《三維坐標變換》PPT課件.ppt

上傳人:xt****7 文檔編號:15738668 上傳時間:2020-09-02 格式:PPT 頁數:27 大?。?67.50KB
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1、第7章 三維變換,7.1 簡介 7.2 三維幾何變換 7.3 三維坐標變換,7.1 簡介,三維平移變換、比例變換可看成是二維情況的直接推廣。但旋轉變換則不然,因為我們可選取空間任意方向作旋轉軸,因此三維變換處理起來更為復雜。,與二維變換相似,我們也采用齊次坐標技術來描述空間的各點坐標及其變換,這時,描述空間三維變換的變換矩陣是44的形式。 由此,一系列變換可以用單個矩陣來表示。,7.2 三維幾何變換,7.2.1 基本三維幾何變換 1. 平移變換 若空間平移量為(tx, ty, tz),則平移變換為,,,,P(x,y,z),,,P(x,y,z),,x,y,z,補充說明:點的平移、物體的平移、多

2、面體的平移、逆變換,2. 比例變換,(1) 相對坐標原點的比例變換 一個點P=(x,y,z)相對于坐標原點的比例變換的矩陣可表示為,,,,x,y,z,,其中,為正值。,(2) 相對于所選定的固定點的比例變換,z,,,,x,y,,(xf,yf,zf),z,,,,x,y,,(xf,yf,zf),,z,,,,x,y,,(xf,yf,zf),z,,,,x,y,,(xf,yf,zf),,,(1),(2),(3),3. 繞坐標軸的旋轉變換,三維空間中的旋轉變換比二維空間中的旋轉變換復雜。除了需要指定旋轉角外,還需指定旋轉軸。 若以坐標系的三個坐標軸x,y,z分別作為旋轉軸,則點實際上只在垂直坐標軸的平面

3、上作二維旋轉。此時用二維旋轉公式就可以直接推出三維旋轉變換矩陣。 規(guī)定在右手坐標系中,物體旋轉的正方向是右手螺旋方向,即從該軸正半軸向原點看是逆時針方向。,(1)繞 z 軸旋轉,,,,,,,,,,,,,x,x,x,y,y,y,z,z,z,,,(2)繞 x 軸旋轉,(3)繞 y 軸旋轉,,繞 z 軸旋轉,繞 x 軸旋轉,繞 y 軸旋轉,旋轉,則該軸坐標的一列元素不變。按照二維圖形變換的情況,將其旋轉矩陣,,中的元素添入相應的位置中,即,對于單位矩陣,旋轉變換矩陣規(guī)律:,,繞哪個坐標軸,(1) 繞z軸正向旋轉,角,旋轉后點的z坐標值不變, x、y,坐標的變化相當于在xoy平面內作正,角旋轉。,(

4、2)繞x軸正向旋轉,角,旋轉后點的x坐標值不變,,Y、z坐標的變化相當于在yoz平面內作正,角旋轉。,,即,這就是說,繞y軸的旋轉變換的矩陣與繞x軸和z軸變換的矩陣從表面上看在符號上有所不同。,(3) 繞y軸正向旋轉,角,y坐標值不變,z、x的坐標相當,于在zox平面內作正,角旋轉,于是,7.2.2 組合變換,物體繞平行于某一坐標軸的旋轉變換。基本步驟: (1) 平移物體使旋轉軸與所平行的坐標軸重合; (2) 沿著該坐標軸進行指定角度的旋轉; (3) 平移物體使旋轉軸移回到原位置。,,,,x,y,z,,,,x,y,z,(a),(b),y,,,,x,z,(c),,,,x,z,,(d),,繞

5、任意軸旋轉的變換 (1)平移物體使旋轉軸通過坐標原點;,,,,x,y,z,,P1,,,P2,,,,x,y,z,,P1,,,P2,(1),(2)旋轉物體使旋轉軸與某個坐標軸(如z軸)重合; (3)關于該坐標軸進行指定角度的旋轉;,,,,x,y,z,,P1,,,P2,(2),y,,,,x,z,,P1,,,P2,(3),,(4) 應用逆旋轉變換將旋轉軸回到原方向; (5) 應用逆平移變換將旋轉軸變換到原位置。,,,,x,y,z,,P1,,,P2,(4),,,,x,y,z,,P1,,,P2,(5),例. 求變換AV,使過原點的向量V=(a,b,c)與z軸的正向一致。,,,,x,y,z,,V,,,,,,

6、x,y,z,,,實現(xiàn)步驟: (1)將V繞x軸旋轉到xz 平面上; (2)再繞y軸旋轉使之與z軸正向重合。,旋轉角度的確定:繞x軸旋轉的角度 等于向量V在yz 平面上的投影向量與z 軸正向的夾角。,,,,x,y,z,,V=(a,b,c),,,V1=(0,b,c),V,V,根據矢量的點乘與叉乘,可以算出:,因此,,類似地,可以求出:,利用這一結果,則繞任意軸旋轉的變換矩陣可表示為:,,,,x,y,z,,P1,,,P2,,,,x,y,z,,P1,,,P2,1) T,,,,x,y,z,,P1,,,P2,2),,,,x,z,,P1,,,P2,3),,給定具有單位長的旋轉軸A=ax,ay,az和旋轉角

7、 ,,則物體繞OA軸旋轉變換的矩陣表示可確定如下:,,,,,A,,,,,,,軸角旋轉,7.2.3 繞任意軸旋轉變換的簡單算法,x,y,z,o,其中,表示M的轉置矩陣。,,利用這一結果,則繞任意軸旋轉的變換矩陣可表示為:,傳統(tǒng)的方法通過繞坐標軸旋轉變換的乘積表示繞任意軸旋轉的變換。與之相比,這種方法更直觀。,,,,x,y,z,,P1,,,P2,,,,x,y,z,,P1,,,P2,其中旋轉軸A=ax,ay,az為,A,7.2.4 三維變換矩陣的功能分塊,(1)三維線性變換部分 (2)三維平移變換部分 (3)透視變換部分 (4)整體比例因子,7.3 三維坐標變換,幾何變換:在一個參考坐標系下將物體從

8、一個位置移動到另一個位置的變換。 坐標變換: 一個物體在不同坐標系之間的坐標變換。如從世界坐標系到觀察坐標系的變換;觀察坐標到設備坐標之間的變換。再如,對物體造型時,我們通常在局部坐標系中構造物體,然后重新定位到用戶坐標系。,坐標變換的構造方法: 與二維的情況相同,為將物體的坐標描述從一個系統(tǒng)轉換為另一個系統(tǒng),我們需要構造一個變換矩陣,它能使兩個坐標系統(tǒng)重疊。具體過程分為兩步: (1)平移坐標系統(tǒng)oxyz,使它的坐標原點與新坐標系統(tǒng)的原點重合; (2)進行一些旋轉變換,使兩坐標系的坐標軸重疊。 有多種計算坐標變換的方法,下面我們介紹一種簡單的方法。,,,,x,y,z,,(0,0,0),,,,,

9、,,x,z,y,設新坐標系oxyz 原點的坐標為(x0,y0,z0),相對原坐標系其單位坐標矢量為:,將原坐標系xyz下的坐標轉換成新坐標系xyz的坐標可由以下兩步完成: 首先, 平移坐標系xyz,使其原點與新坐標系xyz的原點(x0,y0,z0)重合;,,,,x,y,z,,(0,0,0),,,,,,,x,z,y,,,,x,y,z,,(0,0,0),平移矩陣為:,,(x,y,z),第二步,利用單位坐標向量構造坐標旋轉矩陣,,該矩陣R將單位向量,分別變換到x,y和z 軸。,綜合以上兩步,從oxyz到oxyz的坐標變換的矩陣為,說明:變換矩陣TR將一個直角坐標系變換為另一個坐標系。即使一個坐標系是右手坐標系,另一個為左手坐標系,結論依然成立。,,也即坐標變換公式為:,習題7 7-1 對于點P(x,y,z) ,(1) 寫出它繞x 軸旋轉 角,然后再繞y軸旋轉 角的變換矩陣。 (2)寫出它繞 y 軸旋轉 角,然后再繞 x 軸旋轉 角的變換矩陣。所得到的變換矩陣的結果一樣嗎? 7-2 寫出繞空間任意軸旋轉的變換矩陣。,

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