《理學(xué)高等數(shù)學(xué)》PPT課件.ppt

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1、第五章一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用,數(shù)學(xué)家柯西 第一節(jié) 不定積分 第二節(jié) 定積分 第三節(jié) 定積分應(yīng)用,柯西,（17891857）,1805年 柯西 進(jìn)入綜合工藝學(xué)院 (Ecole Polytechnique)，1807年畢業(yè)后，進(jìn)入一所工程學(xué)院 Ecole des Ponts et Chausse 深造。在投入拿破侖軍隊(duì)，從事運(yùn)河或港口工程等煩冗事務(wù)的同時(shí)，,,柯西（17891857）法國數(shù)學(xué)家，生卒于巴黎。在分析學(xué)與數(shù)學(xué)物理卓有貢獻(xiàn)，也是微積分嚴(yán)格化的第一人。,柯西努力研讀 Laplace 的天體力學(xué)與 Lagrange 的函數(shù)理論， 1815年之前，柯西 想在學(xué)術(shù)圈謀取教職的心愿一直不順?biāo)臁?柯

2、西關(guān)于微積分基礎(chǔ)的最具代表性的著作是他的分析教程（1821）、無窮小計(jì)算教程（1823）、以及微分計(jì)算教程（1829），它們以微積分的嚴(yán)格化為目標(biāo)，對微積分的一系列基本概念給出了明確的定義。在此基礎(chǔ)上，柯西嚴(yán)格的表述并證明了微積分基本定理、中值定理等一系列重要定理，定義了級數(shù)的收斂性，研究了級數(shù)收斂的條件等，他的許多定義和論述已經(jīng)非常接近于微積分的現(xiàn)代形式。,但1816年，在他獲得法國科學(xué)院的大獎后，兩年內(nèi)就成為科學(xué)院院士，法蘭西學(xué)院院士并獲得綜合工藝學(xué)院的教職。,柯西,（17891857）,柯西在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)不凡，他一生寫了令人咋舌的789篇數(shù)學(xué)論文。從數(shù)學(xué)史的觀點(diǎn)，他最重要的成就或許在于，

3、他是打下分析（實(shí)變量或復(fù)變量）嚴(yán)格基礎(chǔ)的先驅(qū)者：,另外，柯西在微分方程和復(fù)變函數(shù)等方面也都做出了卓越貢獻(xiàn)。他的科學(xué)研究涉獵的范圍極其廣泛，幾乎數(shù)學(xué)的每一個分支都可以看到柯西的足跡。他還是彈性力學(xué)理論基礎(chǔ)的建立者，在光學(xué)和天體力學(xué)等方面，柯西同樣做出了貢獻(xiàn)。,柯西的工作在一定程度上澄清了微積分基礎(chǔ)問題上長期存在的混亂，向分析的全面嚴(yán)格華邁出了關(guān)鍵的一布。,例如收斂、極限、連續(xù)函數(shù)的意義（一說在布拉格受 Bolzano 的影響），無窮級數(shù)的收斂條件，復(fù)變量函數(shù)的定義等。另外他在微分方程、數(shù)學(xué)物理（彈性理論，光學(xué)等）、代數(shù)也有很大的貢獻(xiàn)，并因此留給后人許多有威力的數(shù)學(xué)工具：柯西-Kovalevska

4、ya 定理，F(xiàn)ourier 轉(zhuǎn)換，矩陣的對角化，calculus of residue 等等。,5.1 不定積分,（1）不定積分概念,（2）不定積分的基本性質(zhì),（3）基本積分公式,1. 不定積分的概念與性質(zhì),2. 換元積分法,（1）第一類換元積分法,（2）第二類換元積分法,（3）分部積分法,（4）有理函數(shù)和三角函數(shù)的有理式的積分,1. 不定積分的概念與性質(zhì),,,定義5.1.1 設(shè)f (x)是區(qū)間上有定義的函數(shù),如果存在內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)F(x), 滿足,(1)不定積分概念,x, x,,則稱F(x)是f (x)在區(qū)間上的一個原函數(shù),例5.1.1 在(，)內(nèi)已知 f (x)2x， 由于 F(x)x2 滿

5、足F(x)(x2)2x，所以F(x)x2是f (x)2x在(, )上的一個原函數(shù)同理，x23與x2的導(dǎo)數(shù)均為2x，因此均為2x的原函數(shù),,,,,設(shè)F(x)和 (x)為函數(shù)f (x)在區(qū)間內(nèi)的兩個原函數(shù)，那么對任意x, ,因而 (x)F(x)C這說明f (x)的任何兩個原函數(shù)之間只差一個常數(shù)，由此可見f (x)所有原函數(shù)可表達(dá)為F(x)C，(其中C是任意常數(shù)),若在某區(qū)間內(nèi)F(x)是f (x)的一個原函數(shù)，C是任意常數(shù)，由于(F(x)C)F(x)f (x)，所以F(x)C也是f (x)在內(nèi)的原函數(shù),由此引入不定積分概念,,,定義5.1.2 函數(shù)f (x)在某區(qū)間的所有原函數(shù)稱為f (x)

6、的不定積分，記作 . 其中記號 稱為積分號, f(x)稱為被積函數(shù), f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量,,如果F(x)是f (x)在區(qū)間內(nèi)的一個原函數(shù)，則 .,因此，求不定積分只要求出它的一個原函數(shù)，再加一個任意常數(shù)即可,函數(shù)f (x)的不定積分含有任意常數(shù)C，因此對每一個給定的C，都有一個確定的原函數(shù)，在幾何上，相應(yīng)地就有一條確定的曲線，稱為f (x)的積分曲線,圖5.1.1,上例中 為2x的積分曲線族， 為2x過點(diǎn)(0，0)的一條積分曲線,因?yàn)镃可以取任意數(shù)值，因此不定積分表示f (x)的一族積分曲線，如圖5.1.1所示這族曲線的特點(diǎn)是，它

7、在橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處，所有的切線都彼此平行.,,,,,,,例5.1.2 求函數(shù)ysinx的不定積分,解 因?yàn)?cosx)sinx，所以,并不是任給一個函數(shù)都存在原函數(shù)，我們有如下結(jié)論：如果f (x)在某區(qū)間上連續(xù)，則在該區(qū)間上f (x)原函數(shù)一定存在,由不定積分的定義，可得,另一方面，如果F(x)是可微函數(shù)，則,上述關(guān)系式表明求不定積分是求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算,,,,例5.1.3 設(shè)曲線通過點(diǎn)(0，0)，且其上任一點(diǎn)(x，y)的切線斜率等于橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線的方程,解 設(shè)所求曲線方程為yy (x)，由題設(shè)，y2x，y(x)是2x的一個原函數(shù)，,其中C為任意常數(shù)，因?yàn)榍€過(0，0)點(diǎn)，故,00C

8、，C0，,于是所求曲線方程為,yx2,性質(zhì)1 兩個函數(shù)代數(shù)和的不定積分，等于各個函數(shù)不定積分的代數(shù)和,(2)不定積分的基本性質(zhì),,,,,,事實(shí)上,恰為左端被積函數(shù)由此知是f (x)g (x)的原函數(shù)，因此:,性質(zhì)1對于有限個函數(shù)都是成立的.,性質(zhì)2 不為零的常數(shù)因子可移到積分號前.,(k是常數(shù)，k0).,對等式兩端微分，即可得證,(3)基本積分公式,,由于不定積分是微分的逆運(yùn)算，因此只要將微分公式逆轉(zhuǎn)過來，就可得到基本積分表,例如，因?yàn)?所以,因此可得如下基本公式：,,,,,,,(5),(6),,,,,,,,,(7),(8),(9),(10),(11),(12),(13),以上公式是求不定積分

9、的基礎(chǔ)，務(wù)必牢記,,,,,,,,證 當(dāng)x0時(shí)，(ln| x | )(lnx),當(dāng)x0時(shí)，(ln|x|),故,由不定積分定義知,,,,,例5.1.5 求,解,例5.1.6 求,解,此例表明，有時(shí)被積函數(shù)雖用根式或分式表示，但實(shí)際是冪函數(shù)遇此情形，應(yīng)先把它們寫為 的形式，然后用冪函數(shù)積分公式求解,,,,利用基本積分公式和不定積分的兩個性質(zhì)，可以求出一些簡單函數(shù)的不定積分.,例5.1.7 求,解 此題應(yīng)首先應(yīng)用不定積分性質(zhì)，將積分分項(xiàng)再利用基本積分公式,上例每個不定積分都含有一個任意常數(shù)，最后將其合并記作C,,,例5.1.8 求,解 此題不能直接積分，但經(jīng)被積函數(shù)恒等變形后可化為表中的積分,上例求

10、解方法是常用的，如下例 .,例5.1.9 求,解,解 顯然f (0)0，所以f (x)在x0連續(xù)，從而f (x)在(，+)上連續(xù)于是它的原函數(shù)存在，所以,,,,,,,可導(dǎo)的函數(shù)應(yīng)是連續(xù)的，由連續(xù)性知: cos 0C1C2 ，,即 1C1C2 ，,x0 x0,取C1C, 則C21C . 故有,x0 x0,2. 換元積分法,利用基本積分表與積分的性質(zhì)，所能計(jì)算的不定積分是非常有限的.因此，有必要進(jìn)一步研究不定積分的計(jì)算方法.本段把復(fù)合函數(shù)的微分法反過來用于求不定積分，利用中間變量的代換，得到復(fù)合函數(shù)的積分法，稱為換元積分法，或湊微分法. 換元積分法通常分為兩類，下面先講第一類換元法.,(1)

11、第一類換元積分法,,,,,,,設(shè)f (u)具有原函數(shù)F(u)，即,,,,由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式,因而，由不定積分的定義得到,定理5.1.1 若 可導(dǎo)，則有換元公式 .,第一類換元法把原來對變量x的積分，通過變量代換 變成對變量u的積分.,正確并熟練地運(yùn)用第一類換元法的關(guān)鍵是大家對求導(dǎo)(或求微分)基本公式的熟知，才能正確地將被積表達(dá)式分解為二部分 和 ，即湊出了一個中間變量u, 使 為基本積分表中的形式.,于是有下面的定理：,,,,,,,例5.1.11 求,解 被積函數(shù)中 是一個復(fù)合函數(shù),,常數(shù)因子恰好是中間變

12、量u的導(dǎo)數(shù)，,再以u2x1代入得,因此作變換u2x1，則d u2 d x，得,,,,,例5.1.12 求,解 被積函數(shù)中一個因子為,這個方法熟悉之后，可不必列出中間變量u，如上例，直接將5x4與dx湊成dx5即可,于是有,例5.1.13 求,,解 因?yàn)?與dx可湊成dlnx, 故,,,例5.1.14 求,解 因?yàn)?故,類似地，不難求得,,,例5.1.15 求,,解,,,,,,,,例5.1.16 求,解,例5.1.17 求,解 由于,故,,例5.1.18 求,,解,故,,,,利用5.1.17,,由于,,例5.1.19 求,,解 由于,因此,利用例5.1.18,,,解,,,例5.1.21 求,解

13、,被積函數(shù)為三角函數(shù)的題目一般要通過三角函數(shù)平方關(guān)系和倍角公式及積化和差公式降次，然后用湊微分方法求解,,例5.1.22 求,,解,,,例5.1.23 求,,,解,令lnx=u,解,證,設(shè) 為 的原函數(shù),,令,則,(2) 第二類換元積分法,第二類積分換元公式,,例5.1.25 求,,解,的原函數(shù)不易求出，考慮作代換換為易求解的形式,令,則,于是dxt2dt代入原式，得,,,,例5.1.26 求,解 為同時(shí)消去被積函數(shù)中的兩個根式，令xt 4，則dx4 t3d t因此:,,,,,,,,解 令xasin t，dxacos td t，t,,,將變量t換回變量x，由于,于是,借助如圖(5

14、.1.2)的三角形, 我們有,圖5.1.2,于是,,,,解 令xatan t，t,,代入所求積分得,圖5.1.3,因此,其中CC1lna,,,代入所求積分,,,,,解 令,在解上述類型題目時(shí)要視被積函數(shù)的具體情形，選取盡可能簡捷的代換，不要拘泥于上述變量代換，,圖5.1.4,下面介紹一種常用代換倒數(shù)代換,,例5.1.30 求,,,,,于是,為便于查找，現(xiàn)將上述常用公式添加到基本積分表中：,,,,,,,,,,,(18),(17),(16),(15),(14),(22),(21),(20),(19),例5.1.31 求,解 用配方的方法可將被積函數(shù)化為,的形式，然后利用公式，得:,,,例5.1.3

15、2 設(shè)某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為元單位，其中q為產(chǎn)量，已知固定成本為200元，求該產(chǎn)品在產(chǎn)量為q時(shí)的總成本,,,,解,,由于C(0)200，所以,,,,從而,3. 分部積分法,,,,,,,,設(shè)函數(shù)uu(x)與vv (x)都具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，,對這個等式兩邊取不定積分，得：,上式稱為分部積分公式，或?qū)憺?則兩個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為,移項(xiàng)，得,(uv)uvuv，,uv(uv)uv .,如果求 有困難，而求 容易時(shí)，就可利用分部積分法求積分,,例5.1.33 求,解 設(shè)ux，vsinx ，,,例5.1.34 求,解 設(shè)ux，vex，,上題注,,注意此例若設(shè),,,,使積分計(jì)算更加復(fù)雜由此可見正確選擇u與d

16、v是利用分部積分法的關(guān)鍵.選擇u和dv一般要考慮兩點(diǎn)：(1)v容易求得；(2) 要比 容易積分.通常我們可按“反對冪三指”的順序(即反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的順序)，排在前面的那類函數(shù)選作u，排在后面的與d x結(jié)合在一起為dv ,在使用分部積分公式熟練后，可不必再寫出u，v，直接用公式求解即可。,例5.1.35 求,解,,例5.1.36 求,,解,,,,例5.1.37 求,,解,,,移項(xiàng),,所以,,,例5.1.38 求,,,,,解,在分部積分中往往要兼用換元法，如下例 .,,*例5.1.39 求,,解,,令 ，則,,,所以,,,*4.有理函數(shù)和三角函數(shù)的有理式的

17、積分,求積分比求導(dǎo)數(shù)困難得多.這是因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的定義清楚地給出了求導(dǎo)數(shù)的方法，而不定積分的定義并未給出其計(jì)算方法；另一方面，初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是初等函數(shù)，但初等函數(shù)的原函數(shù)卻常常不是初等函數(shù).對幾種常見類型的函數(shù)，還是存在有規(guī)律的積分方法的，下面我們介紹兩種常見類型函數(shù)的積分.,(1)有理函數(shù)的積分,,,,有理函數(shù)的一般形式是,(a00, b00) ,,其中P(x)，Q (x)是實(shí)系數(shù)的互質(zhì)多項(xiàng)式因?yàn)橛欣砑俜质?nm)通過多項(xiàng)式除法總可以表示成容易積分的多項(xiàng)式和真分式之和，所以只需討論真分式的積分,若有理函數(shù) 是真分式(即nm)，則可通過下述步驟求它的不定積分：,第一步：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，將多項(xiàng)式Q

18、(x)分解成一次因式和二次質(zhì)因式的乘積，即形如,(其中各二次因式有p24q0,，r24s0);,第二步：將真分式 分解成如下部分分式之和：,第三步:通過換元法、分部積分等方法，求出各部分分式的原函數(shù),其中各 均是待定的常數(shù)，可通過通分后再比較等式兩端x同次冪的系數(shù)而求得,即待定系數(shù)法；,,例5.1.40 求 .,解 被積函數(shù)為真分式，分母x32x2xx(x1)2. 故可設(shè),消去分母，得 1A(x1)2BxCx(x1) .,要使此式恒等，等式兩邊x同次冪的系數(shù)必對應(yīng)相等，,從而 B1，C1,,所以,故有 AC0，B2AC0，A1,,,,解 設(shè),消去分母后，得 1A(1

19、x2)+(BxC)(12x) .,展開并比較兩端x的同次冪的系數(shù)，有 A2B0，B2C0，AC1 .,,,,解得,例5.1.41 求,于是有,所以,,例5.1.42 求,解 被積函數(shù)已是簡單分式，其分母在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能再作因式分解，可用配方的方法化為平方和的形式,,,此類積分的求解方法一般是通過拆項(xiàng)與配方，第一項(xiàng)總是通過湊微分法，使分子等于分母的微商；第二項(xiàng)總是使分母配成含有一個完全平方項(xiàng),有理函數(shù)的積分按一定的步驟都可以求出其原函數(shù).而且可以證明有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).,例5.1.43 求,而x=2arctanu, 從而,于是,注,但上述積分若采用下列方法更簡便,從前面的例題中已經(jīng)看出

20、，求積分比較靈活、復(fù)雜.在實(shí)用中，可查積分表.積分表是按照被積函數(shù)的類型來排列的.求積分時(shí)，可根據(jù)被積函數(shù)的類型直接地或經(jīng)過簡單的變形后，在表內(nèi)查得所需要的結(jié)果.,如果用通用數(shù)學(xué)軟件求不定積分將更加方便.,由上例可以看出利用萬能代換解三角有理式不一定是最簡便的方法,在具體求三角函數(shù)積分時(shí)應(yīng)視被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)確定合適代換及求解方法,(2)三角函數(shù)有理式的積分,,,所謂三角函數(shù)的有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算而構(gòu)成的函數(shù)，,此類函數(shù)的積分總可以通過萬能代換法化成有理函數(shù)的積分,如,5.2 定積分,本節(jié)從求變速直線運(yùn)動的物體經(jīng)過的路程、價(jià)格隨銷售量而變化的企業(yè)收益、曲邊梯形的面積等實(shí)際問

21、題入手，引進(jìn)定積分的概念，然后討論微積分基本定理及定積分的計(jì)算方法,1.定積分及其基本性質(zhì),2.微積分基本定理,3.定積分的計(jì)算,*4.定積分的近似計(jì)算,例5.2.1 （求變速直線運(yùn)動的路程）,思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時(shí)間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值,定積分及其基本性質(zhì),一、幾個例子,（1）分割,（2）求和,（3）取極限,路程的精確值,例5.2.2 （求曲邊梯形的面積）,用矩形面積近似取代曲邊梯形面積,,,,,,,,,,,,,,顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積,（四個小矩形）,（九個小矩形）,曲

22、邊梯形如圖所示，,曲邊梯形面積的近似值為,曲邊梯形面積為,二、定積分的定義,定義,記為,積分上限,積分下限,積分和,注意：,例5.2.2中所求曲邊梯形的面積A為,(f(x)0),由定積分定義,例5.2.1中質(zhì)點(diǎn)所走過的路程為,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積的負(fù)值,定積分的幾何意義,三、 定積分的基本性質(zhì),,,在定積分定義中，從實(shí)際背景出發(fā)，規(guī)定了積分上限必須大于積分下限，其實(shí)，作為一個抽象的定積分定義，完全沒有必要有這樣的限制，今后為了計(jì)算和應(yīng)用的方便，我們對定積分作以下兩點(diǎn)補(bǔ)充規(guī)定：, 當(dāng)a= b時(shí)，, 當(dāng)ab時(shí)，,即，變換定積分的上下限時(shí)，定積分的絕對值不變而符號相反.這是因?yàn)樵赼b假設(shè)下

23、，有a=x0 x1x2xk1xkxn=b, 所有差xk=xkxk1都為負(fù)，因此從a到b的和數(shù)與從b到a的和數(shù)就相差一個負(fù)號.,證,性質(zhì)1,證,（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）,性質(zhì)2,補(bǔ)充：不論 的相對位置如何, 上式總成立.,例 若,（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）,則,性質(zhì)3,,,性質(zhì)4 如果f (x)與g(x)在a，b上滿足 f (x)g(x)，則,證 因?yàn)間 (i)f (i)，因此,,,,上式兩邊令xmaxxixi10，取極限即得證,,,,,性質(zhì)5,性質(zhì)6,證,（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）,性質(zhì)7,證,由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知,性質(zhì)8（定積分中值定理）,,解

24、 可以用被積函數(shù)的最大值、最小值來估計(jì)定積分的值,,,,故,即,由于 11sin2x2，,2.微積分基本定理,本段所介紹的微積分基本定理揭示了微分與積分的本質(zhì)聯(lián)系，即當(dāng)函數(shù)f(x)連續(xù)時(shí)，其定積分與其原函數(shù)之間的關(guān)系，提供了計(jì)算連續(xù)函數(shù)的定積分的有效而簡便的一般方法，這使得定積分的概念真正具有了理論和實(shí)際價(jià)值，從而獲得廣泛的應(yīng)用.,我們首先討論積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù).,,,,設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，則定積分,存在，它是一個確定的數(shù)值，該數(shù)值,當(dāng)f(x)及下限a已確定，它就僅由上限決定了(圖5.2.3)：,圖5.2.3,僅依賴于積分上、下限及函數(shù)f (x).,與之對應(yīng)，這樣通過變上

25、限的定積分定義 了一個積函數(shù),對每一個上限x (xa, b)，必有唯一確定的值,(xa, b) .,這個函數(shù)稱為積分上限函數(shù)，又稱為可變上限函數(shù).,有時(shí)也將(x)記為 , 這里要特別指明的是，積分變量x與上限變量x無關(guān) .例如,而,積分上限函數(shù)(x)有如下重要性質(zhì)：,,,(xa, b),證 若x(a, b)，取x其絕對值足夠小，使x+x(a, b)，則根據(jù)積分上限函數(shù)的定義及定積分的性質(zhì)有,利用積分中值定理，得到: =f ()x (在x與x+x之間) .,,上式兩端各除以x，得函數(shù)增量與自變量增量的比值,,因?yàn)閒 (x)在a,b上連續(xù)，而x0時(shí)，必有x，因此,于是，令x0

26、,上式兩端取極限得,由導(dǎo)數(shù)定義知，(x)的導(dǎo)數(shù)存在，且有 (x)=f (x) .,若x=a, 取x0,則同理可證(a+0)=f (a)；若x=b，取x0，同理可證 (b0)=f (b) .,注,,,,定理5.2.3中(5.2.1)式又可記為,同樣可討論積分下限函數(shù),因此當(dāng)函數(shù)f (x)滿足定理5.2.3中的條件時(shí)，有,根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，有,,,由上例可以看出當(dāng)上限是中間變量u=(x)時(shí)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式得,(5.2.1)和(5.2.2)式揭示了微積分學(xué)中最基本的概念：導(dǎo)數(shù)、微分和定積分之間的關(guān)系；而聯(lián)想到原函數(shù)的定義，可知(x)是連續(xù)函數(shù)f (x)的一 個原函數(shù)，因此

27、又有下面的兩個重要定理，它們又揭示了定積分與不定積分的關(guān)系.,,,定理5.2.4(原函數(shù)存在定理) 若函數(shù)f (x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，則函數(shù) 是函數(shù)f(x)在a，b上的一個原函數(shù),這就是說，連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在,定理5.2.5 (微積分基本定理) 設(shè)f (x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f (x) 的一個原函數(shù)，則,下面討論微積分的中心問題：,因?yàn)镕(x)和積分上限函數(shù),都是連續(xù)函數(shù)f (x)的原函數(shù)，所以,xa，b ,在上式中令xa，得0F(a)C，即C=F(a). 于是,證,,,,,在上式中令xb有,,即,這個公式稱為牛頓萊布尼茨公式，這個公式的重要性在于建立了定積分和被積

28、函數(shù)的原函數(shù)之間的關(guān)系，把計(jì)算定積分的問題轉(zhuǎn)化為求不定積分的問題，為我們計(jì)算定積分提供了一種簡便的方法.,如,,,解,,,,,,例5.2.6 求,解,例5.2.7 求,解 這里 是x2的函數(shù)，因而是x的復(fù)合函數(shù)，令x2=u，則有,,例5.2.8 計(jì)算,,,,例5.2.9 求,解 由定積分對積分區(qū)域的可加性得,,*例5.2.10 求,,,,,*例5.2.11 利用定積分求極限,解 此題的關(guān)鍵是將和式的極限變?yōu)榉e分和的極限,并確定被積函數(shù)的積分限 .,,,而,,故,3.定積分的計(jì)算,,用牛頓萊布尼茨公式計(jì)算一個定積分的關(guān)鍵是找出被積函數(shù)f (x)的一個原函數(shù)F(x).求原函數(shù)的換元法與分部

29、積分法在一定條件下可以 用求原函數(shù)的換元法與分部積分法在一定條件下可以到定積分上，使定積分的計(jì)算更加簡便.,,(1)定積分的換元法,,,,,,,定理5.2.6 設(shè)函數(shù)f(x)在a, b上連續(xù)，函數(shù) 滿足下列條件：,,則有,該公式稱為定積分的換元公式 .,證明略.,注,,,應(yīng)用換元公式時(shí)要注意兩點(diǎn)：,用變量代換 , 把原來的變量x代換成新變量t時(shí)，積分限一定要換成相應(yīng)于新變量t的積分限；,求出 的原函數(shù)(t)后，不需要象計(jì)算不定積時(shí)那樣把(t)再變換成原來變量x的函數(shù)，而只要把新變量t的上、下限分別代入(t )中 ,然后相減就可以了.,,例5.2.12 求積分,解 令x=t3，則dx

30、=3t2dt，當(dāng)x=0時(shí),t=0，x=8時(shí)，t=2 .,,,,故,例5.2.13 計(jì)算,解 令xsin t，dxcos td t， 當(dāng)x0時(shí)，t0，x1時(shí)， . 所以,,,例5.2.14 計(jì)算,,解,,,,,*例5.2.15 計(jì)算,解,由于,結(jié)論,,若f (x)為偶函數(shù)，則,下面我們給出對實(shí)際計(jì)算很有幫助的兩個結(jié)論：,結(jié)論：設(shè)f(x)在閉區(qū)間a ,a 上連續(xù),若f (x)為奇函數(shù)，則,證明留給讀者,利用以上結(jié)論我們?？梢院喕?jì)算偶、奇函數(shù)在對稱于原點(diǎn)的區(qū)間上的定積分.,,,解 由于sin3xcos3x為奇函數(shù) .,,解 由于為偶函數(shù) .,故,故,(2) 定積分的分部積分法,,設(shè)函數(shù)uu (x

31、)與vv (x)在a，b上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則 (uv)uvuv ， uv(uv)vu.,上式稱為定積分分部積分公式,等式兩端取x由a到b的積分，并利用牛頓萊布尼茨公式，得到,,例5.2.17 求積分,解 令ulnx，dvdx ，則,,,,,,例5.2.18 計(jì)算,解 先用換元法，,則,再用分部積分計(jì)算得,因此,令,,,,*例5.2.19 證明定積分公式：,,,證 設(shè)usinn1x，dvsinxd x，則 du(n1)sinn2xcosxdx，vcosx ， 于是:,由此得到遞推公式,,因?yàn)?,所以，當(dāng)n是正偶數(shù)時(shí)，由遞推公式得到,,又因?yàn)?,所以，當(dāng)n是大于1的正奇數(shù)時(shí)，由遞推公式得到,,,

32、并記135(2m1)(2m1)!!， 246(2m)(2m)!!，,于是證得定積分公式：,,,,應(yīng)用這個結(jié)果即可算得,,,,解 此類題一般先作變量代換再計(jì)算 .,,,x-2=t =====,**4. 定積分的近似計(jì)算,,前面我們已經(jīng)給出了一些計(jì)算定積分的行之有效的方法. 但在有些情況下這些方法是行不通的.如被積函數(shù)f (x)是用圖形或表格形式給出的；或雖然f (x)是初等函數(shù)，但其原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，,或者原函數(shù)雖可用初等函數(shù)表示，但其求解過程或原函數(shù)表達(dá)式過于復(fù)雜.此時(shí)，我們可用定積分的近似計(jì)算法.,例如積分,等等；,所謂定積分的近似計(jì)算，就是找到一個適當(dāng)?shù)挠?jì)算公式，根據(jù)定積分的定

33、義，利用被積函數(shù)在若干點(diǎn)處的函數(shù)值，來計(jì)算定積分近似值，并作出誤差估計(jì),(1) 梯形法,,,,,,,用分點(diǎn)ax0 x1x2xnb將區(qū)間a，b分成n等分，每個小區(qū)間的長度 ，分點(diǎn)為 (i=0, 1, 2, , n)， 令 yi=f (xi) (i=0, 1, 2, , n),,在每個子區(qū)間上，用窄梯形近似代替窄曲邊梯形，得定積分近似公式,可以證明，其誤差,(2) 拋物線法,,,,,拋物線法就是在小區(qū)間上用以拋物線(即二次曲線)為頂?shù)那吿菪蝸泶嬉?f (x)為頂?shù)那吿菪?，因而有更好的近似效?.,將區(qū)間a，b分割成2n等分，記為,作拋物線得以此拋物線為頂?shù)那吿菪蚊娣e,則,,,,從而

34、得拋物線公式,,,其誤差,,例5.2.21 試用梯形法、拋物線法計(jì)算定積分,解 為了便于比較，先算出這個定積分的較精確的值.,,,,用梯形法計(jì)算，取n=10，,由梯形法近似公式，得,0.58820.55560.52630.69377.,y01.000， y10.9091， y20.8333， y30.7692，y40.7143, y50.6667， y60.6250， y70.5882， y80.5556， y90.5263，y100.5000，,5.3 定積分應(yīng)用,1.微元法的思想,2.定積分在幾何上的應(yīng)用,（1）計(jì)算平面圖形的的面積,（2）體積 a.旋轉(zhuǎn)體的體積,b.平行截面面積為已知的

35、立體體積,3.平面曲線的弧長,**3.定積分在物理上的應(yīng)用,（1）變力做功,（3)平均值 均方值,4.定積分在醫(yī)學(xué)及生命科學(xué)方面的應(yīng)用,5.定積分在經(jīng)濟(jì)及社會科學(xué)方面的應(yīng)用,6.廣義積分,（2）壓力 引力,定積分在幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等許多實(shí)際問題中有廣泛的應(yīng)用像5.2節(jié)開頭的例子那樣，嚴(yán)格說，凡可化為定積分問題的實(shí)際問題都具有這樣的特征：所求量(如面積、功等)與區(qū)間a,b有關(guān)；所求量對于區(qū)間a,b具有可加性，即所求量的總量等于相應(yīng)于區(qū)間分割所產(chǎn)生的部分量之和.解決問題的步驟一般應(yīng)經(jīng)過分割、取近似、求和、求極限四步.但這樣做起來較麻煩，在實(shí)際應(yīng)用中，上述四個步驟，往往簡化為下面的兩步,1.微元法的

36、基本思想,,在a,b上取具有代表性的子區(qū)間x, x+x或x,x+dx, 用區(qū)間端點(diǎn)x的函數(shù)值f (x)與x作乘積，“以常量代替變量”,得到局部量A的近似值 Af (x)x=f (x)dx , 其中f (x)dx稱為積分微元，記作dA=f (x)dx .,即以f (x)dx為被積表達(dá)式，在a,b上作定積分，即得所求量,這個方法通常稱為微元法，它的實(shí)質(zhì)是用微分代替了增量： AdA=f (x)dx ,第一步, 建立微分表達(dá)式 ,第二步, 當(dāng)x0時(shí)，把這些微元dA在區(qū)間a,b上無限積累，,如例5.2.1求路程S在a,b上任取一點(diǎn)t和鄰近點(diǎn)td t，這時(shí)路程的微元是dS=v (t)d t，ta,b所

37、以,本節(jié)我們就簡要介紹一下定積分在幾何、物理、經(jīng)濟(jì)管理等實(shí)際問題中的應(yīng)用,2.定積分在幾何上的應(yīng)用,(1) 計(jì)算平面圖形面積,例5.3.1 設(shè)曲邊形由兩條連續(xù)曲線y=f1 (x),y=f2 (x),（f2 (x)f1 (x), , xa,b）直線x=a、x=b所圍(圖5.3.1)，求所圍面積A .,圖5.3.1,因此面積元素為,于是平面圖形f1 (x)yf2 (x), axb的面積公式為:,以后在計(jì)算平面圖形面積時(shí)可直接利用此公式,解 我們用前面微元法思想求解.取x為積分變量，它的變化區(qū)間為a,b把a(bǔ),b分成若干小區(qū)間，取有代表性小區(qū)間x, x+dx,與這個小區(qū)間相應(yīng)的窄曲邊形如圖陰影部分其面

38、積A近似等于高為f2(x)f1 (x)，底為d x的窄矩型的面積，f2 (x)f1 (x)dx,,,,,,,解 先求出兩曲線的交點(diǎn)由 和yx2解得交點(diǎn)(0，0)及(1，1),(如圖5.3.2)，由平面圖形面積公式 :,,圖5.3.2,于是所求面積A為,,,,圖5.3.3,解 先求出兩曲線交點(diǎn)(4，2)和(1，1)取面積微元如圖，以y為積分變量 dA=(y+2y2) d y .,例5.3.3 求由曲線x=y2與x=y+2所圍區(qū)域的面積,讀者可考慮一下，此題若取x為積分變量，有什么不便之處?由例5.3.3可以看出適當(dāng)選取積分變量是至關(guān)重要的,注 由例5.3.3可以推出如下結(jié)論：,,,*例5.3

39、.4 求橢圓 (0t2)所圍 圖形面積,解 如圖，這是由參數(shù)方程給出的橢圓方程，由對稱性知，總面積為第一象限部分的4倍,圖5.3.4,,,取x為積分變量，面積微元dA=ydx.所以,由定積分的換元積分法，當(dāng)x=acost時(shí), dx=asin td t. 當(dāng)x=0時(shí)， .當(dāng)xa時(shí)，t0，,所以,注,,,,由例5.3.4可推出如下結(jié)論：,當(dāng)曲邊梯形的曲邊y=f (x)（f (x)0, xa,b）由參數(shù)方程 或t，)給出時(shí)，如果 在,(或,)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，,y=(t)連續(xù)，則曲邊梯形的面積為,,**例5.3.5 求雙紐線r2=a2cos2所圍成的

40、面積 (如圖5.3.5),解 由r2=a2cos2知cos20 . 故,,由對稱性知，所求面積為第一象限部分面積的4倍,圖5.3.5,選取積分變量為，取有代表性的子區(qū)間，d 如圖5.3.5,相應(yīng)的子區(qū)間上圖形的面積可用以r ()為半徑, d為圓心角的圓扇形 面積近似，,,,故,由曲線r= r ()及射線 所圍的曲邊扇形的面積為,注 由例5.3.5可得如下結(jié)論：,,即面積微元,(2) 體積, 旋轉(zhuǎn)體的體積,例5.3.6 由連續(xù)曲線y=f (x)與直線y=0, x=a, x=b所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)體,如圖5.3.6所示，求此旋轉(zhuǎn)體體積,圖5.3.6,在

41、a,b上作定積分，得旋轉(zhuǎn)體體積為,(5.3.1),用類似的方法可以推出，由曲邊梯形0 x,cyd繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為:,(5.3.2),解 在閉區(qū)間a,b上任取一子區(qū)間x, x+dx，由于體積是由平面圖形旋轉(zhuǎn)一周生成的，所以用底面積為 , 高為dx的圓柱體的體積近似代替小旋轉(zhuǎn)體的體積得體積微分：,公式(5.3.1)和(5.3.2)可直接用于求體積，應(yīng)熟記,,例5.3.7 計(jì)算由橢圓 圍成的圖形繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積,,,則體積為,當(dāng)a=b時(shí)，旋轉(zhuǎn)橢球體就成為半徑為a的球體,它的體積為,繞y軸旋轉(zhuǎn)這個旋轉(zhuǎn)橢球體可以看作由與y軸圍成的圖型繞y軸旋轉(zhuǎn)一周

42、所成的旋轉(zhuǎn)體，,則由公式(5.3.2), 平行截面面積為已知的立體體積,,設(shè)有空間立體，該立體在過點(diǎn)x=a, x=b且垂直于x軸的兩個平面之間.它的垂直于x軸的各截面面積為s (x) (xa,b),假定s (x)為x的已知的連續(xù)函數(shù)，求其體積,圖5.3.7,如圖5.3.7，取具有代表性的子區(qū)間x,x+dx, 過其端點(diǎn)，分別作垂直于x軸的平面，介于這兩個平面之間的小體積，可用S (x)dx近似代替所以體積微元 dV=S (x)dx ,故在過點(diǎn)x=a和x=b且垂直于x軸的兩個平面之間，且平行截面面積為S (x)的立體體積為,例5.3.8 設(shè)三棱錐高為h，底面積為A, 求它的體積V,,解 從頂點(diǎn)作底

43、面的垂線，并且以它為x軸，頂點(diǎn)為原點(diǎn)，記x處的截面面積為S(x), 由圖5.3.8，知,,,,,故,所以,圖5.3.8,*(3) 平面曲線的弧長, 直角坐標(biāo)系下弧長公式,考慮平面曲線y=f (x) (axb), 其中f (x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)(圖5.3.9),計(jì)算這曲線弧的長度.,圖5.3.9,先建立微分表達(dá)式, 在區(qū)間a , b上任取一子,,區(qū)間x, x+dx,,即,上式中的ds稱為弧微分,,在閉區(qū)間a, b上積分，便得所求的弧長,在此小區(qū)間上,用該曲線在點(diǎn)（x, f (x)）處的切線段的長代替對應(yīng)弧段的長，, 參數(shù)方程表示的弧長公式,,,設(shè)曲線的參數(shù)方程為x=x (t), y=y (t)

44、(t)，其中x (t), y(t) 在，上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算該曲線的弧長.,于是弧長為,以t為積分變量(t), 區(qū)間,中子區(qū)間t, t+d t對應(yīng)的弧微分為, 極坐標(biāo)中的弧長公式,,,,,,設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程 ()給出，其中 在,上連續(xù)可導(dǎo)，由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系，可得,,(),于是弧微分為,從而曲線弧長為,,例5.3.9 求懸錐線 從x=0到x=a (0)之間的一段弧長.,,解 由于,,所以,,,,例5.3.10 計(jì)算擺線 (a0) ，一拱(0t2)的長度(圖5.3.10),圖5.3.10,解 弧微分為,從而，所求的弧長,,解 由于對稱性，要計(jì)算的周長為心形線

45、在極軸上方部分弧長度的兩倍弧微分:,,圖5.3.11,因此所求的全長為,**3.定積分在物理上的應(yīng)用,(1) 變力作功,例5.3.12 一正圓錐形的貯水桶高為4m，頂圓半徑為3m，桶內(nèi)裝滿水，試問要把桶內(nèi)的水全部從其頂部邊緣的上方吸出，需作多少功?(圖5.3.12) (水的密度為1000kg/m3 重力加速度為g) .,,,圖5.3.12,解 建立坐標(biāo)系如圖所示,在高h(yuǎn)米處取一簿圓盤，設(shè)其半徑為r，則由相似三角形對應(yīng)邊成比 例，可求得 而此簿圓盤的厚度為d h，,所以作用在此圓盤上的重力應(yīng)為,體積微元,此圓盤的水被吸出水桶必須提高(4h)米,因此需作微功:,把水吸空所作的功應(yīng)該是以dW為

46、被積表達(dá)式，從0到4的積分:,(2) 壓力, 引力,例5.3.13 某水庫的閘門形狀為等腰梯形,它的兩條底邊各長10m和6m，高為20m,較長的底邊與水面相齊, 水的比重為(kg/m3). 計(jì)算閘門的一側(cè)所受的水壓力(設(shè)重力加速度為g ),圖5.3.13,解 如圖(5.3.13). 以閘門的長底邊的中心為原點(diǎn)且鉛直向下作 x 軸，取x為積分變量，在0, 20上任取一小區(qū)間x, x+d x,,由物理學(xué)知，在水深為h處的壓強(qiáng)為 , 這里 是水的密度. 因此閘門上相應(yīng)于該小區(qū)間的窄條各點(diǎn)處所受到水的壓強(qiáng)近似于 (Nm2), 這窄條的長度為2(5 )，高度為d x，因而這一窄條的一側(cè)所

47、受的水壓力近似為,,于是所求壓力為,,例5.3.14 設(shè)有一根長度為l、線密度為的均勻細(xì)直棒，在其中垂線上距棒a單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M試計(jì)算該棒對質(zhì)點(diǎn)M的引力,解 取如圖5.3.14所示坐標(biāo)系，細(xì)長棒的中點(diǎn)為原點(diǎn)O取y為積分變量，,,,,,,圖5.3.14,.,其中k為比例常數(shù). 從而求出F在水平方向分力Fx的近似值，即細(xì)直棒對質(zhì)點(diǎn)M的引力在水平方向分力Fx微元素為,因此可以按照兩質(zhì)點(diǎn)間的引力計(jì)算公式求出這段細(xì)直棒對質(zhì)點(diǎn)M的引力F的大小為:,,于是得到引力在水平方向的分力為,,上式中的負(fù)號表示Fx指向x軸的負(fù)向，又由對稱性知，引力在鉛直方向分力為Fy=0.,*(3) 平均值,均方根,,,設(shè)

48、f (x)是連續(xù)函數(shù)，將區(qū)間a,b分為n等分，設(shè)等分點(diǎn)依次為a=x0,x1, , xn=b, 用f (xi)近似代替小區(qū)間xi, xi+x內(nèi)各點(diǎn)處的函數(shù)值，于是函數(shù)f m (x)在a,b上的近似平均值為,,在實(shí)際問題中常常需要計(jì)算連續(xù)函數(shù)在區(qū)間a,b上的平均值，例如求交流電在一個周期上的平均功率等,所以f (x)在a, b上的平均值為,可見，定積分中值定理中的f ()即為f (x)在區(qū)間a,b上的平均值,例5.3.15 已知一個拋射體(或炮彈)發(fā)射時(shí)的初速度為V0，在不計(jì)空氣阻力的情況下，計(jì)算發(fā)射角介于45與45+之間的該發(fā)射體的平均射程,解 設(shè)為發(fā)射角，則由物理學(xué)可知，其射程為,,其中g(shù)為重

49、力加速度，因此所求的平均值等于,,,一般，若f (x)為a,b上的連續(xù)函數(shù)，在數(shù)學(xué)上把 稱為函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上的均方根,,*4.定積分在醫(yī)學(xué)及生命科學(xué)方面的應(yīng)用,,例5.3.16 將血管看成是一個圓柱形的管子，它的圓截面的半徑為R (cm)，管中的血流平行于血管的中心軸，距離中心軸r處血的流速為,計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)血管中的血流量Q(cm3s) .,解 將上述血管的圓截面分成許多個圓環(huán)，每個圓環(huán)的寬度為d r，如圖5.3.15所示,圖5.3.15,小圓環(huán)的面積近似為2rdr. 一秒鐘內(nèi)通過該圓環(huán)的血流量為v2rdr.把一秒鐘內(nèi)通過所有這樣的同心圓環(huán)上的血流量相加，則得,,(

50、cm3/s).,例5.3.17 在魚塘中捕魚時(shí)，魚越少捕魚越困難，捕撈的成本也就越高，一般可假設(shè)每公斤魚的捕撈成本與當(dāng)時(shí)池塘中的魚量成反比.,假設(shè)當(dāng)魚塘中有xkg魚時(shí)，每公斤的捕撈成本是 元. 已知魚塘中現(xiàn)有魚10000kg，問從魚塘中捕撈6000kg魚需花費(fèi)多少成本?,解 根據(jù)題意，當(dāng)塘中魚量為x時(shí)，捕撈成本函數(shù)為,(x0) .,假設(shè)魚塘中現(xiàn)有魚量為A，需要捕撈的魚量為T. 當(dāng)我們已經(jīng)捕撈了xkg魚之后，塘中所剩的魚量為Ax，此時(shí)再捕撈xkg魚所需的成本為,因此，捕撈T 公斤魚所需成本為,,將已知數(shù)據(jù)A10000kg，T6000kg代入，可計(jì)算出總捕撈成本,,（元）,順便可以計(jì)算出每公

51、斤魚的平均捕撈成本,,（元）,*5. 定積分在經(jīng)濟(jì)及社會科學(xué)方面的應(yīng)用,例5.3.18 設(shè)某種商品每天生產(chǎn)x單位時(shí)，固定成本為20元，邊際成本函數(shù)為MC=(0.4x+2)元粒，求總成本函數(shù)C(x)；如果這種商品規(guī)定的售價(jià)為18元，且產(chǎn)品可以全部售出，求總利潤函數(shù)L(x)，并問每天生產(chǎn)多少單位時(shí)才能獲最大利潤,解 (1) 求C(x)，可變成本是邊際成本函數(shù)在0, x上的定積分，設(shè)C1為可變成本，C(x)=C1(x)+k，其中k為固定成本 .又,,由固定成本含義C(0)=20, 代入C(x)=0.2x2+2x+k, 解得 k=20, 則 C(x)=0.2x2+2x+20,(2)設(shè)銷售x單位商品得

52、到的總收益為R(x)，依題意知 R(x)=18x,,則,由,,令 L(x)=0,,解得 x=40,,,所以每天生產(chǎn)40單位時(shí)才能獲得最大利潤，最大利潤為: L(40)=(0.2402+164020)元=300元,,,解 因?yàn)榭偸杖胧瞧渥兓蕆(x)的原函數(shù)，所以生產(chǎn)x單位時(shí)的總收入為,,由于總收入R(x)等于平均單位收入P乘以產(chǎn)量x，故有 R(x)=Px，,,即平均單位收入P 為,所以，當(dāng)生產(chǎn)1000個單位時(shí)，總收入為,（元）,6.廣義積分,前面我們討論了定積分在幾何、物理、生命科學(xué)、經(jīng)濟(jì)與社會科學(xué)中的應(yīng)用，其積分區(qū)間a,b為有限區(qū)間且被積函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上有界 但在一些科學(xué)技

53、術(shù)領(lǐng)域中，往往需要研究積分區(qū)間無限或被積函數(shù)無界時(shí)的積分為此我們運(yùn)用極限方法，把定積分概念分別推廣到以上兩種情形,(1) 無限區(qū)間上的積分,,,此時(shí)也稱廣義積分 收斂，否則稱廣義積分發(fā)散,類似地，若f (x)在區(qū)間(, b上連續(xù)，極限,存在，則稱此極限為函數(shù)f (x)在無窮區(qū)間(，b上的廣義積分，記作,,,,,,,,這時(shí)也稱 廣義積分收斂，否則稱廣義積分發(fā)散.,若函數(shù)f (x)在(,+)上連續(xù)，稱 為f (x)在(,+)上的廣義積分.,且,(2) 無界函數(shù)的積分,,,,,,,,,,定義5.3.2 設(shè)函數(shù)f (x)在(a, b上連續(xù)，當(dāng)xa+時(shí), f (x)，如果

54、 (0) 存在，就稱此極限值為無界函數(shù)f (x)在(a,b上的廣義積分,記作,此時(shí)也稱廣義積分 收斂,若極限不存在, 則稱該廣義積分發(fā)散,類似地可定義，當(dāng)f (x)在a, b）上連續(xù)，而當(dāng)xb時(shí), f (x)的廣義積分,(0) ，,以及f (x)在a,b上除c點(diǎn)(acb）外連續(xù)，而當(dāng)xc時(shí)，f (x)的廣義積分,,,注：以上式子中函數(shù)在+或時(shí)的值，應(yīng)理解為相應(yīng)的極限.,解,例5.3.20 求,證,當(dāng)p1時(shí)，,當(dāng)p=1時(shí),,所以當(dāng)p1時(shí)，該廣義積分收斂，,,當(dāng)p1時(shí),該廣義積分發(fā)散,p1, p1.,其值為,,,,所以,,這里10, 20其中,,故廣義積分 發(fā)散，,因此 在1, 1上發(fā)散,,例5.3.23 證明 (a0)，當(dāng)p1時(shí)收斂， p1時(shí)發(fā)散,,證 當(dāng)p0時(shí)，函數(shù) 在0, a上連續(xù)，此時(shí)定積分存在.,,,當(dāng)p1時(shí)，我們有,則,p1, p1.,當(dāng)p=1時(shí)，有,+, (0+).,,y01.000， y10.8000，,用拋物線法計(jì)算，取2n=4，,y20.6667， y30.5714，y40.5000 .,由拋物線法公式，得,,讀者不難發(fā)現(xiàn)，拋物線法優(yōu)于梯形法,