【導與練】（新課標）2016屆高三數學一輪復習 第2篇 第11節(jié) 導數在研究函數中的應用課時訓練 理

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1、【導與練】（新課標）2016屆高三數學一輪復習 第2篇 第11節(jié) 導數在研究函數中的應用課時訓練 理【選題明細表】知識點、方法題號導數研究函數的單調性1、5、7、9、11導數研究函數的極值2、4、8、14導數研究函數的最值3、6、11導數研究實際應用問題12綜合問題10、13、15、16基礎過關一、選擇題1.函數y=(3-x2)ex的單調遞增區(qū)間是(D)(A)(-,0)(B)(0,+)(C)(-,-3)和(1,+)(D)(-3,1)解析:y=-2xex+(3-x2)ex=ex(-x2-2x+3),由y0x2+2x-30-3x1,函數y=(3-x2)ex的單調遞增區(qū)間是(-3,1).故選D.2.

2、(2014天津模擬)若函數f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)內有極小值,則實數b的取值范圍是(D)(A)(0,1)(B)(-,1)(C)(0,+)(D)(0,)解析:f(x)=3x2-6b,令f(x)=0得x2=2b,由題意知,01,所以0b0,函數單調遞增;當x(1,e)時,y0,函數單調遞減.當x=1時,函數取得最大值-1.4.若函數f(x)=ax3+bx2+cx+d有極值,則導函數f(x)的圖象不可能是(D)解析:若函數f(x)=ax3+bx2+cx+d有極值,則此函數在某點兩側的單調性相反,也就是說導函數f(x)在此點兩側的導函數值的符號相反,所以導函數的圖象要穿過x軸,觀察四個

3、選項中的圖象只有D項是不符合要求的,即f(x)的圖象不可能是D.5.(2015洛陽調研)若f(x)=-(x-2)2+bln x在(1,+)上是減函數,則b的取值范圍是(C)(A)-1,+)(B)(-1,+)(C)(-,-1(D)(-,-1)解析:由題意可知f(x)=-(x-2)+0,在x(1,+)上恒成立,即bx(x-2)在x(1,+)上恒成立,由于 (x)=x(x-2)=x2-2x在(1,+)上的值域是(-1,+),故只要b-1即可.6.(2014福建廈門質檢)若函數f(x)=x3-3x在(a,6-a2)上有最小值,則實數a的取值范圍是(C)(A)(-,1)(B)-,1)(C)-2,1)(D

4、)(-,-2解析:f(x)=3x2-3=0,得x=1,且x=1為函數的極小值點,x=-1為函數的極大值點.函數f(x)在區(qū)間(a,6-a2)上,則函數f(x)極小值點必在區(qū)間(a,6-a2)內,即實數a滿足a16-a2且f(a)=a3-3af(1)=-2.解a16-a2,得-a1,不等式a3-3af(1)=-2,即a3-3a+20,即a3-1-3(a-1)0,即(a-1)(a2+a-2)0,即(a-1)2(a+2)0,即a-2.故實數a的取值范圍是-2,1).故選C.二、填空題7.已知向量a=(ex+,-x),b=(1,t),若函數f(x)=ab在區(qū)間(-1,1)上存在增區(qū)間,則t的取值范圍為

5、.解析:f(x)=ex+-tx,x(-1,1),f(x)=ex+x-t,函數在(-1,1)上存在增區(qū)間,故ex+xt,x(-1,1)時有解,故e+1t.答案:(-,e+18.直線y=a與函數f(x)=x3-3x的圖象有相異的三個公共點,則a的取值范圍是.解析:令f(x)=3x2-3=0,得x=1,可得極大值為f(-1)=2,極小值為f(1)=-2,如圖,觀察得-2a2時恰有三個不同的公共點.答案:(-2,2)9.已知函數f(x)=-x2+4x-3ln x在t,t+1上不單調,則t的取值范圍是.解析:由題意知f(x)=-x+4-=-,由f(x)=0得函數f(x)的兩個極值點為1,3,則只要這兩個

6、極值點有一個在區(qū)間(t,t+1)內,函數f(x)在區(qū)間t,t+1上就不單調,由t1t+1或t3t+1,得0t1或2t3.答案:(0,1)(2,3)10.(2014鄭州模擬)已知函數f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值,若m,n-1,1,則f(m)+f(n)的最小值是.解析:f(x)=-3x2+2ax,根據已知=2,得a=3,即f(x)=-x3+3x2-4.根據函數f(x)的極值點,可得函數f(m)在-1,1上的最小值為f(0)=-4,f(n)=-3n2+6n在-1,1上單調遞增,所以f(n)的最小值為f(-1)=-9.f(m)+f(n)min=f(m)min+f(n)min=-4-9

7、=-13.答案:-13三、解答題11.(2014太原模擬)設f(x)=-x3+x2+2ax.(1)若f(x)在(,+)上存在單調遞增區(qū)間,求a的取值范圍;(2)當0a0,得a-,所以當a-時,f(x)在(,+)上存在單調遞增區(qū)間.(2)令f(x)=0,得兩根x1=,x2=.所以f(x)在(-,x1),(x2,+)上單調遞減,在(x1,x2)上單調遞增.當0a2時,有x11x24,所以f(x)在1,4上的最大值為f(x2).又f(4)-f(1)=-+6a0,即f(4)f(1),所以f(x)在1,4上的最小值為f(4)=8a-=-,得a=1,x2=2,從而f(x)在1,4上的最大值為f(2)=.1

8、2.(2014泰安模擬)某種產品每件成本為6元,每件售價為x元(6x11),年銷售為u萬件,若已知-u與(x-)2成正比,且售價為10元時,年銷量為28萬件.(1)求年銷售利潤y關于售價x的函數關系式;(2)求售價為多少時,年利潤最大,并求出最大年利潤.解:(1)設-u=k(x-)2,售價為10元時,年銷量為28萬件,-28=k(10-)2,解得k=2.u=-2(x-)2+=-2x2+21x+18.y=(-2x2+21x+18)(x-6)=-2x3+33x2-108x-108(6x0;當x(9,11)時,y),當x(-2,0)時,f(x)的最小值為1,則a的值等于(D)(A)(B)(C)(D)

9、1解析:由題意知,當x(0,2)時,f(x)的最大值為-1.令f(x)=-a=0,得x=,當0x0;當x時,f(x)0.f(x)max=f()=-ln a-1=-1,解得a=1.14.函數f(x)=ax3+x恰有三個單調區(qū)間,則a的取值范圍是.解析:f(x)=ax3+x恰有三個單調區(qū)間,即函數f(x)恰有兩個極值點,即f(x)=0有兩個不等實根.f(x)=ax3+x,f(x)=3ax2+1.要使f(x)=0有兩個不等實根,則a0),由題意知6x0-1=(x00),即6-x0-1=0,解得x0=或x0=-,又x00,x0=.(2)若曲線y=f(x)與y=g(x)相切且在交點處有公共切線,由(1)

10、得切點橫坐標為,f()=g(),-+m=ln ,即m=-ln 2,數形結合可知,m-ln 2時,f(x)與g(x)有公共切線,故m的取值范圍是(-ln 2,+).(3)F(x)=f(x)-g(x)=3x2-x+m-ln x,故F(x)=6x-1-=,當x變化時,F(x)與F(x)在區(qū)間,1上的變化情況如表:x,)(,1F(x)-0+F(x)極小值又F()=m+ln 3,F(1)=2+mF(),當x,1時,F(x)min=F()=m+ln 2(m-ln 2),F(x)max=F(1)=m+2(m-ln 2).探究創(chuàng)新16.(2014天津模擬)設函數f(x)=x2+ax-ln x.(1)若a=1,試求函數f(x)的單調區(qū)間.(2)過坐標原點O作曲線y=f(x)的切線,證明:切點的橫坐標為1.(1)解:a=1時,f(x)=x2+x-ln x(x0),所以f(x)=2x+1-=,x(0,),f(x)0,所以f(x)的減區(qū)間為(0,),增區(qū)間為(,+).(2)證明:設切點為M(t,f(t),f(x)=2x+a-,切線的斜率k=2t+a-,又切線過原點k=,=2t+a-,即t2+at-ln t=2t2+at-1,所以t2-1+ln t=0,t=1滿足方程t2-1+ln t=0,由y=1-x2,y=ln x圖象可知x2-1+ln x=0有唯一解x=1,切點的橫坐標為1.10