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1、1,解,f()=2i(32+7+1), 根據(jù)柯西積分公式知,,“數(shù)學是無窮的科學”赫爾曼.外爾,第三章 冪級數(shù)展開,3,學習要求與內容提要,,目的與要求：掌握復數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)、泰勒級數(shù)、與洛 朗級數(shù)的概念、性質及基本計算方法、孤 立奇點的概念及判定、零點與極點的關系。,,,重點：,難點：,函數(shù)展開成泰勒級數(shù)與洛朗級數(shù),函數(shù)展開成洛朗級數(shù),4,無窮級數(shù)：一無窮多個數(shù)構成的數(shù)列w1，w2，w3， wn， 寫成w1+w2+w3+ wn+ 就稱為無窮級數(shù)。這僅是一種形式上的相加。這種加法是不是具有和數(shù)呢？這個和數(shù)的確切意義是什么？,為什么要研究級數(shù)？ (1) 級數(shù)可作為函數(shù)的表達式，
2、是研究函數(shù)的工具； (2) 常微分方程的級數(shù)解。 研究級數(shù)需關心的問題： (1) 級數(shù)的斂散性，收斂的定義、條件、判據(jù)； (2) 收斂級數(shù)或一致收斂級數(shù)所具有的性質等。,5,3.1 復數(shù)項級數(shù),(一)復數(shù)項級數(shù) 1 定義 設wn(n=1,2,)為一復數(shù)列,表達式 的稱為復數(shù)項級數(shù)，其中 是復數(shù)。,2 部分和,級數(shù)前面n項的和,若部分和數(shù)列sn(n=1,2,,)有復數(shù)極限s,即若,(3.1),本節(jié)內容與實數(shù)項級數(shù)類似，只作扼要介紹。,6,說明:,與實數(shù)項級數(shù)相同, 判別復數(shù)項級數(shù)斂散性的基本方法是:,則稱復數(shù)項級數(shù)(3.1)收斂于s,且稱s為(3.1)的和,寫成,若復數(shù)列sn(n=1,2,
3、,)沒有極限,則稱級數(shù)(3.1)為發(fā)散.,7,,的斂散性.,,0,,,=,n,n,z,分析級數(shù),例1,8,3.復數(shù)項級數(shù)收斂的條件,證,因為,,(1) 定理,9,說明,復數(shù)項級數(shù)的審斂問題,實數(shù)項級數(shù)的審斂問題,(定理),10,(3) 絕對收斂定義,注1： 一個絕對收斂的復級數(shù)的各項可以任意重排次序,而不改變其絕對收斂性,亦不改變其和.,(2) 柯西判據(jù)：對于任一小的正數(shù) ，必存在一 N 使得 nN 時有,式中 p 為任意正整數(shù).,11,解,所以原級數(shù)發(fā)散.,例1,所以原級數(shù)收斂.,注3：兩個絕對收斂級數(shù)的和，積，仍絕對收斂。,12,（二）復變函數(shù)項（簡稱函數(shù)項）級數(shù)：,設復變函數(shù)列wk(z)
4、定義在區(qū)域B上，則由wk(z)構成的級數(shù)稱函數(shù)項級數(shù),當選定z的一個確定值時，函數(shù)項級數(shù)變成一個復數(shù)項級數(shù)。,由于函數(shù)項級數(shù)定義在區(qū)域 B(或曲線l)上，所以它的收斂的概念是相對于定義域B(或曲線l)而言的。,13,,1.復變函數(shù)項級數(shù)一致收斂的充分必要條件,定義：任給 0，存在一個與z無關的自然數(shù)N ()，當,,,n N ()時，對B(或l)上所有z，均有：,,(p為任意自然數(shù))，則稱在B(或l)一致收斂。,一致收斂級數(shù)的性質,性質1： 若wk(z) 在B內連續(xù)，函數(shù)級數(shù) 在B內一致收斂，則和函數(shù)w(z)也是B內的連續(xù)函數(shù)。,這個性質說明：如果級數(shù)的每一項都是連續(xù)函數(shù)，則一致收斂級數(shù)可以逐
5、項求極限。,14,性質2： 若級數(shù) 在區(qū)域B內的分段光滑曲線l上一致收斂，且wk(z)為l上的連續(xù)函數(shù)，則級數(shù)可沿l逐項積分：,15,絕對一致收斂,這是一種特殊形式的常用函數(shù)項級數(shù)。,3.2 冪級數(shù),冪級數(shù)：通項為冪函數(shù)的級數(shù):,（一） 定義,16,（二）冪級數(shù)的斂散性,1. 阿貝爾定理 如果級數(shù) 在z0點收斂，那么在以a點為圓心， 為半徑的圓內絕對收斂，而 上一致收斂。,如果級數(shù) 在z1點發(fā)散，則在 內處處發(fā)散。,由于發(fā)散的冪級數(shù)沒有多大用處，故重點研究冪級數(shù)的斂 散性。,2.求收斂圓半徑R的公式,絕對收斂是指 收斂，后者為正項 級數(shù)，因此可用正項級數(shù)的比值
6、判別法和根式判別法確,17,(1) 比值判別法,,引入收斂半徑,定收斂半徑 R。,絕對收斂,發(fā)散,絕對收斂,發(fā)散,則若:,級數(shù),的柯西判據(jù),所以,絕對收斂 .,18,所以收斂半徑為,（2）當,19,(2) 根式判別法,發(fā)散,所以,絕對收斂,對應級數(shù)絕對收斂,則若:,20,如果:,(極限不存在),,4. 復變冪級數(shù)在收斂圓內的性質,那么,21,且可表為連續(xù)函數(shù)的回路積分。,22,證明: 記 CR1上點為， CR1內任一點為 z，則圓上的冪級數(shù)可寫為,,,23,且冪級數(shù)在收斂圓內可任意逐項求導,,,證明:冪級數(shù) 乘以,24,故收斂半徑,解,25,解,例2,求 的收斂半徑.,26,例3 計
7、算,解:和函數(shù),27,5.冪級數(shù)的運算與性質,在收斂半徑R=min(r1,r2)內:,(2)冪級數(shù)的代換(復合)運算,28,思考,思考題答案,不一定。,冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何斷定?,數(shù)斂散性討論。,思考題答案,29,3.2 3. (1)（4）(5） 4. (1)(3),本講作業(yè),30,3.3 泰勒級數(shù)展開,,上節(jié)證明了：冪級數(shù)在其收斂圓內解析 本節(jié)證明其逆定理：解析函數(shù)可以展開成冪級數(shù)，且這種 展開式是唯一的。 解析函數(shù)與冪級數(shù)的密切關系,其中展開系數(shù) ak 稱為泰勒級數(shù),如圖：設 f (z)在區(qū)域內解析，z0為內任一點，為z0到區(qū)邊界的最短距離，則當| zz0 |
8、< R 時， f (z)可展開為泰勒級數(shù),(一)解析函數(shù)的泰勒展開定理,CR1為半徑為的圓。,31,證明： 1. 設f(z)在內解析, 在圖示的CR1圓上應用柯西公式,其中z為圓CR1內某一點,| zz0 |=r，CR1為包含z的圓，| z0 | = R,(0 < r< R) ，為CR1上的點。,,如圖:,32,2. 將被積函數(shù)變成級數(shù),利用 將 展開成以z0為中心的級數(shù),被積函數(shù)寫成：,3. 將上式沿CR1積分,級數(shù) 在CR1上一致收斂 和 f () 在CR1上有界,33,級數(shù) 在 B內一致收斂 逐項積分,于是,其中,4. 展開式是唯一的,34,,
9、若 f (z)能展開成另一種形式：,(1) 那么當 z = z0：,(2) 對z求導：,,展開式唯一,35,,來求 ak 。,,由展開式的唯一性，可以用任何方便的辦法來求解一個 解析函數(shù)的泰勒展開式，不必一定要用積分表達式,說明：,(1) 解析函數(shù)與泰勒級數(shù)之間存在密切關系： a. 冪級數(shù)在其收斂圓內解析； b. 解析函數(shù)可以展開成冪級數(shù)，且這種展開式是唯一的。,(2) 如果f(z)在B內有一階導數(shù)存在，則f(z)可在B內每一點的,鄰域內展開成泰勒級數(shù)。而對于實變函數(shù)來說，f (x) 的一,階導數(shù)存在，它的二階或高階導數(shù)可能不存在，因此 f(x) 就不可能展開成泰勒級數(shù)。,36,因為解析，
10、可以保證無限階導數(shù)的連續(xù)性;,注意：,所以復變函數(shù)展為泰勒級數(shù)的實用范圍就要比實變函數(shù)廣闊的多。,說明:,37,(三)將函數(shù)展開成泰勒級數(shù),常用方法: 直接法和間接法.,1.直接法:,由泰勒展開定理計算系數(shù),例1，,故有,38,2. 間接展開法 :,借助于一些已知函數(shù)的展開式 , 結合解析函數(shù)的性質, 冪級數(shù)運算性質 (逐項求導, 積分等)和其它數(shù)學技巧 (代換等) , 求函數(shù)的泰勒展開式。,間接法的優(yōu)點:,不需要求各階導數(shù)與收斂半徑 , 因而比直接展開更為簡潔 , 使用范圍也更為廣泛。,39,例2,40,附: 常見函數(shù)的泰勒展開式,41,42,例3,解,上式兩邊逐項求導,,,,43,例4*,
11、分析,如圖,,44,,即,將展開式兩端沿 l 逐項積分, 得,解,45,3.4 解析延拓,解析延拓：將解析函數(shù)定義域加以擴大,例; 冪級數(shù)： 在以z =0為圓心的單位圓B內代表一個解析函數(shù)，令為 級數(shù)的收斂域B即解析函數(shù)定義域半徑R=1 。,在單位圓B內，取一點z0=i/2 為圓心進行將f1(z)泰勒展開 這級數(shù)的收斂域b的半徑為,（一）解析延拓,46,上例說明，收斂域b 跨出原來的收斂域B 之外，而級數(shù)(1)在收斂域B內. b 代表解析函數(shù) f2(z)，于是稱 f2(z )為 f1(z) 在 b內的解析延拓。,定義：若f1(z)和f2(z)分別在B,b內解析，且在B與b重疊的區(qū)
12、域中有f1(z)=f2(z)，則稱f2(z)為f1(z)在b中的解析延拓， f1(z)為f2(z)在B中的解析延拓。,可以證明，無論采用何種方法，函數(shù) f(z) 的解析延拓是唯一的。這樣，可以采用某些最方便的方法來進行解析延拓。,B,b,47,首先在B1 內任取一點 z0，將 f 1 (z)在 z0 的鄰域展開成泰 勒級數(shù) 設級數(shù)的收斂區(qū)域為B2。如果B2超出了B1的范圍。由于在 B1和B2的重疊區(qū)域 f1(z)= f2(z)，所以 f2(z) 就是 f1(z) 在 B2中的解析延拓。 這樣不斷作下去，得到一系列的解析Bn,fn (z) (n=2,3...)。 一個解析元素Bn,fn (z)
13、的全部解析延拓的集合，稱為 f1 (z)所產生的完全解析函數(shù) F(z)，F(xiàn)(z)的定義域是鄰解析元 素給出的定義域的總和。,(二)泰勒級數(shù)展開解析延拓的方法,48,3.3 (1)（3）(6）(8),本講作業(yè),49,3.5 洛朗級數(shù)展開,(一)問題的引入,50,例1.,都不解析,,所以,51,由此推想，若f (z) 在R 2
14、任一正向簡單閉曲線.,為洛朗系數(shù).,54,證,對于第一個積分(CR1):,55,,對于第二個積分:,所以,,,因為,56,則,,57,則,,,對于C為在圓環(huán)域內繞 的任何一條正向簡單,58,說明:,,在圓環(huán)域內的洛朗(Laurent)級數(shù).,,,1),2) 某一圓環(huán)域內的解析函數(shù)展開為含有正、負冪項的級數(shù)是唯一的.,定理給出了將圓環(huán)域內解析的函數(shù)展為洛朗級數(shù)的一般方法.,59,(三)函數(shù)的洛朗展開式,常用方法 : 1.直接法 2.間接法,1. 直接展開法,利用定理公式計算系數(shù),根據(jù)正、負冪項組成的的級數(shù)的唯一性, 可,用代數(shù)運算、代換、求導和積分等方法去展開 .,2. 間接展開法,60,例2,
15、解,,目標求ak,令f1=e,則f1=e在閉合回路C內和C上均解析， 故由解析函數(shù)的導數(shù)公式,,即有,如何計算ak?,61,間接法解：直接展開ez,62,例3,內是處處解析的,,試把 f (z) 在這些區(qū)域內展開成洛朗級數(shù).,解,間接展開法,63,是泰勒級數(shù),64,由,,,且仍有,65,此時,66,仍有,67,說明:,68,解：間接法 即通過展開sinz為級數(shù)求解：,例4,,.,,0,,,sin,,0,洛朗級數(shù),的去心鄰域內展開成,在,將函數(shù),=,z,z,z,69,3.6 孤立奇點的分類,定義：若函數(shù)f (z)在點z0處不解析（或沒有定義），但在點z0的某個空心鄰域 內解析，則稱點z0
16、為f (z)的孤立奇點。,(一)孤立奇點的概念,例1,70,解,的奇點存在,,函數(shù)的奇點是1/z=0和sin(1/z)=0對應的點，即,總有,71,定義 設z0是解析函數(shù)f (z)的孤立奇點，f (z)在點z0的某去心鄰域 內的羅朗展式為,(1)若展式中不含有z-z0的負冪項，則稱z0為f (z)的可去奇點；,(2)若展式中只含有z-z0的有限(m)項負冪項，則稱z0是f (z)的極點，稱m為極點z0的階，按照m=1或m1，稱z0是f (z)的單極點或m階的極點；,(3)若展式中含有z-z0的無窮多個負冪項，則稱z0為f (z)的本性奇點。,(二)孤立奇點的分類,72,說明: (1),,,
17、補充定義,1可去奇點,如果洛朗級數(shù)中不含 的負冪項,,那末孤立奇點 稱為 的可去奇點.,1) 定義,73,2) 可去奇點的判定,(1) 定義判斷:,(2) 極限判斷,若極限存在且為有限值,,如果補充定義:,時,,74,解 由定義判斷,,無負冪項,極限判斷,75,2. 極點,即,或寫成,1) 定義,負冪項,,76,說明:,,1.,2.,特點:,(1),是二級極點,,是一級極點.,77,2)極點的判定方法,限項.,在點 的某去心鄰域內,其中 在 的鄰域內解析,且,(1) 定義判別,(2) 定義的等價形式判別,78,本性奇點,3.,例如，,,含有無窮多個z的負冪項,79,(三)函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)
18、,1. 定義,80,作變換,并且規(guī)定此變換將:,映射為,,擴充 z 平面,擴充 t 平面,映射為,,,映射為,,映射為,81,2 結論:,,3 規(guī)定:,m級奇點或本性奇點 .,82,1)不含正冪項;,3)含有無窮多的正冪項;,1)可去奇點 ;,2) m 級極點;,3)本性奇點 .,判別法1 (利用洛朗級數(shù)的特點),4.判別方法:,83,不含正冪項,84,含有無窮多的正冪項,85,判別法2 : (利用極限特點),如果極限,86,解,（2）分析分子的零點情況；,,先分析有限區(qū)域，再分析無限區(qū)域,87,然而,因為,的三級極點.,故在 這些點中除1, -1, 2外, 都是,對于z=2，,88,89,洛朗級數(shù)是一個雙邊冪級數(shù), 其解析部分是 一個普通冪級數(shù);,答:,是一般與特殊的關系.,洛朗級數(shù)的收斂區(qū)域是圓環(huán)域,洛朗級數(shù)與泰勒級數(shù)有何關系?,思考題1,思考,90,思考題2,答:,91,3.5 (1)（3）(5） (7)(9) 3.6 (1)（2）(3）,本講作業(yè),92,,,,
數(shù)學物理方法 3 冪級數(shù)展開
