變化率為時(shí)，線圈Ａ中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向． 解 （1）設(shè)線圈Ｂ中通有電流，則它在中心處的磁感強(qiáng)度為，則通過小線圈的磁鏈為 則兩線圈的互感為 （2）當(dāng)線圈Ｂ

29、中的電流的變化率為時(shí)，，則線圈Ａ中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 其方向與線圈Ｂ中的電流方向相同． 12-19 如圖所示，兩同軸單匝圓線圈Ａ、Ｃ的半徑分別為和，兩線圈相距為，若很小，可認(rèn)為線圈Ａ在線圈Ｃ處產(chǎn)生的磁場(chǎng)是均勻的．求兩線圈的互感．若線圈Ｃ的匝數(shù)為匝，則互感又為多少？ 解 設(shè)線圈Ａ中通有電流，它在線圈Ｃ處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度為 則穿過線圈Ｃ中的磁鏈為 所以兩線圈的互感為 12-20 一半徑為的圓形回路與一無限長直導(dǎo)線共面，圓心到長直導(dǎo)

30、線間的距離為，求它們之間的互感． 解 如圖所示，以取圓形回路中心為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)軸．設(shè)長直導(dǎo)線中通有電流，它在線圈平面內(nèi)的磁感強(qiáng)度為 在圓形回路上取平行于長直導(dǎo)線、寬為的面元，，則穿過此面元的磁通量為 又，代入上式有 將上式積分可得 所以，導(dǎo)線與圓形線圈之間的互感為 12-21 一個(gè)直徑為，長為的長直密繞螺線管，共匝線圈，總電阻為．求：（1）如把線圈接到電動(dòng)勢(shì)的電池上，電流穩(wěn)定后，線圈中所儲(chǔ)存的磁能有多少？磁能密度是多少？（2）從接通電路時(shí)

31、算起，要使線圈儲(chǔ)存磁能為最大儲(chǔ)存磁能的一半，需經(jīng)過多少時(shí)間？ 解 （1）密繞螺線管的自感為，當(dāng)接上電動(dòng)勢(shì)的電池后，線圈中的電流為，則線圈中所儲(chǔ)存的磁能為 螺線管內(nèi)磁能密度為 （2）線圈接上電池后，線圈內(nèi)的電流變化規(guī)律為 當(dāng)電流穩(wěn)定后可達(dá)最大值，設(shè)線圈儲(chǔ)存磁能為最大儲(chǔ)存磁能的一半時(shí)，電流為，則有 ，此時(shí)，將其代入電流變化規(guī)律式可得此時(shí)經(jīng)過的時(shí)間為 12-22 一無限長直導(dǎo)線，截面各處的電流密度相等，總電流為，試證：每單位長度導(dǎo)線內(nèi)所貯藏的磁能為． 解 設(shè)導(dǎo)體半徑為，則在導(dǎo)體內(nèi)部磁感強(qiáng)度為 因此導(dǎo)體內(nèi)部的磁能密度為 則單位長度導(dǎo)線內(nèi)所貯藏的磁能為 12-23 在真空中，若一均勻電場(chǎng)中的電場(chǎng)能量密度與一的均勻磁場(chǎng)中的能量密度相等，該電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為多少？ 解 的均勻磁場(chǎng)中的能量密度為 設(shè)均勻電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度為，則其中電場(chǎng)能量密度為 由題可知 則電場(chǎng)強(qiáng)度為 18 教學(xué)f