《數(shù)學(xué)思想方法》PPT課件.ppt

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1、數(shù)學(xué)思想方法是指現(xiàn)實世界的空間形式和 數(shù)量關(guān)系反映到人的意識中，經(jīng)過思維活動產(chǎn)生的結(jié)果，是對數(shù)學(xué)事實與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認(rèn)識. 數(shù)學(xué)思想：是對數(shù)學(xué)內(nèi)容的進(jìn)一步提煉和概括，是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識，帶有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)模型和用數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)思想. 數(shù)學(xué)方法：是指從數(shù)學(xué)角度提出問題、解決問題過程中所采用的各種方式、手段、途徑等.,數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是緊密聯(lián)系的，兩者的本質(zhì)相同，只是站在不同的角度看問題，故?；旆Q為“數(shù)學(xué)思想方法”.初中數(shù)學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想方法有：,化歸與轉(zhuǎn)化思想； 方程與函數(shù)思想； 數(shù)形結(jié)合思想； 分類討論思想； 統(tǒng)計思想； 整體思想； 消元法； 配

2、方法； 待定系數(shù)法等.,分類討論思想方法,分類討論思想是指當(dāng)數(shù)學(xué)問題不宜統(tǒng)一方法處理時，我們常常根據(jù)研究對象性質(zhì)的差異，按照一定的分類方法或標(biāo)準(zhǔn),將問題分為全而不重，廣而不漏的若干類，然后逐類分別進(jìn)行討論，再把結(jié)論匯總，得出問題的答案的思想.,分類原則： (1)分類中的每一部分都是相互獨(dú)立的； (2)一次分類必須是同一個標(biāo)準(zhǔn)； (3)分類討論應(yīng)逐級進(jìn)行.分類思想有利于完整地考慮問題，化整為零地解決問題. 分類討論問題常與開放探索型問題綜合在一起，貫穿于代數(shù)、幾何的各個數(shù)學(xué)知識板塊，不論是在分類中探究，還是在探究中分類，都需有扎實的基礎(chǔ)知識和靈活的思維方式，對問題進(jìn)行全面衡量、統(tǒng)籌兼顧，切忌以偏

3、概全.,【例1】(2010常州中考)如圖， 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象 與x軸相交于點(diǎn)A、C，與y軸相交 于點(diǎn)B，A( 0)，且AOBBOC.,(1)求C點(diǎn)坐標(biāo)、ABC的度數(shù)及二次函數(shù)y=ax2+bx+3的關(guān)系式； (2)在線段AC上是否存在點(diǎn)M(m，0).使得以線段BM為直徑的圓與邊BC交于P點(diǎn)(與點(diǎn)B不同)，且以點(diǎn)P、C、O為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.,【思路點(diǎn)撥】,【自主解答】(1)由題意，得B(0,3). AOBBOC， OAB=OBC， OC=4，C(4,0). OAB+OBA=90， OBC+OBA=90.ABC=90. y=a

4、x2+bx+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)A( 0)，C(4,0)，,(2)存在.如圖1，當(dāng)CP=CO時， 點(diǎn)P在以BM為直徑的圓上， BM為圓的直徑. BPM=90， PMAB. CPMCBA. 所以CM=5. m=-1.,如圖2，當(dāng)PC=PO時，點(diǎn)P在OC垂 直平分線上，所以PC=PO=PB，所以 PC= BC=2.5. 由CPMCBA，得 當(dāng)OC=OP時，M點(diǎn)不在線段AC上. 綜上所述，m的值為 或-1.,1.(2011浙江中考)解關(guān)于x的不等式組：,【解析】 由得(a-1)x2a-3, 由得x 當(dāng)a=1時，由得-2-3成立,x 當(dāng)a1時，x 當(dāng)1a 此時不等式組的解是x,當(dāng)a 時， 此時不等式組的解是

5、x 當(dāng)a1時，不等式組的解集為 a1，所以a-10， 所以不等式組的解為 x 綜上所述：當(dāng)1a 時，不等式組的解集是x 當(dāng)a 時，不等式組的解集是x 當(dāng)a1時，不等式組的解集為,數(shù)形結(jié)合思想,數(shù)形結(jié)合思想是指把問題中的數(shù)量關(guān)系與形象直觀的幾何圖形有機(jī)地結(jié)合起來，并充分利用這種結(jié)合尋找解題的思路，使問題得到解決的思想方法.在分析問題的過程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來考查，根據(jù)問題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲取簡便易行的方法.,數(shù)形結(jié)合思想方法是初中數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法.數(shù)是形的抽象概括，

6、形是數(shù)的直觀表現(xiàn)，用數(shù)形結(jié)合的思想解題可分兩類：一是利用幾何圖形的直觀表示數(shù)的問題，它常借用數(shù)軸、函數(shù)圖象等；二是運(yùn)用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形問題，常需要建立方程(組)或建立函數(shù)關(guān)系式等.,【例2】(2010曲靖中考)如圖，在平 面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2向左 平移1個單位，再向下平移4個單位， 得到拋物線y=(x-h)2+k,所得拋物線與 x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)與 y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D.,(1)求h、k的值； (2)判斷ACD的形狀，并說明理由； (3)在線段AC上是否存在點(diǎn)M，使AOM與ABC相似.若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.,【思路點(diǎn)撥】,【自主

7、解答】(1)y=x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0), y=(x-h)2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(-1,-4), h=-1,k=-4. (2)由(1)得y=(x+1)2-4. 當(dāng)y=0時,(x+1)2-4=0,x1=-3,x2=1, A(-3,0),B(1,0). 當(dāng)x=0時,y=(x+1)2-4=(0+1)2-4=-3, C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-3). 又因為頂點(diǎn)坐標(biāo)D(-1,-4),作出拋物線的對稱軸x=-1交x軸于點(diǎn)E. 作DFy軸交y軸于點(diǎn)F. 在RtAED中， AD2=22+42=20； 在RtAOC中， AC2=32+32=18； 在RtCFD中， CD2=12+12=2； AC2+CD2=AD2， A

8、CD是直角三角形.,(3)存在. 由(2)知，AOC為等腰直角三角形，BAC=45,在AC上取點(diǎn)M， 連接OM，過M點(diǎn)作MGAB于點(diǎn)G, AC= 若AOMABC,則 MGAB,AG2+MG2=AM2,若AOMACB，則 OG=AO-AG=3-2=1. M點(diǎn)在第三象限，M(-1，-2). 綜上、所述，存在點(diǎn)M使AOM與ABC相似，且這樣的點(diǎn) 有兩個，其坐標(biāo)分別為( ),(-1,-2).,2.(2010十堰中考)如圖，點(diǎn)C、D是以 線段AB為公共弦的兩條圓弧的中點(diǎn)，AB=4， 點(diǎn)E、F分別是線段CD、AB上的動點(diǎn)，設(shè)AF=x， AE2-FE2=y,則能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是( ),【解析】選

9、C.延長CD交AB于點(diǎn)G， 則CGAB，AG=BG=2， AE2-FE2=EG2+AG2-(EG2+FG2) =4-FG2=4-(2-x)2 =-x2+4x, y=-x2+4x.且根據(jù)題意知x0,y0.故選C.,3.(2010成都中考)如圖，在ABC中， B=90,AB=12 mm,BC=24 mm,動點(diǎn)P從 點(diǎn)A開始沿邊AB向B以2 mm/s的速度移動 (不與點(diǎn)B重合)，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向C以4 mm/s的速度移動(不與點(diǎn)C重合).如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，那么經(jīng)過_秒,四邊形APQC的面積最小.,【解析】設(shè)P、Q分別從A、B同時出發(fā)，那么經(jīng)過t秒，四邊形APQC的面積為S，

10、則S= ABBC- BPBQ = 1224- (12-2t)4t, S=4t2-24t+144 =4(t-3)2+108, 當(dāng)t=3 s時，四邊形APQC的面積最小. 答案：3,4.(2010臨沂中考)如圖，二次函數(shù) y=-x2+ax+b的圖象與x軸交于A(- ，0)、 B(2，0)兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C；,(1)求該拋物線的解析式，并判斷ABC的形狀； (2)在x軸上方的拋物線上有一點(diǎn)D，且以A、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，請直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)； (3)在此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.,【解析

11、】(1)根據(jù)題意，將A(- ，0)，B(2，0)代入 y=-x2+ax+b中， 得 解這個方程組，得a= b=1, 該拋物線的解析式為y=-x2+ x+1, 當(dāng)x=0時，y=1, 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1),在AOC中，,在BOC中， ABC是直角三角形.,(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為( 1). (3)存在.由(1)知，ACBC. 若以BC為底邊，則BCAP， 如圖1所示，可求得直線BC的解析式為 y= +1, 直線AP可以看作是由直線BC平移得到的，所以設(shè)直線AP的解析式為y= +b, 把點(diǎn)A( 0)代入直線AP的解析式，求得b=,直線AP的解析式為y= 點(diǎn)P既在拋物線上，又在直線AP上， 點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相

12、等，即 解得,若以AC為底邊，則BPAC，如圖2所示. 可求得直線AC的解析式為y=2x+1. 直線BP可以看作是由直線AC平移得到的, 所以設(shè)直線BP的解析式為y=2x+b， 把點(diǎn)B(2,0)代入直線BP的解析式，求得b=-4, 直線BP的解析式為y=2x-4. 點(diǎn)P既在拋物線上，又在直線BP上， 點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等,即-x2+ +1=2x-4, 解得x1= x2=2(舍去), 當(dāng)x= 時，y=-9， 點(diǎn)P的坐標(biāo)為( ,-9). 綜上所述，滿足題目條件的點(diǎn)P為( )或( ).,化歸轉(zhuǎn)化思想,化歸思想是一種最基本的數(shù)學(xué)思想，用于解決問題時的基本思路是化未知為已知，把復(fù)雜的問題簡單化，把生疏的問題

13、熟悉化，把非常規(guī)問題化為常規(guī)問題，把實際問題數(shù)學(xué)化，實現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)問題間的相互轉(zhuǎn)化，這也體現(xiàn)了把不易解決的問題轉(zhuǎn)化為有章可循，容易解決的問題的思想.,【例3】(2009泉州中考)如圖，等腰梯形花圃ABCD的底邊AD靠墻，另三邊用長為40米的鐵欄桿圍成，設(shè)該花圃的腰AB的長為x米.,(1)請求出底邊BC的長(用含x的代數(shù)式表示)； (2)若BAD=60，該花圃的面積為S米2. 求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式(要指出自變量x的取值范圍)，并 求當(dāng)S= 時x的值； 如果墻長為24米，試問S有最大值還是最小值？這個值是多 少？,【思路點(diǎn)撥】,【自主解答】(1)AB=CD=x米， BC=40-AB-CD=(4

14、0-2x)米. (2)如圖，過點(diǎn)B、C分別作BEAD 于E，CFAD于F，在RtABE中， AB=x，BAE=60， AE= x，BE= 同理DF= x,CF= 又EF=BC=40-2x, AD=AE+EF+DF= x+40-2x+ x=40-x,解得：x1=6，x2= (舍去)， x=6.,由題意，得40-x24，解得x16, 結(jié)合得16x20. 由得， 函數(shù)圖象為開口向下的拋物線的一段， 其對稱軸為x= 16 由上圖可知，,當(dāng)16x20時，S隨x的增大而減小， 當(dāng)x=16時，S取得最大值. 此時，S最大值=,5.如圖，ABCD是一矩形紙片，E是AB上 的一點(diǎn)，且BEEA=53,EC= 把

15、BCE沿折痕EC向上翻折，若點(diǎn)B恰好 落在AD邊上，設(shè)這個點(diǎn)是F，以點(diǎn)A為 原點(diǎn)，以直線AD為x軸，以直線BA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則過點(diǎn)F、點(diǎn)C的一次函數(shù)解析式為_.,【解析】BEEA=53,BE=EF,EFEA=53,AFAE=43. AEF=DFC,AEFDFC, 設(shè)BE=5x, 則AF=4x,CD=8x,FD=6x,BC=10 x,又CE= 由勾股定理得 x=3,所以BC=30,AF=12,CD=24， F(12,0),C(30,-24), CF的解析式為y= +16. 答案：y= +16,6.(2011涼山中考)我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例.如

16、圖，這個三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了(a+b)n(n為正整數(shù))的展開式(按a的次數(shù)由大到小的順序排列)的系數(shù)規(guī)律.例如，在三角形中第三行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)(a+b)2=a2+2ab+b2展開式中的系數(shù)；第四行的四個數(shù)1，3，3，1，恰好對應(yīng)著(a+b)3=a3+3a2b+3ab2 +b3展開式中的系數(shù)等等.,(1)根據(jù)上面的規(guī)律，寫出(a+b)5的展開式. (2)利用上面的規(guī)律計算：25-524+1023-1022+52-1.,【解析】(1)(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 (2)原式=25+5

17、24(-1)+1023(-1)2+1022(-1)3 +52(-1)4+(-1)5=(2-1)5=1.,7.(2010威海中考)(1)探究新知： 如圖，已知ADBC,AD=BC，點(diǎn)M， N是直線CD上任意兩點(diǎn). 求證：ABM與ABN的面積相等. 如圖，已知ADBE,AD=BE,ABCD EF,點(diǎn)M是直線CD上任一點(diǎn)，點(diǎn)G是直線 EF上任一點(diǎn).試判斷ABM與ABG的面 積是否相等，并說明理由.,(2)結(jié)論應(yīng)用： 如圖，拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為 C(1,4),交x軸于點(diǎn)A(3,0),交y軸于 點(diǎn)D.試探究在拋物線y=ax2+bx+c上 是否存在除點(diǎn)C以外的點(diǎn)E，使得 ADE與ACD的面積

18、相等？若存在，請求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. (友情提示：解答本問題過程中，可以直接使用“探究新知”中的結(jié)論.),【解析】(1)分別過點(diǎn)M,N作MEAB， NFAB,垂足分別為點(diǎn)E,F. ADBC,AD=BC, 四邊形ABCD為平行四邊形. ABCD.ME=NF. SABM= ABME,SABN= ABNF, SABM=SABN.,相等.理由如下：分別過點(diǎn)D,E作DHAB,EKAB,垂足分別為H,K. 則DHA=EKB=90. ADBE, DAH=EBK. AD=BE, DAHEBK. DH=EK,CDABEF， SABM= ABDH, SABG= ABEK,SABM=SABG.

19、,(2)存在. 因為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C(1,4),所以，可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x-1)2+4.又因為拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),將其坐標(biāo)代入上式，得0a(3-1)2+4, 解得a=-1. 該拋物線的表達(dá)式為y=-(x-1)2+4, 即y=-x2+2x+3. D點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3).,設(shè)直線AD的表達(dá)式為y=kx+3，代入點(diǎn)A的坐標(biāo)，得0=3k+3，解得k=-1. 直線AD的表達(dá)式為y=-x+3. 過C點(diǎn)作CGx軸，垂足為G，交AD于點(diǎn)H，則H點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 -1+32. CH=CG-HG=4-2=2.,設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m， 則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為-m2+2m+3. 過E點(diǎn)作EFx軸，垂足為F，交A

20、D于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為 3-m，EFCG. 由(1)可知：若EP=CH,則ADE與ADC的面積相等.,(a)若E點(diǎn)在直線AD的上方(如圖)， 則PF3-m, EF=-m2+2m+3. EP=EF-PF=-m2+2m+3-(3-m)=-m2+3m. -m2+3m=2.解得m1=2,m2=1. 當(dāng)m=2時，PF=3-2=1,EF=3. E點(diǎn)坐標(biāo)為(2，3). 同理當(dāng)m=1時，E點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)，與C點(diǎn)重合，故舍去.,(b)若E點(diǎn)在直線AD的下方(如圖)， 則PE=(3-m)-(-m2+2m+3)=m2-3m, m2-3m=2,解得,當(dāng)m= 時，E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 當(dāng)m= 時，E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 在拋物線上存在除點(diǎn)C以外的點(diǎn)E，使得ADE與ACD的面 積相等，E點(diǎn)的坐標(biāo)為E1(2,3);,