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1、滾動測試十一
時間:120分鐘 滿分:150分
第I卷
一、選擇題:(本大題共12小題,每小題5分,共60分.)
1.已知集合,集合,則如圖所示的韋恩圖中陰影部分所表示的集合為( )
A. B. C. D.
2. 對于原命題:“已知,若 ,則”,以及它的逆命題、否命題、逆否命題,在這4個命題中,真命題的個數(shù)為( )
A.0個 B.1個 C.2個 D.4個
3. 在中,角對邊分別是,且滿足,則∠( )
A. B.或 C. D.或
4.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積是( )
2、A. B.
C. D.
5.函數(shù)是( )
A.最小正周期為的奇函數(shù) B.最小正周期為的奇函數(shù)
C.最小正周期為的偶函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù)
6.由曲線,直線及軸所圍成的圖形的面積為( )
A. B. C. D.
7.在四邊形中,,,則該四邊形的面積為( )
A. B. C. D.
8.已知、是兩條不同的直線,、是兩個不同的平面,給出下列命題:
①若,則;②若,且則;③若,則;④若,,且,則。其中正確命題的序號是( )
A.①④ B.②③ C.②④ D.①③
9.設(shè)函數(shù)的圖象在點處切線的斜率
3、為k,則函數(shù)k=g(t)的部分圖象為( )
10.已知的最大值為( )
A. B. C. D.
11.已知P是直線上的動點,PA、PB是圓的兩條切線,C是圓心,那么四邊形PACB面積的最小值是( )
A. B.2 C. D.2
12. 設(shè)是定義在R上的偶函數(shù),對任意,都有且當(dāng)時,.若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰有3個不同的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、填空題(本大題共有4個小題,每小題4分,共16分)
13.一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為的半圓,則這個圓錐的體積是__
4、______.
14.設(shè)非零向量a,b,c滿足a+b=c,則__________.
15. 若、,是橢圓上的動點,則
的最小值為 .
16.設(shè)是定義在上不為零的函數(shù),對任意,都有,若,則數(shù)列的前項和的取值范圍是 .
三、解答題(本大題共6個小題,共74分)
17.(本小題滿分12分)已知函數(shù),其中,
相鄰兩對稱軸間的距離不小于
(1)求的取值范圍;
(2)在分別角的對邊, 最大時,
的面積.
18. (本小題滿分12分)已知直三棱柱的三視圖如圖所示,是的中點.
(1)求證:∥平面;
(2)求二面角的余弦值;
5、
(3)試問線段上是否存在點,使與成 角?若存在,確定點位置,若不存在,說明理由.
19. (本小題滿分12分)設(shè)是首項為,公差為的等差數(shù)列,是其前項和.
(1) 若,求數(shù)列的通項公式;
(2) 記,,且成等比數(shù)列,證明:().
20.(本小題滿分12分)請你設(shè)計一個包裝盒,如圖所示,ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得,,,四個點重合于圖中的點,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒,E、F在AB上,是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點,設(shè)().
(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積(cm)最大,試問應(yīng)
6、取何值?
(2)若廣告商要求包裝盒容積(cm)最大,試問應(yīng)取何值?并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.
21.(本小題滿分13分)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點,焦點在軸上,橢圓上的點到焦點距離的最大值為,最小值為.
(1)求橢圓方程;
(2)若直線與橢圓交于不同的兩點、,且線段的垂直平分線過定點,求的取值范圍。
22.(本小題滿分13分)設(shè)函數(shù)
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的最大值;
(2)令(),其圖象上存在一點,使此處切線的斜率,求實數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng),,方程有唯一實數(shù)解,求正數(shù)的值.
參考答案
1.【答案】C
7、,
,則陰影部分為,
,,所以,陰影部分為,即,選C.
2. 【答案】C.當(dāng)時,不成立,所以原命題錯誤,即逆否命題錯誤。原命題的逆命題為“已知,若 ,則”,所以逆命題正確,即否命題也正確,所以這4個命題中,真命題的個數(shù)為2個,選C.
3.【答案】A. , 由余弦定理得,∴, ∵,∴.
4.【答案】C.由三視圖可知,該幾何體是一個直三棱柱,三棱柱的底面是一個腰長為2,底面上的高是1的等腰三角形,側(cè)棱長是3,所以該幾何體的表面積為,選C.
5.【答案】B.,即,所以函數(shù)是最小正周期為的奇函數(shù),選B.
6.【答案】C.由及得交點為,
∴面積.
7.【答案】C.∵,∴.又,,∴.
8、
8.【答案】B.①當(dāng)時,不一定成立,所以錯誤。②成立。③成立。④,,且,也可能相交,所以錯誤。所以選B.
9. 【答案】B.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,即。則函數(shù)為奇函數(shù),所以圖象關(guān)于原點對稱,所以排除A,C.當(dāng)時,,所以排除D,選B.
10. 【答案】A.+,因為,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。所以當(dāng)時,有最大值為,
選A.
11.【答案】C.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑為。根據(jù)對稱性可知四邊形PACB面積等于,要使四邊形PACB面積的最小值,則只需最小,此時最小值為圓心到直線的距離,所以四邊形PACB面積的最小值為,選C.
12. 【答案】D.由得,所以函數(shù)的周期是4,又函數(shù)為偶函數(shù),所以
9、,即函數(shù)關(guān)于對稱。且。由得,令,做出函數(shù)的圖象如圖,由圖象可知,要使方程恰有3個不同的實數(shù)根,則有,即,所以,即,解得,所以選D.
13.【答案】.因為圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為的半圓,所以圓錐的母線,設(shè)圓錐底面圓的半徑為,則,即,所以圓錐的高為,所以圓錐的體積是.
14.【答案】.因為a+b=c,所以c=-(a+b),所以所以,即,所以,所以.
15. 【答案】1.根據(jù)橢圓的方程可知,所以,所以,即是橢圓的兩個焦點。設(shè),即,所以,所以,因為,所以當(dāng)時,有最小值,即的最小值為1.
16.【答案】.因為,所以令,得,即。因為,所以,即,所以數(shù)列是公比為,首項為的等比數(shù)列,所以。所以,即
10、,所以的前項和的取值范圍是,即.
17.解:(1)
由題意可知解得.
(2)由(1)可知的最大值為1,
,而.
由余弦定理知 ,
聯(lián)立解得.
18. 解: (1)證明:根據(jù)三視圖知:三棱柱是直三棱柱,,連結(jié),交于點,連結(jié).由 是直三棱柱,
得四邊形為矩形,為的中點.
又為中點,所以為中位線,所以 ∥,
因為 平面,平面,
所以 ∥平面.
(2)解:由是直三棱柱,且,故兩兩垂直.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系.
,則.
所以 ,
設(shè)平面的法向量為,則有
所以 取,得.
易知平面的法向量為.
11、
由二面角是銳二面角,得 .
所以二面角的余弦值為.
(3)解:假設(shè)存在滿足條件的點.
因為在線段上,,,故可設(shè),其中.
所以 ,.
因為與成角.
所以,解得, (舍去).
所以當(dāng)點為線段中點時,與成角.
19解(1)因為是等差數(shù)列,由性質(zhì)知,
所以是方程的兩個實數(shù)根,解得,
∴或
即或.
(2)證明:由題意知∴
∴.
∵成等比數(shù)列,∴ ∴,
∴,即.∵,∴,∴.
∴.
∴左邊=,右邊=,
∴左邊=右邊∴()成立.
20.解:設(shè)包裝盒的高為,底面邊長為.
由已知得,,.
(1),
∴當(dāng)時,取得最
12、大值.
(2),.
由,得(舍去)或.
當(dāng)時,;當(dāng)時,.
∴當(dāng)時,取得極大值,也是最大值.
此時,即包裝盒的高與底面邊長的比為.
21. 解: (1)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
,,
(2)設(shè)
由, 消去并整理得,
∵直線與橢圓有兩個交點,
,即,
又,
中點的坐標(biāo)為.
設(shè)的垂直平分線方程:
在上,
即. .
將上式代入得, ∴,即或.
的取值范圍為.
22.解:(1)依題意,的定義域為,
當(dāng)時,,
,
由 ,得,解得,
由 ,得,解得或.
,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
所以的極大值為,此即為最大值.
(2),則有在上有解,
∴≥, ,
所以 當(dāng)時,取得最小值.
(3)由得,令,
,
令,∴在單調(diào)遞增,
而,∴在,即,在,即,
∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
∴極小值=,令,即時方程有唯一實數(shù)解.
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