平面桁架有限元分析及程序設(shè)計(jì).ppt

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1、第二章 平面桁架有限元分析及程序設(shè)計(jì),2.1 平面桁架單元的離散 2.2 平面桁架單元分析 2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成 2.4 邊界條件的處理 2.5 單元內(nèi)力與支座反力的計(jì)算 2.6 平面桁架有限元程序設(shè)計(jì),有限單元法及程序設(shè)計(jì),解題方法,方法1:節(jié)點(diǎn)法,方法2:截面法,靜定桁架,回顧,,,第二章 平面桁架有限元分析及程序設(shè)計(jì),解題方法:力法和位移法,超靜定桁架,第二章 平面桁架有限元分析及程序設(shè)計(jì),如圖所示桁架,求各桿軸力。,力的平衡條件:,位移的協(xié)調(diào)方程:,1桿和3桿位移:,2桿位移:,超靜定桁架,第二章 平面桁架有限元分析及程序設(shè)計(jì),1桿軸力豎向分量:,2桿軸力:,式中: 和

2、 為桿件的剛度系數(shù);,物理意義: 4點(diǎn)產(chǎn)生單位位移,桿端產(chǎn)生的豎向桿端力; 由桿件的物理性質(zhì)和幾何性質(zhì)決定;,V4為第4節(jié)點(diǎn)豎向位移,第二章 平面桁架有限元分析及程序設(shè)計(jì),超靜定桁架,代入平衡方程:,,,,,,結(jié)構(gòu)的整體剛度系數(shù),位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)。,離散原則:每個(gè)結(jié)點(diǎn)離散后還是一個(gè)結(jié)點(diǎn),每個(gè)桿件離散后變成一個(gè)單元,1,結(jié)構(gòu)的離散化:盡量將結(jié)構(gòu)離散成數(shù)量最少的等截面直桿單元,2,3,4,5,6,,,,,,,,,,2.1 平面桁架單元的離散,9個(gè)單元,6個(gè)結(jié)點(diǎn),1,,2,3,4,5,6,,,,,,,,,,7,8,,16個(gè)單元,8個(gè)結(jié)點(diǎn),2.2.1 局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?局部坐標(biāo)系的建立

3、,,,i,,E,A,l,,j,e, 軸:沿單元的桿軸方向;,2.2 平面桁架的單元分析, 軸:從 軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。, 原點(diǎn):以第一個(gè)結(jié)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn);,,桿端位移:,,,,i,,,,,j,e,桿端力:,符號(hào):與坐標(biāo)系的方向一致為正,反之為負(fù)。,單元右端桿端力:,單元左端桿端力:,單元應(yīng)力:,單元應(yīng)變:,右結(jié)點(diǎn)固定,結(jié)點(diǎn)位移:,左結(jié)點(diǎn)固定,桿的受力分為兩種情況:,2.2 平面桁架的單元分析,任意情況(左右結(jié)點(diǎn)均有變形)即為以上兩種狀態(tài)的疊加:,桿端力為:,式中 為單元?jiǎng)偠染仃?局部坐標(biāo)系),桿單元軸力為:,式中 為單元應(yīng)力(廣義)矩陣;,2.2 平面桁架的單元分析,單元桿端力方程:,,桿端位

4、移:,,,,桿端力:,單元軸力:,2.2 平面桁架的單元分析,桿端位移和桿端力,符號(hào):與坐標(biāo)系的方向一致為正,反之為負(fù)。,桿端力:,,,,,,,,,2.2 平面桁架的單元分析,2.2.2 整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?若局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系重合,則整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚺c局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囅嗤?若局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系不重合,如下圖所示:,桿端位移:,桿端力:,桿端位移:,i 結(jié)點(diǎn):,j 結(jié)點(diǎn):,2.2 平面桁架的單元分析,設(shè)桿件的長(zhǎng)度為 l ,則:,兩邊微分:,,,由于桿件的變形產(chǎn)生位移:,因此,桿件應(yīng)變?yōu)椋?桿件軸力為:,符號(hào):桿件軸力以拉為正,壓為負(fù)。,桿件的結(jié)點(diǎn)力為:,因此

5、,桿件結(jié)點(diǎn)力向量為:,式中 是整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚕?2.2 平面桁架的單元分析,寫成分塊矩陣形式:,,式中:,2.2 平面桁架的單元分析,(1)單元?jiǎng)偠认禂?shù)kij的意義,j自由度(結(jié)點(diǎn))產(chǎn)生的單位桿端位移引起的i自由度(結(jié)點(diǎn))的桿端力,(2)單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱矩陣,反力互等定理,式中:,桿件單元的應(yīng)力矩陣為:,單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì),2.2 平面桁架的單元分析,(3)單元?jiǎng)偠染仃囈话闶遣豢赡娴?2.2.3 單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣,,,,,,,,,,,,2.2 平面桁架的單元分析,取任意桿件,建立如圖所示的局部坐標(biāo)系:,桿端力:,桿端位移:,2.2.3 單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣,,,,,,,,,,,x,

6、y,,,,,,,,,,2.2 平面桁架的單元分析,桿端力:,桿端位移:,在上圖中,建立如圖所示的整體坐標(biāo)系:,以i結(jié)點(diǎn)為例:,同理,對(duì)于j 結(jié)點(diǎn):,2.2 平面桁架的單元分析,寫成矩陣形式:,因此:,其中,T為轉(zhuǎn)換矩陣:,轉(zhuǎn)換矩陣的性質(zhì),轉(zhuǎn)換矩陣是正交矩陣;,同理,位移也存在轉(zhuǎn)換關(guān)系:,代入局部坐標(biāo)系下 的剛度方程:,,,2.2 平面桁架的單元分析,與利用微分得到的單元在 總體坐標(biāo)下的剛度方程相同,1、對(duì)總體結(jié)點(diǎn)位移和單元進(jìn)行編碼;,2、單元局部坐標(biāo)系下的剛度矩陣;,,,,,,,1,2,3,例:如圖所示平面桁架,桿長(zhǎng)為l,截面積為A,求三個(gè)單元在整體坐標(biāo)系下的剛度矩陣。,2.2 平面桁架的單元

7、分析,3、單元整體坐標(biāo)系分析:,解:,單元整體坐標(biāo)系下的剛度矩陣為:,4、單元整體坐標(biāo)系分析:,5、單元整體坐標(biāo)系分析:,,,,,,,1,2,3,例:如圖所示平面桁架,桿長(zhǎng)為l,截面積為A,求結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。,2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,1、單元整體坐標(biāo)系下剛度矩陣分塊,解:,2.3.1 結(jié)點(diǎn)的平衡方程,2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,,F,,,1,,,,,,2、結(jié)點(diǎn)1的平衡方程:,結(jié)點(diǎn)1的受力狀態(tài)為(如右圖):,結(jié)點(diǎn)1的平衡條件為:,,由單元的剛度方程:,由單元的剛度方程:,2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,代入結(jié)點(diǎn)1的平衡條件:,,3、結(jié)點(diǎn)2的平衡方程:,同理,結(jié)點(diǎn)2的

8、平衡條件為:,由單元的剛度方程:,由單元的剛度方程:,2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,代入結(jié)點(diǎn)2的平衡條件:,,4、結(jié)點(diǎn)3的平衡方程:,同理,結(jié)點(diǎn)3的平衡條件為:,由單元的剛度方程:,由單元的剛度方程:,2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,代入結(jié)點(diǎn)3的平衡條件:,,5、系統(tǒng)的平衡方程:,2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,6、結(jié)構(gòu)整體剛度方程,寫成矩陣形式,即可得到結(jié)構(gòu)的整體剛度方程,,其中,K為結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣;,2.3.2 整體剛度矩陣的集成步驟,1、定位,單元結(jié)點(diǎn)編號(hào),2、累加,整體結(jié)點(diǎn)編號(hào),單元?jiǎng)偠认禂?shù),整體剛度系數(shù),2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,單元定位向量,,,

9、,,,,,,,,,,,,1,2,3,2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,例:求上例平面桁架結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣;,1、定位,單元:,1 2 3,1 2 3,(2) (1),(2) (1),2、累加,2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,1、定位,單元 :,(2) (1),(2) (1),2、累加,1、定位,單元 :,2、累加,(1) (2),(1) (2),2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣為:,將每個(gè)字塊展開(kāi),結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣為:,2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,1、整體剛度矩陣的性質(zhì),2.3.2 整體剛度矩陣的集成方法,(1)剛度系數(shù)K

10、ij的意義,分塊矩陣:,(2)單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱矩陣,反力互等定理,j結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的單位桿端位移引起的i結(jié)點(diǎn)的桿端力;,j自由度產(chǎn)生的單位桿端位移引起的i自由度的桿端力;,不分塊矩陣:,2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,思考題:如何由剛度矩陣元素的意義確定整體剛度矩陣每個(gè)元素的組成?,2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,1,2,3,4,,,,,,,,,,,,,練習(xí)題:利用整體剛度矩陣的意義確定以下桁架剛度矩陣元素(分塊)的組成。,2.3.2 整體剛度矩陣的集成步驟,1、定位,單元自由度編號(hào),2、累加,整體自由度編號(hào),2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,自由度定位向量,單元?jiǎng)偠认禂?shù),整體剛度

11、系數(shù),,,,,,練習(xí)題:利用整體剛度矩陣的意義確定以下桁架剛度矩陣元素(自由度)的組成。,2.4.1 結(jié)點(diǎn)邊界條件,2.4 邊界條件的處理,結(jié)點(diǎn)可以自由變形,整體結(jié)點(diǎn)力等于對(duì)應(yīng)的外荷載。,1、自由變形的結(jié)點(diǎn),2、約束結(jié)點(diǎn)或給定了結(jié)點(diǎn)位移的數(shù)值,約束結(jié)點(diǎn):,給定結(jié)點(diǎn)位移:,2.4.2 邊界條件的處理方法,2.4 邊界條件的處理,1)劃行劃列法,處理方法:若第i個(gè)自由度位移為零,則將總剛第i行和第i列劃掉,剛度矩陣相應(yīng)降低一階。,0,0,0,,,,優(yōu)點(diǎn):簡(jiǎn)單易行,矩陣降階,減小計(jì)算工作量;,缺點(diǎn):矩陣行列、位移、荷載向量需重新編號(hào),程序?qū)崿F(xiàn)比較復(fù)雜;,只適用于約束結(jié)點(diǎn)情況;,2.4 邊界條件的處理

12、,2)0、1置換法(填0置1法),處理方法:將與約束自由度對(duì)應(yīng)整體剛度矩陣對(duì)角線元素全部置換成1,相應(yīng)行和列其他元素置換成0,將同一行荷載分量置換成0。,0,0,0,1,1,1,0,0,0,適用條件:只適用于約束結(jié)點(diǎn),不適用給定位移邊界條件;,2.4 邊界條件的處理,3)乘大數(shù)法,處理方法:將與約束自由度對(duì)應(yīng)整體剛度矩陣對(duì)角線元素乘以一個(gè)大數(shù)N (1010-1015),將同一行荷載分量置換成N與對(duì)角線元素的乘積與給定位移之積。,N,N,N,NK33b1,NK44b2,NK66b3,優(yōu)點(diǎn):處理工作量小,適用于給定位移情況;,0,0,0,2.5 單元軸力及支座反力的計(jì)算,單元軸力:,(1)整體坐標(biāo)

13、系下的單元桿端位移,(2)整體坐標(biāo)系下的單元軸力,,,2.5.1 單元軸力的計(jì)算,位移和荷載向量分解為自由結(jié)點(diǎn)和約束結(jié)點(diǎn)兩部分,剛度矩陣相應(yīng)分塊,如下所示:,2.5.2 支座反力的計(jì)算,其中:,為自由位移;,為約束位移;,為外荷載;,為約束自由度結(jié)點(diǎn)力;,因此:,為支座反力;,為約束自由度結(jié)點(diǎn)荷載;,其中:,,2.5 單元軸力及支座反力的計(jì)算,1、計(jì)算分析題 平面桁架結(jié)構(gòu)網(wǎng)格如圖所示,已知EA=1500 kN,采用乘大數(shù)方法引入支撐條件,試求后處理法引入支撐條件后的滿陣存貯的整體剛度矩陣 K。結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃囉?jì)算公式如下:,例題,式中:,,2、計(jì)算分析題 按照有限元法的計(jì)算步驟,求圖示

14、桁架結(jié)構(gòu)各桿軸力。已知:EA=10 kn。結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃囉?jì)算公式如下: :,例題,式中:,,2.6 程序設(shè)計(jì),程序設(shè)計(jì)原則 完整性 擴(kuò)充性 兼容性 邏輯性 可讀性 可維護(hù)性 模塊化,2.6 程序設(shè)計(jì),程序設(shè)計(jì)流程圖(程序框圖) 什么是流程圖? “程序流程圖”常簡(jiǎn)稱為“流程圖”,是一種傳統(tǒng)的算法表示法,程序流程圖是人們對(duì)解決問(wèn)題的方法、思路或算法的一種描述。它利用圖形化的符號(hào)框來(lái)代表各種不同性質(zhì)的操作,并用流程線來(lái)連接這些操作。,2、如何畫流程圖,編碼和單元測(cè)試 這個(gè)階段的任務(wù)是程序員根據(jù)目標(biāo)系統(tǒng)的性質(zhì)和實(shí)際環(huán)境,選取一種適當(dāng)?shù)母呒?jí)程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言(必要時(shí)用匯編語(yǔ)言),把詳細(xì)設(shè)計(jì)的結(jié)果

15、翻譯成用選定的語(yǔ)言書(shū)寫的程序,并且仔細(xì)測(cè)試編寫出的每一個(gè)模塊。 程序員在書(shū)寫程序模塊時(shí),應(yīng)使它的可讀性、可理解性和可維護(hù)性良好。,綜合測(cè)試,這個(gè)階段的任務(wù)是通過(guò)各種類型的測(cè)試,使軟件達(dá)到預(yù)定的要求。 最基本的測(cè)試是集成測(cè)試和驗(yàn)收測(cè)試。集成測(cè)試是根據(jù)設(shè)計(jì)的軟件結(jié)構(gòu),把經(jīng)單元測(cè)試的模塊按某種選定的策略裝配起來(lái),在裝配過(guò)程中對(duì)程序進(jìn)行必要的測(cè)試。驗(yàn)收測(cè)試是按照需求規(guī)格說(shuō)明書(shū)的規(guī)定,由用戶對(duì)目標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行驗(yàn)收。 通過(guò)對(duì)軟件測(cè)試結(jié)果的分析可以預(yù)測(cè)軟件的可靠性;反之,根據(jù)對(duì)軟件可靠性的要求也可以決定測(cè)試和調(diào)試過(guò)程什么時(shí)候可以結(jié)束。 在進(jìn)行測(cè)試的過(guò)程中,應(yīng)該用正式的文檔把測(cè)試計(jì)劃、詳細(xì)測(cè)試方案以及實(shí)際測(cè)試結(jié)果

16、保存下來(lái),作為軟件配置的一部分。,2.6 程序設(shè)計(jì),2.6.1 程序框圖,輸入數(shù)據(jù),單元局部剛度,坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣,單元整體剛度,集成整體剛度矩陣元素,約束條件處理、解方程,計(jì)算單元軸力、約束反力,單元循環(huán),,,,,,,,,包括單元、結(jié)點(diǎn)、材料、荷載、約束數(shù)據(jù),2.6 程序設(shè)計(jì),2.6.2 程序說(shuō)明,1、總體剛度矩陣的半帶寬存儲(chǔ),總體剛度矩陣:,對(duì)稱稀疏矩陣;,0,0,,,,,半帶寬:,總體剛度矩陣集成:,2.6 程序設(shè)計(jì),行號(hào):,,,0,,,列號(hào):,,,主對(duì)角線,半帶寬存儲(chǔ)下三角:,2.6 程序設(shè)計(jì),2、先處理法處理邊界條件,單元定位向量:,(1,2),(3,4),(5,6),后處理:,(1,2

17、),(0,0),(3,0),劃行劃列法,先處理法:,單元定位向量:,void force() int i,j,ie,m; float dx,dy,dz,l,cx,cy,cz,ea,w7; for(ie=1; ie<=ne; ie++) i=jmie1; j=jmie2; m=jmie0; w1=f2*i-2; w2=f2*i-1; w3=f2*j-2; w4=f2*j-1; dx=xyj1-xyi1; dy=xyj2-xyi2;,例題,,3、程序說(shuō)明 下面為一個(gè)平面桁架計(jì)算程序段,試在左端有編號(hào)的程序右面寫出其注釋。(10分),l=sqrt(dx*dx

18、+dy*dy); cx=dx/l; cy=dy/l; ea=EAm/l; dx=w3-w1; dy=w4-w2; l=ea*(cx*dx+cy*dy); Fie=l; ,1,2,4,5,3,,,1、運(yùn)用有限單元法,計(jì)算圖示桁架:桿件截面積為A,彈性模量為E,結(jié)點(diǎn)2作用集中力,結(jié)點(diǎn)3給定水平位移b,要求寫出整體平衡方程及邊界條件處理方法。,作業(yè),2、運(yùn)用有限單元法程序,計(jì)算程序書(shū)第4頁(yè)作業(yè)題,要求打印輸入文件、輸出文件,并畫出各個(gè)桿件的軸力圖。,3、計(jì)算分析題(15分) 平面桁架結(jié)構(gòu)網(wǎng)格如圖所示,已知EA=6000 kN,采用填0置1法(0、1置換法)引入支撐條件,試

19、求后處理法引入支撐條件后的滿陣存貯的整體剛度矩陣 。結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃囉?jì)算公式如下:,式中:,,作業(yè),,4、程序說(shuō)明(10分) 下面為一個(gè)平面桁架計(jì)算程序段,左端有編號(hào)的程序部分有兩處錯(cuò)誤,請(qǐng)改正,并在沒(méi)有錯(cuò)誤的程序右面寫出其注釋。(10分),int ekzk(int ie ) int i1,j1,i,j,i2,j2,ii,jj,ji; for(i1=1;i1<=2;i1++) for(i2=1;i2<=2;i2++) 1 i=2*(i1-1)+i2; 2 ii=2*jmiei1+i2; for(j1=1; j1<=2; j1++) for(j2=1; j2<=2; j2++) j=2*(j1-1)+j2; 3 jj=2*(jmiej1-1)+j2; 4 ji=bw+jj-ii+1; 5 if(ji<=bw) Kii-1ji-1=Kii-1ji-1+ekij; ,作業(yè),

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