高中數學 精講優(yōu)練課型 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標表示 2.3.3 平面向量的坐標運算課件 新人教版必修4

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1、2.3.2平面向量的正交分解及坐標表示 2.3.3平面向量的坐標運算,【知識提煉】 1.平面向量正交分解的定義 把一個平面向量分解為兩個_________的向量. 2.平面向量的坐標表示 (1)基底：在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個 _________i，j作為_____.,互相垂直,單位向量,基底,(2)坐標：對于平面內的一個向量a，有且僅有一對實數x，y，使得 a=_____，則有序實數對(x，y)叫做向量a的坐標. (3)坐標表示：a=(x，y). (4)特殊向量的坐標：i=_______，j=_______，0=(0，0).,xi+yj,(1，0),(0，1),3.

2、平面向量的坐標運算 設向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，R，則有下表：,和,差,(x1+x2，y1+y2),(x1-x2，y1-y2),(x1，y1),終點,起點,(x2-x1，y2-y1),【即時小測】 1.思考下列問題. (1)與坐標軸平行的向量的坐標有什么特點？ 提示：與x軸平行的向量的縱坐標為0，即a=(x，0)；與y軸平行的向量的橫坐標為0，即b=(0，y).,(2)若把向量 平移到 ，則 和 的坐標相同嗎？ 的坐標 是C點的坐標嗎？ 提示：相同， 的坐標不是C點的坐標，只有點B與原點O重合時 的 坐標才是C點坐標.,2.如圖所示，在矩形ABCD中，AC與BD交于點O，下列

3、是正交分解的 是( ) 【解析】選B.由于 ，則 是正交分解,3.在平面直角坐標系內，已知i，j是兩個互相垂直的單位向量，若a=i-2j，則向量用坐標表示a=________. 【解析】由于i，j是兩個互相垂直的單位向量， 所以a=(1，-2). 答案：(1，-2),4.若a=(2，3)，b=(-3，1)，則a+b=________. 【解析】a+b=(2，3)+(-3，1)=(-1，4). 答案：(-1，4),5.若點M(3，5)，點N(2，1)，用坐標表示向量 =_______ 【解析】 =(2，1)-(3，5)=(-1，-4). 答案：(-1，-4),【知識探究】 知識點1 平面

4、向量的正交分解及坐標表示 觀察圖形，回答下列問題：,問題1：點的坐標與向量的坐標有什么區(qū)別？ 問題2：相等向量的坐標相同嗎？相等向量的起點、終點一定相同嗎？,【總結提升】 1.解讀平面向量的坐標表示 (1)向量的坐標只與始點和終點的相對位置有關，而與它們的具體位置無關. (2)向量確定后，向量的坐標就被確定了. (3)引入向量的坐標表示以后，向量就有兩種表示方法：一種是幾何法，即用向量的長度和方向表示；另一種是坐標法，即用一對有序實數表示.有了向量的坐標表示，就可以將幾何問題轉化為代數問題來解決.,2.辨析點的坐標與向量坐標 (1)平面向量的坐標只有當起點在原點時，向量的坐標才與向量終點的坐標

5、相同. (2)書寫不同：向量a=(x，y)中間用等號連接，而點的坐標A(x，y)中間沒有等號. (3)在平面直角坐標系中，符號(x，y)可表示一個點，也可表示一個向量，敘述中應指明點(x，y)或向量(x，y).,(4)給定一個向量，它的坐標是唯一的，對應一對實數，由于向量可以平移，故以這對實數為坐標的向量有無窮多個. 注意：相等向量的坐標是相同的，但是兩個相等向量的起點、終點的坐標卻可以不同.,知識點2 平面向量的坐標運算 觀察如圖所示內容，回答下列問題：,問題1：兩個向量的和與差、實數與向量的積的坐標如何運算？ 問題2：求向量 的坐標需要哪些向量？ 問題3：向量可以平移，平移前后它的坐標發(fā)生

6、變化嗎？,【總結提升】 1.兩個向量和(差)的坐標 由于向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)等價于a=x1i+y1j，b=x2i+y2j，則a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j，即a+b=(x1+x2，y1+y2)，同理可得a-b=(x1-x2，y1-y2).這就是說，兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和(差).,2.實數與向量的積的坐標 由a=(x，y)，可得a=xi+yj，則a=(xi+yj)=xi+yj.從而a=(x，y).這就是說實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標.,【題型探究】 類型一 平面向量的

7、坐標表示 【典例】1.已知基向量i=(1，0)，j=(0，1)，m=4i-j，則m的坐標 是() A.(4，1)B.(-4，1)C.(4，-1)D.(-4，-1) 2.如圖，取與x軸、y軸同向的兩個單位向量i，j作為 基底，分別用i，j表示 并求出它們的坐標.,【解題探究】1.典例1中向量i與向量j有什么關系？ 提示：向量i與向量j垂直. 2.典例2中，點A，B的坐標分別是多少， 如何用 表示. 提示：A(6，2)，B(2，4)，,【解析】1.選C.因為向量i與向量j垂直，m=4i-j，所以m=(4，-1). 2.由圖形可知， =6i+2j， =2i+4j， =-4i+2j，它們的坐標表

8、示為： =(6，2)， =(2，4)， =(-4，2).,【方法技巧】求點和向量坐標的常用方法 (1)求一個點的坐標，可以轉化為求該點相對于坐標原點的位置的坐標. (2)求一個向量時，可以首先求出這個向量的起點坐標和終點坐標，再運用終點坐標減去起點坐標得到該向量的坐標.,【變式訓練】已知邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30角， 則 =______， =_____.,【解析】由題知B，D分別是30，120角的終邊與單位圓的交點. 設B(x1，y1)，D(x2，y2). 由三角函數的定義，得x1=cos30= y1=sin30= ，所以 x2=cos120=- ，y2=sin120=

9、 所以 所以 答案：,【補償訓練】在直角坐標系xOy中，向量a，b，c的方向如圖所示，且|a|=2，|b|=3，|c|=4，分別計算出它們的坐標.,【解題指南】題目中給出了向量a，b，c的模以及與坐標軸的夾角，要求向量的坐標，先將向量正交分解，把它們分解為橫、縱坐標的形式，然后寫出其相應的坐標.,【解析】設a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，c=(c1，c2)， 則a1=|a|cos45=2 a2=|a|sin45=2 b1=|b|cos120=3 b2=|b|sin120=3 c1=|c|cos(-30)=4 c2=|c|sin(-30)=4 因此a=( )，b= ，c=(2 ，-

10、2).,類型二 平面向量的坐標運算 【典例】1.已知平面上三個點A(4，6)、B(7，5)、C(1，8)， 則 =______， =_______. 2.已知a=(1，2)，b=(-3，4)，求向量a+b，a-b，3a-4b的坐標,【解題探究】1.典例1中 ， 的坐標分別為多少？ 提示： = (3，-1)， = (-3，2). 2.典例2中如何求向量和、差、數乘的坐標？ 提示：直接利用平面向量的坐標運算求解.,【解析】1.因為A(4，6)、B(7，5)、C(1，8) 所以 =(7，5)-(4，6)=(3，-1)； =(1，8)-(4，6)=(-3，2)； =(3，-1)-(-3，2)=

11、(6，-3)； =2(3，-1)+ (-3，2) =(6，-2)+ 答案：(6，-3),2.a+b=(1，2)+(-3，4)=(-2，6)； a-b=(1，2)-(-3，4)=(4，-2)； 3a-4b=3(1，2)-4(-3，4)=(15，-10),【延伸探究】若典例1中條件不變，則 的坐標是多少？ 【解析】因為A(4，6)、B(7，5)、C(1，8)，所以 =(7，5)-(1，8)=(6，-3)， =(4，6)-(7，5)=(-3，1)， 所以,【方法技巧】平面向量坐標運算的技巧 (1)若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差及向量數乘的運算法則進行. (2)若已知有向線段兩端點

12、的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算. (3)向量的線性坐標運算可完全類比數的運算進行.,【變式訓練】1.若向量 =(2，3)， =(4，7)，則 =( ) A.(-2，-4)B.(3，4) C.(6，10)D.(-6，-10) 【解析】選A.因為 =(2，3)， =(4，7)，,2.已知a=(-1，2)，b=(2，1)，求： (1)2a+3b.(2)a-3b.(3) . 【解析】(1)2a+3b=2(-1，2)+3(2，1) =(-2，4)+(6，3)=(4，7) (2)a-3b=(-1，2)-3(2，1)=(-1，2)-(6，3) =(-7，-1),【補償訓練】如圖所示

13、，已知ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)， M，N，D分別是AB，AC，BC的中點，且MN與AD交于點F，求 的坐標,【解析】因為A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)， 所以 =(3-7，5-8)=(-4，-3)， =(4-7，3-8)=(-3，-5) 又因為D是BC的中點， 所以 因為M，N分別為AB，AC的中點，所以F為AD的中點 所以,類型三 由相等向量求坐標 【典例】1.(2015江蘇高考)已知向量a=(2，1)，b=(1，-2)，若 ma+nb=(9，-8)(m，nR)，則m-n的值為________. 2.已知A(2，4)、B(-4，6)，若 則 的坐標為

14、____. 3.已知點O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及 (1)t為何值時，點P在x軸上？點P在y軸上？ (2)四邊形OABP能為平行四邊形嗎？若能，求出t值；若不能，說明理由.,【解題探究】1.典例1中如何利用ma+nb=(9，-8)這個條件？ 提示：先求出ma+nb的坐標，然后根據相等向量的坐標對應相等求解 m，n. 2. 典例2中 能確定哪些點的坐標？ 提示：由 可確定點C的坐標，由 可確定點D的坐標. 3.典例3中點P在x軸上，在y軸上的坐標有何特點？ 提示：點P在x軸上，縱坐標為0，在y軸上橫坐標為0.,【解析】1.因為a=(2，1)，b=(1，-2)，所以

15、ma+nb=m(2，1)+n(1，-2) =(2m+n，m-2n).又因為ma+nb=(9，-8)，所以 解得 所以m-n=-3. 答案：-3,2.設C(x，y)，則由 得， (x-2，y-4)= (-6，2)，解得x=-7，y=7， 即點C的坐標為C(-7，7) 又設D(m，n)，則由 得， (m+4，n-6)= (6，-2)， 解得m=4，n= ，即D點的坐標為(4， ) 故 答案：,3.(1) =(1，2)+t(3，3)=(1+3t，2+3t)， 若點P在x軸上，則2+3t=0，所以t=- . 若點P在y軸上，則1+3t=0，所以t=- . (2) =(1，2)， =(3-3

16、t，3-3t)若四邊形OABP為平行四邊形， 則 所以 該方程組無解 故四邊形OABP不能成為平行四邊形,【延伸探究】 1.(改變問法)若本例3條件不變，問t為何值時，B為線段AP的中點？ 【解析】由 得 所以當t=2時， B為線段AP的中點,2.(改變問法)若本例3條件不變，問t為何值時，點P在第二象限？ 【解析】若點P在第二象限，則 所以,【方法技巧】坐標形式下向量相等的條件及其應用 (1)條件：相等向量的對應坐標相等. (2)應用：利用坐標形式下向量相等的條件，可以建立相等關系，由此可求某些參數的值.,【變式訓練】(2015泰安高一檢測)已知向量 =(3，-4)， =(6，-

17、3)， =(2，-6). (1)若四邊形ABCD為平行四邊形，求D點坐標. (2)若 求實數 的值.,【解析】(1)設D點坐標為(m，n)，則 =(m，n)， 因為 =(3，-4)， =(6，-3)， =(2，-6)， 所以 =(6，-3)-(3，-4)=(3，1)， =(2，-6)-(m，n)=(2-m，-6-n). 又因為四邊形ABCD為平行四邊形， 所以 所以 所以 所以D點坐標為(-1，-7).,(2)因為 所以(3，-4)=x(6，-3)+y(2，-6)=(6x+2y，-3x-6y)， 所以 解得 所以,【補償訓練】已知A(1，-2)、B(2，1)、C(

18、3，2)和D(-2，3)，以 為一組基底來表示 【解析】因為 =(1，3)， =(2，4)， =(-3，5)， =(-4，2)， =(-5，1)， 所以 =(-3，5)+(-4，2)+(-5，1)=(-12，8) 根據平面向量基本定理，一定存在實數m、n，使得,所以(-12，8)=m(1，3)+n(2，4)， 也就是(-12，8)=(m+2n，3m+4n)， 即 解得m=32，n=-22. 所以,易錯案例 向量的坐標與點的坐標 【典例】(2015湛江高一檢測)已知點A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)， 若第三象限的點P滿足 則實數的取值范圍為( ),【失誤案例】,【錯解

19、分析】分析解題過程，你知道錯在哪里嗎？ 提示：錯誤的根本原因是混淆了向量 的坐標與點P的坐標，誤認為(3+5，1+7)為P的坐標.,【自我矯正】選A.方法一：設P(x，y)，則 =(x-2，y-3)， 又 于是可得， (x-2，y-3)=(3+5，1+7)， 所以 即 因為點P在第三象限，所以 解得<-1. 故所求實數的取值范圍是(-，-1),方法二： 所以P(5+5，4+7)， 因為點P在第三象限內， 所以 所以<-1.,【防范措施】明確向量坐標與點坐標的關注點 (1)明確向量坐標與點坐標的概念，當且僅當向量的起點為坐標原點時，向量坐標與其終點的坐標相同. (2)明確向量的坐標運算主要是利用加、減、數乘運算法則進行，正確進行向量的坐標運算是解題的關鍵.,