第3章 機(jī)械振動(dòng)與機(jī)械波【答案類別】

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1、 第3章 機(jī)械振動(dòng)與機(jī)械波 3-1判斷下列運(yùn)動(dòng)是否為簡諧振動(dòng)？ （1） 小球沿半徑很大的水平光滑圓軌道底部小幅度擺動(dòng)； （2） 活塞的往復(fù)運(yùn)動(dòng)； （3） 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 （4） 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 （5） 質(zhì)點(diǎn)擺動(dòng)角度的微分方程為 答：（1）是簡諧振動(dòng)，類似于單擺運(yùn)動(dòng)； （2）不是簡諧振動(dòng)； （3）是簡諧振動(dòng)，為同頻率、同振動(dòng)方向的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成； （4）不是簡諧振動(dòng)，為不同頻率、同振動(dòng)方向的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成； （5）不是簡諧振動(dòng)。 3-2物體沿x軸作簡諧振動(dòng)，振幅A=0.12，周期T=2。當(dāng)時(shí)，物體的位移x=0.06，且向x軸正方

2、向運(yùn)動(dòng)。 求：(1)此簡諧振動(dòng)的表達(dá)式； (2)時(shí)物體的位置、速度和加速度； (3)物體從向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)第一次回到平衡位置所需的時(shí)間。 解：（1）設(shè)此簡諧振動(dòng)的表達(dá)式為：， 則振動(dòng)速度, 振動(dòng)加速度 由題意可知：m，s，則(rad/s) 又因?yàn)闀r(shí)m且，把初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)代入有： ，則 又因?yàn)闀r(shí)，所以時(shí) 故此簡諧振動(dòng)的表達(dá)式為： m (2) 把代入簡諧振動(dòng)表達(dá)式： （m） 把代入簡諧振動(dòng)速度表達(dá)式： (m/s) 把代入簡諧振動(dòng)加速度表達(dá)式： (m/s2) (3) 由旋轉(zhuǎn)矢量法可知，

3、物體在向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，相位為，而物體從向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)第一次回到平衡位置時(shí)，相位為， 旋轉(zhuǎn)的角度， 則所需的時(shí)間為：=0.83(s) k2 v 習(xí)題3-3 圖 3-3 如圖示，質(zhì)量為的子彈以速度水平射入木塊，并陷入木塊中，使彈簧壓縮而作簡諧振動(dòng)。設(shè)彈簧的勁度系數(shù)，木塊的質(zhì)量為，桌面摩擦不計(jì)，試求：（1）振動(dòng)的振幅；（2）振動(dòng)方程。 解：（1）子彈進(jìn)入木塊后，與木塊一起做簡諧振動(dòng)，子彈與木塊的作用時(shí)間短，在水平方向動(dòng)量守恒且彈簧沒有形變，設(shè)子彈進(jìn)入木塊后木塊的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右的方向?yàn)檎较?，子彈進(jìn)入木塊后與木塊的共同速度為，則，，代入數(shù)據(jù)得：(m/s)， 子彈與木

4、塊相互作用時(shí)，彈簧沒有形變，即該簡諧振動(dòng)的初始位置，彈簧簡諧振動(dòng)的圓頻率，代入數(shù)據(jù)得：(rad/s)， 所以代入數(shù)據(jù)得：m。 (2) 由時(shí)，且向X軸的正方向運(yùn)動(dòng)，所以， 所以振動(dòng)方程為： m 3－4一重為p的物體用兩根彈簧豎直懸掛，如圖所示，各彈簧的勁度系數(shù)標(biāo)明在圖上。試求圖示兩種情況下，系統(tǒng)沿豎直方向振動(dòng)的固有頻率。 解：a圖中兩彈簧是串聯(lián)的，總勁度系數(shù)， 彈簧振子的固有頻率為。 b圖中兩彈簧是并聯(lián)的，總勁度系數(shù)，彈簧振子的固有頻率為。 C R mg θ O 3-5 一勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)質(zhì)量為，半徑為，繞通過環(huán)上一點(diǎn)而與環(huán)平面垂直的水平軸在鉛垂面內(nèi)作小幅度擺動(dòng)

5、，求擺動(dòng)的周期。 解：設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸與細(xì)圓環(huán)的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過原點(diǎn)的豎直軸為Y軸，由轉(zhuǎn)動(dòng)軸定理可知，該圓環(huán)的小幅度擺動(dòng)的平衡位置為圓環(huán)的質(zhì)心在Y軸時(shí)，由平行軸定理可知，圓環(huán)對(duì)通過環(huán)上一點(diǎn)而與環(huán)平面垂直的水平軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： 把圓環(huán)沿逆時(shí)針方向拉離平衡位置轉(zhuǎn)動(dòng)，則圓環(huán)對(duì)轉(zhuǎn)軸的重力矩為，方向?yàn)樵龃蟮姆捶较颍赊D(zhuǎn)動(dòng)軸定理：， 即， 由于環(huán)做小幅度擺動(dòng)，所以sinθ≈θ，可得微分方程， 擺動(dòng)的圓頻率為：， 周期為： 3-6． 橫截面均勻的光滑的U型管中有適量液體如圖所示，液體的總長度為L，求液面上下微小起伏的自由振動(dòng)的圓頻率。 解：如圖所示建立坐標(biāo)，兩邊液面登高時(shí)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向

6、上為Y軸正方向，左邊液面上升y，則右邊液面下降y，U型管的橫截面面積為，液體的密度為，則左右液面的壓力差為：，方向?yàn)閅軸的負(fù)方向，由牛頓第二定律：可知， ，即， 故液面上下微小起伏的運(yùn)動(dòng)為簡諧振動(dòng)，其振動(dòng)的圓頻率 3-7 如圖一細(xì)桿AB一端在水平槽中自由滑動(dòng)，另一端與連接圓盤上，圓盤轉(zhuǎn)軸通過o點(diǎn)且垂直圓盤和OX軸，當(dāng)圓盤以角速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，寫出槽中棒端點(diǎn)B的振動(dòng)方程，自行設(shè)計(jì)參數(shù)，利用mathematica軟件或matlab軟件畫出振動(dòng)圖線。 解：在óAOB中，AB長度不變，設(shè)為l，圓半徑OA不變?cè)O(shè)為R，OA與OB的夾角設(shè)為，則B點(diǎn)的坐標(biāo)x滿足關(guān)系式：

7、上式表明，x是時(shí)間t的周期函數(shù)，但不是諧振動(dòng)函數(shù)。 取,畫圖如下。 3-8質(zhì)量為kg的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按的規(guī)律作振動(dòng)，式中以秒計(jì)，以米計(jì)。求： （1）振動(dòng)的圓頻率、周期、振幅、初位相； （2）振動(dòng)的速度、加速度的最大值； （3）最大回復(fù)力、振動(dòng)能量、平均動(dòng)能和平均勢(shì)能； 畫出這振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，并在圖中指明、2、10等各時(shí)刻的矢量位置。 解：（1）由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可知：振幅m，圓頻率rad/s，周期(s)，初相位。 （2）振動(dòng)的速度：，振動(dòng)速度的最大值為：(m/s)， 振動(dòng)的加速度：，振動(dòng)加速度的最大值為：(m/s2) （3）最大回復(fù)力：(N)， 振動(dòng)能量：

8、(J) 平均動(dòng)能和平均勢(shì)能：(J) 3-9 質(zhì)量為的物體，在彈性力作用下作簡諧振動(dòng)，勁度系數(shù)，如果開始振動(dòng)時(shí)具有勢(shì)能和動(dòng)能，求： （1） 振幅多大？經(jīng)過平衡位置的速度。 （2） 位移為多大時(shí)，動(dòng)能恰等于勢(shì)能？ 解：（1）簡諧振動(dòng)能量守恒，其總能等于任意時(shí)刻的動(dòng)能與勢(shì)能之和，即，所以振幅(m)， 在平衡位置時(shí)，彈簧為原長（假設(shè)彈簧座水平方向諧振動(dòng)），此時(shí)只有動(dòng)能，即(J)，所以速度(m/s). （2）要使(J)，即(J)，則位移(m)。 3-10 兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)平行于同一直線并排作同頻率、同振幅簡諧振動(dòng)。在振動(dòng)過程中，每當(dāng)它們經(jīng)過振幅一半的地方時(shí)相遇，而運(yùn)動(dòng)方向相反。求

9、它們的位相差，并作旋轉(zhuǎn)矢量圖表示之。 解：設(shè)它們的振動(dòng)方程為， O x A 當(dāng)時(shí)，可得位相為． 由于它們?cè)谙嘤鰰r(shí)反相，可取 ， 它們的相差為， 同理當(dāng)時(shí)，可得位相為，它們的相差為 矢量圖如圖所示． 3-11 已知兩個(gè)同方向簡諧振動(dòng)如下： ， （1） 求它們合成振動(dòng)的振幅和初位相； （2） 另有一同方向簡諧振動(dòng)，問為何值時(shí)，的振幅為最大？為何值時(shí)，的振幅為最?。繛楹沃禃r(shí)，的振幅最小？ 解：（1）由同頻率、同方向的簡諧振動(dòng)合成可知：，，其中m，m，，，，所以它們的合振動(dòng)振幅為：m， 它們合振動(dòng)的初相位：。 （2）由同頻率、同方向的簡諧振動(dòng)合成可知，

10、同相位振動(dòng)，其合成振幅最大；反相位振動(dòng)，其合成振幅最小。所以要使的振幅為最大，則；要使的振幅為最小，則時(shí)；要使的振幅最小，則。 3-12 三個(gè)同方向，同頻率的簡諧振動(dòng)為, , 求：（1）合振動(dòng)的圓頻率、振幅、初相及振動(dòng)表達(dá)式；（2）合振動(dòng)由初始位置運(yùn)動(dòng)到所需最短時(shí)間（為合振動(dòng)振幅）。 解：（1）合振動(dòng)的圓頻率為(rad/s)， (m)，根據(jù)公式得 (m） 合振幅為：= 0.16(m)， 初位相為：。 合振動(dòng)的方程為： （2）當(dāng)時(shí)，可得， 解得或 由于，所以只能取第二個(gè)解，可得所需最短時(shí)間為t = 0.0125(s) 3－13 將頻率為的標(biāo)準(zhǔn)音叉振動(dòng)和

11、一待測頻率的音叉合成，測得拍頻為，在待測音叉的一端加上一小塊物體，則拍頻將減小，求待測音叉的固有頻率。 ν ν0 ν1 ν2 ν`1 ν`2 Δν Δν 解：標(biāo)準(zhǔn)音叉的頻率為：(Hz)， 拍頻為：(Hz)， 待測音叉的固有頻率可能是：(Hz)， 也可能是：(Hz)。 在待測音叉上加一小塊物體時(shí)，相當(dāng)于彈簧振子增加了質(zhì)量，由于，可知其頻率將減?。绻郎y音叉的固有頻率，加一小塊物體后，其頻率將更低，與標(biāo)準(zhǔn)音叉的拍頻將增加；實(shí)際上拍頻是減小的，所以待測音叉的固有頻率，即387Hz。 3-14 火車提速是社會(huì)發(fā)展的必然趨勢(shì)。假如你是火車提速的決策者之一，試問：從

12、物理學(xué)角度，你會(huì)考慮哪些問題？ 答：鐵軌的抗震能力、鐵軌與火車共振時(shí)鐵軌的耐壓力等。 3-15 說明以下幾組概念的區(qū)別和聯(lián)系： (1) 振動(dòng)和波動(dòng)； （2）振動(dòng)曲線和波動(dòng)曲線； （3）振動(dòng)速度和波動(dòng)速度； 解：（1）振動(dòng)是物體在平衡位置做往復(fù)運(yùn)動(dòng)；波動(dòng)是振動(dòng)在介質(zhì)中的傳播； （2）振動(dòng)曲線表示的是物體運(yùn)動(dòng)的位移隨時(shí)間函數(shù)關(guān)系，用曲線表示；波動(dòng)曲線表示的某一時(shí)刻不同質(zhì)元離開平衡位置的位移，用曲線表示。 （3）振動(dòng)速度是描述物體運(yùn)動(dòng)的快慢，用表示；波動(dòng)速度表示振動(dòng)傳播的的快慢，與介質(zhì)和波的類型有關(guān)。 3-16 已知一波的波函數(shù)為() （1）求波長、

13、頻率、波速及傳播方向； （2）說明時(shí)波函數(shù)的意義,并作圖表示。 解： （1）與波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行對(duì)比可知： 波長(m)， t/s y/cm 5 0 0.1 0.2 0.3 頻率(Hz)， 波速(m)， 傳播方向沿X軸的正方向。 （2）當(dāng)時(shí)波動(dòng)方程就成為該處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程： ， 振動(dòng)曲線如圖 3-17 已知波的波函數(shù)為（SI） （1）寫出時(shí)各波峰位置的坐標(biāo)表示式，并計(jì)算此時(shí)離原點(diǎn)最近的波峰的位置，該波峰何時(shí)通過原點(diǎn)？ （2）畫出時(shí)的波形曲線。 解：（1）波峰位置時(shí)，，則時(shí)，波峰位置的坐標(biāo)為：；當(dāng)時(shí)，為離原點(diǎn)最近的波峰位置。 由波函數(shù)為可知波速為m

14、/s，則該波從坐標(biāo)原點(diǎn)傳播到所用時(shí)間為(s)，該波峰在s時(shí)通過坐標(biāo)原點(diǎn)。 （2），該波動(dòng)函數(shù)為： A -A u 0.15 555555555555 O x/m y/m 3-18 一平面波在介質(zhì)中以速度 m·s-1沿負(fù)方向傳播。已知在傳播路徑上的某點(diǎn)的振動(dòng)方程為。 （1）如以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波函數(shù)； （2）如以距點(diǎn)5米處的點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波函數(shù)； （3）計(jì)算B、C兩點(diǎn)振動(dòng)的相差。 解：（1）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，波動(dòng)方程為： 。 （2）以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，波動(dòng)方程為： 。 （3）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則m、m，、兩點(diǎn)的振動(dòng)方程分

15、別為 ，， 則、兩點(diǎn)的振動(dòng)的相差為：。 3-19 一列簡諧波沿軸正向傳播，在，時(shí)刻的波形如圖所示。試求： (1)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式； (2)波動(dòng)表達(dá)式； (3)畫出點(diǎn)的振動(dòng)曲線。 解：（1）設(shè)P點(diǎn)的振動(dòng)方程為： 由題設(shè)可知：振幅m，波長m， 由、時(shí)刻的波形圖，可知該波在s內(nèi)，波向右傳播了，則可知該波的周期s，波速m/s，波的圓頻率rad/s。 當(dāng)時(shí)，，即， 由于波沿x軸正向傳播，所以P點(diǎn)在此時(shí)向上運(yùn)動(dòng)，速度大于零，所以 P點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式為： （2）P點(diǎn)的位置是m，所以波動(dòng)方程為： t/s y/m 0.2 O 0.5 1 ． （3）在x = 0處的

16、振動(dòng)方程為： 曲線如圖所示． 3-20一平面簡諧波沿X軸正向傳播，其振幅、圓頻率分別為A和ω，波速為U，設(shè)t＝0時(shí)的波形曲線如圖所示。 （1）寫出波函數(shù) ⑵ 求距0點(diǎn)分別為λ/8，和3λ/8兩處質(zhì)點(diǎn)在t＝0時(shí)的振動(dòng)速度。 解：（1）設(shè)該波的波函數(shù)為：， 由時(shí)刻的波形圖可知，且向下振動(dòng)，故， 所以波函數(shù)為： （2）振動(dòng)速度：， 把、和、分別代入振動(dòng)速度表達(dá)式，則有： ， 3-21 一平面簡諧波沿X軸正向傳播，其振幅A=10cm，波的圓頻率ω=7πrad·s-1，當(dāng)t=1.0s時(shí)，x=10cm處的a質(zhì)點(diǎn)正通過其平衡位置向Y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，而x=20cm處的B

17、質(zhì)點(diǎn)正通過Y=5.0cm點(diǎn)向Y軸正方向運(yùn)動(dòng)。設(shè)該波的波長λ＞10cm，求該平面波的表達(dá)式。 解：由題意和旋轉(zhuǎn)矢量法可知在s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的相位為，質(zhì)點(diǎn)相位為，、兩質(zhì)點(diǎn)為相差為， 所以該波的波長：，即cm， 設(shè)該平面波的的表達(dá)式為：， 因?yàn)閟時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的相位為，所以， 所以該平面波的的表達(dá)式為： 3-22 一簡諧波沿正向傳播，波長，周期，已知處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線如圖所示。 （1）寫出處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程； （2）寫出波的表達(dá)式； （3）畫出時(shí)刻的波形曲線。 解：（1）設(shè)處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為： ，其中，． 由振動(dòng)曲線圖可知，當(dāng)時(shí)，，因此， 且時(shí)，處質(zhì)點(diǎn)向下振動(dòng)，即，所以 x/m

18、 y/m 1 O -1 0.5 u 2/3 所以處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為：。 （2）波的表達(dá)式為： ． （3）時(shí)刻的波形方程為：， 波形曲線如圖所示． 3-23 比較簡諧振動(dòng)能量與簡諧波波動(dòng)能量特征，若簡諧波傳播時(shí)某體積元的的動(dòng)能為0.2J,則勢(shì)能多少？總能量多少？ 答：簡諧振動(dòng)的能量守恒，即振動(dòng)的動(dòng)能與勢(shì)能的代數(shù)和不變；而簡諧波傳播時(shí)某體積元的動(dòng)能與勢(shì)能總是相等，，固當(dāng)某質(zhì)元的動(dòng)能為時(shí)，其勢(shì)能也為，其總能為動(dòng)能與勢(shì)能的代數(shù)和，即。 3-24 一平面簡諧聲波在空氣中傳播，波速，頻率為。到達(dá)人耳時(shí)，振幅，試求人耳接收到聲波的聲強(qiáng)的大??？此時(shí)聲強(qiáng)相當(dāng)于

19、多少分貝？已知空氣密度。 解：質(zhì)點(diǎn)的圓頻率為：(rad/s)， 聲波的平均能量密度為：(J/m3)， 平均能流密度為：(W/m2)， 標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)為：(W/m2)， 此聲強(qiáng)的分貝數(shù)為：(dB)。 3-25 與為兩相干波源，光強(qiáng)均為I0,相距波長，比的位相超前。問、連線上在外側(cè)各點(diǎn)的合成波的光強(qiáng)如何？又在外側(cè)各點(diǎn)的光強(qiáng)如何？ x S1 x S2 λ/4 x 解： 合成波的光強(qiáng)正比于振幅的平方，即 如圖所示，設(shè)S1在其左側(cè)產(chǎn)生的波的波動(dòng)方程為： ， 那么S2在S1左側(cè)產(chǎn)生的波的波動(dòng)方程為： ， 由于兩波源在任意點(diǎn)x產(chǎn)生振動(dòng)反相，所以合振幅為零，所以合

20、成波的光強(qiáng)為0。 S1在S2右側(cè)產(chǎn)生的波的波動(dòng)方程為：， 那么S2在其右側(cè)產(chǎn)生的波的波動(dòng)方程為： ， 由于兩波源在任意點(diǎn)x產(chǎn)生振動(dòng)同相，所以合振幅為單一振動(dòng)的兩倍， 所以合成波的光強(qiáng)為。 3-26 簡述駐波的形成條件和特點(diǎn)（提示：突出駐的含義）；查找資料，探索駐波在本專業(yè)的應(yīng)用有哪些？ 答：在同一介質(zhì)中兩列振幅相同的相干波，沿同一直線相向傳播時(shí)，產(chǎn)生特殊的干涉現(xiàn)象，疊加形成的波叫駐波。駐波沒有波形和能量的傳播，其實(shí)質(zhì)為各質(zhì)元做振幅不等的簡諧振動(dòng)，振幅最大的質(zhì)元位置為波腹，振幅最小的質(zhì)元位置為波節(jié)，波腹只有動(dòng)能，波節(jié)只有勢(shì)能，能量只在相鄰波節(jié)與波腹間相互轉(zhuǎn)化。 3-27

21、 一條琴弦上產(chǎn)生駐波，相鄰節(jié)點(diǎn)間的距離為65cm，弦的振動(dòng)頻率為，求波的傳播速度和波長。 解：相鄰波節(jié)之間的距離為，所以波長(cm)， 波速：(m/s) 3-28 兩波在一很長的弦線上傳播，設(shè)其表達(dá)式為 ， 用厘米、克、秒（cm、g、s）制單位，求： （1）各波的頻率、波長、波速；（2）節(jié)點(diǎn)的位置； （3）在哪些位置上，振幅最大？ 解：（1）對(duì)比波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式：可知， 波的頻率：(Hz)；波長：(cm)；波速：(cm/s)。 （2）駐波方程為： 波節(jié)位置為：，則(cm), 其中 （3）振幅最大的位置即為波腹位置：，則(cm)， 其中 3- 29

22、海面上波浪的波長為120m，周期為10s。一只快艇以24m/s的速度迎浪開行，它橦擊海浪的頻率是多大？多長時(shí)間橦擊一次？如果它順浪開行，它橦擊海浪的頻率又是多大？多長時(shí)間橦擊一次？ 解：海浪的波速：(m/s)， 海浪的頻率：(Hz)， 快艇迎浪開行，則撞擊海浪的頻率為：(Hz)， 撞擊間隔：(s)； 快艇順浪開行，則撞擊海浪的頻率為：(Hz)， 撞擊間隔：(s)； 3-30 一聲源的頻率為1080Hz，相對(duì)地面以30m·s-1速率向右運(yùn)動(dòng)。在其右方有一反射面相對(duì)地面以的速率向左運(yùn)行。設(shè)空氣中聲速為。求： （1）聲源在空氣中發(fā)出的聲音的波長； （2）反射回的聲音的頻率和波長。

23、 解：（1）聲音在聲源垂直方向的波長為：(m)， 在聲源前方的波長為：(m)， 在聲源后方的波長為：(m)。 （2）反射面接收到的頻率為：= 1421(Hz)． 將反射面作為波源，其頻率為，反射聲音的頻率為 = 1768(Hz)． 反射聲音的波長為：=0.1872(m)。 3-31 動(dòng)脈內(nèi)血液的流速一般是0.32m/s，今沿血流方向發(fā)射4.0MHz的超聲波，該紅血球反射的回波振動(dòng)與原發(fā)波振動(dòng)所形成的拍頻是多少？已知聲波在人體內(nèi)的傳播速度為。 解：紅血球接收到的超聲波頻率為：(Hz) 紅血球作為反射源反射回的超聲波頻率為： (Hz) 拍頻：（(Hz) 15 教學(xué)f