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1、
【導與練】(新課標)2016屆高三數(shù)學一輪復習 第11篇 第4節(jié) 直接證明與間接證明、數(shù)學歸納法課時訓練 理
【選題明細表】
知識點、方法
題號
綜合法
2、5、8、10、14、16
分析法
3、7、11
反證法
1、9
數(shù)學歸納法
4、6、12、13、15
基礎(chǔ)過關(guān)
一、選擇題
1.用反證法證明某命題時,對結(jié)論“自然數(shù)a,b,c中恰有一個偶數(shù)”正確的反設(shè)是( B )
(A)自然數(shù)a,b,c中至少有兩個偶數(shù)
(B)自然數(shù)a,b,c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)
(C)自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù)
(D)自然數(shù)a,b,c都是偶數(shù)
解析:“恰有一個偶數(shù)”反面應
2、是“至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)”.故選B.
2.設(shè)x,y,z>0,則三個數(shù)+,+,+( C )
(A)都大于2
(B)至少有一個大于2
(C)至少有一個不小于2
(D)至少有一個不大于2
解析:由于+++++=(+)+(+)+(+)≥2+2+2=6,
∴+,+,+中至少有一個不小于2.故選C.
3.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證0 (B)a-c>0
(C)(a-b)(a-c)>0 (D)(a-b)(a-c)<0
解析:由a>b>c,且a+b+c=0可得b=-a-c,a>
3、0,c<0.
要證0,
即證a(a-c)+(a+c)(a-c)>0,
即證a(a-c)-b(a-c)>0,
即證(a-c)(a-b)>0.
故求證“0.
4.用數(shù)學歸納法證明不等式1+++…+>成立,起始值至少應取為( B )
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10
解析:左邊的和為=2-21-n,當n=8時,和為2-2-7>.
5.(2014合肥一模)對于函數(shù)f(x),若?a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)都是某一三角形的三邊長,則稱f(x)為“可構(gòu)造三角
4、形函數(shù)”.以下說法正確的是( D )
(A)f(x)=1(x∈R)不是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”
(B)“可構(gòu)造三角形函數(shù)”一定是單調(diào)函數(shù)
(C)f(x)=(x∈R)是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”
(D)若定義在R上的函數(shù)f(x)的值域是[,e](e為自然對數(shù)的底數(shù)),則f(x)一定是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”
解析:對于A選項,由題設(shè)所給的定義知,?a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)都是某一正三角形的三邊長,是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”,故A選項錯誤;
對于B選項,由A選項判斷過程知,B選項錯誤;
對于C選項,當a=0,b=3,c=3時,f(a)=1>f(b)+f(c)=,不構(gòu)成三角形,故C錯
5、誤;
對于D選項,由于+>e,可知,定義在R上的函數(shù)f(x)的值域是[,e](e為自然對數(shù)的底數(shù)),
則f(x)一定是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”.
6.(2014青島市高三月考)用數(shù)學歸納法證明++…+>時,由k到k+1,不等式左邊的變化是( C )
(A)增加項
(B)增加和兩項
(C)增加和兩項同時減少項
(D)以上結(jié)論都不對
解析:n=k時,左邊=++…+
n=k+1時,左邊=++…+,
由“n=k”變成“n=k+1”時,不等式左邊的變化是+-.
二、填空題
7.設(shè)a>b>0,m=-,n=,則m,n的大小關(guān)系是 .?
解析:法一 取a=2,b=1,得m
6、法二 -+>?a0,顯然成立,故m
7、不是偶數(shù)
10.(2014福建模擬)對于30個互異的實數(shù),可以排成m行n列的矩形數(shù)陣,如圖所示的5行6列的矩形數(shù)陣就是其中之一.
x1 x2 · · · x6
y1 y2 · · · y6
· · · · · ·
· · · · · ·
z1 z2 · · · z6
將30個互異的實數(shù)排成m行n列的矩形數(shù)陣后,把每行中最大的數(shù)選出,記為a1,a2,…,am,并設(shè)其中最小的數(shù)為a;把每列中最小的數(shù)選出,記為b1,b2,…,bn,并設(shè)其中最大的數(shù)為b.
兩位同學通過各自的探究,分別得出兩個結(jié)論如下:
①a和b必相等;②a和b可能相等;③a可能大于b;④b可能大于a.
以上四個結(jié)
8、論中,正確結(jié)論的序號是 (請寫出所有正確結(jié)論的序號).?
解析:不妨假設(shè)m行n列的矩形數(shù)陣,為如題圖所示的5行6列的矩形數(shù)陣,
則由題意可得a的最小值為6,最大值為30;
而b的最小值為6,最大值為26,且在同一個5行6列的矩形數(shù)陣中,一定有a≥b,
故②③正確,而①④不正確.
答案:②③
三、解答題
11.已知a>0,求證:-≥a+-2.
證明:要證-≥a+-2.
只要證+2≥a++.
∵a>0,故只要證≥,
即a2++4+4≥a2+2++
2+2,
從而只要證2≥,
只要證4≥2,即a2+≥2,
而上述不等式顯然成立,故原不等式成立.
12.(2013
9、湖南常德模擬)設(shè)a>0,f(x)=,令a1=1,an+1=f(an),n∈N*.
(1)寫出a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列{an}的通項公式;
(2)用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論.
(1)解:∵a1=1,∴a2=f(a1)=f(1)=;
a3=f(a2)=;a4=f(a3)=.
猜想an=(n∈N*).
(2)證明:①易知,n=1時,猜想正確.
②假設(shè)n=k時猜想正確,
即ak=,
則ak+1=f(ak)==
==.
這說明,n=k+1時猜想正確.
由①②知,對于任何n∈N*,都有an=.
能力提升
13.(2014安慶高三月考)用數(shù)學歸納法證明2n>n2(n≥5,n
10、∈N+),第一步應驗證( B )
(A)n=4 (B)n=5 (C)n=6 (D)n=7
解析:根據(jù)數(shù)學歸納法的步驟,首先要驗證當n取第一個值時命題成立;
又n≥5,所以第一步驗證n=5.
14.已知三個不等式①ab>0;②>;③bc>ad.以其中兩個作條件,余下一個作結(jié)論,則可組成 個正確命題.?
解析:此題共可組成三個命題即①②?③;①③?②;②③?①.若ab>0,>,則-=>0,得bc-ad>0,即可得命題①②?③正確;若ab>0,bc>ad,則=->0,得>,即命題①③?②正確;若bc>ad,>,則-=>0,得ab>0,即命題②③?①正確.綜上可得正確的命題有三個.
11、答案:三
15.數(shù)列{an}滿足Sn=2n-an(n∈N+)
(1)計算a1,a2,a3,a4;
(2)猜想通項公式an,并用數(shù)學歸納法證明.
解:(1)由a1=2-a1,得a1=1,
由a1+a2=2×2-a2,得a2=,
由a1+a2+a3=2×3-a3,得a3=,
由a1+a2+a3+a4=2×4-a4,得a4=.
(2)猜想an=(n∈N+).證明如下:
①當n=1,由上面計算可知猜想成立;
②假設(shè)n=k時猜想成立,即ak=,
此時Sk=2k-ak=2k-,
當n=k+1時,Sk+1=2(k+1)-ak+1,
得Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1.
因此
12、ak+1=[2(k+1)-Sk]
=k+1-(2k-)
=.
∴當n=k+1時也成立,
∴an=(n∈N+).
探究創(chuàng)新
16.設(shè)集合W是滿足下列兩個條件的無窮數(shù)列{an}的集合:①≤an+1;②an≤M,其中n∈N*,M是與n無關(guān)的常數(shù).
(1)若{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項的和,a3=4,S3=18,試探究{Sn}與集合W之間的關(guān)系;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項公式為bn=5n-2n,且{bn}?W,M的最小值為m,求m的值;
(3)在(2)的條件下,設(shè)Cn=[bn+(m-5)n]+,求證:數(shù)列{Cn}中任意不同的三項都不能成為等比數(shù)列.
(1)解:∵a3=4,S
13、3=18,
∴a1=8,d=-2.
∴Sn=-n2+9n.