《常微分方程》PPT課件.ppt

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1、常微分方程課件,制作者：閆寶強(qiáng)，傅希林，劉衍勝，范進(jìn)軍，勞會(huì)學(xué)，張艷燕,第一章 初等積方法,第五章 定性與穩(wěn)定性概念,第三章 線性微分方程,第二章 基本定理,第四章 線性微分方程組,第六章 一階偏微方程初步,第1講微分方程與解 微分方程 什么是微分方程？它是怎樣產(chǎn)生的？這是首先要回答的問(wèn)題.,,300多年前，由牛頓(Newton,1642-1727)和萊布尼茲(Leibniz,1646-1716)所創(chuàng)立的微積分學(xué)，是人類(lèi)科學(xué)史上劃時(shí)代的重大發(fā)現(xiàn)，而微積分的產(chǎn)生和發(fā)展，又與求解微分方程問(wèn)題密切相關(guān).這是因?yàn)椋⒎e分產(chǎn)生的一個(gè)重要?jiǎng)右騺?lái)自于人們探求物質(zhì)世界運(yùn)動(dòng)規(guī)律的需求.一般地，運(yùn)動(dòng)規(guī)律很難全靠實(shí)

2、驗(yàn)觀測(cè)認(rèn)識(shí)清楚，因?yàn)槿藗儾惶赡苡^察到運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程.然而，運(yùn)動(dòng)物體(變量)與它的瞬時(shí)變化率(導(dǎo)數(shù))之間，通常在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中按照某種己知定律存在著聯(lián)系，我們?nèi)菀撞蹲降竭@種聯(lián)系，而這種聯(lián)系，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，其結(jié)果往往形成一個(gè)微分方程.一旦求出這個(gè)方程的解，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律將一目了然.下面的例子，將會(huì)使你看到微分方程是表達(dá)自然規(guī)律的一種最為自然的數(shù)學(xué)語(yǔ)言.,,例1 物體下落問(wèn)題設(shè)質(zhì)量為m的物體，在時(shí)間t=0時(shí)，在距地面高度為H處以初始速度v(0) = v0垂直地面下落，求ss此物體下落時(shí)距離與時(shí)間的關(guān)系.解 如圖1-1建立坐標(biāo)系，設(shè)為t時(shí)刻物體的位置坐標(biāo).于是物體下落的速度為 加速度為,質(zhì)量為m的物體，

3、在下落的任一時(shí)刻所受到的外力有重力mg和空氣阻力，當(dāng)速度不太大時(shí)，空氣阻力可取為與速度成正比.于是根據(jù)牛頓第二定律F = ma (力=質(zhì)量加速度)可以列出方程,,,,,(1.1)其中k 0為阻尼系數(shù)，g是重力加速度.(1.1)式就是一個(gè)微分方程，這里t是自變量，x是未知函數(shù)，是未知函數(shù)對(duì)t導(dǎo)數(shù).現(xiàn)在，我們還不會(huì)求解方程(1.1)，但是，如果考慮k=0的情形，即自由落體運(yùn)動(dòng)，此時(shí)方程(1.1)可化為（1.2）,將上式對(duì)t積分兩次得,(1.3),一般說(shuō)來(lái)，微分方程就是聯(lián)系自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系式.如果其中的未知函數(shù)只與一個(gè)自變量有關(guān)，則稱為常微分方程；如果未知函數(shù)是兩個(gè)或

4、兩個(gè)以上自變量的函數(shù)，并且在方程中出現(xiàn)偏導(dǎo)數(shù)，則稱為偏微分方程.本書(shū)所介紹的都是常微分方程，有時(shí)就簡(jiǎn)稱微分方程或方程.,例如下面的方程都是常微分方程,,,(1.4),(1.5),(1.6),(1.7),在一個(gè)常微分方程中，未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為方程的階.這樣，一階常微分方程的一般形式可表為,(1.8),如果在(1.8)中能將y解出，則得到方程,(1.9),(1.10),或,(1.8)稱為一階隱式方程,(1.9)稱為一階顯式方程，(1.10)稱為微分形式的一階方程.,n 階隱式方程的一般形式為 （1.11）n 階顯式方程的一般形式為(1.12) 在方程(1.11)中，如果左端函數(shù)F對(duì)未知

5、函數(shù)y和它的各階導(dǎo)數(shù)y,y,,y(n)的全體而言是一次的，則稱為線性常微分方程，否則稱它為非線性常微分方程.這樣，一個(gè)以y為未知函數(shù)，以x為自變量的n階線性微分方程具有如下形式： 顯然，方程(1.4)是一階線性方程；方程(1.5)是一階非線性方程；方程(1.6)是二階線性方程；方程(1.7)是二階非線性方程. 通解與特解,,,（1.13）,微分方程的解就是滿足方程的函數(shù)，可定義如下.定義1. 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間I上連續(xù)，且有直到n階的導(dǎo)數(shù).如果把 代入方程(1.11)，得到在區(qū)間I上關(guān)于x的恒等式， 則稱 為方程(1.11)在區(qū)間I上的一個(gè)解.這樣，從定義1.1可以直接驗(yàn)證：1. 函數(shù)

6、y = x2+C是方程(1.4)在區(qū)間(-，+)上的解，其中C是任意的常數(shù).2. 函數(shù)是方程(1.5)在區(qū)間（-1,+1）上的解，其中C是任意常數(shù).又方程(1.5)有兩個(gè)明顯的常數(shù)解y =，這兩個(gè)解不包含在上述解中.,,2. 函數(shù) 是方程(1.5)在區(qū)間（-1,+1）上的解，其中C是任意常數(shù).又方程(1.5)有兩個(gè)明顯的常數(shù)解y =，這兩個(gè)解不包含在上述解中.3. 函數(shù) 是方程(1.6)在區(qū)間(-，+)上的解，其中和是獨(dú)立的任意常數(shù). 4. 函數(shù) 是方程(.)在區(qū)間(-，+)上的解，其中和是獨(dú)立的任意常數(shù).這里，我們僅驗(yàn)證3，其余留給讀者完成.事實(shí)上，在(-，

7、+)上有,事實(shí)上，在(-，+)上有 所以在（，）上有 從而該函數(shù)是方程(1.6)的解.從上面的討論中，可以看到一個(gè)重要事實(shí)，那就是微分方程的解中可以包含任意常數(shù)，其中任意常數(shù)的個(gè)數(shù)可以多到與方程的階數(shù)相等，也可以不含任意常數(shù).我們把n階常微分方程(1.11)的含有n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)C1，C2，，Cn的解 ，稱為該方程的通解，如果方程(1.11)的解不包含任意常數(shù)，則稱它為特解.由隱式表出的通解稱為通積分，而由隱式表出的特解稱為特積分.,由上面的定義，不難看出，函數(shù) 和 分別是方程(1.4)，(1.5)和(1.6)的通解，函數(shù) 是方程(1.7)的通積分，而函數(shù)y =

8、是方程(1.7)的特解.通常方程的特解可對(duì)通解中的任意常數(shù)以定值確定，這種確定過(guò)程，需要下面介紹的初始值條件，或簡(jiǎn)稱初值條件. 初值問(wèn)題例 1中的函數(shù)(1.3)顯然是方程(1.2)的通解，由于C_1 和C_2是兩個(gè)任意常數(shù)，這表明方程(1.2)有無(wú)數(shù)個(gè)解，解的圖像見(jiàn)下面的圖a和圖b所示.,而實(shí)際經(jīng)驗(yàn)表明，一個(gè)自由落體運(yùn)動(dòng)僅能有一條運(yùn)動(dòng)軌跡.產(chǎn)生這種多解性的原因是因?yàn)榉匠?1.2)所表達(dá)的是任何一個(gè)自由落體，在任意瞬時(shí)t所滿足的關(guān)系式，并未考慮運(yùn)動(dòng)的初始狀態(tài)，因此，通過(guò)積分求得的其通解(1.3)所描述的是任何一個(gè)自由落體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.顯然，在同一初始時(shí)刻，從不同的高度或以不同初速度自由下落的物體，

9、應(yīng)有不同的運(yùn)動(dòng)軌跡.為了求解滿足初值條件的解，我們可以把例1中給出的兩個(gè)初始值條件，即初始位置x(0)= H 初始速度 代入到通解中，推得于是，得到滿足上述初值條件的特解為 (1.14),它描述了初始高度為H，初始速度為v0的自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律.求微分方程滿足初值條件的解的問(wèn)題稱為初值問(wèn)題. 于是我們稱(1.14)是初值問(wèn)題,的解.對(duì)于一個(gè)n 階方程，初值條件的一般提法是,其中x_0,是自變量的某個(gè)取定值，而,是相應(yīng)的未知函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的給定值.方程(1.12)的初值問(wèn)題常記為,(1.16,,(1.15),(1.16),初值問(wèn)題也常稱為柯西（Cauchy）問(wèn)題.對(duì)于一階方程，若已求出通解 ，只

10、要把初值條件代入通解中，得到方程從中解出C，設(shè)為C_0，代入通解，即得滿足初值條件的解 .對(duì)于n 階方程，若已求出通解 后，代入初值條件(1.15)，得到n個(gè)方程式,(1.17),如果能從(1.17)式中確定出 ，代回通解，即得所求初值問(wèn)題的 . 例2 求方程的滿足初值條件 的解.解 方程通解為求導(dǎo)數(shù)后得將初值條件代入，得到方程組,解出C_1和C_2得故所求特解為 積分曲線 為了便于研究方程解的性質(zhì)，我們常?？紤]解的圖象.一階方程(1.9)的一個(gè)特解的圖象是xoy平面上的一條曲線，稱為方程(1.9)的積分曲線，而通解的圖象是

11、平面上的一族曲線，稱為積分曲線族.例如，方程(1.4)的通解+C是xoy平面上的一族拋物曲線.而是過(guò)點(diǎn)(0，0)的一條積分曲線.以后，為了敘述簡(jiǎn)便，我們對(duì)解和積分曲線這兩個(gè)名詞一般不加以區(qū)別.對(duì)于二階和二階以上的方程，也有積分曲線和積分曲線族的概念，只不過(guò)此時(shí)積分曲線所在的空間維數(shù)不同，我們將在第4章詳細(xì)討論.最后，我們要指出，本書(shū)中按習(xí)慣用,代替,,而分別代表,本節(jié)要點(diǎn)：1常微分程的定義，方程的階，隱式方程，顯式方程，線性方程，非線性方程.2常微分方程解的定義，通解，特解，通積分，特積分.3初值問(wèn)題及初值問(wèn)題解的求法.4解的幾何意義，積分曲線.,,第2講變量可分離方程,1什么是變量可分離方程

12、？,（1.18）,或,（1.19）,,1什么是變量可分離方程？,1.2.1 顯式變量可分離方程的解法.1. 在方程(1.18)中，假設(shè)g(y)是常數(shù)，不妨設(shè)g(y)=1.此時(shí)方程(1.18)變?yōu)?(1.20) 設(shè)f(x)在區(qū)間(a,b)上連續(xù)，那么，求方程(1.20)的解就成為求f(x)的原函數(shù)(不定積分)的問(wèn)題.于是由積分上限所確定的函數(shù)(1.21) 就是方程(1.21)的通解，其中C是一個(gè)任意常數(shù)，是一個(gè)固定數(shù)，是自變量.,,2.假設(shè)g(y)不是常數(shù)，仍設(shè)f(x)在區(qū)間(a,b)上連續(xù)，而g(y)在 區(qū)間上連續(xù).若 y=y(x) 是方程(1.18)的任意一個(gè)解，且滿足

13、y(x_0)=y_0，則由解的定義，有恒等式(1.22) 假設(shè)g(y)0，于是可用分離變量法把方程寫(xiě)成 (1.23) 將上式兩端積分，得到恒等式(1.24) 上面的恒等式表明，當(dāng)g(y)0時(shí)，方程(1.18)的任意一個(gè)解必定滿足下面的隱函數(shù)方程(1.25),反之，若,,是隱函數(shù)方程(1.25)的解，則有恒等式(1.24)成立，由(1.24)的兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，就推出(1.23)成立，從而(1.22)成立， 這就表明了隱函數(shù)方程(1.25)的解,也是微分方程(1.18)的解.,在具體求解方程時(shí)，往往把(1.24)寫(xiě)成不定積分形式,（1.26）,由上面的證明可知，當(dāng)g(y)0時(shí)，微分方程(1.18)

14、與隱函數(shù)方程(1.26)是 同解方程，即若由(1.26)解出，則它是(1.18)的通解，由于(1.26)是通解的 隱式表達(dá)式，所以(1.26)亦稱為方程(1.18)的通積分.在求解過(guò)程中， 對(duì)于通積分(1.26)應(yīng)該盡量把它演算到底，即用初等函數(shù)表達(dá)出來(lái)， 但是，并不勉強(qiáng)從其中求出解的顯式表達(dá)式.如果積分不能用初等函數(shù)表達(dá) 出來(lái)，此時(shí)我們也認(rèn)為微分方程(1.18)已經(jīng)解出來(lái)了， 因?yàn)閺奈⒎址匠糖蠼獾囊饬x上講，留下的是一個(gè)積分問(wèn)題，而不 是一個(gè)方程問(wèn)題了.,3. 若存在,，使,，則易見(jiàn),是方程(1.18)的一個(gè)解，這樣的解稱為常數(shù)解.,Y(x)=y_0,1.2.2 微分形式變量可分離方程的解法方

15、程是變量可分離方程的微分形式表達(dá)式.這時(shí)，x和y在方程中的地位是“平等”的，即x與y都可以被認(rèn)為是自變量或函數(shù).在求常數(shù)解時(shí)，若 ，則y=y_0為方程(1.19)的解.同樣，若 ，則x=x_2也是方程(1.19)的解.當(dāng)時(shí) ，用它除方程(1.19)兩端，分離變量，得 上式兩端同時(shí)積分，得到方程(1.19)的通積分,本節(jié)要點(diǎn)：1變量可分離方程的特征2分離變量法的原理：微分方程（1.18）與分離變量后的積分方程（1.26）當(dāng) 時(shí)是同解方程3變量可分離方程一定存在常數(shù)解y=y_0, 并且滿足 ,第3講齊次微分方程 1什么是齊次方程？上一節(jié)，介紹了變量可分離方程的解法.有

16、些方程，它們形式上雖然不是變量可分離方程，但是經(jīng)過(guò)變量變換之后，就能化成變量可分離方程，本節(jié)介紹兩類(lèi)可化為變量可分離的方程.如果一階顯式方程（1.9）的右端函數(shù)可以改寫(xiě)為的函數(shù)，那么稱方程(1.9)為一階齊次微分方程.所以它們都是一階齊次方程因此，一階齊次微分方程可以寫(xiě)為 (1.27),1.3.1 齊次方程的解法方程(1.27)的特點(diǎn)是它的右端是一個(gè)以為變?cè)暮瘮?shù)，經(jīng)過(guò)如下的變量變換，它能化為變量可分離方程.令 則有代入方程(1.27)得,（1.28）,方程(1.28)是一個(gè) 變量可分離方程，當(dāng) 時(shí)，分離變量并積分，得到它的通積分 （1.29） 或即 其中 以代入，得到原方程(1.27)的通積

17、分,若存在常數(shù)，使 ，則 ，是(1.28)的解，由 ，得 是原方程(1.27)的解.,在一般情況下，如何判斷方程(1.9)是齊次方程呢? 這相當(dāng)于考慮，什么樣的二元函數(shù) 能化成形狀為 的函數(shù).下面我們說(shuō)明零次齊次函數(shù)具有此性質(zhì).所謂 對(duì)于變?cè)獂和y是零次齊次式，是指對(duì)于任意 的常數(shù)，有恒等式 因此，令 ，則有 因此，所謂齊次方程，實(shí)際上就是方程(1.9)的右端函數(shù) 是一個(gè)關(guān)于變?cè)獂，y的零次齊次式. 如果我們把齊次方程稱為第一類(lèi)可化為變量分離的方程，那么我們下面要介紹第二類(lèi)這種方程.,1.3.2 第二類(lèi)可化為變量可分離的方程形如 (1.30)的方程是第二

18、類(lèi)可化為變量可分離的方程.其中，顯然，方程(1.30)的右端函數(shù)，對(duì)于x，y并不是零次齊次函數(shù)，然而函數(shù) （1.31）則為零次齊次函數(shù).事實(shí)上，我們有,下面我們將通過(guò)變量變換把(1.30)中的C1及C2消去，將方程(1.30)的右端函數(shù)化成(1.31)的形式，從而把方程(1.30)化成齊次方程. 令 ( 為待定常數(shù)) 則 代入(1.30)得 選取 使得 (1.32)(1.32)是一個(gè)線性非齊次方程組，它的解與系數(shù)行列式有關(guān).如果,則(1.32)有唯一組解，把 取為這組解，于是(1.30)就化成齊次方程 求出這個(gè)方程解，并用變換代回，即可得(1.30)的解

19、.上面的作法其實(shí)就是解析幾何中的坐標(biāo)平移.當(dāng)時(shí)，直線與直線相交于一點(diǎn)，將二式聯(lián)立求得交點(diǎn)( )，再作坐標(biāo)平移，就把原點(diǎn)移到( ).又由于在坐標(biāo)平移變換 下有 成立，這樣(1.30)就變成齊次方程了.,如果 ，則(1.32)沒(méi)有唯一組解，上述方法不可行，下面我們要說(shuō)明，此時(shí)方程(1.30)也可化為變量可分離方程求解.實(shí)際上由 ，有 成立. 下面僅以 來(lái)討論，(以 討論相同). ，此時(shí)(1.30)為 令，則得到關(guān)于z的變量可分離方程2) 中至多有一個(gè)為零.,當(dāng) 時(shí)，由(1.33)必有 ，方程(1.30)成為 這是一個(gè)變量可分離方程.,3) 當(dāng)

20、 且 時(shí)，由(1.33)有 于是 ，原方程(1.30)成為 令 則 代入上面方程，得到一個(gè)關(guān)于z的方程 這也是一個(gè)變量可分離方程,本節(jié)要點(diǎn)：1一階顯式方程 是齊次方程右端函數(shù) 是一個(gè)零次齊次函數(shù)2齊次方程解法的本質(zhì)是，方程（1.27）通過(guò)變量替換化為變量可分離方程求解3方程（1.30）的解法是齊次方程解法的擴(kuò)展，把一個(gè)不是齊次方程的方程，選通過(guò)變量替 換化成齊次方程，再按齊次方程求解,1.4 一階線性微分方程本節(jié)討論一階線性方程的解法以及某些可以化成線性方程的類(lèi)型.一階線性微分方程的形式是（1.34） 如果 ，即 (1.35)稱為一階線性

21、齊次方程.如果 不恒為零，則稱(1.34)為一階線性非齊次方程. 1.4.1 一階線性非齊次方程的通解先考慮線性齊次方程(1.35)，注意這里“齊次”的含意與1.3節(jié)中的不同，這里指的是在(1.34)中不含“自由項(xiàng)” ，即 顯然，(1.35)是 一個(gè)變量可分離方程，由1.2節(jié)易知它的通解是 (1.36)下面使用常數(shù)變易法再求線性非齊次方程(1.34)的解.其想法是：當(dāng)C 為常數(shù)時(shí)，函數(shù)(1.36)的導(dǎo)數(shù)，恰等于該函數(shù)乘上- p(x),從而(1.36)為齊次 方程(1.35)的解.現(xiàn)在要求非齊次方程(1.34)的解，則需要該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還 要有一 項(xiàng)等于 . 為此，聯(lián)系到乘積導(dǎo)數(shù)的

22、公式，可將(1.36)中的常數(shù) C 變易為 函數(shù)C(x)，即令,(1.37) 為方程(1.34)的解，其中C(x)待定.將(1.37)代入(1.34)，有即 積分后得把上式代入(1.37)，得到(1.34)的通解公式為 (1.38)在求解具體方程時(shí)，不必記憶通解公式，只要按常數(shù)變易法的步驟來(lái)求解即可.,1.4.2 伯努利(Bernoulli)方程形如 (1.44)的方程，稱為伯努利方程.伯努利方程(1.44)是一種非線性的一階微分方程，但是經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q之后，它可以化成一階線性方程.在(1.44)兩端除以 ，得 (1.45)為了化成線性方程，令 則 代入

23、(1.45)得 這樣，就把(1.44)化成以z為未知函數(shù)的線性方程了.,,本節(jié)要點(diǎn)：1線性非齊次方程的解法本質(zhì)是常數(shù)變易法，這種方法首先由拉格朗日提出，在常微分方程的解法上占有重要地位2由常數(shù)變易法求得的通解表達(dá)式（1.38）或特解表達(dá)式（1.43）能幫助我們證明解的某些漸近性質(zhì)3伯努利方程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)可以通過(guò)變量替換化為線性方程的非線性方程,1.5 全微分方程及積分因子 1.5.1 全微分方程如果微分形式的一階方程 的左端恰好是一個(gè)二元函數(shù) 的全微分，即 則稱(1.10)是全微分方程或恰當(dāng)方程，而函數(shù) 稱為微分式(1.46)的原函數(shù).例如方程(1.47)就是一個(gè)全微分方程.因?yàn)樗淖蠖?/p>

24、恰是二元函數(shù) 的全微分. 全微分方程如何求解呢? 先看一下方程(1.47),由于它的左端是二元函數(shù) 的全微分，從而方程可寫(xiě)成,（110）,若 是(1.47)的解，應(yīng)有恒等式 從而 （1.48） 由此解出這說(shuō)明，全微分方程(1.47)的任一解包含在表達(dá)式(1.48)中. 一般地，有如下定理定理1.1 假如 是微分(1.46)的一個(gè)原函數(shù)，則全微分方程(1.10)的通積分為 （.49）其中C 為任意常數(shù).證明 先證(1.10)的任一解 均滿足方程(1.49). 因?yàn)? 為(1.10)的解，故有恒等式,因?yàn)? 為(1.10)的原函數(shù)，所以有從而 于是

25、滿足(1.49). 再證明(1.49)所確定的任意隱函數(shù) 均為(1.10)的解.因?yàn)?是由(1.49)所確定的隱函數(shù)，所以存在常數(shù)C，使將上式微分并應(yīng)用 是(1.46)的原函數(shù)的性質(zhì)，即有從而 是方程(1.10)的解，定理證畢.,根據(jù)上述定理，為了求解全微分方程(1.10)，只須求出它的一個(gè)原函數(shù) ，就可以得到它的通積分 .下面介紹兩種求原函數(shù)的方法. 1.求原函數(shù)的直接觀察法在某些簡(jiǎn)單情形下，可以由觀察方程(1.10)直接 求出它的一個(gè)原函數(shù)，從而得到它的通積分.這要求熟記一些常見(jiàn)的二元函數(shù)的全微分公式.,2求原函數(shù)的一般方法.定理1.2 如果方程(1.10)中的

26、， 在矩形區(qū)域 上連續(xù)可微，則方程(1.10)是全微分方程的充要條件是：在R上有（1.50） 證明 必要性，設(shè)(1.10)是全微分方程，則存在原函數(shù) ，使得,所以,將以上二式分別對(duì)y和x求偏導(dǎo)數(shù)，得到 因?yàn)镸 ，N 連續(xù)可微，所以 成立，即(1.50)成立.充分性，設(shè)(1.50)在區(qū)域R內(nèi)成立，現(xiàn)在求一個(gè)二元函數(shù) ，使它滿足即 由第一個(gè)等式，應(yīng)有,其中 為y 的任意可微函數(shù)，為了使 ，再滿足 必須適當(dāng)選取 ，使?jié)M足 由參變量積分的性質(zhì)和條件(1.50)，上式即為 參變量積分的分析性質(zhì):參變量積分 （1）; 是參變量若 及在矩形,上連續(xù)，則參 變量積分（

27、1）定義的函數(shù) 在區(qū)間上可微，并且 或 從而應(yīng)取積分后得到因?yàn)橹灰粋€(gè) 就夠了，故取 .于是，函數(shù)(1.51)就是所求的原函數(shù)，而全微分方程(1.10)的通積分是 (1.52)定理1.2 不但給出了判斷方程(1.10)為全微分方程的充要條件，而且給出了當(dāng)判別式(1.50)成立時(shí)，(1.51)式就是(1.10)左端的原函數(shù)，而(1.52)就是(1.10)的通積分.,1.5.2 積分因子以上我們給出了全微分方程的求解公式，但是，方程(1.10)未必都是全微分方程，例如，下面這個(gè)簡(jiǎn)單方程 (1.54)就不是全微分方程，因?yàn)?如果，將上面這個(gè)方程兩端同乘以 ，得到方程 (1.55) 這是一

28、個(gè)全微分方程，因?yàn)榇藭r(shí)有 通常我們稱 為方程(1.54)的積分因子，因?yàn)樗墒狗匠?1.54)變成全微分方程(1.55).一般地，我們有下面的定義.假如存在這樣的連續(xù)可微函數(shù) ，使方程,,(1.56)成為全微分方程，我們就把 稱為方程(1.10)的一個(gè)積分因子.易于看到，當(dāng) 時(shí)，方程(1.10)與(1.56)是同解的.于是，為了求解(1.10)，只須求解(1.56)就可以了，但是如何求得積分因子 呢?下面就來(lái)研究求積分因子 的方法.方程(1.56)是全微分方程的充要條件為 展開(kāi)并整理后，上式化成,,（157）,一般地說(shuō)，偏微分方程(1.57)是不易求解的.不過(guò)，對(duì)于某些特殊情

29、況，(1.57)的求解問(wèn)題還是比較容易的.下面我們給出兩種特殊的積分因子的求法. 1方程(1.10)存在只與x有關(guān)的積分因子的充要條件是 只與x有關(guān)，且此時(shí)有 (1.58)證明 必要性，若方程(1.10)存在只與x有關(guān)的積分因子 ，則有 ,這樣(1.57)成為 即 (1.59)因?yàn)?1.59)左端只與x 有關(guān)，所以它的右端也只與x 有關(guān).,充分性，如果 只與x 有關(guān)，且 是方程(1.59)的解， 即不難驗(yàn)證， 就是(1.10)的一個(gè)積分因子. 證畢.2方程(1.10)存在只與y 有關(guān)的積分因子的充要條件是只與y 有關(guān)，且此時(shí)有 (1.60) 證明 與1相似證明.,本節(jié)

30、要點(diǎn):1全微分方程的解法本質(zhì)是求一個(gè)全微分的原函數(shù)問(wèn)題2求原函數(shù)的常用方法觀察法，適用于簡(jiǎn)單方程公式法，（1.51）式3積分因子的求法要求掌握公式（1.58）和公式（1.60），即會(huì)求只與x 有關(guān)或只與y 有關(guān)的積分因子,1.6 一階隱式微分方程前面幾節(jié)介紹的是求解顯式方程 （1.9）的一些初等積分法.本節(jié)要討論如何求解隱式方程 （1.8）方程(1.8)也稱為導(dǎo)數(shù)未解出的一階方程.求解方程(1.8)的問(wèn)題分兩種情況考慮：1 假如能從(1.8)中把 解出，就得到一個(gè)或幾個(gè)顯式方程 如果能用初等積分法求出這些顯式方程的解，那么就得到方程(1.8)的解. 例1 求解方程解 方程左端可以分解因式， 得

31、從而得到兩個(gè)方程 這兩個(gè)方程都可以求積， 得到 它們都是原方程的解.,2如果在(1.8)中不能解出y時(shí)，則可用下面介紹的“參數(shù)法”求解，本節(jié)主要介紹其中兩類(lèi)可積類(lèi)型，類(lèi)型 類(lèi)型類(lèi)型的特點(diǎn)是，方程中不含y 或x ；類(lèi)型的特點(diǎn)是y 可以解出或x 可以解出. 首先，考慮類(lèi)型中的方程 （1.61）我們已經(jīng)知道，方程(1.61)的一個(gè)解 ， 在平面上的圖象是一條曲線，而曲線是可以用參數(shù)表示的，稱為參數(shù)形式解，即是定義在區(qū)間 上的可微函數(shù) 使得,,,在 上恒成立.顯然，如果能從方程(1.61)中求出解 ，再把它參數(shù)化，就可以得到(1.61)的參數(shù)形式解，但這是沒(méi)有什么意義的.下面介紹的

32、參數(shù)法，是在方程(1.61)中當(dāng)解不出來(lái)時(shí)，先把方程(1.61)化成等價(jià)的參數(shù)形式，然后根據(jù)某種恒等式，可以求出原方程(1.61)的參數(shù)形式解.這種求解過(guò)程就稱為參數(shù)法.具體作法如下： (1)方程(1.61)化成參數(shù)形式從幾何上看， 表示平面 上的曲線，可以把這曲線表示為適當(dāng)?shù)膮?shù)形式 （1.62）這里t 是參數(shù)，當(dāng)然有（1.63）成立.(2)求(1.61)的參數(shù)形式解由于(1.62)和沿著(1.61)的任何一條積分曲線上恒滿足基本關(guān)系式這樣，把(1.62)代入上式，得上式兩端積分，得到于是，得到方程(1.61)的參數(shù)形式通解（1.64）,不難驗(yàn)證：將(1.64)代入(1.61)得到(1

33、.63)，這說(shuō)明(1.64)確實(shí)是(1.61)的參數(shù)形式通解.同理，可以討論類(lèi)型的方程不難驗(yàn)證：將(1.64)代入(1.61)得到(1.63)，這說(shuō)明(1.64)確實(shí)是(1.61)的參數(shù)形式通解.同理，可以討論類(lèi)型的方程 (1.65)設(shè)其可以表示的參數(shù)形式 由于有積分， 得從而(1.65)的參數(shù)形式通解為,現(xiàn)在，考慮類(lèi)型中的方程 （1.66）從幾何上看，方程(1.66)表示 空間中的曲面，令 ，有 ，這樣(1.66)的參數(shù)形式是(1.67）同樣，由基本關(guān)系式有將(1.67)代入上式，得或 （1.68） 這是一個(gè)關(guān)于自變量為 x ，未知函數(shù)為 p 的方程.如果能求得通解,代入到(1

34、.67)的第三個(gè)方程中，即得(1.66)的通解如果只能求得(1.68)的通積分則它與(1.67)的第三個(gè)方程聯(lián)立，為(1.66)的參數(shù)形式解，若能消去參數(shù) p ，可得(1.66)的通解或通積分.在上述求解過(guò)程中，請(qǐng)讀者注意：當(dāng)從方程(1.68)中解出 時(shí)，只 要將其代入(1.67)的第三式，就得到(1.66)的通解了，而不要再將 p 認(rèn)為 y，再積分來(lái)求 y 這是為什么呢?因?yàn)橛脜?shù)法求解方程(1.66)的實(shí)質(zhì)意義在于：當(dāng)從(1.66)中不能解出 時(shí)，通過(guò)參數(shù)法，把求解(1.66)化為一個(gè)以x為自變量，以 為未知函數(shù),的方程(1.68)，一旦從(1.68)中解得 ， 那么它當(dāng)然滿

35、足(1.67)中的第三式，即有 ，而這相當(dāng)于在(1.66)中先把 解出，又由于方程(1.66)形式的特殊性，使得 成為了原方程(1.66)的通解.同理，可以考慮類(lèi)型的方程(1.69)設(shè)其參數(shù)形式為 （1.70）由其本關(guān)系式，有 將(1.70)代入上式，得或（1.71） 如果能從(1.71)解出通解 ，代入到(1.70)第三式，即得(1.69)的通積分,如果從(1.71)中解出通積分將它與(1.70)第三式聯(lián)立，將它與(1.70)第三式聯(lián)立，消去p ，可得(1.69)的通積分,,（隱函數(shù)存在定理及求導(dǎo)公式)，隱函數(shù)存在定理及求導(dǎo)公式 隱函數(shù)方程 （1） 設(shè)

36、 在點(diǎn) 的某一領(lǐng)域內(nèi)滿足 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)； ； ，則方程（1）在 的某領(lǐng)域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) ，滿足 ，并且（2）（2）稱為隱函數(shù)求導(dǎo)公式.方程(1.73)稱為克萊洛 (Clairaut)方程.由(1.75)式可知，它的通解恰好是在方程(1.73)中用C取代 y而成.,本節(jié)要點(diǎn)：1求解隱式方程時(shí)，首先考慮用第一種解法，即盡可能化成顯式方程求解，其次再考慮用參數(shù)法求解2理解好參數(shù)解法原理，類(lèi)型和類(lèi)型解法的原理是一樣的例如 方程 參數(shù)解法的原理是：（1）方程 （1.61）與其參數(shù)化方程 (1.62)在 平面上等價(jià)（2

37、）由 解出（1.62）的解 (1.64) (3)（1.64）是（1.61）的參數(shù)形式解，因?yàn)?類(lèi)型方程 解法的基本思想是，先通過(guò)等價(jià)關(guān)系解得 ，然后代入原方程，從而得到到原方程的通解,,3類(lèi)型方程 解法的基本思想是，先通過(guò)等價(jià)關(guān)系解得 y，然后代入原方程，從而得到到原方程的通解,第7講幾種可降階的高階方程 幾種可降階的高階方程本節(jié)要介紹三種高階方程的解法，這些解法的基本思想就是把高階方程通過(guò)某些變換降為較低階方程加以求解，所以稱為“降階法”. 1.7.1 第一種可降階的高階方程方程 （1.78）這種方程的特點(diǎn)是方程中出現(xiàn)的最低階的導(dǎo)數(shù)為 .這時(shí)只要令 (1.78)

38、中就化成 （1.79）如果(1.79)能求出通解 則由對(duì)積分 ，就可以求出 y來(lái)了.,第二種可降階的高階方程方程 這類(lèi)方程的特點(diǎn)是不顯含自變量 x，這時(shí)，總可以利用代換 ，使方程降低一階.以二階方程 為例.令 ，于是有 代入原方程，就有,,這是一個(gè)關(guān)于未知函數(shù) p 的一階方程.如果由它可求得則有 這是一個(gè)關(guān)于的變量可分離方程，可求得通積分.,1.7.3 恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程假如方程 （ 1.80） 的左端恰為某一函數(shù) 對(duì) x的導(dǎo)數(shù)，即(1.80)可化為 則(1.80)稱為恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程.這類(lèi)方程的解法與全微分方程的解法相類(lèi)似，顯然可降低一階，成為 之后再設(shè)法求解這個(gè)方程.,初等積分

39、法小結(jié) 15種基本解法 分量變量法 常數(shù)變易法 積分因子法：化為全微分方程 參 數(shù) 法 降 階 法,,2初等積分法的歷史地位自1676年微分方程的研究工作開(kāi)始，其后100多年間是初等積分發(fā)展的重要時(shí)期1841年法國(guó)數(shù) （Liouville）指出：絕大多數(shù)常微分方程不能用初等積分求解，例如方程 就不能用初等積分求解這說(shuō)明初等積分法有相當(dāng)?shù)木窒扌缘?，初等積分法至今不失其重要性，一直被認(rèn)為是常微分方程中非常有用的解題方法之一，也是初學(xué)者的基本訓(xùn)練之一,第8講應(yīng)用舉例 一般說(shuō)來(lái)，用常微分方程去解決某些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程分以下三個(gè)步驟： I建立方程對(duì)所研究問(wèn)題，根據(jù)已知定律或公式以及某些等量關(guān)系列出

40、微分方程和相應(yīng)初值條件II求解方程III分析問(wèn)題通過(guò)已求得的解的性質(zhì)，分析實(shí)際問(wèn)題.1.8.1 等角軌線我們來(lái)求這樣的曲線或曲線族，使得它與某已知曲線族的每一條曲線相交成給定的角度.這樣的曲線稱為己知曲線的等角軌線.當(dāng)所給定的角為直角時(shí)，等角軌線就稱為正交軌線.等角軌線在其它很多學(xué)科(如天文、氣象等)中都有應(yīng)用.下面就來(lái)介紹求等角軌線的方法.首先把問(wèn)題進(jìn)一步提明確一些 設(shè)在(x, y)平面上，給定一個(gè)單參數(shù)曲線族(C)： .求這樣的曲線 ，使得 l與(C) 中每一條曲線的交角都是定角 (圖1-3).,圖1-3設(shè)l 的方程為 .為了求 ，我們先來(lái)求出 所應(yīng) 滿足的微分方程，也就是要先求得

41、 的關(guān)系式.條件告訴我們l與(C) 的曲線相交成定角 ，于是，可以想見(jiàn)，y_1 和y_1 必然應(yīng)當(dāng)與 (C)中的曲線 y=y(x)及其切線的斜率y 有一個(gè)關(guān)系.事實(shí)上，當(dāng) 時(shí)，有 或 (1.81),當(dāng) 時(shí)，有 (1.82)又因?yàn)樵诮稽c(diǎn)處， ,于是，如果我們能求得 的關(guān)系，即曲線族(C) 所滿足的微分方程(1.8) 只要把y=y_1 和(1.81)或(1.82)代入(1.8)，就可求得x,y_1.y_1 所應(yīng)滿足的方程了.如何求(1.8)呢? 采用分析法.設(shè) y=y(x) 為(C ) 中任一條曲線，于是存在相應(yīng)的C，使得 因?yàn)橐髕,y,y 的關(guān)系，將上式對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得

42、(1.84)這樣，將上兩式聯(lián)立，即由 (1.85,消去C，就得到 x,y(x),y(x)所應(yīng)當(dāng)滿足的關(guān)系 這個(gè)關(guān)系稱為曲線族(C) 的微分方程. 于是，等角軌線( )的微分方程就是(1.86)而正交軌線的微分方程為(1.87)為了避免符號(hào)的煩瑣，以上兩個(gè)方程可以不用 y_1，而仍用y ，只要我們明確它是所求的等角軌線的方程就行了.為了求得等角軌線或正交軌線，我們只需求解上述兩個(gè)方程即可.,例1求直線束y=Cx 的等角軌線和正交軌線.解首先求直線族y=Cx 的微分方程.將 對(duì)求x導(dǎo),得y=c ，由 消去C，就得到 y=Cx的微分方程 當(dāng) 時(shí)，由(1.86)知道，等角軌線的微分方程為,或及

43、即 積分后得到 或 如果寫(xiě)成極坐標(biāo)形式，不難看出等角軌線為對(duì)數(shù)螺線 (圖1-4).,如果 ，由(1.87)可知，正交軌線的微分方程為即 或 故正交軌線為同心圓族 (圖1-5). 圖 1-5,1.8.2 動(dòng)力學(xué)問(wèn)題前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)，動(dòng)力學(xué)的基本定律是牛頓第二定律 f=ma,這也是用微分方程來(lái)解決動(dòng)力學(xué)的基本關(guān)系式.它的右端明顯地含有加速度a，a是位移對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù). 列出微分方程的關(guān)鍵就在于找到外力f和位移及對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)速度的關(guān)系. 只要找到這個(gè)關(guān)系，就可以由f=ma列出微分方程了.在求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，要特別注意力學(xué)問(wèn)題中的定解條件，如初值條件等.例2物體由高空下落，除受重力作用外，還受

44、到空氣阻力的作用，在速度不太大的情況下(低于音速的45)，空氣阻力可看做與速度的平方成正比.試證明在這種情況下，落體存在極限速度v_1 。,解設(shè)物體質(zhì)量為 m，空氣阻力系數(shù)為 k，又設(shè)在t時(shí)刻 物體的下落速度為v ，于是在時(shí)刻 物體所受的合外力為 (重力 - 空氣阻力) 這里，建立的坐標(biāo)系，使得重力mg方向向下，與運(yùn)動(dòng)方向一致，空氣阻力方向向上，與運(yùn)動(dòng)方向相反。從而，根據(jù)牛頓第二定律可列出微分方程 （1.88）因?yàn)槭亲杂陕潴w，所以有v(0)=0(1.89)解(1.88)，由(1.89)有 積分得,或 解出v，得 當(dāng) 時(shí),有 (1.90)據(jù)測(cè)定， ,其中 為物體形狀有關(guān)常數(shù)， 為介

45、質(zhì)密度， 為物體在地面上的投影面積. 人們正是根據(jù)公式(1.90)，來(lái)為跳傘者設(shè)計(jì)保證安全的降落傘的直徑大小的.在落地速度 與 一定時(shí)，可定出s來(lái).,第二章基本定理 第09講解的存在性與唯一性定理 2.1 常微分方程的幾何解釋我們?cè)?.1節(jié)已經(jīng)給出了微分方程及其解的定義.本節(jié)將就一階顯式方程 給出這些定義的幾何解釋.由這些解釋，我們可以從方程(1.9)本身的特性了解到它的任一解所應(yīng)具有的某些幾何特征.首先，我們要給出“線素場(chǎng)”的概念.設(shè)(1.9)的右端函數(shù) f(x,y)在區(qū)域G內(nèi)有定義(圖2-1),即對(duì)G內(nèi)任意一點(diǎn)(x,y) ，都存在確定值 .以(x,y)點(diǎn) 為中點(diǎn)，作一單位線段，使其

46、斜率恰為k=f(x,y) ，稱為在(x,y) 的線素.于是在G內(nèi)每一點(diǎn)都有一個(gè)線素.我們說(shuō)，方程(1.9)在區(qū)域G上確定了一個(gè)線素場(chǎng). 圖2-1,（19）,下面來(lái)討論方程(1.9)的解與它確定的線素場(chǎng)的關(guān)系.前面，我們已經(jīng)把(1.9)的解 的圖象稱為(1.9)的積分曲線. 定理2.1 曲線L為(1.9)的積分曲線的充要條件是：在L上任一點(diǎn)，L的切線與(1.9)所確定的線素場(chǎng)在該點(diǎn)的線素重合；亦即L在每點(diǎn)均與線素場(chǎng)的線素相切. 證明（略） 這個(gè)定理表明這樣一個(gè)事實(shí)：(1.9)的積分曲線在其上每一點(diǎn)都與線素場(chǎng)的線素相切.或者直觀地說(shuō)成積分曲線是始終“順著”線素場(chǎng)的線素行進(jìn)的曲線. 2.2 解

47、的存在唯一性定理 本節(jié)利用逐次逼近法，來(lái)證明微分方程 (2.1) 的初值問(wèn)題 (2.2) 的解的存在與唯一性定理. 2.2.1 存在性與唯一性定理的敘述 定理2.2 (存在與唯一性定理)如果方程(2.1)的右端函數(shù) 在閉矩形域 上滿足如下條件： (1) 在R上連續(xù); (2) 在R上關(guān)于變量y滿足李普希茲(Lipschitz)條件，即存在常數(shù)N，使對(duì)于R上任何一對(duì)點(diǎn)(x,y) 和 有不等式：,,則初值問(wèn)題(2.2)在區(qū)間 上存在唯一解 其中 在證明定理之前，我們先對(duì)定理的條件與結(jié)論作些說(shuō)明: 1. 在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，李普希茲條件的檢驗(yàn)是比較費(fèi)事的.然

48、而，我們能夠用一個(gè)較強(qiáng)的，但卻易于驗(yàn)證的條件來(lái)代替它.即如果函數(shù)f(x,y) 在閉矩形域R上關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)f_y(x,y) 存在并有界， .則李普希茲條件成立，事實(shí)上，由拉格朗日中值定理有 其中 滿足 ， 從而 .如果 f_y(x,y)在R上連續(xù)，它在R上當(dāng)然就滿足李普希茲條件. 2.現(xiàn)對(duì)定理中的數(shù)h0做些解釋.從幾何直觀上，初值問(wèn)題(2.2)可能呈現(xiàn)如圖2-5所示的情況. 這時(shí)，過(guò)點(diǎn) 的積,圖 2-5 分曲線 當(dāng)x=x_1 或x=x_2 時(shí)，其中 ， ， 到達(dá)R的上邊界 y=y_0+b或下邊界y=y_0-b .于是，當(dāng) 時(shí)，曲線

49、便可能沒(méi)有定義.由此可見(jiàn)，初值問(wèn)題(2.2)的解未必在整個(gè)區(qū)間 上存在. 但是，由2.1節(jié)的常微分方程的幾何解釋可知，定理2.1就是要證明：在線素場(chǎng)R中，存在唯一一條過(guò)點(diǎn)(x_0,y_0) 的積分曲線 它在其上每點(diǎn)處都與線素場(chǎng)在這點(diǎn)的線素相切. 現(xiàn)在定理假定 f(x,y)在R上連續(xù),從而存在,于是，如果從點(diǎn) (x_0,y_0)引兩條斜率分別等于M和-M的直線，則積分曲線 (如果存在的話)必被限制在圖2-6的帶陰影的兩個(gè)區(qū)域內(nèi)，因此，只要我們?nèi)?則過(guò)點(diǎn)(x_0,y_0)的積分曲線 (如果存在的話)當(dāng)x在區(qū)間上變化時(shí)，必位于R之中. 圖 2-6,2.2.2 存在性的證明 求解初值問(wèn)題（

50、2.2） 求解積分方程（2.3）. 因此，只要證明積分方程(2.3)的連續(xù)解在 上存在而且唯一就行了. 下面用畢卡(Picard)逐次逼近來(lái)證明積分方程(2.3)的連續(xù)解的存在性，可分三個(gè)步驟進(jìn)行: 1.構(gòu)造逐次近似序列.,近似序列 在每一項(xiàng)都在 上有定義，這是因?yàn)?于是 這樣，我們?cè)趨^(qū)間 上，按逐次逼近手續(xù)得到了一個(gè)連續(xù)函數(shù)列(近似序列) 2. 證明近似序列 在區(qū)間 上一致收斂（序列）. “ 函數(shù)序列的一致收斂 1設(shè) （1）,是定義在I上的函數(shù)序列，若對(duì) ，數(shù)列 收斂，

51、則稱x_0為序列（1）的收斂點(diǎn)收斂點(diǎn)的全體叫收斂域 在收斂域上每一點(diǎn)，序列（1）都有極限，這極限形成收斂域上的一個(gè)函數(shù)，稱為極限函數(shù)設(shè)此函數(shù)為S(x) ，即 2若對(duì) ，總存在一個(gè)只與 有關(guān)的自然數(shù)N，使得對(duì)I上任何一點(diǎn) ，當(dāng) 時(shí)，有 ，則稱序列（1）在I上一致收斂 證明分如下二步： （1）序列 在 上一致收斂 級(jí)數(shù)（2.7）在 上一致收斂（級(jí)數(shù)） “ 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂,“ 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂 1設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) （1） 在區(qū)間I上收斂于和函數(shù)S(x) ，即對(duì) ，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂于S(x_0) ，或級(jí)數(shù)（1）的部分和所組成的數(shù)列,=,3若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）的每

52、一項(xiàng)都在I上連續(xù)，并且在I上一致收斂，則（1）的和函數(shù) 在I上連續(xù) 因?yàn)榧?jí)數(shù) （2.7） 的部分和 （2）級(jí)數(shù)（2.7）在 上一致收斂 用數(shù)學(xué)歸納法，易證級(jí)數(shù)（2.7）從第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)絕對(duì)值都小于正項(xiàng)級(jí)數(shù) 的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，而上面這個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)顯然是收斂的.所以，由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法， “ 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂判別法 （魏爾斯特拉斯優(yōu)級(jí)數(shù)判別法） 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) （1）,若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）在區(qū)間I上滿足 （ I ） ； （ II ） 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂 則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）在區(qū)間I上一致收斂 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判別法 （比值判別法，達(dá)朗貝爾（ ）判別法） 若正項(xiàng)級(jí)數(shù) 的后項(xiàng)與前項(xiàng)

53、的比值的極限等于 ： 則當(dāng) 時(shí)級(jí)數(shù)收斂， 時(shí)（或 ）時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散； 時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散,級(jí)數(shù)(2.7)在區(qū)間 上不僅收斂，而且一致收斂.設(shè)其和函數(shù)為 ，從而近似序列 在區(qū)間 x_0-h_0,x_0+h_0上一致收斂于 .由于 在區(qū)間x_0-h_0,x_0+h_0上 連續(xù)，因而 也是連續(xù)的. 3.證明 是積分方程(2.3)的解，從而也是初值問(wèn)題(2.2)的解. 在n次近似序列（2.6）兩端取極限有 因?yàn)?所以要證明 是積分方程（2.3）的解，即 成立，只需證明 下面用“-N語(yǔ)言”證明上面的極限成立,由于序列 在區(qū)間x_0-h_0,x

54、_0+h_0上一致收斂，因此，對(duì)任給0,存在自然數(shù) N,當(dāng) nN時(shí)，對(duì)區(qū)間x_0-h_0,x_0+h_0 上所有x恒有 從而 由此推得 換句話說(shuō)，我們得到 現(xiàn)在對(duì)恒等式(2.6)兩端取極限， 就得到 此即表明函數(shù) 是(2.3)的解.至此定理的存在性部分證畢.,,2.2.3 唯一性的證明 下面來(lái)證明解的唯一性.為此我們先介紹一個(gè)在微分方程中很有用的不等式，即貝爾曼(Bellman)不等式. 貝爾曼引理 設(shè)y(x)為區(qū)間a,b 上非負(fù)的連續(xù)函數(shù)， .若存在 使得y(x)滿足不等式 (2.9) 則有 證明 先證明 的情形. 令 ，于是從(2,9)式立即有 上式兩端同乘以因

55、子 ,則有 上式兩端從x0到x積分，則有,,,即,由(2.9)知，,,從而由上式得到,,的情形類(lèi)似可證，引理證畢. 積分方程(2.3)解的唯一性證明，采用反證法. 假設(shè)積分方程(2.3)除了解,之外，還另外有解,，我們下面要證明：在,上，必有,. 事實(shí)上，因?yàn)?,及,將這兩個(gè)恒等式作差，并利用李普希茲條件來(lái)估值，有,,令,,從而由貝爾曼引理可知，在,上有,，即,. 至此，初值問(wèn)題(2.2)解的存在性與唯一性全部證完.2.2.4 二點(diǎn)說(shuō)明 為了加深對(duì)定理的理解，下面我們?cè)僮鞫c(diǎn)說(shuō)明. 1.（見(jiàn)教材） 2. 如果方程(2.1)是線性方程，即,其中p(x)和q(x)在區(qū)間,上連續(xù)，我們不難驗(yàn)證，

56、此時(shí)方程的右端函數(shù)關(guān)于y滿足李普希茲條件，在這些條件下，利用定理2.2中的方法，可以證明對(duì)任意初始值,我們不難驗(yàn)證，此時(shí)方程的右端函數(shù)關(guān)于y滿足李普希茲條件，在這些條件下，利用定理2.2中的方法，可以證明對(duì)任意初始值,.線性方程滿足,的解在整個(gè)區(qū)間,上有定義.事實(shí)上，只要注意到，此時(shí)逐次近似序列的一般項(xiàng)(2.6),在區(qū)間,上存在且連續(xù)即可. 由定理2.2知李普希茲條件是保證初值問(wèn)題解唯一的充分條件，那么這個(gè)條件是否是必要的呢?下面的例子回答了這個(gè)問(wèn)題. 例1 試證方程,經(jīng)過(guò)xoy平面上任一點(diǎn)的解都是唯一的. 證明 右端函數(shù)除x軸外的上、下平面都滿足定理2.2的條件，因此對(duì)于,軸外任何點(diǎn),，該方

57、程滿足,的解都存在且唯一. 于是，只有對(duì)于,軸上的點(diǎn)，還需要討論其過(guò)這樣點(diǎn)的解的唯一性. 我們注意到y(tǒng) = 0為方程的解. 當(dāng)y 0時(shí)，因?yàn)?,故可得通解為,,為上半平面的通解,,為下半平面的通解. 這些解不可能y = 0相交. 因此，對(duì)于,軸上的點(diǎn),，只有y = 0通過(guò)，從而保證了初值解的唯一性. 但是，,因?yàn)?故不可能存在,使得,從而方程右端函數(shù)在y = 0的任何鄰域上并不滿足李普希茲條件，這個(gè)例子說(shuō)明李普希茲條件不是保證初值解唯一的必要條件. 為了保證方程(2.1)的初值解的唯一性，有著比李普希茲條件更弱的條件.直到現(xiàn)在，唯一性問(wèn)題仍是一個(gè)值得研究的課題. 下面的例子表明：如果僅有方程(

58、2.1)的右端函數(shù)f(x, y)在R上連續(xù)，不能保證任何,初值問(wèn)題(2.2)的解是唯一的. 例2 討論方程,解的唯一性. 解 方程的右端函 數(shù),,在全平面連續(xù)，當(dāng),時(shí)，用分離變量法可求得通解,，C為任意常數(shù). 又y = 0也是方程的一個(gè)特解，積分曲線如圖2-7.,圖 2-7,從圖上可以看出，上半平面和下半平面上的解都是唯一的，只有通過(guò)x軸上任一點(diǎn),的積分曲線不是唯一的，記過(guò)該點(diǎn)的解為,， 它可表為：對(duì)任意滿足,的a和b.,本節(jié)要點(diǎn)： 1一階顯式方程在其定義域內(nèi)定義了一個(gè)線素場(chǎng)，積分曲線在其上每一點(diǎn)都與線素場(chǎng)的線素相切 2解的存在唯一性定理的證明 3定理?xiàng)l件的理解 （1）李普希茲條件是保證解唯一

59、的充分條件而非必要條件 （2）僅有連續(xù)條件不能保證解唯一 （3）定理的結(jié)論：解的存在區(qū)間是局部的,第10講解的延展 上節(jié)我們給出了初值問(wèn)題(2.2)解的存在唯一性定理.應(yīng)該注意到，這個(gè)定理的結(jié)果是局部的，也就是說(shuō)解的存在區(qū)間是“很小”的.通常方程(2.1)的右端函數(shù)f(x,y)存在區(qū)域D可能是很大的，這樣，我們自然要討論，此時(shí)初值問(wèn)題(2.2)的解的存在區(qū)間是否可以擴(kuò)大.,2.3.1 延展解、不可延展解的定義定義2.1 設(shè),是初值問(wèn)題（2，2）在區(qū)間,上的一個(gè)解，如果（2，2）還有一個(gè)在區(qū)間,上的解,，且滿足(1),(2)當(dāng),時(shí)，,,則稱解,是可延展的，并稱,是,在I上的一個(gè)延展解.否則，如果

60、不存在滿足上述條件的解,，則稱,是初值問(wèn)題(2.2)的一個(gè)不可延展解，(亦稱飽和解).這里區(qū)間I和可以是開(kāi)的也可以是閉的. .3.2 不可延展解的存在性定義2.2 設(shè),定義在開(kāi)區(qū)域,上，如果對(duì)于D上任一點(diǎn),，都存在以,為中心的，完全屬于D的閉矩形域R，使得在R上,的關(guān)于y滿足李普希茲條件，對(duì)于不同的點(diǎn)，閉矩形域R的大小以及常數(shù)N可以不同，則稱,在D上關(guān)于y滿足局部李普希茲條件.,定理2.3 如果方程(2.1)的右端函數(shù),在區(qū)域,上連續(xù)，且對(duì)y滿足局部李普希茲條件，則對(duì)任何,，初值問(wèn)題(2.2)存在唯一的不可延展解.證明思路：僅證,方向，（,方向同理）任取點(diǎn),存在唯一解,在,=,上有定義 又點(diǎn),

61、存在唯一解,在,=,上有定義,,圖28由解的唯一性，在I0和I1的公共部分上，,的一個(gè)延展解 繼續(xù)這種延展過(guò)程，直到一個(gè)解,，它再也不能向左右兩方延展了，這個(gè)解就是不可延展解，,就是初值問(wèn)題（2.2）不可延展解的存在區(qū)間，這樣，就完成了定理的證明顯然，不可延展解的存在區(qū)間必定是一個(gè)開(kāi)區(qū)間.因?yàn)槿绻麉^(qū)間右端點(diǎn),是閉的,那么解,的曲線可以達(dá)到,.于是點(diǎn),，由定理2.2，可將,延展到,的右方，這與,是不可延展解矛盾. 同理，這個(gè)區(qū)間的左端點(diǎn)也必定是開(kāi)的. 2.3.3 不可延展解在端點(diǎn)的性狀下面討論初值問(wèn)題(2.2)的不可延展解,，當(dāng)x趨于區(qū)間,的端點(diǎn)時(shí)的性狀引理 設(shè),是有界開(kāi)區(qū)域，,在D上有界,、且

62、對(duì)y滿足局部李普希茲條件.如果,是初值問(wèn)題(2.2)在D上的不可延展解，則當(dāng),時(shí)，相應(yīng)積分曲線上的點(diǎn),都趨于D的邊界.,證明 首先證明極限,的存在性.事實(shí)上，由于初值問(wèn)題(2.2)的解,滿足下面的積分方程,因此對(duì)任意,, 有,,由柯西收斂判別準(zhǔn)則， “柯西收斂準(zhǔn)則 1數(shù)列,收斂,對(duì),，,N ，使當(dāng),，,，就有,2,存在,對(duì),，,N ，使當(dāng),，,時(shí)，總有,,3,存在,對(duì),，,A 0，使當(dāng),，總有,” 可知,和,都存在.記D的邊界為,，現(xiàn)證明,.利用反證法，假如是,是D的內(nèi)點(diǎn)，則由定理2.2可知，存在,，使得解,可以延,到區(qū)間,上，這與是不可延展解,的存在區(qū)間的右端點(diǎn)的假設(shè)矛盾.因此點(diǎn),屬于D的邊

63、界點(diǎn).同理，點(diǎn),也屬于D的邊界點(diǎn).證畢. 現(xiàn)在我們可以給出不可延展解的重要性質(zhì)：定理2.4 如果方程(2.1)的右端函數(shù),在(有界或無(wú)界)區(qū)域D上連續(xù)，且關(guān)于y滿足局部李普希茲條件，那么對(duì)于D上任意一點(diǎn),，方程(2.1)的以,為,初值的不可延展解,，當(dāng),時(shí)，相應(yīng)積分曲線上的點(diǎn),都趨于D的邊界.證明 作有界區(qū)域,，使得,且,.,顯然，當(dāng)D為平面上有界區(qū)域時(shí)，只要取Dn為D的邊界,的內(nèi)側(cè)鄰域即可.當(dāng)D為無(wú)界時(shí)，可取D與閉圓域,的交集,.如此取的Dn滿足上面的條件.,對(duì)于區(qū)域D，由于,，由引理可知積分曲線,可以到達(dá)D的邊界點(diǎn)A和B對(duì)于區(qū)域D，再次利用引理，積分曲線,又可以到達(dá),的邊界點(diǎn)A和B如此繼續(xù)

64、下去，積分曲線可以到達(dá)Dn的邊界點(diǎn)An和Bn，于是我們?cè)诜e分曲線上得到兩個(gè)點(diǎn)列,因?yàn)楫?dāng),,分別趨于D的邊界，證畢注1. “積分曲線趨于D的邊界”是指積分曲線上的點(diǎn),當(dāng),和,可以與,無(wú)限接近，但是極限不一定存在.,通常把向,右側(cè)延展的解稱為右行解，反之則稱為左行解.由上面的證明，不難得到.推論 在定理2.4中的右行不可延展解的存在區(qū)間必為下列情形之一：(1),，），(見(jiàn)圖2-9-1)，或(2),，b)，b為有限數(shù) 在后一種情形下，有且僅有下面二種可能當(dāng)xb-0時(shí)，,無(wú)界；(見(jiàn)圖2-9-2),,在x0, b上有界，且,,注2.,在x0, b)上有界時(shí)，若,存在有限值d，那么(b, d),,(見(jiàn)圖2

65、-9-3).若,不存在，xb-0時(shí)，,的值振蕩,那么,.(見(jiàn)圖2-9-4).左行不可延展解的存在區(qū)間有相同結(jié)論.,,,,圖 2-9-1 圖 2-9-2,,圖 2-9-3圖 2-9-4,例1 試討論方程,通過(guò)點(diǎn)(1,1)的解和通過(guò)點(diǎn)(3,-1)的解的存在區(qū)間.解 此時(shí)區(qū)域D是整個(gè)平面.方程右端函數(shù)滿足延展定理的條件.容易算出，方程的通解是,故通過(guò)(1,1)的積分曲線為,它向左可無(wú)限延展，而當(dāng)x 2-0時(shí)，y +, 所以，其存在區(qū)間為(-,2),參看圖2-10.,圖 2-10通過(guò)(3,-1)的積分曲線為,它向左不能無(wú)限延展，因?yàn)楫?dāng)x 2+0時(shí)，y -,所以其存在區(qū)間為(2,+).順便指出：這個(gè)方程

66、只有解y = 0可以向左右兩上方向無(wú)限延展.,這個(gè)例子說(shuō)明，盡管,在整個(gè)平面滿足延展定理?xiàng)l件，解上的點(diǎn)能任意接近區(qū)域D的邊界，但方程的解的定義區(qū)間卻不能延展到整個(gè)數(shù)軸上去. 例2 討論方程,解的存在區(qū)間.解 方程右端函數(shù)在無(wú)界區(qū)域,內(nèi)連續(xù)，且對(duì)y滿足李普希茲條件，其通解為,過(guò)D內(nèi)任一點(diǎn),的初值解.,,圖 2-11,在(0,+)上有定義，且當(dāng)x 0時(shí)，該積分曲線上的點(diǎn)無(wú)限接近D的邊界線x = 0，但不趨向其上任一點(diǎn)(圖2-11).在區(qū)域內(nèi)的討論是,類(lèi)似的.延展定理是常微分方程中一個(gè)重要定理.它能幫助我們確定解的最大存在區(qū)間.從推論和上面的例子可以看出， 方程的解的最大存在區(qū)間是因解而異的.,例3 考慮方程,假設(shè),及,在,平面上連續(xù)，試證明：對(duì)于任意,及,,方程滿足,的解都在(-,+)上存在.,,圖 2-12 證明 根據(jù)題設(shè)，可以證明方程右端函數(shù)在整個(gè),平面上滿足延展定理及存在與唯一性定理的條件.易于看到，,為方程在(-,+)上的解.由延展定理可知，滿足,任意，,的解,上的點(diǎn)應(yīng)當(dāng)無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)，但是，由解的唯一性，,又不能穿過(guò)直線,，故只能向兩側(cè)延展，而無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)，從而這解應(yīng)在(-,+)上