蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊 勾股定理 同步專題培優(yōu)訓(xùn)練【含答案】

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1、蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊 勾股定理 同步專題培優(yōu)訓(xùn)練 一.選擇題 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2AC,若AC=6,則BC的長為( ?。? A.8 B.12 C. D. 2.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=2,則BC的長為( ?。? A.3 B. C.4 D. 3.如圖,在RtABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CD是斜邊上的高,則CD長是( ?。? A.5 B. C. D. 4.如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,E是邊BC的中點(diǎn),AD=ED=3,則BC的長為( ?。? A. B. C. D. 5.如圖是

2、一株美麗的勾股樹,其中所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的面積分別為6,10,4,6,則最大正方形E的面積是(  ) A.94 B.26 C.22 D.16 6.如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M、N分別是AC、BD的中點(diǎn),AC=12,BD=8,則MN的長是( ?。? A.4 B.4 C.2 D.2 7.如圖,在四邊形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AB=BC=5,BD=7,則Rt△ADC的周長為( ?。? A.5 B.7 C.9 D.12 8.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,以△ABC的各邊為邊作

3、三個(gè)正方形,點(diǎn)G落在HI上.若AC+BC=6,空白部分面積為13.5,則AB=( ?。? A.2 B. C.2 D. 9.如圖,是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖,它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的,若AC=12,BC=7,將四個(gè)直角三角形中邊長為12的直角邊分別向外延長一倍,得到如圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”,則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長是( ?。? A.148 B.100 C.196 D.144 10.正方形ABCD的邊長為2,其面積記為S1,以CD為斜邊作等腰直角三角形,以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形,其面積記為S2,…按此規(guī)律繼續(xù)下去,則s2021的值為(  ) A.

4、()2019 B.()2018 C.()2019 D.()2018 二.填空題 11.若一個(gè)直角三角形的兩邊長分別是4cm,3cm,則第三條邊長是    cm. 12.如圖,小正方形邊長為2,連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)可得△ABC,則AC邊上的高為   . 13.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠ABD=45°,BD=13,CD=5,則AD的長度為   ?。? 14.如圖,四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形ABCD,中間陰影部分是一個(gè)小正方形EFGH,這樣就組成一個(gè)“趙爽弦圖”.若AB=10,A

5、E=8,則正方形EFGH的面積為   . 15.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,若點(diǎn)D滿足AD=AB,BD=AB,點(diǎn)P是AD的中點(diǎn),則=  ?。? 三.解答題 16.如圖,∠BAC=90°,BC=28,AC=14,BD=13,AD=15. (1)求AB的長度; (2)作DH⊥AB,并求△ADB的面積. 17.如圖,△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于點(diǎn)E,AD⊥BC于點(diǎn)D,∠BAD=45°,AD與BE交于點(diǎn)F,連接CF. (1)求證:BF=2AE; (2)若CD=2,求AD的長. 18.在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí),我們學(xué)會(huì)運(yùn)用圖(

6、Ⅰ)驗(yàn)證它的正確性.圖中大正方形的面積可表示為(a+b)2,也可表示為c2+4×ab,即(a+b)2=c2+4×ab.由此推出勾股定理a2+b2=c2這種方法可以極簡單地直觀推論或驗(yàn)證出數(shù)學(xué)規(guī)律和公式. (1)請你用圖(Ⅱ)的面積表達(dá)式驗(yàn)證勾股定理(其中四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形ABCD,中間的部分是一個(gè)小正方形EFGH,AE=a,BE=b,AB=c); (2)請你用圖(Ⅲ)提供的圖形進(jìn)行組合,用組合圖形的面積表達(dá)式驗(yàn)證:(x+y)2=x2+2xy+y2. 參考答案 一.選擇題 1.解:∵△ABC為直角三角形,且∠C=90°, ∴AB2=AC2+BC2, ∵AB

7、=2AC, ∴3AC2=BC2=108, 解得BC=6, 故選:C. 2.解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=2, 根據(jù)勾股定理得:BC===. 故選:B. 3.解:在RtABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4, 由勾股定理得:AB===5, ∵S△ABC=×AC×BC=×AB×CD, ∴×3×4=×5×CD, 解得:CD=, 故選:B. 4.解:∵AD=ED=3,AD⊥BC, ∴△ADE為等腰直角三角形, 根據(jù)勾股定理得:AE=, ∵Rt△ABC中,E為BC的中點(diǎn), ∴AE=BC, 則BC=2AE=6, 故選:A. 5.

8、解:根據(jù)勾股定理的幾何意義,可得A、B的面積和為S1,C、D的面積和為S2,S1+S2=S3, 即S3=6+10+4+6=26. 故選:B. 6.解:連接BM、DM, ∵∠ABC=∠ADC=90°,M是AC的中點(diǎn),AC=12, ∴BM=AC=6,DM=AC=6, ∴BM=DM, 又N是BD的中點(diǎn), ∴MN⊥BD, ∵BD=8, ∴BN=4, 在Rt△BMN中, MN===2, 故選:C. 7.解:延長DC到E,使CE=AD,連接BE, ∵∠ADC=∠ABC=90°, ∴∠DAB+∠DCB=360°﹣90°﹣90°=180°, ∵∠BCE+∠DCB=

9、180°, ∴∠BCE=∠BAD, 在△ADB和△CEB中, , ∴△ADB≌△CEB(SAS), ∴∠1=∠2,DB=BE=7, ∵∠1+∠3=90°, ∴∠2+∠3=∠DBE=90°, ∴△DBE為等腰直角三角形, ∴DE===7, ∵AB=BC=5,∠ABC=90°, ∴AC===5, ∴Rt△ADC的周長=AD+DC+AC =CE+CD+AC =DE+AC =7+5 =12. 故選:D. 8.解:∵四邊形ABGF是正方形, ∴∠FAB=∠F=90°, ∵∠ACB=90°, ∴∠FAC+∠BAC=∠BAC+∠ABC=90°, ∴∠FAC=∠AB

10、C, 在△FAM與△ABN中, , ∴△FAM≌△ABN(AAS), ∴S△FAM=S△ABN, ∴S△ABC=S四邊形FNCM, 在△ABC中,∠ACB=90°, ∴AC2+BC2=AB2, ∵AC+BC=6, ∴(AC+BC)2=AC2+BC2+2AC?BC=36, ∴AB2+2AC?BC=36, ∵AB2﹣2S△ABC=13.5, ∴AB2﹣AC?BC=13.5, ∴3AB2=63, 解得AB=或﹣(負(fù)值舍去). 故選:D. 9.解:設(shè)將CA延長到點(diǎn)D,連接BD, 根據(jù)題意,得CD=12×2=24,BC=7, ∵∠BCD=90°, ∴BC2+CD2=

11、BD2,即72+242=BD2, ∴BD=25, ∴AD+BD=12+25=37, ∴這個(gè)風(fēng)車的外圍周長是37×4=148. 故選:A. 10.解:∵正方形ABCD的邊長為2,以CD為斜邊作等腰直角三角形, ∴S2+S2=S1. 觀察,發(fā)現(xiàn)規(guī)律:S1=22=4,S2=S1=2,S3=S2=1,S4=S3=,…, ∴Sn=()n﹣3. 當(dāng)n=2021時(shí),S2021=()2021﹣3=()2018, 故選:B. 二.填空題 11.解:當(dāng)長為4cm的邊是直角邊時(shí),斜邊長==5(cm), 當(dāng)長為4cm的邊是斜邊時(shí),另一條直角邊==(cm), 綜上所述,第三條邊長為5cm

12、或cm, 故答案為:5或. 12.解:四邊形DEFA是正方形,面積是16; △ABF,△ACD的面積相等,且都是×4×2=4. △BCE的面積是:×2×2=2. 則△ABC的面積是:16﹣4﹣4﹣2=6. 在直角△ADC中根據(jù)勾股定理得到:AC==2. 設(shè)AC邊上的高線長是x. 則AC?x=x=6, 解得:x=. 故答案為:. 13.解:如圖,過D作DM⊥BD交AB于M,過M作MN⊥AC于N, 則∠BDM=∠MND=∠MNA=90°, 在△BCD中,∠C=90°,BD=13,CD=5, ∴BC===12, ∵∠ABD=45°, ∴△BDM是等腰直角三角形,

13、 ∴MD=BD, ∵∠MND=∠BDM=90°, ∴∠DMN+∠MDN=∠MDN+∠BDC=90°, ∴∠DMN=∠BDC, 在△DMN與△BDC中, , ∴△DMN≌△BDC(AAS), ∴DN=BC=12,MN=CD=5, ∴CN=DN+CD=17, ∵M(jìn)N⊥AC,BC⊥AC, ∴MN∥BC, ∴△AMN∽△ABC, ∴=, 即=, 解得:AN=, ∴AD=AN+DN=+12=, 故答案為:. 14.解:直角三角形直角邊的較短邊為=6, 正方形EFGH的面積=10×10﹣8×6÷2×4=100﹣96=4. 故答案為:4. 15.解:延長PB,在P

14、B的延長線上截取BE=AP,連接PC, ∵BD=AB,點(diǎn)P是AD的中點(diǎn), ∴BP⊥AD, ∴∠BPA=90°, ∵∠ACB=90°,∠BPA+∠PAC+∠ACB+∠CBP=360°,∠CBP+∠EBC=180°, ∴∠PAC+∠CBP=180°, ∴∠EBC=∠PAC, 在△EBC和△PAC中, , ∴△EBC≌△PAC(SAS), ∴EC=PC,∠ECB=∠PCA, ∵∠PCA+∠PCB=90°, ∴∠ECB+∠PCB=90°, 即∠PCE=90°, ∵AD=AB, 設(shè)AB=25x,則AD=14x,AP=7x, ∴BE=7x,BP===24x, ∴PE=BE

15、+BP=7x+24x=31x, ∵EC=PC,∠PCE=90°, ∴PC=, ∴=, 故答案為:. 三.解答題 16.解:(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=28,AC=14, ∵BC:AC=2:, ∴AB=BC=14; (2)如圖,過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H, ∴∠DHB=∠AHD=90°, 設(shè)BH=x,則AH=14﹣x, 在Rt△BDH中,∠DHB=90°,BH=x,BD=13, 由勾股定理可得,DH2=BD2﹣BH2=132﹣x2, 在Rt△ADH中,∠AHD=90°,AD=15,AH=14﹣x, 由勾股定理可得,DH2=AD2﹣AH2=1

16、52﹣(14﹣x)2, ∴132﹣x2=152﹣(14﹣x)2, 解得,x=5, ∴DH2=132﹣x2=169﹣25=144, ∴DH=12, ∴S△ABD===84. 17.(1)證明:∵AD⊥BC,∠BAD=45°, ∴△ABD是等腰直角三角形, ∴AD=BD, ∵BE⊥AC,AD⊥BC, ∴∠CAD+∠ACD=90°, ∠CBE+∠ACD=90°, ∴∠CAD=∠CBE, 在△ADC和△BDF中, , ∴△ADC≌△BDF(ASA), ∴BF=AC, ∵AB=BC,BE⊥AC, ∴AC=2AE, ∴BF=2AE; (2)解:∵△ADC≌△BD

17、F, ∴DF=CD=2, 在Rt△CDF中,CF===2, ∵BE⊥AC,AE=EC, ∴AF=CF=2, ∴AD=AF+DF=2+2. 18.解:(1)大正方形的面積為:c2,中間小正方形面積為:(b﹣a)2; 四個(gè)直角三角形面積和為:4×ab; 由圖形關(guān)系可知:大正方形面積=小正方形面積+四直角三角形面積, 即有:c2=(b﹣a)2+4×ab=b2﹣2ab+a2+2ab=a2+b2; (2)如圖示: 大正方形邊長為(x+y)所以面積為:(x+y)2,它的面積也等于兩個(gè)邊長分別為x,y和兩個(gè)長為x寬為y的矩形面積之和,即x2+2xy+y2 所以有:(x+y)2=x2+2xy+y2成立;

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